數學 すうがく 上 うえ 譜 ふ 圖 ず 論 ろん 英語 えいご spectral graph theory ）是 これ 圖 ず 論 ろん 的 まと 分 ぶん 支 ささえ 研究 けんきゅう 图 的 てき 性質 せいしつ 與 あずか 邻接矩 のり 、调和矩 のり 等 ひとし 的 てき 特徵 とくちょう 多項式 たこうしき 特 とく 征 せい 特 とく 征 せい 向 こう 量 りょう 有 ゆう 何 なん 關聯 かんれん
n
{\displaystyle n}
個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 圖 ず 接 せっ 矩 のり 陣 じん 是 ぜ
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
矩 のり 陣 じん 各 かく 分量 ぶんりょう 分別 ふんべつ
0
{\displaystyle 0}
或 ある
1
{\displaystyle 1}
表示 ひょうじ 對應 たいおう 的 てき 兩 りょう 頂點 ちょうてん 之 の 間 あいだ 是 ぜ 否 いや 有 ゆう 連 れん 邊 べ 簡單 かんたん 無 む 向 むこう 圖 ず 的 てき 矩 のり 陣 じん 是 ぜ 實 み 對稱 たいしょう 矩 のり 陣 じん 從 したがえ 正 せい 角 かく 化 か 徵 ちょう 是 ぜ 實 み 代數 だいすう 整數 せいすう
雖然鄰接矩 のり 陣取 じんとり 決 けつ 何 なん 標記 ひょうき 頂點 ちょうてん 排 はい 序 じょ 但 ただし 是 これ 矩 のり 是 これ 圖 ず 不 ふ 變量 へんりょう 不 ふ 取 と 決 けつ 標記 ひょうき 方式 ほうしき 不 ふ 過 か 是 ぜ 完備 かんび 不 ふ 變量 へんりょう 不足 ふそく 全 ぜん 刻 こく 畫 が 圖 ず 的 てき 全部 ぜんぶ 性質 せいしつ
譜 ふ 圖 ず 論 ろん 亦 また 關 かかわ 注 ちゅう 的 てき 矩 のり 陣 じん 特徵 とくちょう 重 じゅう 數 すう 定義 ていぎ 的 てき 參 さん 數 すう 科 か 蘭 らん 德 とく 數 すう
兩 りょう 幅 はば 圖 ず 稱 しょう 為 ため 共 きょう 譜 ふ cospectral ）或 ある 等 とう 譜 ふ isospectral ），意思 いし 是 ぜ 兩者 りょうしゃ 的 てき 矩 のり 陣 じん 等 とう 譜 ふ 特徵 とくちょう 等 とう 連 れん 重 じゅう 數也 かずや 一 いち 樣 よう 即 そく 組成 そせい 的 てき 多重 たじゅう 集 しゅう 相等 そうとう
兩個 りゃんこ 共 ども 譜 ふ 九 きゅう 面體 めんてい 最小 さいしょう 的 てき 一 いち 對 たい 共 ども 譜 ふ 多面体 ためんたい 共 きょう 譜 ふ 圖 ず 不 ふ 同 どう 但 ただし 同 どう 構圖 こうず 必然 ひつぜん 共 ども 譜 ふ
圖 ず
G
{\displaystyle G}
由 よし 譜 ふ 決定 けってい determined by its spectrum ），意思 いし 是 ぜ 具有 ぐゆう 的 てき 圖 ず
G
{\displaystyle G}
同 どう 簡單 かんたん 例 れい 子 こ 包括 ほうかつ
若 わか 但 ただし 是 ぜ 不同 ふどう 則 のり 稱 しょう 為 ため 共 きょう 譜 ふ 配偶 はいぐう cospectral mates ）。最小 さいしょう
{
K
1
,
4
,
C
4
⊔
K
1
}
{\displaystyle \{K_{1,4},C_{4}\sqcup K_{1}\}}
前者 ぜんしゃ 是 ぜ 五 ご 個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 星 ほし 者 しゃ 是 ぜ 四 よん 個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 環 たまき 與 あずか 獨 どく 一 いち 個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 不 ふ 考 こう 拉 ひしげ 和 かず 西 にし 年 ねん 所 しょ 述 じゅつ [ 1] [ 2] 最小 さいしょう 一 いち 對 たい 多面體 ためんたい 共 きょう 譜 ふ 配偶 はいぐう 是 ぜ 兩個 りゃんこ 八 はち 頂點 ちょうてん 的 てき 九 きゅう 面體 めんてい [ 3]
幾 いく 所有 しょゆう 树 皆 みな 會 かい 與 あずか 樹 じゅ 共 ども 譜 ふ 換言 かんげん 之 の 隨 ずい 頂點 ちょうてん 數 すう 增加 ぞうか 有 ゆう 共 ども 譜 ふ 樹 じゅ 的 てき 樹 き 所 しょ 比率 ひりつ
1
{\displaystyle 1}
[ 4] 一對 いっつい 正則 せいそく 圖 ず 共 きょう 譜 ふ 當 とう 當 とう 補 ほ 圖 ず 亦 また 共 きょう 譜 ふ [ 5] 一對 いっつい 距離 きょり 正則 せいそく 圖 ず 共 きょう 譜 ふ 當 とう 當 とう 陣列 じんれつ 相等 そうとう
共 きょう 譜 ふ 圖 ず 亦 また 可 か 砂田 すなだ 方法 ほうほう 構造 こうぞう [ 6] 尚 なお 有 ゆう 類 るい 共 ども 譜 ふ 圖 ず 來 き 自 じ 各種 かくしゅ 點線 てんせん 幾何 きか 幾何 きか 中 ちゅう 點 てん 為 ため 頂點 ちょうてん 有 ゆう 直線 ちょくせん 過 か 兩 りょう 點 てん 則 そく 連 れん 邊 あたり 可 か 得 とく 點 てん 共 ども 線 せん 圖 ず point-collinearity graph ）。反 はん 之 これ 線 せん 為 ため 頂點 ちょうてん 兩 りょう 直線 ちょくせん 相 しょう 連 れん 邊 あたり 可 か 得 とく 線 せん 相 しょう line-intersection graph ）。兩 りょう 幅 はば 圖 ず 譜 ふ 但 ただし 經常 けいじょう 不同 ふどう [ 7]
黎 はじむ 何 なに 中 なか 對 たい 緊 黎 はじむ 形 がた
M
{\displaystyle M}
有 ゆう 等 とう 周 しゅう 定理 ていり 的 てき 稱 たたえ 為 ため 奇 き 格 かく 不等式 ふとうしき 斷言 だんげん
n
{\displaystyle n}
區域 くいき
A
⊆
M
{\displaystyle A\subseteq M}
的 てき 體積 たいせき 一 いち 定時 ていじ 邊 へん 界 かい
∂
A
{\displaystyle \partial A}
的 てき 面積 めんせき 不能 ふのう 太 ふと 小 しょう 相 そう 比 ひ
A
{\displaystyle A}
的 てき 體積 たいせき 比例 ひれい 常數 じょうすう 有 ゆう 某 ぼう 個 こ 下界 げかい 與 あずか 拉 ひしげ 普 ひろし 拉 ひしげ 貝 かい 爾 なんじ 特 とく 拉 ひしげ 米 まい 算 さん 子 こ 的 てき 特徵 とくちょう 關 せき 等式 とうしき 在 ざい 圖 ず 論 ろん 的 てき 離散 りさん 情況 じょうきょう 下 か 有 ゆう 類比 るいひ 拉 ひしげ 貝 かい 譜 ふ 圖 ず 論 ろん 的 てき 奇 き 格 かく 不等式 ふとうしき 在 ざい 算法 さんぽう 方面 ほうめん 有 ゆう 應用 おうよう 因 いん 為 ため 拉 ひしげ 氏 し 算 さん 子 こ 的 てき 第 だい 二 に 特徵 とくちょう 可 か 算 さん 圖 ず 的 てき 最小 さいしょう 割 わり 之 これ
图 的 てき 奇 き 格 かく 常數 じょうすう Cheeger constant ），或 ある 作 さく 奇 き 格 かく 數 すう Cheeger number ）、等 とう 周 しゅう 數 すう isoperimetric number ），直觀 ちょっかん 理解 りかい 是 ぜ 用作 ようさく 是 ぜ 否 ひ 有 ゆう 瓶 びん 多 た 個 こ 學科 がっか 需要 じゅよう 瓶 びん 程度 ていど 所 しょ 用途 ようと 包括 ほうかつ 建造 けんぞう 非 ひ 常連 じょうれん 通 どおり 的 てき 计算机 つくえ 、洗 あらい 牌 ぱい 低 てい 撲 なぐ 尤 ゆう 研究 けんきゅう 雙 そう 曲 きょく 流 ながれ 形 がた 時 どき
對 たい 一 いち 幅 ぶく
n
{\displaystyle n}
個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 圖 ず
G
{\displaystyle G}
奇 き 格 かく 常數 じょうすう
h
(
G
)
{\displaystyle h(G)}
的 てき 定義 ていぎ 可用 かよう 符號 ふごう 寫 うつし 成 なり
h
(
G
)
=
min
0
<
|
S
|
≤
n
2
|
∂
(
S
)
|
|
S
|
.
{\displaystyle h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}}.}
式 しき 中 ちゅう 的 てき 最小 さいしょう 遍 へん
S
{\displaystyle S}
∂
(
S
)
{\displaystyle \partial (S)}
表示 ひょうじ
S
{\displaystyle S}
的 てき 邊 あたり 邊 べ 界 かい edge boundary ），即 そく 一 いち 端 はし 屬 ぞく
S
{\displaystyle S}
的 てき 邊 あたり 所 しょ 組成 そせい 的 てき 集 しゅう [ 8]
當 とう
G
{\displaystyle G}
為 ため
d
{\displaystyle d}
正則 せいそく 時 じ
h
(
G
)
{\displaystyle h(G)}
與 あずか 度數 どすう 及第 きゅうだい 二 に 特徵 とくちょう 差 さ
d
−
λ らむだ
2
{\displaystyle d-\lambda _{2}}
又 また 稱 たたえ 譜 ふ 隙 すき 有 ゆう 關 せき 多久 たく 克 かつ [ 9] 阿 おもね 隆 たかし 米 べい 爾 なんじ 二人 ふたり [ 10] 分別 ふんべつ 獨 どく 立證 りっしょう 出 で 以下 いか 不等式 ふとうしき [ 11]
1
2
(
d
−
λ らむだ
2
)
≤
h
(
G
)
≤
2
d
(
d
−
λ らむだ
2
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}.}
此不等式 とうしき 與 あずか 马尔可 か 夫 おっと 的 てき 奇 き 格 かく 界 かい 密 みつ 切 きり 相關 そうかん 亦 また 是 これ 黎 はじむ 何 なに 中 なか 奇 き 格 かく 不等式 ふとうしき 的 てき 離散 りさん 變 へん 式 しき
更 さら 一般 いっぱん 情況 じょうきょう 可 か 考慮 こうりょ 連 れん 通 どおり 圖 ず
G
{\displaystyle G}
不 ふ 則 そく 金 きむ 芳 かおる 的 まと 書 しょ [ 12] :35 中有 ちゅうう 一 いち 條 じょう 不等式 ふとうしき
1
2
λ らむだ
≤
h
(
G
)
≤
2
Δ でるた λ らむだ
,
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\lambda }\leq {\boldsymbol {h}}(G)\leq {\sqrt {2\Delta \lambda }},}
式 しき 中 ちゅう
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
是 ぜ 未 み 歸一 きいつ 的 てき 拉 ひしげ 氏 し 算 さん 子 こ 最小 さいしょう 非 ひ 平凡 へいぼん 特徵 とくちょう
Δ でるた
{\displaystyle \Delta }
是 ぜ 最大 さいだい 度 ど
h
(
G
)
{\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)}
是 ぜ 經 けい 歸一 きいつ 化 か 的 てき 奇 き 格 かく 常數 じょうすう
h
(
G
)
=
min
∅
≠
S
⊂
V
(
G
)
|
∂
(
S
)
|
min
(
v
o
l
(
S
)
,
v
o
l
(
S
¯
)
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)=\min _{\emptyset \not =S\subset V(G)}{\frac {|\partial (S)|}{\min({\mathrm {vol} }(S),{\mathrm {vol} }({\bar {S}}))}},}
其中
v
o
l
(
Y
)
{\displaystyle {\mathrm {vol} }(Y)}
表示 ひょうじ
Y
{\displaystyle Y}
中 ちゅう 各 かく 頂點 ちょうてん 的 てき 度數 どすう 和 わ
德 とく 爾 なんじ 不等式 ふとうしき [ 编辑 ] 對 たい 正則 せいそく 圖 ず 的 てき 獨立 どくりつ 集 しゅう 大小 だいしょう 可用 かよう 特徵 とくちょう 算出 さんしゅつ 一 いち 個 こ 上 じょう 界 かい 最 さい 先 さき 由 ゆかり 艾 あい 倫 りん 和 かず 浦 うら 德 とく 爾 なんじ Philippe Delsarte ）證明 しょうめい [ 13] 不等式 ふとうしき 的 てき 敍述 じょじゅつ
設 しつらえ
G
{\displaystyle G}
是 これ
n
{\displaystyle n}
個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき
k
{\displaystyle k}
正則 せいそく 圖 ず 最小 さいしょう 一 いち 個 こ 特徵 とくちょう
λ らむだ
m
i
n
{\displaystyle \lambda _{\mathrm {min} }}
則 のり
G
{\displaystyle G}
的 てき 獨立 どくりつ 數 すう
α あるふぁ (
G
)
≤
n
1
−
k
λ らむだ
m
i
n
.
{\displaystyle \alpha (G)\leq {\frac {n}{1-{\frac {k}{\lambda _{\mathrm {min} }}}}}.}
此上界 かい 應用 おうよう 在 ざい 合 ごう 適 てき 的 てき 圖上 ずじょう 數 すう 方式 ほうしき 證明 しょうめい 艾 もぐさ 雷 かみなり 多 た 定理 ていり 有 ゆう 關 せき 有限 ゆうげん 域 いき 上 うえ 子 こ 空間 くうかん 相 あい 的 てき 類似 るいじ 定理 ていり [ 14]
對 たい 考慮 こうりょ 歸一 きいつ 化 か 拉 ひしげ 氏 し 矩 のり 陣 じん 的 てき 最大 さいだい 特徵 とくちょう
λ らむだ
m
a
x
′
{\displaystyle \lambda '_{\mathrm {max} }}
導出 どうしゅつ 類似 るいじ 的 てき 結論 けつろん [ 12]
α あるふぁ (
G
)
≤
n
(
1
−
1
λ らむだ
m
a
x
′
)
Δ でるた (
G
)
δ でるた (
G
)
,
{\displaystyle \alpha (G)\leq n\left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\frac {\Delta (G)}{\delta (G)}},}
式 しき 中 ちゅう
Δ でるた (
G
)
{\displaystyle \Delta (G)}
和 わ
δ でるた (
G
)
{\displaystyle \delta (G)}
分別 ふんべつ 表示 ひょうじ
G
{\displaystyle G}
的 てき 最大 さいだい 度 ど 和 わ 最小 さいしょう 度 ど 不等式 ふとうしき [ 12] :109 的 てき 特例 とくれい 對 たい 任意 にんい 獨立 どくりつ 集 しゅう
X
{\displaystyle X}
有 ゆう
v
o
l
(
X
)
≤
(
1
−
1
λ らむだ
m
a
x
′
)
v
o
l
(
V
(
G
)
)
,
{\displaystyle {\mathrm {vol} }(X)\leq \left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\mathrm {vol} }(V(G)),}
其中
v
o
l
(
Y
)
{\displaystyle {\mathrm {vol} }(Y)}
代表 だいひょう 集合 しゅうごう
Y
{\displaystyle Y}
中 ちゅう 所有 しょゆう 頂點 ちょうてん 的 てき 度數 どすう 之 の 和 わ
譜 ふ 圖 ず 論 ろん 在 ざい 年代 ねんだい 至 いたり 年代 ねんだい 出現 しゅつげん 图论 有 ゆう 研究 けんきゅう 圖 ず 的 てき 結構 けっこう 與 あずか 譜 ふ 性質 せいしつ 之 の 間 あいだ 有 ゆう 何 なん 聯 れん 除 じょ 外 がい 量子 りょうし 化学 かがく 研究 けんきゅう 亦 また 是 ぜ 源 げん 頭 あたま 但 ただし 兩個 りゃんこ 方向 ほうこう 的 てき 研究 けんきゅう 流通 りゅうつう 要 よう 到 いた 期 き 才 ざい 合 あい 一 いち [ 15] 年 ねん 茨 いばら 科 か 杜 もり 布 ぬの 專 せん 著 ちょ 圖 ず 之 の 譜 ふ [ 16] 概括 がいかつ 了 りょう 當時 とうじ 本 ほん 領域 りょういき 的 てき 多數 たすう 研究 けんきゅう 由 よし 年 ねん 圖譜 ずふ 論 ろん 之 の 近 きん 期成 きせい 果 はて [ 17] 和 かず 圖 ず 之 の 譜 ふ 年 ねん 第 だい 三 さん 版 はん 再 さい 次 つぎ 更新 こうしん [ 15] 年代 ねんだい 砂田 すなだ 利一 としかず 開 ひらき 創 そう 離散 りさん 幾何 きか 分析 ぶんせき 並 なみ 加 か 發展 はってん 領域 りょういき 處理 しょり 譜 ふ 圖 ず 論 ろん 的 てき 方式 ほうしき 是 ぜ 利用 りよう 加 か 權 けん 圖 ず 的 てき 離散 りさん 拉 ひしげ 氏 し 算 さん 子 こ [ 18] 在 ざい 形狀 けいじょう 分析 ぶんせき 等 とう 領域 りょういき 有 ゆう 應用 おうよう 近來 きんらい 譜 ふ 圖 ず 論 ろん 應用 おうよう 廣 こう 用 よう 分析 ぶんせき 一 いち 現實 げんじつ 號 ごう 處理 しょり 時 じ 可能 かのう 會 かい 遇 ぐう 到 いた 的 てき 圖 ず [ 19] [ 20] [ 21] [ 22]
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