在 ざい 信號 しんごう 處理 しょり 控 ひかえ 制 せい 理論 りろん 中 なか 有界 ゆうかい 輸入 ゆにゅう 有界 ゆうかい 輸出 ゆしゅつ 性 せい BIBO穩定性 せい ，是 ぜ 一 いち 種 しゅ 針 はり 對 たい 有 ゆう 輸入 ゆにゅう 信號 しんごう 線 せん 性 せい 系統 けいとう 的 てき 穩定性 せい 。BIBO是 ぜ 有界 ゆうかい 輸入 ゆにゅう 有界 ゆうかい 輸出 ゆしゅつ 的 てき 若 わか 系統 けいとう 有 ゆう 性 せい 則 のり 針 はり 對 たい 每 ごと 一 いち 個 こ 有界 ゆうかい 的 てき 輸入 ゆにゅう 系統 けいとう 的 てき 輸出 ゆしゅつ 會 かい 有界 ゆうかい 不 ふ 會 かい 發散 はっさん 到 いた 無限 むげん 大 だい
對 たい 信號 しんごう 若 わか 存在 そんざい 有限 ゆうげん 的 てき 定 てい
B
>
0
{\displaystyle B>0}
使 つかい 得 とく 信號 しんごう 的 てき 振幅 しんぷく 不 ふ 會 かい 超過 ちょうか
B
{\displaystyle B}
則 のり 號 ごう 為 ため 有界 ゆうかい 的 てき 是 ぜ 說 せつ
|
y
[
n
]
|
≤
B
∀
n
∈
Z
{\displaystyle \ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z} }
針 はり 對 たい 離散 りさん 或 ある
|
y
(
t
)
|
≤
B
∀
t
∈
R
{\displaystyle \ |y(t)|\leq B\quad \forall t\in \mathbb {R} }
針 はり 對 たい 連續 れんぞく 線 せん 性 せい 非時 ひじ 變 へん 系統 けいとう 時 じ 域 いき 分析 ぶんせき 下 か 的 てき 條件 じょうけん [ 编辑 ] 連續 れんぞく 系統 けいとう 的 てき 充 たかし 必要 ひつよう 條件 じょうけん [ 编辑 ] 針 はり 對 たい 連續 れんぞく 時間 じかん 的 てき 線 せん 性 せい 非時 ひじ 變 へん 系統 けいとう 性 せい 的 てき 條件 じょうけん 是 ぜ 脈 みゃく 應 おう 絕對 ぜったい 可 か 積分 せきぶん 是 ぜ 存在 そんざい L1 範 はん 數 すう
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|h\|_{1}<\infty }
離散 りさん 系統 けいとう 的 てき 充 たかし 條件 じょうけん [ 编辑 ] 針 はり 對 たい 離散 りさん 時間 じかん 的 てき 線 せん 性 せい 非時 ひじ 變 へん 系統 けいとう 性 せい 的 てき 條件 じょうけん 是 ぜ 脈 みゃく 應 おう 絕對 ぜったい 可 か 積分 せきぶん 是 ぜ 存在 そんざい L1 範 はん 數 すう
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }
充 たかし 條件 じょうけん 的 てき 證明 しょうめい [ 编辑 ] 假設 かせつ 離散 りさん 時間 じかん 的 てき 線 せん 性 せい 非時 ひじ 變 へん 系統 けいとう 應 おう
h
[
n
]
{\displaystyle \ h[n]}
和 わ 輸入 ゆにゅう
x
[
n
]
{\displaystyle \ x[n]}
和 わ 輸出 ゆしゅつ
y
[
n
]
{\displaystyle \ y[n]}
之 これ 間 あいだ 會 かい 有 ゆう 以下 いか 的 てき 關係 かんけい
y
[
n
]
=
h
[
n
]
∗
x
[
n
]
{\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}
其中
∗
{\displaystyle *}
為 ため 卷 まき 積 つもる 則 のり 依 よ 卷 まき 積 つもる 的 てき 定義 ていぎ
y
[
n
]
=
∑
k
=
−
∞
∞
h
[
k
]
x
[
n
−
k
]
{\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}
令 れい
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }}
為 ため
|
x
[
n
]
|
{\displaystyle \ |x[n]|}
的 てき 最大 さいだい
|
y
[
n
]
|
=
|
∑
k
=
−
∞
∞
h
[
n
−
k
]
x
[
k
]
|
{\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}
≤
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
|
x
[
k
]
|
{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}}
根據 こんきょ 三角 さんかく 不等式 ふとうしき
≤
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
‖
x
‖
∞
{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}
=
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
n
−
k
]
|
{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}
=
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}
若 わか
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
是 ぜ 絕對 ぜったい 可 か 求 もとめ 和 わ 則 のり
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
=
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }
‖
x
‖
∞
∑
k
=
−
∞
∞
|
h
[
k
]
|
=
‖
x
‖
∞
‖
h
‖
1
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}
因 いん
h
[
n
]
{\displaystyle h[n]}
是 ぜ 絕對 ぜったい 可 か 求 もとめ 和 わ
|
x
[
n
]
|
{\displaystyle \left|x[n]\right|}
有界 ゆうかい 則 のり 因 いん 為 ため
‖
x
‖
∞
‖
h
‖
1
<
∞
{\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty }
|
y
[
n
]
|
{\displaystyle \left|y[n]\right|}
有界 ゆうかい
連續 れんぞく 時間 じかん 的 てき 情 じょう 形 がた 類似 るいじ 的 てき 方式 ほうしき 證明 しょうめい
線 せん 性 せい 非時 ひじ 變 へん 系統 けいとう 頻 しき 域 いき 分析 ぶんせき 下 か 的 てき 條件 じょうけん [ 编辑 ] 對 たい 一 いち 個 こ 有理 ゆうり 的 てき 連續 れんぞく 時間 じかん 系統 けいとう 性 せい 的 てき 條件 じょうけん 是 ぜ 拉 ひしげ 普 ひろし 拉 ひしげ 轉換 てんかん 的 てき 收斂 しゅうれん 區域 くいき 包括 ほうかつ 複數 ふくすう 平面 へいめん 的 てき 虛 きょ 軸 じく 若 わか 系統 けいとう 為 ため 因果 いんが 系統 けいとう 收斂 しゅうれん 區域 くいき 為 ため 最大 さいだい 極點 きょくてん 實 み 部 ぶ 為 ため 最大 さいだい 極點 きょくてん 實 じつ 部垂 へだれ 直線 ちょくせん 的 てき 開 ひらき 集 しゅう 定義 ていぎ 收斂 しゅうれん 區域 くいき 的 てき 極點 きょくてん 實 み 部 ぶ 稱 たたえ 為 ため 收斂 しゅうれん 橫 よこ 坐 すわ 標 しるべ 因 よし 若 わか 要 よう 有 ゆう 性 せい 系統 けいとう 的 てき 所有 しょゆう 極點 きょくてん 都 と S平面 へいめん 的 てき 嚴格 げんかく 左 ひだり 半平 はんぺん 面 めん 不能 ふのう 在 ざい 虛 きょ 軸 じく 上 じょう
可 か 時 じ 域 いき 分析 ぶんせき 下 か 的 てき 性 せい 條件 じょうけん 到 いた 頻 しき 域 いき 下 か
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
|
|
e
−
j
ω おめが t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
(
1
⋅
e
)
−
j
ω おめが t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
(
e
σ しぐま +
j
ω おめが
)
−
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}}
=
∫
−
∞
∞
|
h
(
t
)
e
−
s
t
|
d
t
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}}
其中
s
=
σ しぐま +
j
ω おめが
{\displaystyle s=\sigma +j\omega }
Re
(
s
)
=
σ しぐま =
0
{\displaystyle {\mbox{Re}}(s)=\sigma =0}
因 いん 收斂 しゅうれん 區域 くいき 必須 ひっす 包括 ほうかつ 虛 きょ 軸 じく
對 たい 一 いち 個 こ 有理 ゆうり 的 てき 離散 りさん 時間 じかん 系統 けいとう 性 せい 的 てき 條件 じょうけん 是 ぜ Z轉換 てんかん 的 てき 收斂 しゅうれん 區域 くいき 包括 ほうかつ 單位 たんい 圓 えん 若 わか 系統 けいとう 為 ため 因果 いんが 系統 けいとう 收斂 しゅうれん 區域 くいき 為 ため 極點 きょくてん 絕對 ぜったい 最大 さいだい 半徑 はんけい 的 てき 圓周 えんしゅう 以外 いがい 的 てき 開 ひらき 集 しゅう 因 いん 若 わか 要 よう 有 ゆう 性 せい 系統 けいとう 的 てき 所有 しょゆう 極點 きょくてん 都 と Z平面 へいめん 的 てき 單位 たんい 圓 えん 不能 ふのう 在 ざい 單位 たんい 圓上 えんじょう
可 か 類似 るいじ 的 てき 方式 ほうしき 性 せい 準則 じゅんそく
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
|
|
e
−
j
ω おめが n
|
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
(
1
⋅
e
)
−
j
ω おめが n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
(
r
e
j
ω おめが
)
−
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}}
=
∑
n
=
−
∞
∞
|
h
[
n
]
z
−
n
|
{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}
其中
z
=
r
e
j
ω おめが
{\displaystyle z=re^{j\omega }}
r
=
|
z
|
=
1
{\displaystyle r=|z|=1}
因 いん 收斂 しゅうれん 區域 くいき 必須 ひっす 包括 ほうかつ 單位 たんい 圓 えん
Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
Proof of the necessary conditions for BIBO stability. （页面存 そん ，存 そん 互联网档案 あん ）Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577
領域 りょういき 分 ぶん 支 ささえ 系統 けいとう 特性 とくせい 數 すう 位 い 控 ひかえ 制 せい 進 すすむ 階 かい 理論 りろん 控 ひかえ 制 せい 器 き 應用 おうよう
![{\displaystyle \ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44876ba987ca7444c0cd3a33e25084d314d7d442)
![{\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161d1bac676ba1aabc6c40e3544506d80acef0d5)
![{\displaystyle \ h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510ff22bd387c23a8194c0b2cee7d630f48d2659)
![{\displaystyle \ x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ced457fbdfb2c87a5cb5375b403a1c1c8212f6)
![{\displaystyle \ y[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44518ac8f35f9734dd0907891bb38262ef2d052)
![{\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9d890ceb9b201729dcc4bf5844face94b58215)
![{\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a582c4fdbf53782af354d76509cd8a2dd679cd)
![{\displaystyle \ |x[n]|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d03157f1295930f4074ed4f8bca5a6992c1d97)
![{\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5759164337cce80f7232d8bdb129d48d9f9bec)
![{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ed90b0c4de65376f6eb3a812bd2d000a95f7f2)
![{\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414e6e5f006c4e99d1069c8a92386dc63471f2c3)
![{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ddf05b59424b195df02e031c7b1b6d85eba0b4)
![{\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d49d06ec3aaf8a951b669b5a1dc9ad33a793410)
![{\displaystyle h[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89981bbbb05ffd469eeadb828c18359965985e46)
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f61a9de3747a6d7db4a14ff85ab624a7807d56)
![{\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4814b58f6e710292272c780891426f31894517)
![{\displaystyle \left|x[n]\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a14fb4079caabff0e9005ab6218e321fecb4d30)
![{\displaystyle \left|y[n]\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669347cb1262a4ca0c5bcddec292b20e93f6591f)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3beac28a0c80a00962fa07aa6d35bf2e8d93944)
^{-j\omega n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80181de05a13e0bc0ae329ecf551d1e743240d69)
^{-n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d301c384ee3171c46d53ae1938f58432fe85d060)
![{\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a359ea08959c3975802edc55a493d50ba536852)
