Πεδίο ορισμού συνάρτησης

Μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση f από τたうοおみくろん X σしぐまτたうοおみくろん Y. Τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー σημείων πぱいοおみくろんυうぷしろん βρίσκονται σしぐまτたうοおみくろん κόκκινο οβάλ X είναι τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της f.

Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = √x, της οποίας τたうοおみくろん πεδίο ορισμού αποτελείται από όλους τους μみゅーηいーた αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, τたうοおみくろん πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー εισόδων πぱいοおみくろんυうぷしろん γίνονται δεκτοί από αυτή τたうηいーた συνάρτηση. Μερικές φορές συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $\operatorname {dom} (f)$ ή $\operatorname {dom} f$ ή $A_{f}$, όπου f είναι ηいーた συνάρτηση. Μみゅーεいぷしろん απλά λόγια, τたうοおみくろん πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης μπορεί γενικά νにゅーαあるふぁ θεωρηθεί ως τたうοおみくろん "τたうιいおた μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι τたうοおみくろん x".

Πぱいιいおたοおみくろん συγκεκριμένα, αあるふぁνにゅー δίνεται μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση $f\colon X\to Y$, τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της f είναι τたうοおみくろん X. Σしぐまτたうηいーた σύγχρονη μαθηματική γλώσσα, τたうοおみくろん πεδίο ορισμού είναι ένα μέρος τたうοおみくろんυうぷしろん ορισμού μιας συνάρτησης παρά μみゅーιいおたαあるふぁ ιδιότητά της.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー ειδική περίπτωση πぱいοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろん X κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん Y είναι υποσύνολα τたうοおみくろんυうぷしろん $\mathbb {R}$, ηいーた συνάρτηση f μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί σしぐまτたうοおみくろん καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση αυτή, τたうοおみくろん πεδίο ορισμού ορίζεται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー άξονα x της γραφικής παράστασης.

Γがんまιいおたαあるふぁ μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση $f\colon X\to Y$, τたうοおみくろん σύνολο Y ονομάζεται πεδίο τιμών κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん σύνολο σしぐまτたうοおみくろん οποίο ορίζονται οおみくろんιいおた τιμές τたうοおみくろんυうぷしろん Y από τたうηいーた συνάρτηση f (πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι ένα υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん Y ) ονομάζεται σύνολο τιμών.

Οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί νにゅーαあるふぁ περιοριστεί σしぐまεいぷしろん ένα υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん πεδίου ορισμού της. Οおみくろん περιορισμός της συνάρτησης $f\colon X\to Y$ σしぐまτたうοおみくろん $A$, όπου $A\subseteq X$, γράφεται ως $\left.f\right|_{A}\colon A\to Y$.

Μερική συνάρτηση

Εάν μみゅーιいおたαあるふぁ πραγματική συνάρτηση f δίνεται από έναν τύπο, μπορεί νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー ορίζεται γがんまιいおたαあるふぁ ορισμένες τιμές της μεταβλητής x. Σしぐまεいぷしろん αυτήν τたうηいーたνにゅー περίπτωση, ηいーた συνάρτηση αυτή ονομάζεται μερική.

Παραδείγματα

• Ηいーた συνάρτηση $f$ πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται από τたうοおみくろんνにゅー τύπο $f(x)={\frac {1}{x}}$ δでるたεいぷしろんνにゅー έχει τιμή γがんまιいおたαあるふぁ x=0. Επομένως, τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της $f$ είναι τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών εκτός από τたうοおみくろん 0, τたうοおみくろん οποίο συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ ή $\{x\in \mathbb {R} :x\neq 0\}$.
• Ηいーた συνάρτηση $f$ πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζεται από τたうοおみくろんνにゅー τύπο $f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}$ έχει ως πεδίο ορισμού όλο τたうοおみくろん σύνολο $\mathbb {R}$ τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών.
• Ηいーた συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας $f(x)={\sqrt {x}}$ έχει ως πεδίο ορισμού τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー μみゅーηいーた αρνητικών πραγματικών αριθμών, πぱいοおみくろんυうぷしろん συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $\mathbb {R} _{\geq 0}$, δηλαδή τたうοおみくろん διάστημα $[0,\infty )$, ή $\{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}$.
• Ηいーた συνάρτηση της εφαπτομένης, πぱいοおみくろんυうぷしろん συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん $\tan$, έχει ως πεδίο ορισμού τたうοおみくろん σύνολο όλων τたうωおめがνにゅー πραγματικών αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん δでるたεいぷしろんνにゅー είναι της μορφής ${\tfrac {\pi }{2}}+k\pi$ γがんまιいおたαあるふぁ κάποιο ακέραιο $k$, τたうοおみくろん οποίο μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφτεί ως $\mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi :k\in \mathbb {Z} \}$.

Άλλες χρήσεις

Οおみくろん όρος πεδίο ορισμού χρησιμοποιείται επίσης συνήθως μみゅーεいぷしろん διαφορετική έννοια σしぐまτたうηいーた μαθηματική ανάλυση: τたうοおみくろん πεδίο ορισμού είναι ένα μみゅーηいーた κενό, απλά συνεκτικό κかっぱαあるふぁιいおた ανοικτό σύνολο σしぐまεいぷしろん έναν τοπολογικό χώρο.

Μερικές φορές ένα τέτοιο πεδίο ορισμού χρησιμοποιείται ως τたうοおみくろん πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた συναρτήσεις μπορούν νにゅーαあるふぁ οριστούν κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん πぱいιいおたοおみくろん γενικά σύνολα. Οおみくろんιいおた δύο έννοιες μερικές φορές συγχέονται όπως, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, σしぐまτたうηいーた μελέτη τたうωおめがνにゅー μερικών διαφορικών εξισώσεων: στην περίπτωση αυτή, τたうοおみくろん πεδίο ορισμού είναι ένα ανοιχτό, απλά συνεκτικό υποσύνολο τたうοおみくろんυうぷしろん $\mathbb {R} ^{n}$ όπου τίθεται ένα πρόβλημα, καθιστώντας τたうοおみくろん σημαντικό τόσο σしぐまτたうηいーたνにゅー ανάλυση τύπων όσο κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまτたうηいーたνにゅー αναζήτηση άγνωστων συναρτήσεων.

Δείτε επίσης

• Ένα προς ένα
• Επί
• Ένα προς ένα κかっぱαあるふぁιいおた επί
• Αφελής συνολοθεωρία
• Φορέας (μαθηματικά)

Βιβλιογραφικές αναφορές

• Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348. 
• Eccles, Peter J. (11 Δεκεμβρίου 1997). An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets and Functions (σしぐまτたうαあるふぁ Αγγλικά). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59718-0. 
• Mac Lane, Saunders (25 Σεπτεμβρίου 1998). Categories for the Working Mathematician (σしぐまτたうαあるふぁ Αγγλικά). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98403-2. 
• Scott, Dana S.· Jech, Thomas J. (31 Δεκεμβρίου 1971). Axiomatic Set Theory, Part 1 (σしぐまτたうαあるふぁ Αγγλικά). American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0245-8. 
• Sharma, A. K. (2010). Introduction To Set Theory (σしぐまτたうαあるふぁ Αγγλικά). Discovery Publishing House. ISBN 978-81-7141-877-0. 
• Stewart, Ian· Tall, David (1977). The Foundations of Mathematics (σしぐまτたうαあるふぁ Αγγλικά). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853165-4. 
• http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547/2732/Mathimatika_Teuxos-B_G-Lykeiou-ThSp_html-apli/