數學 すうがく 上 うえ ,譜 ふ 圖 ず 論 ろん (英語 えいご :spectral graph theory )是 これ 圖 ず 論 ろん 的 まと 分 ぶん 支 ささえ ,研究 けんきゅう 图 的 てき 性質 せいしつ 與 あずか 其邻接矩 のり 阵 、调和矩 のり 阵 等 ひとし 的 てき 特徵 とくちょう 多項式 たこうしき 、特 とく 征 せい 值和特 とく 征 せい 向 こう 量 りょう 有 ゆう 何 なん 關聯 かんれん 。
n
{\displaystyle n}
個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 圖 ず ,其鄰接 せっ 矩 のり 陣 じん 是 ぜ
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
矩 のり 陣 じん ,各 かく 分量 ぶんりょう 分別 ふんべつ 以
0
{\displaystyle 0}
或 ある
1
{\displaystyle 1}
表示 ひょうじ 對應 たいおう 的 てき 兩 りょう 頂點 ちょうてん 之 の 間 あいだ 是 ぜ 否 いや 有 ゆう 連 れん 邊 べ 。簡單 かんたん 無 む 向 むこう 圖 ず 的 てき 鄰接矩 のり 陣 じん 是 ぜ 實 み 對稱 たいしょう 矩 のり 陣 じん ,從 したがえ 而可正 せい 交對角 かく 化 か ,其特徵 ちょう 值皆是 ぜ 實 み 代數 だいすう 整數 せいすう 。
雖然鄰接矩 のり 陣取 じんとり 決 けつ 於如何 なん 標記 ひょうき 頂點 ちょうてん 以作排 はい 序 じょ ,但 ただし 是 これ 矩 のり 阵的谱是 これ 圖 ず 不 ふ 變量 へんりょう ,不 ふ 取 と 決 けつ 於標記 ひょうき 方式 ほうしき 。(不 ふ 過 か 也不是 ぜ 完備 かんび 不 ふ 變量 へんりょう ,不足 ふそく 以完全 ぜん 刻 こく 畫 が 圖 ず 的 てき 全部 ぜんぶ 性質 せいしつ 。)
譜 ふ 圖 ず 論 ろん 亦 また 關 かかわ 注 ちゅう 藉圖的 てき 矩 のり 陣 じん 特徵 とくちょう 值重 じゅう 數 すう 定義 ていぎ 的 てき 參 さん 數 すう ,如科 か 蘭 らん ·德 とく 韋迪耶爾數 すう 。
兩 りょう 幅 はば 圖 ず 稱 しょう 為 ため 「共 きょう 譜 ふ 」(cospectral )或 ある 「等 とう 譜 ふ 」(isospectral ),意思 いし 是 ぜ 兩者 りょうしゃ 的 てき 鄰接矩 のり 陣 じん 等 とう 譜 ふ ,特徵 とくちょう 值不僅數值相等 とう ,連 れん 重 じゅう 數也 かずや 一 いち 樣 よう ,即 そく 組成 そせい 的 てき 多重 たじゅう 集 しゅう 相等 そうとう 。
兩個 りゃんこ 共 ども 譜 ふ 九 きゅう 面體 めんてい ,最小 さいしょう 的 てき 一 いち 對 たい 共 ども 譜 ふ 多面体 ためんたい 图
共 きょう 譜 ふ 圖 ず 不 ふ 必同 どう 構 ,但 ただし 同 どう 構圖 こうず 必然 ひつぜん 共 ども 譜 ふ 。
圖 ず
G
{\displaystyle G}
由 よし 譜 ふ 決定 けってい (determined by its spectrum ),意思 いし 是 ぜ 具有 ぐゆう 該譜的 てき 圖 ず 必與
G
{\displaystyle G}
同 どう 構。簡單 かんたん 例 れい 子 こ 包括 ほうかつ :
若 わか 一對圖具有相同的譜,但 ただし 是 ぜ 不同 ふどう 構,則 のり 稱 しょう 為 ため 「共 きょう 譜 ふ 配偶 はいぐう 」(cospectral mates )。最小 さいしょう 一對共譜配偶是
{
K
1
,
4
,
C
4
⊔
K
1
}
{\displaystyle \{K_{1,4},C_{4}\sqcup K_{1}\}}
,前者 ぜんしゃ 是 ぜ 五 ご 個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 星 ほし ,而後者 しゃ 是 ぜ 四 よん 個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 環 たまき ,與 あずか 獨 どく 一 いち 個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 不 ふ 交並 ,如考 こう 拉 ひしげ 茲和 かず 西 にし 诺戈维茨於1957年 ねん 所 しょ 述 じゅつ 。[ 1] [ 2] 最小 さいしょう 一 いち 對 たい 多面體 ためんたい 共 きょう 譜 ふ 配偶 はいぐう 是 ぜ 兩個 りゃんこ 八 はち 頂點 ちょうてん 的 てき 九 きゅう 面體 めんてい 。[ 3]
幾 いく 乎所有 しょゆう 树 皆 みな 會 かい 與 あずか 另一樹 じゅ 共 ども 譜 ふ 。換言 かんげん 之 の ,隨 ずい 頂點 ちょうてん 數 すう 增加 ぞうか ,有 ゆう 共 ども 譜 ふ 樹 じゅ 的 てき 樹 き 所 しょ 佔比率 ひりつ 趨於
1
{\displaystyle 1}
。[ 4] 一對 いっつい 正則 せいそく 圖 ず 共 きょう 譜 ふ 當 とう 且僅當 とう 其補 ほ 圖 ず 亦 また 共 きょう 譜 ふ 。[ 5] 一對 いっつい 距離 きょり 正則 せいそく 圖 ず 共 きょう 譜 ふ ,當 とう 且僅當 とう 其相交陣列 じんれつ 相等 そうとう 。
共 きょう 譜 ふ 圖 ず 亦 また 可 か 藉砂田 すなだ 方法 ほうほう 構造 こうぞう 。[ 6] 尚 なお 有 ゆう 另一類 るい 共 ども 譜 ふ 圖 ず ,來 き 自 じ 各種 かくしゅ 點線 てんせん 幾何 きか 。此種幾何 きか 中 ちゅう ,以各點 てん 為 ため 頂點 ちょうてん ,有 ゆう 直線 ちょくせん 過 か 兩 りょう 點 てん 則 そく 連 れん 邊 あたり ,可 か 得 とく 「點 てん 共 ども 線 せん 圖 ず 」(point-collinearity graph )。反 はん 之 これ ,以直線 せん 為 ため 頂點 ちょうてん ,兩 りょう 直線 ちょくせん 相 しょう 交則連 れん 邊 あたり ,可 か 得 とく 「線 せん 相 しょう 交圖」(line-intersection graph )。兩 りょう 幅 はば 圖 ず 必共譜 ふ ,但 ただし 經常 けいじょう 不同 ふどう 構。[ 7]
黎 はじむ 曼几何 なに 中 なか ,對 たい 於緊 黎 はじむ 曼流形 がた
M
{\displaystyle M}
,有 ゆう 等 とう 周 しゅう 定理 ていり 的 てき 推廣,稱 たたえ 為 ため 奇 き 格 かく 不等式 ふとうしき 。其斷言 だんげん ,
n
{\displaystyle n}
維區域 くいき
A
⊆
M
{\displaystyle A\subseteq M}
的 てき 體積 たいせき 一 いち 定時 ていじ ,邊 へん 界 かい
∂
A
{\displaystyle \partial A}
的 てき 面積 めんせき 不能 ふのう 太 ふと 小 しょう ,相 そう 比 ひ
A
{\displaystyle A}
的 てき 體積 たいせき ,比例 ひれい 常數 じょうすう 有 ゆう 某 ぼう 個 こ 下界 げかい ,與 あずか 拉 ひしげ 普 ひろし 拉 ひしげ 斯-貝 かい 爾 なんじ 特 とく 拉 ひしげ 米 まい 算 さん 子 こ 的 てき 特徵 とくちょう 值有關 せき 。此不等式 とうしき 在 ざい 圖 ず 論 ろん 的 てき 離散 りさん 情況 じょうきょう 下 か 有 ゆう 類比 るいひ ,拉 ひしげ -貝 かい 二氏算子對應的概念是拉氏矩陣。譜 ふ 圖 ず 論 ろん 的 てき 奇 き 格 かく 不等式 ふとうしき 在 ざい 算法 さんぽう 方面 ほうめん 有 ゆう 應用 おうよう ,因 いん 為 ため 藉由拉 ひしげ 氏 し 算 さん 子 こ 的 てき 第 だい 二 に 特徵 とくちょう 值,可 か 以估算 さん 圖 ず 的 てき 最小 さいしょう 割 わり 之 これ 值。
图 的 てき 奇 き 格 かく 常數 じょうすう (Cheeger constant ),或 ある 作 さく 奇 き 格 かく 數 すう (Cheeger number )、等 とう 周 しゅう 數 すう (isoperimetric number ),直觀 ちょっかん 理解 りかい 是 ぜ 用作 ようさく 衡量該圖是 ぜ 否 ひ 有 ゆう 「瓶 びん 頸」。多 た 個 こ 學科 がっか 需要 じゅよう 衡量瓶 びん 頸程度 ていど ,所 しょ 以其用途 ようと 包括 ほうかつ :建造 けんぞう 非 ひ 常連 じょうれん 通 どおり 的 てき 计算机 つくえ 网络 、洗 あらい 牌 ぱい 、低 てい 維拓撲 なぐ (尤 ゆう 其研究 けんきゅう 雙 そう 曲 きょく 3流 ながれ 形 がた 時 どき )。
對 たい 於一 いち 幅 ぶく
n
{\displaystyle n}
個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき 圖 ず
G
{\displaystyle G}
,奇 き 格 かく 常數 じょうすう
h
(
G
)
{\displaystyle h(G)}
的 てき 定義 ていぎ ,可用 かよう 符號 ふごう 寫 うつし 成 なり :
h
(
G
)
=
min
0
<
|
S
|
≤
n
2
|
∂
(
S
)
|
|
S
|
.
{\displaystyle h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}}.}
式 しき 中 ちゅう 的 てき 最小 さいしょう 值取遍 へん 一切大小不過半的非空頂點集合
S
{\displaystyle S}
,而
∂
(
S
)
{\displaystyle \partial (S)}
表示 ひょうじ
S
{\displaystyle S}
的 てき 邊 あたり 邊 べ 界 かい (edge boundary ),即 そく 恰有一 いち 端 はし 屬 ぞく
S
{\displaystyle S}
的 てき 邊 あたり 所 しょ 組成 そせい 的 てき 集 しゅう 。[ 8]
當 とう
G
{\displaystyle G}
為 ため
d
{\displaystyle d}
正則 せいそく 時 じ ,
h
(
G
)
{\displaystyle h(G)}
與 あずか 度數 どすう 及第 きゅうだい 二 に 特徵 とくちょう 值之差 さ
d
−
λ らむだ
2
{\displaystyle d-\lambda _{2}}
(又 また 稱 たたえ 「譜 ふ 隙 すき 」)有 ゆう 關 せき 。多久 たく 克 かつ [ 9] 及阿 おもね 隆 たかし 、米 べい 爾 なんじ 曼二人 ふたり [ 10] 分別 ふんべつ 獨 どく 立證 りっしょう 出 で 以下 いか 不等式 ふとうしき :[ 11]
1
2
(
d
−
λ らむだ
2
)
≤
h
(
G
)
≤
2
d
(
d
−
λ らむだ
2
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}.}
此不等式 とうしき 與 あずか 马尔可 か 夫 おっと 链 的 てき 奇 き 格 かく 界 かい 密 みつ 切 きり 相關 そうかん ,亦 また 是 これ 黎 はじむ 曼几何 なに 中 なか ,奇 き 格 かく 不等式 ふとうしき 的 てき 離散 りさん 變 へん 式 しき 。
更 さら 一般 いっぱん 情況 じょうきょう ,可 か 考慮 こうりょ 連 れん 通 どおり 圖 ず
G
{\displaystyle G}
,不 ふ 必正則 そく ,此時金 きむ 芳 かおる 蓉的 まと 書 しょ [ 12] :35 中有 ちゅうう 另一 いち 條 じょう 不等式 ふとうしき :
1
2
λ らむだ
≤
h
(
G
)
≤
2
Δ でるた
λ らむだ
,
{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\lambda }\leq {\boldsymbol {h}}(G)\leq {\sqrt {2\Delta \lambda }},}
式 しき 中 ちゅう
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
是 ぜ (未 み 歸一 きいつ 的 てき )拉 ひしげ 氏 し 算 さん 子 こ 最小 さいしょう 非 ひ 平凡 へいぼん 特徵 とくちょう 值,
Δ でるた
{\displaystyle \Delta }
是 ぜ 最大 さいだい 度 ど ,而
h
(
G
)
{\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)}
是 ぜ 經 けい 歸一 きいつ 化 か 的 てき 奇 き 格 かく 常數 じょうすう :
h
(
G
)
=
min
∅
≠
S
⊂
V
(
G
)
|
∂
(
S
)
|
min
(
v
o
l
(
S
)
,
v
o
l
(
S
¯
)
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)=\min _{\emptyset \not =S\subset V(G)}{\frac {|\partial (S)|}{\min({\mathrm {vol} }(S),{\mathrm {vol} }({\bar {S}}))}},}
其中
v
o
l
(
Y
)
{\displaystyle {\mathrm {vol} }(Y)}
表示 ひょうじ
Y
{\displaystyle Y}
中 ちゅう 各 かく 頂點 ちょうてん 的 てき 度數 どすう 和 わ 。
霍夫曼-德 とく 爾 なんじ 薩特不等式 ふとうしき [ 编辑 ]
對 たい 正則 せいそく 圖 ず 的 てき 獨立 どくりつ 集 しゅう 大小 だいしょう ,可用 かよう 特徵 とくちょう 值計算出 さんしゅつ 一 いち 個 こ 上 じょう 界 かい ,最 さい 先 さき 由 ゆかり 艾 あい 倫 りん ·霍夫曼和 かず 菲利浦 うら ·德 とく 爾 なんじ 薩特(Philippe Delsarte )證明 しょうめい 。[ 13] 不等式 ふとうしき 的 てき 敍述 じょじゅつ 如下:
設 しつらえ
G
{\displaystyle G}
是 これ
n
{\displaystyle n}
個 こ 頂點 ちょうてん 的 てき
k
{\displaystyle k}
正則 せいそく 圖 ず ,且最小 さいしょう 一 いち 個 こ 特徵 とくちょう 值為
λ らむだ
m
i
n
{\displaystyle \lambda _{\mathrm {min} }}
,則 のり
G
{\displaystyle G}
的 てき 獨立 どくりつ 數 すう
α あるふぁ
(
G
)
≤
n
1
−
k
λ らむだ
m
i
n
.
{\displaystyle \alpha (G)\leq {\frac {n}{1-{\frac {k}{\lambda _{\mathrm {min} }}}}}.}
此上界 かい 應用 おうよう 在 ざい 合 ごう 適 てき 的 てき 圖上 ずじょう ,就能以代數 すう 方式 ほうしき 證明 しょうめい 艾 もぐさ 狄胥-柯-雷 かみなり 多 た 定理 ていり ,以及有 ゆう 關 せき 有限 ゆうげん 域 いき 上 うえ 子 こ 空間 くうかん 相 あい 交族的 てき 類似 るいじ 定理 ていり 。[ 14]
對 たい 於一般不必正則的圖,考慮 こうりょ 歸一 きいつ 化 か 拉 ひしげ 氏 し 矩 のり 陣 じん 的 てき 最大 さいだい 特徵 とくちょう 值
λ らむだ
m
a
x
′
{\displaystyle \lambda '_{\mathrm {max} }}
,也能推導出 どうしゅつ 類似 るいじ 的 てき 結論 けつろん :[ 12]
α あるふぁ
(
G
)
≤
n
(
1
−
1
λ らむだ
m
a
x
′
)
Δ でるた
(
G
)
δ でるた
(
G
)
,
{\displaystyle \alpha (G)\leq n\left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\frac {\Delta (G)}{\delta (G)}},}
式 しき 中 ちゅう
Δ でるた
(
G
)
{\displaystyle \Delta (G)}
和 わ
δ でるた
(
G
)
{\displaystyle \delta (G)}
分別 ふんべつ 表示 ひょうじ
G
{\displaystyle G}
的 てき 最大 さいだい 度 ど 和 わ 最小 さいしょう 度 ど 。此為另一不等式 ふとうしき [ 12] :109 的 てき 特例 とくれい :對 たい 於任意 にんい 獨立 どくりつ 集 しゅう
X
{\displaystyle X}
,有 ゆう
v
o
l
(
X
)
≤
(
1
−
1
λ らむだ
m
a
x
′
)
v
o
l
(
V
(
G
)
)
,
{\displaystyle {\mathrm {vol} }(X)\leq \left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\mathrm {vol} }(V(G)),}
其中
v
o
l
(
Y
)
{\displaystyle {\mathrm {vol} }(Y)}
代表 だいひょう 集合 しゅうごう
Y
{\displaystyle Y}
中 ちゅう 所有 しょゆう 頂點 ちょうてん 的 てき 度數 どすう 之 の 和 わ 。
譜 ふ 圖 ず 論 ろん 在 ざい 1950年代 ねんだい 至 いたり 1960年代 ねんだい 逐漸出現 しゅつげん 。图论 有 ゆう 研究 けんきゅう 圖 ず 的 てき 結構 けっこう 與 あずか 譜 ふ 性質 せいしつ 之 の 間 あいだ 有 ゆう 何 なん 聯 れん 繫,除 じょ 此之外 がい ,量子 りょうし 化学 かがく 研究 けんきゅう 亦 また 是 ぜ 另一源 げん 頭 あたま ,但 ただし 兩個 りゃんこ 方向 ほうこう 的 てき 研究 けんきゅう 互不流通 りゅうつう ,要 よう 到 いた 很後期 き 才 ざい 合 あい 而為一 いち 。[ 15] 1980年 ねん 茨 いばら 維特科 か 維奇、杜 もり 布 ぬの 、薩克斯的專 せん 著 ちょ 《圖 ず 之 の 譜 ふ 》[ 16] 概括 がいかつ 了 りょう 當時 とうじ 本 ほん 領域 りょういき 的 てき 多數 たすう 研究 けんきゅう ,其後由 よし 1988年 ねん 《圖譜 ずふ 論 ろん 之 の 近 きん 期成 きせい 果 はて 》[ 17] 和 かず 《圖 ず 之 の 譜 ふ 》1995年 ねん 第 だい 三 さん 版 はん 再 さい 次 つぎ 更新 こうしん 。[ 15] 2000年代 ねんだい ,砂田 すなだ 利一 としかず 開 ひらき 創 そう 離散 りさん 幾何 きか 分析 ぶんせき ,並 なみ 加 か 以發展 はってん 。此領域 りょういき 處理 しょり 譜 ふ 圖 ず 論 ろん 的 てき 方式 ほうしき ,是 ぜ 利用 りよう 加 か 權 けん 圖 ず 的 てき 離散 りさん 拉 ひしげ 氏 し 算 さん 子 こ ,[ 18] 在 ざい 形狀 けいじょう 分析 ぶんせき 等 とう 領域 りょういき 有 ゆう 應用 おうよう 。近來 きんらい ,譜 ふ 圖 ず 論 ろん 應用 おうよう 廣 こう 泛,用 よう 於分析 ぶんせき 一 いち 些現實 げんじつ (如信號 ごう 處理 しょり 時 じ )可能 かのう 會 かい 遇 ぐう 到 いた 的 てき 圖 ず 。[ 19] [ 20] [ 21] [ 22]
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