トゥエ・ジーゲル・ロスの定理ていり

トゥエ・ジーゲル・ロスの定理ていり（英えい: Thue–Siegel–Roth theorem）、あるいは単たんにロスの定理ていり (英えい: Roth's theorem) は、代数だいすう的てき数すうに対たいするディオファントス近似きんじにおける基本きほん的てきな定理ていりである。定量ていりょう的てきな定理ていりであり、与あたえられた代数だいすう的てき数すう $α あるふぁ$ が「非常ひじょうに良よい」有理数ゆうりすう近似きんじをそれほど多おおくは持もたないかもしれないというものである。半はん世紀せいき以上いじょうに渡わたって、この「非常ひじょうに良よい」の意味いみは多おおくの数学すうがく者しゃによって改良かいりょうされていった。はじめは1844年ねんにジョゼフ・リウヴィルによって、そして Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman J. Dyson (1947), Klaus Friedrich Roth (1955) らの仕事しごとが続つづいた。

定理ていりの主張しゅちょう

トゥエ・ジーゲル・ロスの定理ていりの主張しゅちょうは、任意にんいの代数だいすう的てき無理むり数すう $α あるふぁ$ の無理むり数すう度どは $2$ に等ひとしいというものである。すなわち、与あたえられた $ε いぷしろん > 0$ に対たいし、不等式ふとうしき

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}

を満みたす互たがいに素もとな整数せいすう $p, q$ の組くみは有限ゆうげん個こしか存在そんざいしない。このことはジーゲルにより予想よそうされていた。したがって、任意にんいの代数だいすう的てき無理むり数すう $α あるふぁ$ は、

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C(\alpha ,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}

を満みたす。ここで、 $C (α あるふぁ, ε いぷしろん)$ は $ε いぷしろん > 0$ と $α あるふぁ$ のみに依存いぞんする正数せいすうである。

議論ぎろん

この種たねの議論ぎろんにおける最初さいしょの結果けっかは、代数だいすう的てき数すうの近似きんじに関かんするリウヴィルの定理ていりで、次数じすう $d \geq 2$ の代数だいすう的てき数すう $α あるふぁ$ に対たいするディオファントス近似きんじの指数しすうを $d$ と与あたえる。超越ちょうえつ数すうの存在そんざいを示しめすにはこの近似きんじで充分じゅうぶんであった（リウヴィル数すう参照さんしょう）。トゥエは $d$ より小ちいさな指数しすうをディオファントス方程式ほうていしきの解かいに対たいして適用てきようでき得えることを見出みいだし、1909年ねんにトゥエの定理ていりから、指数しすうは $d /2 + 1 + ε いぷしろん$ であることを示しめした。その後ご、ジーゲルの定理ていりによって $2{\sqrt {d}}$ 、1947年ねんのダイソンの定理ていりによって ${\sqrt {2d}}$ と指数しすうの値ねが改良かいりょうされた。

指数しすうが $2$ となるロスの定理ていりは、 $ε いぷしろん = 0$ とすると定理ていりが成立せいりつしないという意味いみで最良さいりょうである。ディリクレのディオファントス近似きんじ定理ていりにより、任意にんいの無理むり数すうに対たいし無限むげん個この解かいが存在そんざいするからである。しかし、サージ・ラングによるより強つよい予想よそう：

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}\log(q)^{1+\epsilon }}}

は整数せいすう解かい $p, q$ を有限ゆうげん個こしか持もたないという予想よそうがある。 $α あるふぁ$ が代数だいすう的てきな実数じっすうに限かぎらず実数じっすう全体ぜんたいで動うごくとすると、ロスの定理ていりとラングの予想よそうの双方そうほうは、ほとんど全すべての $α あるふぁ$ に対たいして成立せいりつする。ロスの定理ていりもラングの予想よそうも、ある可算かさん集合しゅうごうは測度そくど $0$ のある集合しゅうごうを見逃みのがしているということを主張しゅちょうする^[1]。

ロスの定理ていりは、有効ゆうこうな結果けっか（計算けいさん可能かのう）ではない。すなわち、与あたえられた $α あるふぁ$ に対たいする $p, q$ の取とり得える値ねの上限じょうげんが示しめされていないということである^[2]。 Davenport & Roth (1955) は、ロスの方法ほうほうが、「ギャップ」原理げんりを用もちいて^[2]、不等式ふとうしきを満みたす $p / q$ の数かずに対たいする有効ゆうこうな（計算けいさん可能かのうな）制限せいげんを与あたえることに利用りようできる可能かのう性せいのあることを示しめした。 $C (ε いぷしろん)$ を実際じっさいの値ねを示しめせないという事実じじつは、方程式ほうていしきを解といたり解かいの大おおきさの制限せいげんを定さだめたりすることは困難こんなんであることを意味いみする。

証明しょうめいの方法ほうほう

証明しょうめいの方法ほうほうは、多た変数へんすうの auxiliary function を構成こうせいすることで、良よい近似きんじが多数たすう存在そんざいすることの矛盾むじゅんを導みちびくという方法ほうほうだった。この種たねの手法しゅほうの性質せいしつから、ロスの定理ていりは数かず論ろんにおいて有効ゆうこうではない。この種たねの定理ていりは主しゅとしてディオファントス方程式ほうていしきの解かいの個数こすうを制限せいげんすることに利用りようされるため、ロスの定理ていりが有効ゆうこうな結果けっかではないということは、特とくに重要じゅうようである。

一般いっぱん化か

高こう次元じげんのバージョンもあり、基本きほん的てき結果けっかとしてはシュミットの部分ぶぶん空間くうかん定理ていり（英語えいご版ばん）がある。また数すう多おおくの拡張かくちょうがあり、例たとえば、ロスの方法ほうほうに基もとづいて p 進すすむ計量けいりょうを使つかうものがある^[3]。

LeVeque は、固定こていされた代数だいすう体たいから近似きんじ値ちを定さだめる場合ばあいに、同様どうような制限せいげんが成なり立たつことを示しめすことで、ロスの定理ていりを一般いっぱん化かした。代数だいすう的てき数すうの $ξ くしー$ の高たかさ函数かんすう $H (ξ くしー)$ を、最小さいしょう多項式たこうしきの係数けいすうの絶対ぜったい値ちが最大さいだいとなるように定義ていぎする。 $κ かっぱ > 2$ を固定こていすると、与あたえられた代数だいすう的てき数すう $α あるふぁ$ と代数だいすう体たい $K$ に対たいし、方程式ほうていしき

|\alpha -\xi |<{\frac {1}{H(\xi )^{\kappa }}}

は、 $K$ の元もと $ξ くしー$ の中なかには有限ゆうげん個こしか解かいを持もたない^[4]。

脚注きゃくちゅう

^ ロスの結果けっかは、マーニン・マンフォードの予想よそうへも密接みっせつに関係かんけいしている。
^ ^a ^b Hindry & Silverman 2000, pp. 344–345.
^ Ridout 1958, pp. 40–48.
^ LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. pp. II:148–152. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001

参考さんこう文献ぶんけん

Davenport, H.; Roth, Klaus Friedrich (1955), “Rational approximations to algebraic numbers”, Mathematika 2: 160–167, doi:10.1112/S0025579300000814, ISSN 0025-5793, MR0077577, Zbl 0066.29302
Dyson, Freeman J. (1947), “The approximation to algebraic numbers by rationals”, Acta Mathematica 79: 225–240, doi:10.1007/BF02404697, ISSN 0001-5962, MR0023854, Zbl 0030.02101
Roth, Klaus Friedrich (1955), “Rational approximations to algebraic numbers”, Mathematika 2: 1–20, 168, doi:10.1112/S0025579300000644, ISSN 0025-5793, MR0072182, Zbl 0064.28501
Wolfgang M. Schmidt (1980, 1996). “Diophantine approximation”. Lecture Notes in Mathematics (Springer) 785. doi:10.1007/978-3-540-38645-2.
Wolfgang M. Schmidt (1991). “Diophantine approximations and Diophantine equations”. Lecture Notes in Mathematics (Springer Verlag) 1467. doi:10.1007/BFb0098246.
Siegel, Carl Ludwig (1921), “Approximation algebraischer Zahlen”, Mathematische Zeitschrift 10 (3): 173–213, doi:10.1007/BF01211608, ISSN 0025-5874
Thue, A. (1909), “Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 135: 284–305, ISSN 0075-4102
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. pp. 344-345. ISBN 0-387-98981-1
Ridout, D. (1958). “The $p$ -adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem”. Mathematika 5: 40–48. doi:10.1112/s0025579300001339. Zbl 0085.03501.