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半はん単純たんじゅん環たまき

出典しゅってん: フリー百科ひゃっか事典じてん『ウィキペディア（Wikipedia）』

数学すうがく、特とくに代数だいすう学がくにおいて、環たまき A が A-加か群ぐんとして半はん単純たんじゅん加か群ぐん、すなわち、非ひ自明じめいな部分ぶぶん加か群ぐんをもたない A-加か群ぐんの直和なおかずであるとき、A を半はん単純たんじゅん環たまきという。これは、同型どうけいの違ちがいを除のぞいて、（可か換かわとは限かぎらない）体からだ上じょうの全ぜん行列ぎょうれつ環たまきの有限ゆうげん個この直積ちょくせきである。

この概念がいねんは数学すうがくの多おおくの分野ぶんやにおいて現あらわれる。例たとえば、線型せんけい代数だいすう学がく、数かず論ろん、有限ゆうげん群ぐんの表現ひょうげん論ろん（英語えいご版ばん）、リー群ぐん論ろん、リー環たまき論ろんが挙あげられる。これは例たとえば、フロベニウスの相互そうご法則ほうそく（フランス語ふらんすご版ばん）の証明しょうめいに役立やくだつ。

半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきの理論りろんはシューアの補題ほだいとアルティン・ウェダーバーンの定理ていりを基盤きばんとしている。

一般いっぱん論ろん[編集へんしゅう]

単純たんじゅん加か群ぐんと半はん単純たんじゅん加か群ぐん[編集へんしゅう]

詳細しょうさいな記事きじ：単純たんじゅん加か群ぐん、半はん単純たんじゅん加か群ぐん

A を環たまき、M を A-加か群ぐんとする。

  • M が単純たんじゅん加か群ぐんであるとは、M は {0} でなく、その部分ぶぶん加か群ぐんが {0} と M に限かぎるときにいう。例たとえば、体からだ上じょうの加か群ぐんすなわちベクトル空間くうかんが単純たんじゅんであるとは次元じげんが1ということである。
  • M が 半はん単純たんじゅん加か群ぐん であるとは、M が単純たんじゅん A-加か群ぐんの（有限ゆうげんとは限かぎらない）族ぞくの直和なおかずに同型どうけいであるときにいう。これは、すべての部分ぶぶん加か群ぐん N に対たいしてある部分ぶぶん加か群ぐん P が存在そんざいして M は N と P の直和なおかずになると言いっても同おなじである。例たとえば、体からだ上じょうの任意にんいのベクトル空間くうかんは半はん単純たんじゅんである。

半はん単純たんじゅん環たまき[編集へんしゅう]

定義ていぎ[編集へんしゅう]

環たまき A が半はん単純たんじゅんであるとは、A を左ひだり A-加か群ぐんと見みて A が半はん単純たんじゅんであることをいう。驚おどろくべきことに、"左ひだり半はん単純たんじゅん環かん"は"右みぎ半はん単純たんじゅん環かん"であり、逆ぎゃくもまた然しかり。可か換かわ体からだ上じょうの（単位たんい元もとをもつ結合けつごう的てき）多元たげん環たまきが半はん単純たんじゅんであるとは、それが環たまきとして半はん単純たんじゅんであるときにいう。

A を左ひだり A-加か群ぐんと見みたときにその部分ぶぶん加か群ぐんは A の左ひだりイデアルであるから、以下いかは同値どうちである。

  • A は半はん単純たんじゅん環たまきである。
  • A は、左ひだり A-加か群ぐんと見みて、左ひだり極大きょくだいイデアル I による剰余じょうよ加か群ぐん A/I の（有限ゆうげん個ことは限かぎらない）族ぞくの直和なおかずに同型どうけいである。
  • A の任意にんいの左ひだりイデアル I に対たいして左ひだりイデアル J が存在そんざいし、A は I と J の直和なおかずになる。つまり、A の任意にんいの元もと x に対たいし、I の元もと y と J の元もと z の組くみが一意的いちいてきに存在そんざいし、x = y + z と書かける。

例れい[編集へんしゅう]

半はん単純たんじゅん環たまきの例れいをいくつか見みよう。

  • 零れい環たまきは半はん単純たんじゅんである。
  • すべての（可か換かわとは限かぎらない）体からだは半はん単純たんじゅん環たまきである。
  • 単純たんじゅん環たまきが半はん単純たんじゅん環たまきであることとアルティン環たまきであることは同値どうちである[1], [2]。例たとえば、D が体からだで E が D 上うえのベクトル空間くうかんで次元じげん n が0でなく有限ゆうげんならば、環たまき EndD E と Mn(D) は単純たんじゅんアルティン環たまきなので半はん単純たんじゅん環たまきである。
  • 半はん単純たんじゅん環たまきの反転はんてん環たまきは半はん単純たんじゅんである。
  • 有限ゆうげん個この半はん単純たんじゅん環たまき（特とくに体からだ）の直積ちょくせきは半はん単純たんじゅんである。例たとえば V が K-ベクトル空間くうかん で φふぁい が m 個この固有値こゆうちによって対たい角かく化か可能かのうな V の 自己じこ準じゅん同型どうけいであれば、φふぁい で生成せいせいされた K-多元たげん環たまきは Km に同型どうけいであるので、半はん単純たんじゅん環たまきである。
  • 半はん単純たんじゅん環たまきの両側りょうがわイデアルによる剰余じょうよ環たまきは半はん単純たんじゅんである。
  • A を半はん単純たんじゅん環たまき、M を有限ゆうげん型がた A-加か群ぐんとする。このとき A-加か群ぐん M の自己じこ準じゅん同型どうけい環たまきは半はん単純たんじゅん環たまきである。
  • n を正せいの整数せいすうとする。剰余じょうよ環たまき Z/(n) が半はん単純たんじゅんであるのは n が平方へいほう因子いんしをもたないとき、かつそのときに限かぎる[3]。
  • f を体からだ K 上うえの定数ていすうでない一変いっぺん数すう多項式たこうしきとする。剰余じょうよ環たまき K[X]/(f) が半はん単純たんじゅんであるのは f が平方へいほう因子いんしをもたない（互たがいに素もとな既すんで約やく多項式たこうしきの積せきである）とき、かつそのときに限かぎる[4]。

性質せいしつと特徴とくちょうづけ[編集へんしゅう]

半はん単純たんじゅん環たまきはホモロジー代数だいすう的てきに著いちじるしい特徴とくちょうを持もつ。

定理ていり。A を環たまきとする。以下いかは同値どうち。

もちろん、「左ひだり」を「右みぎ」に変かえたものも同値どうちである[6]。

関連かんれんした概念がいねん[編集へんしゅう]

半はん単純たんじゅん性せいの別べつの概念がいねん[編集へんしゅう]

環たまきの半はん単純たんじゅん性せいの概念がいねんは著者ちょしゃによって大おおきく異ことなり、すべてが同値どうちではないが、環たまきがアルティン的てき（かつ単位たんい的てき）と仮定かていすれば一般いっぱん的てきなものは同値どうちになる。ある著者ちょしゃは半はん原始げんし環たまき[5]のことを半はん単純たんじゅん環たまきという。またある著者ちょしゃは単純たんじゅん環たまきの部分ぶぶん直積ちょくせきのことを半はん単純たんじゅん環たまきという。また、「単位たんい元もとをもたない」環たまきに対たいする半はん単純たんじゅん性せいの概念がいねんもある。

分離ぶんり的てき多元たげん環たまき[編集へんしゅう]

K を可か換かわ体からだとし A を K 上うえ有限ゆうげん次元じげんの半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきとする。K が完かん全体ぜんたい（例たとえば標しるべ数すう0の体からだ、代数だいすう的てき閉体、有限ゆうげん体たい）であれば、任意にんいの部分ぶぶん体たい L に対たいし、A の K から L への係数けいすう拡大かくだいによって得えられる L-多元たげん環たまき は半はん単純たんじゅんである。一方いっぽう、一般いっぱんの体からだ K に対たいしてはこの限かぎりではないが、そうであるときは、A は分離ぶんり的てきであるという。それゆえ、K が完全かんぜん体たいならば A は分離ぶんり的てきである。

半はん単純たんじゅん環たまきの構造こうぞう[編集へんしゅう]

半はん単純たんじゅん環たまきの分解ぶんかい[編集へんしゅう]

A を半はん単純たんじゅん環たまきとする。

すると A の極小きょくしょう両側りょうがわイデアル（A の両側りょうがわイデアルの集合しゅうごうの包含ほうがん関係かんけいによる極小きょくしょう元もと）の集合しゅうごうは有限ゆうげんである。I1, ..., Ip をその両側りょうがわイデアルとする。各かく Ik は誘導ゆうどうされた積せきについて単純たんじゅんアルティン的てき（ゆえ単位たんい的てき）環たまきである。Ik から A へのカノニカルな単たん射しゃを拡張かくちょうした、I1 × ... × Ip から A への一意的いちいてきな群ぐん準じゅん同型どうけいが存在そんざいし、これは環かん同型どうけいである。

したがって環たまき A は単純たんじゅんアルティン環たまきの有限ゆうげん個この直積ちょくせきに同型どうけいであり、この表示ひょうじは因子いんしの積せきの順序じゅんじょの違ちがいを除のぞいて一意的いちいてきである。この因子いんしは極小きょくしょう両側りょうがわイデアルであり、A の単純たんじゅん成分せいぶん（仏ふつ: composant simple）と呼よばれる。

環たまきが半はん単純たんじゅんであるためには、単純たんじゅんアルティン環たまきの有限ゆうげん個この直積ちょくせき環たまきと同型どうけいであることが必要ひつよう十分じゅうぶんである。

半はん単純たんじゅん環たまきの中心ちゅうしんは各かく単純たんじゅん成分せいぶんの中心ちゅうしんの直積ちょくせき環たまきと同型どうけいであり、可か換かわ体からだの有限ゆうげん個この直積ちょくせき環たまきと同型どうけいである。実じつは、可か換かわな半はん単純たんじゅん環たまきは可か換かわ体からだの有限ゆうげん個この直積ちょくせきと同型どうけいな環たまきに他たならない。

アルティン・ウェダーバーンの定理ていり[編集へんしゅう]

任意にんいの半はん単純たんじゅん環たまきは有限ゆうげん個この単純たんじゅんアルティン環たまきの直積ちょくせきとして（順序じゅんじょの違ちがいを除のぞいて）一意的いちいてきに書かけるので、半はん単純たんじゅん環たまきの分類ぶんるいは単純たんじゅんアルティン環たまきの分類ぶんるいに帰着きちゃくする。単純たんじゅんアルティン環たまきは同型どうけいの違ちがいを除のぞいてちょうど Mn(D)（n 次つぎ全ぜん行列ぎょうれつ環たまき）の形かたちをしている。ただし n > 0 で D は体からだ。よって次つぎのように言いえる。

アルティン・ウェダーバーンの定理ていり。A を環たまきとする。以下いかは同値どうちである。

  • A は半はん単純たんじゅんである。
  • A は Mn1(D1) × ... × Mnp(Dp) と同型どうけいである。ただし n1, ..., np > 0 は整数せいすうで D1, ..., Dp は（可か換かわとは限かぎらない）体からだである。
  • A は EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep) と同型どうけいである。ただし D1, ..., Dp は体からだで E1, ..., Ep はそれぞれ D1, ..., Dp 上うえの0でない有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかんである。

有限ゆうげん次元じげん半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきの場合ばあい[編集へんしゅう]

この節ふしにおいて、K は可か換かわ体からだを表あらわす。

A を有限ゆうげん次元じげんの半はん単純たんじゅん K-多元たげん環たまきとする。このとき A の各かく単純たんじゅん成分せいぶん A1, ..., Ap （上記じょうき参照さんしょう）は有限ゆうげん次元じげん単純たんじゅん K-多元たげん環たまきであり、A は K-多元たげん環たまきとして A1 × ... × Ap と同型どうけいである。したがって、半はん単純たんじゅん K-多元たげん環たまきとは、同型どうけいの違ちがいを除のぞいて、有限ゆうげん次元じげん単純たんじゅん K-多元たげん環たまきの有限ゆうげん個この直積ちょくせきに他たならない。

A が Mn1(D1) × ... × Mnp(Dp) の形かたちであるかまたは A = EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep) の形かたちであれば、K は Di の中心ちゅうしんの部分ぶぶん体たいであり、Di の K 上うえの次元じげんは有限ゆうげんである。逆ぎゃくに、すべての有限ゆうげん次元じげん半はん単純たんじゅん K-多元たげん環たまきはこの形かたちである。

K が代数だいすう的てき閉体であれば、A は、同型どうけいの違ちがいを除のぞいて、Mn1(K) × ... × Mnp(K) の形かたちである。さらに、A の中心ちゅうしんは Kp と同型どうけいである。

半はん単純たんじゅん環たまき上じょうの単純たんじゅん加か群ぐん[編集へんしゅう]

A = A1 × ... × Ap を半はん単純たんじゅん環たまきの単純たんじゅんアルティン環たまきの直積ちょくせきへの分解ぶんかい（これは因子いんしの順序じゅんじょの違ちがいを除のぞいて一意いちい）とする。このとき、単純たんじゅん A-加か群ぐんの同型どうけい類るいが p 個こ存在そんざいする。M が単純たんじゅん A-加か群ぐんであれば、唯一ゆいいつの 1 ≤ k ≤ p が存在そんざいして AkM ≠ {0} が成なり立たち、このとき Ak-加か群ぐんとして M は単純たんじゅんである。

Di を体からだ、Ei を Di 上うえ0でない有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかんとし、A = EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep) とする（これは同型どうけいの違ちがいを除のぞいて一般いっぱん性せいを失うしなわない）。このとき各かく Ei は ((f1, ..., fp), xi) ↦ fi(xi) によって A-加か群ぐんであり、Ei は同型どうけいの違ちがいを除のぞいて唯一ゆいいつの単純たんじゅん A-加か群ぐんである。

マシュケの定理ていり[編集へんしゅう]

詳細しょうさいな記事きじ：dictionnaire entre les représentations d'un groupe et les K[G]-modules

マシュケの定理ていりは有限ゆうげん群ぐんの表現ひょうげん論ろん（英語えいご版ばん）における定理ていりだが、有限ゆうげん群ぐんの群ぐん環たまきの半はん単純たんじゅん性せいの言葉ことばで解釈かいしゃくできる。

マシュケの定理ていり。有限ゆうげん群ぐん G の可か換かわ体からだ K 上うえの群ぐん環たまき K[G] は、K の標しるべ数すうが G の位い数すうを割わらないならば、半はん単純たんじゅん環たまきである。

K[G]-単純たんじゅん加か群ぐんは本質ほんしつ的てきに G の既すんで約やく表現ひょうげんであり、これは（有限ゆうげん群ぐん G について）正則せいそく表現ひょうげんの部分ぶぶん表現ひょうげんと同値どうちなので、同型どうけいの違ちがいを除のぞいて有限ゆうげん個こしかなく、それらはすべて有限ゆうげん次元じげんである。

歴史れきし[編集へんしゅう]

起源きげん[編集へんしゅう]

Camille Jordan

多元たげん環たまきの概念がいねんの研究けんきゅうの歴史れきしはもともと線型せんけい代数だいすう学がくと群論ぐんろんの関係かんけいのそれと関係かんけいが深ふかい。ジェームス・シルベスター (James Sylvester)[7] と アーサー・ケイリー (Arthur Cayley) は1850年ねんに行列ぎょうれつの概念がいねんを発展はってんさせた。この概念がいねんは多おおくの結果けっかをもたらし、そのうちの1つは概念がいねんの起源きげんである。これは群ぐん、特とくに、ガロワ群ぐんと、新あたらしい方向ほうこうである行列ぎょうれつ群ぐんの研究けんきゅうを具体ぐたい化かすることができる。はじめは有限ゆうげんの場合ばあいだけが研究けんきゅうされていたが、明あきらかに新あたらしい構造こうぞうが現あらわれ、それは今いまでは群ぐん同型どうけいによって生成せいせいされた自己じこ準じゅん同型どうけいの多元たげん環たまきと考かんがえられている。

カミーユ・ジョルダン (Camille Jordan) は、ケイリーとともに時代じだいの大だい専門せんもん家かであったが、それを集中しゅうちゅう的てきに利用りようした。1869年ねん、ジョルダン・ヘルダーの定理ていりの名前なまえで知しられる有限ゆうげん群ぐんの分解ぶんかい列れつの存在そんざいが証明しょうめいされた[8]。そのような列れつの一意いちい性せいは20年ねん後ごオットー・ヘルダー (Otto Hölder) によって証明しょうめいされる。この定理ていりを教おしえる可能かのう性せいがある講義こうぎは 2 つある。有限ゆうげん群ぐんの講義こうぎと加か群ぐんの講義こうぎである。後者こうしゃは本質ほんしつ的てきな構造こうぞうの性質せいしつに対応たいおうする。それは数学すうがくの一いち分野ぶんや可か換かわ環たまき論ろんになった興味きょうみの起源きげんの 1 つである。ガロワ群ぐんの解析かいせきは線型せんけい代数だいすう学がくにおいても観点かんてんを提供ていきょうする。それはジョルダンにこの代数だいすうを通とおして有限ゆうげん次元じげんにおいて自己じこ準じゅん同型どうけいを研究けんきゅうすることをもたらし、その構造こうぞうの深ふかく最終さいしゅう的てきな理解りかいができた。この結果けっかは総合そうごうの本ほんにおいて1870年ねんに出版しゅっぱんされた[9]。それはジョルダン標準ひょうじゅん形がたの名前なまえで知しられており、有限ゆうげん素もと体たい、すなわち素数そすうを法ほうとした整数せいすうの体からだ上じょう適用てきようする。

ジョルダンの仕事しごとは大おおきな影響えいきょうを与あたえ、その総そう合本がっぽんは群ぐん、ガロワ、そしれ線型せんけい代数だいすうの理論りろんの参考さんこう書しょになった。それは1 つには線型せんけい群ぐんを通とおした群ぐんの解析かいせきは豊ゆたかにする段階だんかいであるということを、また 1 つには代数だいすうの構造こうぞうは同時どうじに加か群ぐんと線型せんけい代数だいすうの言葉ことばにおいて教育きょういくにおいて豊ゆたかであることを、証明しょうめいする。

群論ぐんろん[編集へんしゅう]

群ぐんの理解りかいの追求ついきゅうは数学すうがくの主要しゅような主題しゅだいである。その適切てきせつな興味きょうみで、この構造こうぞうの理解りかいはたくさんの主題しゅだいの鍵かぎである。ガロワ理論りろん、代数だいすう方程式ほうていしきの問題もんだいの心臓しんぞうの位置いち、とその結果けっかはたくさんである、体からだの構造こうぞうの解析かいせきはこの時代じだいガロワの理論りろんとたくさんの環たまきの理解りかいと同一どういつ視しされる、算術さんじゅつの利用りようはこの理論りろんに頼たよる。幾何きか学がくも決けっして例外れいがいではない。1870年ねん、2 人にんの数学すうがく者しゃフェリックス・クライン (Felix Klein) と ソフス・リー (Sophus Lie) はパリにジョルダンを訪たずねた。彼かれらは特とくに対称たいしょう群ぐんの助たすけを借かりて幾何きか学がくを研究けんきゅうする古ふるい彼かれの出版しゅっぱん物ぶつ[10] に興味きょうみがあった。ソフス・リーは連続れんぞく群ぐんの理論りろんを発展はってんさせ、クラインは彼かれの有名ゆうめいなプログラム[11]において群ぐんを通とおして幾何きか学がくを分類ぶんるいした。彼かれらは本質ほんしつ的てきに有限ゆうげん標しるべ数すうを見逃みのがした。

ゲオルグ・フロベニウス (Georg Frobenius) は、リヒャルト・デデキント (Richard Dedekind) との文通ぶんつうから[12]、有限ゆうげん群ぐんそしてとくに、当時とうじ déterminant de groupe と呼よばれ今いまでは廃すたれてしまった行列ぎょうれつの表現ひょうげんの分解ぶんかいの概念がいねんに興味きょうみを持もった。この手紙てがみは群ぐんの表現ひょうげん論ろん（フランス語ふらんすご版ばん）の起源きげんである。1897年ねん、彼かれは表現ひょうげん、すなわちベクトル空間くうかんに線型せんけいに作用さようする群ぐん、と、加か群ぐん、ただし環たまきがその空間くうかんに作用さようする、の間あいだの近接きんせつをとらえた[13]。飛躍ひやくは埋うめられ、群ぐんは線型せんけい化かされ加か群ぐんになる。群ぐん上じょうの加か群ぐんの構造こうぞうと同値どうちな構造こうぞうを持もつ加か群ぐんの上うえのすべての進歩しんぽは表現ひょうげん論ろんしたがって群論ぐんろんを進歩しんぽさせる主題しゅだいである。

ハインリッヒ・マシュケ (Heinrich Maschke) は、クラインの生徒せいとであったが、彼かれの名なを持もつ定理ていりを証明しょうめいした最初さいしょの人ひとである[14]。それはこのタイプの加か群ぐんを構成こうせいする元もとを決定けっていする。それは半はん単純たんじゅんである。それは整数せいすう環たまきのようなユークリッド環たまきに強つよいアナロジーを持もつ。それらは有限ゆうげん個こしか存在そんざいしない違ちがいにおいて少すこし素数そすうと対応たいおうする半はん単純たんじゅん加か群ぐんの列れつに分解ぶんかいする。

多元たげん環たまきの構造こうぞう[編集へんしゅう]

Joseph Wedderburn

半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきの構造こうぞうはますます中心ちゅうしん的てきである。表現ひょうげんの場合ばあいにおいて、それは任意にんいのベクトル空間くうかん上じょうではなく自身じしんの上うえの群ぐんの線型せんけい拡大かくだいの作用さように対応たいおうする。別べつの分野ぶんやに数学すうがくは自然しぜんにこの概念がいねんの使用しようをもたらす。ガロワ拡大かくだいは類似るいじの構造こうぞうを置おき体からだ論ろんはこの対象たいしょうの研究けんきゅうを仮定かていする。最後さいごに、リーによって発展はってんされた連続れんぞく群ぐんは半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきの構造こうぞうを持もった接せっ空間くうかんを各かく点てんに付つける。20世紀せいきの始はじまりにはこの主題しゅだいはこの概念がいねんを研究けんきゅうしている様々さまざまな数学すうがく者しゃで主要しゅようになった。多元たげん環たまきは加か群ぐんの構造こうぞうもまた持もっているから加か群ぐんの分解ぶんかいの定理ていりを適用てきようできる。

ウィリアム・バーンサイド (en:William Burnside) はフロベニウスのアプローチを直ただちにつかんだ。線型せんけい群ぐんの下したにある多元たげん環たまきの構造こうぞうの重要じゅうよう性せいは逃にげなかった。彼かれは1897年ねんに有限ゆうげん群ぐんに関かんする彼かれの参考さんこう文献ぶんけんの初版しょはん[15]で最初さいしょの結果けっかを確立かくりつした。体からだが代数だいすう的てきに閉な場合ばあい有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかんの自己じこ準じゅん同型どうけいの集合しゅうごうは単純たんじゅん多元たげん環たまきである。その後ご初等しょとう的てきな例れいが解明かいめいされた。

レオナード・ディクソン (Leonard Dickson) は1896年ねんに任意にんいの有限ゆうげん体たい上じょうの線型せんけい群ぐんとしてのガロワ群ぐんを PhD の論文ろんぶんを書かいてしたがってジョルダンの結果けっかを一般いっぱん化かした。彼かれはすべての有限ゆうげん可か換かわ体からだは素もと体たいのガロワ拡大かくだいであることを証明しょうめいした。それはヨーロッパで1901年ねんに出版しゅっぱんされる[16]。基底きていの構造こうぞうは半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきの構造こうぞうである。ガロワのアプローチは可か換かわ体からだの研究けんきゅうしか許ゆるさないが、半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきは非ひ可か換かわ体からだの研究けんきゅうも許ゆるす。ディクソンは体からだの一般いっぱん論ろんを発達はったつさせ、非ひ可か換かわ体からだのたくさんの例れいを見みつけた。この時期じきから 2 つの理論りろん：ガロワ理論りろんと体からだ論ろんの分離ぶんりが始はじまった。

エリ・カルタン (Élie Cartan) は彼かれが1894年ねんに支ささえた彼かれの学位がくい論文ろんぶん[17]のリー代数だいすうに興味きょうみを持もった。複素数ふくそすう体たい上じょう単純たんじゅんおよび半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきの構造こうぞうはすべてそこで扱あつかわれている。ジョセフ・ウェダーバーン (Joseph Wedderburn) とともに彼かれはこの多元たげん環たまきの一般いっぱん的てきな構造こうぞうを研究けんきゅうした。カルタンは複素数ふくそすうの場合ばあいに対たいして半はん単純たんじゅん多元たげん環たまきの構造こうぞうを明あきらかにした。1907年ねんウェダーバーンはたぶん最もっとも有名ゆうめいな彼かれの論文ろんぶん[18]を出版しゅっぱんした。彼かれはカルタンの結果けっかを現在げんざい超ちょう複素数ふくそすうと呼よばれる任意にんいの体からだ上じょうの多元たげん環たまきに一般いっぱん化かした。この一般いっぱん化かは重要じゅうようである、なぜならば以前いぜんに引用いんようされた応用おうようのすべての例れいは斜体しゃたいを用もちいていたからだ。

環たまきの構造こうぞう[編集へんしゅう]

Emmy Noether

ウェダーバーンの定理ていりは状況じょうきょうを修正しゅうせいし、体からだがアプリオリに非ひ可か換かわであったとしてもすべての単純たんじゅん多元たげん環たまきに対たいし自然しぜんな体からだが存在そんざいする。したがって定理ていりは環たまきの用語ようごで表現ひょうげんできなければならない。ウェダーバーンはできなかったがしかし1908年ねんに 1 つには根基こんきへの環たまきを、1 つには半はん単純たんじゅんを含ふくむ分類ぶんるいを提案ていあんした。この分解ぶんかい[19]はその後半こうはん世紀せいきの間あいだ環たまきの理論りろんの基本きほんになった。

この分野ぶんやの研究けんきゅうの巨匠きょしょうはエミー・ネーター (Emmy Noether) である。彼女かのじょは現代げんだいの環たまき論ろんの母ははのようにしばしば考かんがえられる[20]。彼女かのじょは非ひ可か換かわ環たまきの理論りろんを発達はったつさせイデアルの一般いっぱん論ろんを基礎きそづけた[21]。単純たんじゅん多元たげん環たまきと対応たいおうする既すんで約やくイデアルの概念がいねん、またイデアルのすべての真しんの昇のぼり鎖くさりが有限ゆうげんであるような環たまきの理論りろんが発展はってんした。この環たまきは今いまでは彼女かのじょを称となえて名前なまえがついている。

エミール・アルティン (Emil Artin) は研究けんきゅうがネーターによって導入どうにゅうされた場合ばあい、イデアルのすべての真しんの降くだ鎖くさりが有限ゆうげんであるような環たまきの場合ばあいを特とくに研究けんきゅうした。長ながさが有限ゆうげんの半はん単純たんじゅん環たまきはアルティンかつネーターである。1927年ねん、アルティンは定理ていりの最終さいしゅう的てきな形かたちを見みつけた[22]。線型せんけい形式けいしき化かなしに定理ていりはそれを極大きょくだい範囲はんいに連つれて行いき、それは非ひ可か換かわ多元たげん環たまきの重要じゅうような結果けっかになった。環たまきの大おおきいクラスは任意にんいの体からだ上じょうの結合けつごう多元たげん環たまきの積せきに同型どうけいである。

定理ていりは最終さいしゅう的てきであるが、逆ぎゃくは未み解決かいけつのままであった。アルティンかつネーターな環たまきの他ほかの環たまきのどのようなクラスが定理ていりを満みたすだろうか？最初さいしょの答こたえは1939年ねんにホプキンス・レヴィツキの定理ていりによって与あたえられる： Charles Hopkins[23] と Jakob Levitzki は降くだ鎖くさりの条件じょうけんのみが必要ひつようであることを証明しょうめいした。それにもかかわらず真しんのブレイクスルー[24]は条件じょうけんを見みつけた Nathan Jacobson の仕事しごとである。根基こんきの概念がいねんが考かんがえられ、それは今いまでは半はん単純たんじゅん環たまきの研究けんきゅうに必須ひっすである。

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

  1. ^ a b 環たまきが左ひだりアルティン的てきであるとは、A の左ひだりイデアルの任意にんいの降くだ鎖くさり列れつが停留ていりゅう的てきであることをいう。
  2. ^ 注意ちゅうい。任意にんいの単純たんじゅん加か群ぐんは半はん単純たんじゅんであるが、単純たんじゅん環たまきは半はん単純たんじゅんであるとは限かぎらない。
  3. ^ Anderson, F. W.; Fuller, K. R. (1974). Rings and Categories of Modules. Springer. p. 121. ISBN 978-0-387-90070-4 
  4. ^ Erdmann, Karin; Holm, Thorsten (2018). Algebras and Representation Theory. Springer. p. 93 (Proposition 4.14). ISBN 978-3-319-91997-3 
  5. ^ a b ジャコブソン根基こんきが0である環たまきを半はん原始げんし環たまきという。
  6. ^ その他たの同値どうちな条件じょうけんは、例たとえば Louis H. Rowen Ring Theory Volume I p. 496 を参照さんしょう
  7. ^ J. Sylvester (1850). “Additions to the articles in the September number of this journal, “On a new class of theorems,” and on Pascal's theorem”. Philosophical Magazine. 3 37 (251): 363-370. 
  8. ^ C. Jordan (1869). “Commentaire sur Galois”. Mathematische Annalen. , rééd. Œuvres, Gauthier-Villars, 1961, vol. 1, p. 211-230
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参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

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