時間じかん発展はってん

時間じかん発展はってん（じかんはってん）とは、時間じかんが進すすむことで物理ぶつり系けいが変化へんかすることである。

古典こてん論ろん

古典こてん物理ぶつり学がくにおける時間じかん発展はってんとは、物理ぶつり量りょうの値ねが時間じかんによって変化へんかすることである。

例たとえば古典こてん力学りきがくの一いち形式けいしきであるニュートン力学りきがくでは、時間じかん発展はってんはニュートンの運動うんどう方程式ほうていしきによって表現ひょうげんする。これと等価とうかなハミルトン力学りきがくでは、時間じかん発展はってんは正せい準じゅん方程式ほうていしきで表現ひょうげんされ、ラグランジュ力学りきがくでは、時間じかん発展はってんはオイラー・ラグランジュの運動うんどう方程式ほうていしきで表現ひょうげんされる。

量子りょうし論ろん

量子りょうし論ろんでは、どんなに同おなじ状態じょうたいを用意よういして同おなじように物理ぶつり量りょう（オブザーバブル）の測定そくていを行おこなっても、測定そくてい値ちは測定そくていごとにバラバラである。量子りょうし論ろんの測定そくていにおいて、状態じょうたいとオブザーバブルが決きまっているときに一意的いちいてきに定さだまっているのは「測定そくてい値ちの確かく率りつ分布ぶんぷ」である。よって量子りょうし論ろんでは「測定そくてい値ちの確かく率りつ分布ぶんぷ」を基本きほんにして理論りろんを構築こうちくする。逆ぎゃくに言いえば、得えられる「測定そくてい値ちの確かく率りつ分布ぶんぷ」が同おなじならどんな理論りろんを作つくってもよい（実際じっさい、演算えんざん子こ形式けいしきや経路けいろ積分せきぶん形式けいしきなどの理論りろんが作つくられている）。

よって量子りょうし論ろんでは系けいの時間じかん発展はってんについても測定そくてい値ちの確かく率りつ分布ぶんぷを用もちいて定義ていぎする。量子りょうし論ろんにおける系けいの時間じかん発展はってんとは、測定そくていを行おこなう時間じかんによって得えられる測定そくてい値ちの確かく率りつ分布ぶんぷが異ことなることである。

時間じかん発展はってんの定式ていしき化かも、同おなじ測定そくてい値ちの確かく率りつ分布ぶんぷを与あたえるならばどんな方法ほうほうでも良よい。代表だいひょう的てきな方法ほうほうとして、以下いかの3つがある。この3つの方法ほうほうはどれも等価とうかである。

• シュレーディンガー描像：状態じょうたいが時間じかんによって変化へんかすると考かんがえる。この場合ばあいシュレディンガー方程式ほうていしきが時間じかん発展はってんについての基本きほん方程式ほうていしきとなる。
• ハイゼンベルク描像：オブザーバブルが時間じかんによって変化へんかすると考かんがえる。この場合ばあいハイゼンベルクの運動うんどう方程式ほうていしきが時間じかん発展はってんについての基本きほん方程式ほうていしきとなる。
• 相互そうご作用さよう描像：状態じょうたいとオブザーバブルがどちらも時間じかんによって変化へんかすると考かんがえる。この場合ばあいは時間じかん発展はってんを表あらわす方程式ほうていしきは2つ現あらわれる。2つのうち状態じょうたいの時間じかん発展はってんについての式しきは朝永あさなが-シュウィンガー方程式ほうていしきと呼よばれる。

時間じかん発展はってん演算えんざん子こ

閉とじた系けいの場合ばあい、時刻じこくt での状態じょうたい$|\psi (t)\rangle$は時刻じこくt = 0 での状態じょうたい$|\psi (0)\rangle$をユニタリ変換へんかんしたものである。つまりベクトルの長ながさや内積ないせきは時間じかんが経たっても変かわらない（これは時間じかん発展はってんの基礎きそ方程式ほうていしき、たとえばシュレーディンガー方程式ほうていしきなどからも当然とうぜん導みちびかれる）。

このユニタリ変換へんかんは、ひとつのヒルベルト空間くうかん内うちでのユニタリ変換へんかんなので、そのヒルベルト空間くうかん上じょうの演算えんざん子こで書かける。これを時間じかん発展はってん演算えんざん子こ（時間じかん推進すいしん演算えんざん子ことも呼よばれる）と呼よび、${\hat {U}}(t)$と書かく。

$|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle .$

これは次つぎの性質せいしつを満みたすユニタリ演算えんざん子こである。

${\hat {U}}^{\dagger }(t)={\hat {U}}^{-1}(t).$

時間じかん発展はってん演算えんざん子こが満みたすべき方程式ほうていしきは、シュレーディンガー方程式ほうていしきより、

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{\hat {U}}(t)={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t)$

である。ハミルトニアン${\hat {H}}(t)$で表あらわされるそれぞれの場合ばあいで、この式しきを初期しょき条件じょうけん${\hat {U}}(0)={\hat {1}}$として解とくと、その場合ばあいの時間じかん発展はってんを表あらわす時間じかん発展はってん演算えんざん子この具体ぐたい的てきな形かたちが得えられる。

参考さんこう文献ぶんけん

• 清水しみず明あきら『新版しんぱん 量子りょうし論ろんの基礎きそ―その本質ほんしつのやさしい理解りかいのために―』サイエンス社しゃ、2004年ねん。ISBN 4-7819-1062-9。