誤差ごさ

誤差ごさ（ごさ、英語えいご: error）は、測定そくていや計算けいさんなどで得えられた値ね M と、指定してい値ちあるいは理論りろん的てきに正ただしい値ねあるいは真しん値ち T の差さ εいぷしろん であり、

\varepsilon =M-T

で表あらわされる^[1]^[2]。

基本きほん的てきには、何なんらかの特定とくていの意味いみをもつ対象たいしょうについて、実際じっさいに得えられた値ねが、本来ほんらいの値ねからどれだけずれているかを表あらわす量りょうである。ただし、一般いっぱんには真しん値ちが分わからない場合ばあいに測定そくていや見積みつもりを行おこなうのであり、データのばらつきや、測定そくていの分解能ぶんかいのう以下いかの不確ふたしかさを内包ないほうする。したがって、この場合ばあいの誤差ごさは、実測じっそく値ちだけから統計とうけい的てきに見積みつもられるべき量りょうとなる。データを定量ていりょう的てきに議論ぎろんする際さいには、常つねに、あらゆる種類しゅるいの誤差ごさの可能かのう性せいを考慮こうりょしなければならない。

誤差ごさの発生はっせい原因げんいんとしては、測定そくていする際さいに生しょうじる測定そくてい誤差ごさや、データを計算けいさんする際さいに生しょうじる計算けいさん誤差ごさ、標本ひょうほん調査ちょうさによる統計とうけい誤差ごさ（標準ひょうじゅん誤差ごさ）等とうが挙あげられる。また実際じっさいにおきる現象げんしょうと数学すうがく的てきなモデルに違ちがいがある場合ばあいにも誤差ごさは生しょうじる。

本来ほんらい数値すうちで表あらわされるものには光速こうそくのように値ねが定義ていぎそのものであったり、円周えんしゅう率りつのように定義ていぎから値ねが一意いちいに決きまるものを除のぞいて必かならず誤差ごさがある。また円周えんしゅう率りつ ( $π ぱい$ ) などは、（直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅうの長ながさの割合わりあいという）定義ていぎからは数値すうちが一意いちいに決きまるにもかかわらず、それが無理むり数すうであるために、それを現実げんじつに小数しょうすうで表示ひょうじしようとすると必かならず誤差ごさ（丸まるめ誤差ごさ）が生しょうじる。科学かがく的てきな文脈ぶんみゃくにおいて数値すうちを扱あつかう際さいには誤差ごさが存在そんざいしない場合ばあいを除のぞいて必かならず誤差ごさが表示ひょうじされている。台風たいふうの予想よそう円えんなどは身近みぢかにある誤差ごさ表示ひょうじの一いち例れいである。

また、これらのことから、工業こうぎょう製品せいひん等とうの設計せっけいを行おこなうときに製作せいさく段階だんかいでの誤差ごさを考慮こうりょして「まち」や「あそび」を作つくり誤差ごさの発生はっせい分ぶんを吸収きゅうしゅうできるようにする。つまり、設計せっけい者しゃは常つねに部品ぶひん製作せいさく上じょうで許容きょようされる誤差ごさ範囲はんいを設計せっけいに織おり込こんでおり、この誤差ごさ範囲はんいを公差こうさ（寸法すんぽう公差こうさ・幾何きか公差こうさ）という。

測定そくてい誤差ごさ

「en:Observational error」を参照さんしょう

系統けいとう誤差ごさ

ある測定そくていにおける測定そくてい値ちに、同おなじ方法ほうほうを用もちいて測定そくていする限かぎり、「真しんの値ね」に対たいして系統けいとう的てきにずれて測定そくていされるような誤差ごさが存在そんざいする場合ばあい、それを系統けいとう誤差ごさと呼よぶ。系統けいとう誤差ごさはその原因げんいんと傾向けいこうが分わかっている場合ばあいには測定そくてい値ちから取とり除のぞくことができるが、通常つうじょうは完全かんぜんに取とり除のぞくことは不可能ふかのうである。

系統けいとう誤差ごさの値ねは常つねに一定いっていであるとは限かぎらない。温度おんど、湿度しつど、或あるいは単たんに時間じかんの経過けいかなど何なんらかの外的がいてき要因よういんが被ひ測定そくてい物ぶつに対たいして作用さよう^{[要よう曖昧あいまいさ回避かいひ]}するのとは別べつに測定そくてい器き自体じたいに作用さようして測定そくてい結果けっかを狂くるわせる場合ばあいがあるが、このようなものも系統けいとう誤差ごさのうちに含ふくむ。

例れいとして端はしが磨耗まもうした竹たけの物差ものさしを使つかっていろいろな大おおきさの升ますの深ふかさを測はかることを考かんがえる。この場合ばあい測定そくてい値ちは真しんの値ねに対たいして磨耗まもうした分ぶんだけ常つねに大おおきくなることが予想よそうされる。大おおきさがあらかじめ分わかっているほかの物体ぶったいを同おなじ物差ものさしで測はかることによってこのずれの大おおきさを決定けっていすることができるので、この物差ものさしを使つかった先さきの測定そくてい結果けっかから升ますの深ふかさを求もとめることができる。

しかし系統けいとう誤差ごさの原因げんいんと傾向けいこうをこのように特定とくていすることは一般いっぱんには難むずかしい。たとえばこの物差ものさしの目盛めもりの間隔かんかくが製造せいぞう上じょうの問題もんだいや保管ほかん方法ほうほうの問題もんだいによって狂くるっていた場合ばあい、同どうじ物ぶつを測はかれば同おなじように測定そくていされるのでこれも系統けいとう誤差ごさの一種いっしゅであるがこの傾向けいこうを別べつの方法ほうほうによって較正こうせいすることは先さきほどの例れいに比くらべて格段かくだんに難むずかしい。また測定そくていの繰くり返かえし自体じたいによって物差ものさしの磨耗まもうが進行しんこうするかもしれない。この場合ばあい先さきほどとったような簡単かんたんな方法ほうほうではもはや系統けいとう誤差ごさを取とり除のぞくことは不可能ふかのうである。

一般いっぱんに測定そくてい値ちにおける系統けいとう誤差ごさは様々さまざまな原因げんいんによる誤差ごさの積つみ重かさねであり、その中なかには特定とくていすることがほとんど不可能ふかのうであるようなものも含ふくまれる。したがって原因げんいんと傾向けいこうがわかっているものについて極力きょくりょく取とり除のぞく努力どりょくをしたとしてもある程度ていどの系統けいとう誤差ごさが残のこることはやむを得えないことといえる。重要じゅうようなのは最後さいごに残のこる系統けいとう誤差ごさをできる限かぎり小ちいさくした上うえで、その上限じょうげん値ちを正確せいかくに把握はあくしていることである。

偶然ぐうぜん誤差ごさ

系統けいとう誤差ごさが測定そくていの繰くり返かえしに対たいして一定いっていであるのに対たいして、測定そくていごとにばらつく誤差ごさのことを偶然ぐうぜん誤差ごさという。

再ふたたび端はしが磨耗まもうした竹たけの物差ものさしを考かんがえる。一般いっぱん的てきには磨耗まもうした端はしはもはや直線ちょくせんではないと考かんがえられる。したがって物差ものさしを当あてるたびに実際じっさいに升ますと接触せっしょくする点てんが変かわり或あるいは物差ものさしがわずかに傾かたむき測定そくてい結果けっかをばらつかせると考かんがえられる。

偶然ぐうぜん誤差ごさの多おおくは測定そくてい方法ほうほう自体じたいによって規定きていされるので測定そくてい方法ほうほう自体じたいを改善かいぜんしない限かぎり取とり除のぞくことはできない。また偶然ぐうぜん誤差ごさは毎回まいかいランダムな値ねをとるので測定そくてい後ごに取とり除のぞくことができない。偶然ぐうぜん誤差ごさによって測定そくていの精度せいどが決定けっていされることが多おおい。しかし、繰くり返かえし測定そくていにより十分じゅうぶんに多おおくの回数かいすうの測定そくていによって特定とくていの分布ぶんぷを得えることができれば、その測定そくてい方法ほうほうに即そくした最適さいてきな方法ほうほう（平均へいきんをとる、最さい頻しき値ねを採用さいようするなど）によって真しんの値ねの推定すいてい値ちの精度せいどを上あげることができる。

偶然ぐうぜん誤差ごさの大おおきさを表あらわす指標しひょう

二乗にじょう平均へいきん平方根へいほうこん誤差ごさ (RMSE: Root Mean Square Error)
標準ひょうじゅん偏差へんさ
半値はんね幅はば:分布ぶんぷの最さい頻しき値ちに対たいして頻度ひんどが半分はんぶんになる点てんにおける分布ぶんぷの幅はば。FWHM (Full Width at Half Maximum) とも呼よばれる。
公算こうさん誤差ごさ

測定そくてい対象たいしょうが1つではないときの測定そくてい誤差ごさ

上記じょうきの議論ぎろんはある1つの対象たいしょう物ぶつに対たいする測定そくていに際さいして起おこる誤差ごさについて議論ぎろんしてきたが、測定そくてい対象たいしょうとなる事象じしょう自体じたいがある分布ぶんぷを持もっているような対象たいしょうに対たいする測定そくていを行おこなう場合ばあいがある。工場こうじょうなどで生産せいさんする製品せいひんの寸法すんぽうが規格きかく寸法すんぽうに対たいしてある一定いっていの範囲はんいに収おさまっているかどうかを測定そくていする場合ばあいなどである。

この場合ばあい、測はかろうとしている対象たいしょうが持もつばらつきと、測定そくてい方法ほうほう自体じたいがもつ誤差ごさを区別くべつして考かんがえなければ混乱こんらんを生しょうじることになる。たとえば、ある部品ぶひんの寸法すんぽう精度せいどが±1%の範囲はんいに収おさまっているかどうかを検定けんていしたいときに、測定そくてい方法ほうほう自体じたいが±1%の誤差ごさを持もっていたとすると測定そくてい自体じたいが意味いみをなさなくなってしまったりする。このような測定そくていに用もちいる測定そくてい装置そうちは、あらかじめ測定そくてい誤差ごさを検定けんていした上うえで、測はかろうとしている精度せいどに対たいして誤差ごさが十分じゅうぶんに小ちいさいことを確認かくにんしておく必要ひつようがある。

平均へいきん値ちの測定そくてい

ばらつきを持もつ複数ふくすうの値ねの平均へいきん値ちを求もとめたい場合ばあいがある。たとえば、日本人にっぽんじんの身長しんちょうの平均へいきんなどである。このような測定そくていを行おこなう場合ばあい、普通ふつう全数ぜんすうを測定そくていすることはせず対象たいしょうとする母集団ぼしゅうだんからランダムに選えらんだ標本ひょうほんを用もちいて測定そくていすることになる。このような場合ばあい求もとめられる平均へいきん値ちの精度せいどは調しらべた人数にんずう等とうによる（推計すいけい統計とうけい学がく）が、その他たに測定そくてい自体じたいの精度せいども勘案かんあんしなければならない。系統けいとう誤差ごさが無視むしできるような測定そくてい方法ほうほうをとるとして、偶然ぐうぜん誤差ごさについては一ひとつの測定そくてい対象たいしょうを繰くり返かえし測定そくていする場合ばあいと同様どうよう、測定そくてい回数かいすうを上あげることによって十分じゅうぶんに小ちいさくすることが出来できる。詳細しょうさいな議論ぎろんは避さけるが、ほとんどの場合ばあい、平均へいきん値ちに統計とうけい的てきな意味いみがあるくらい十分じゅうぶんに多おおくの対象たいしょうについて測定そくていしたならば、偶然ぐうぜん誤差ごさの影響えいきょうも十分じゅうぶんに小ちいさくなるが、母集団ぼしゅうだんが小ちいさかった場合ばあいなど誤差ごさが無視むしできるだけの測定そくてい数すうと統計とうけい的てきに意味いみのある測定そくてい数すうが異ことなる場合ばあいもある。このような場合ばあいには測定そくてい誤差ごさによる影響えいきょうを別べつに考慮こうりょする必要ひつようがある。

真しんの値ね

上記じょうきのように測定そくてい値ちから誤差ごさを無なくすことは不可能ふかのうである。したがってわれわれが知しり得えるのは常つねに誤差ごさ付づけの値ねでしかない。しかしながら測定そくていすべき量りょうには測定そくてい方法ほうほうとは無関係むかんけいなある定さだまった値ねがあると考かんがえるのが合理ごうり的てきである。この値ねのことを誤差ごさ理論りろんにおいて 真しんの値ねまたは真しん値ち と呼よんでいる。真しん値ちが未知みちであるとする立場たちばでは、真しん値ちの代かわりに測定そくていによって得えられた最さい確かく値ちを真しん値ちと考かんがえる。最さい確かく値ちとしては同おなじ測定そくていを複ふく数すう回かいだけしたときの平均へいきん値ちを用もちいることが多おおい。

なお、量子力学りょうしりきがくによるとそもそも物理ぶつり量りょうそのものが確定かくていした値ねを持もたず、ある確かく率りつ分布ぶんぷに従したがった拡ひろがりを持もつ（不ふ確定かくてい性せい）。物理ぶつり量りょう自体じたいが元もとから内包ないほうしている不ふ確定かくてい性せいと、それ以外いがいの原因げんいんで発生はっせいする誤差ごさは厳密げんみつに区別くべつして考かんがえる必要ひつようがある。

誤差ごさの伝播でんぱ

一般いっぱんに測定そくていによって最終さいしゅう的てきに求もとめたい値ねが一ひとつの測定そくていの結果けっかから得えられるとは限かぎらず、それぞれ固有こゆうの誤差ごさを持もつ複数ふくすうの値ねから求もとめなければならない場合ばあいが多おおい。複ふく数すう回かいの測定そくてい結果けっかの平均へいきんを取とる場合ばあいなどもそのうちの一ひとつである。

たとえば最終さいしゅう的てきに求もとめたい値ね $z$ が2つの測定そくてい値ち $x, y$ から $z = f (x, y)$ という関係かんけい式しきで求もとめられる場合ばあい、 $x, y$ の標準ひょうじゅん偏差へんさをそれぞれ $s x, s y$ とすると、 $z$ の標準ひょうじゅん偏差へんさ $s z$ は次つぎの誤差ごさ伝播でんぱの公式こうしき^[3]により求もとめられる：

s_{z}={\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}s_{x}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}s_{y}\right)^{2}}}.

計算けいさん誤差ごさの種類しゅるい

丸まるめ誤差ごさ

数値すうちに対たいして丸まるめ（まるめ、英えい: rounding）を行おこなう場合ばあいに、すなわちその数値すうちのどこかの桁けたで切きり上あげ・切きり捨すてなど端はし数すう処理しょりを行おこなった場合ばあいに生しょうじる誤差ごさを丸まるめ誤差ごさ（まるめごさ、英えい: rounding error, round-off error）という^[4]^[5]。

打うち切きり誤差ごさ

反復はんぷく計算けいさんにおいて、必要ひつようとされる回数かいすうより少すくない回数かいすうで反復はんぷくを止とめること（打うち切きり）によって生しょうじる誤差ごさが打切うちきり誤差ごさである^[4]^[5]。

無限むげん級数きゅうすうをはじめの数すう項こうだけで計算けいさんすることによる誤差ごさが代表だいひょう的てきである。例たとえば、sin x のマクローリン展開てんかいは

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots

である。これを最初さいしょの3項こうで計算けいさんする

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}

と打うち切きり誤差ごさが生しょうじる。

情報じょうほう落おち

浮動ふどう小数点しょうすうてん数すうの計算けいさんのように精度せいどが限かぎられている条件下じょうけんかで、絶対ぜったい値ちの大おおきい数かずと絶対ぜったい値ちの小ちいさい数かずを加減かげん算さんしたとき、絶対ぜったい値ちの小ちいさい数かずが無視むしされてしまう現象げんしょう^[6]。次つぎのような例れいがある。有効ゆうこう桁数けたすうが11桁けたある場合ばあいでは

2.0000000000 × 10¹⁰ + 1.0000000000 =2.0000000001 × 10¹⁰

と期待きたいする結果けっかが得えられるが、有効ゆうこう桁数けたすうが10桁けたまでしか無ない場合ばあいは

2.000000000 × 10¹⁰ + 1.000000000 = 2.000000000 × 10¹⁰

となってしまう。

桁けた落おち

桁けた落おち（けたおち、英えい: cancellation）とは、値ねがほぼ等ひとしく丸まるめ誤差ごさを持もつ数値すうち同士どうしの減算げんざんを行おこなった場合ばあい、有効ゆうこう数字すうじが減少げんしょうすること^[5]^[7]。絶対ぜったい値ちがほぼ等ひとしく符号ふごうが異ことなる数値すうちどうしの加算かさんの場合ばあいも同様どうよう。固定こてい小数点しょうすうてん数すうでは、上位じょういの桁けたにゼロが並ならんだ数かずになり、意味いみのある値ねが入はいっている桁けたが下したのわずかな桁けただけとなるのでわかりやすい。浮動ふどう小数点しょうすうてん数すうでは、上位じょういの桁けたがゼロになると、正規せいき化かによってそれを詰つめ、以下いかの桁けたに "0" を強制きょうせい的てきに挿入そうにゅうするので、以降いこうの計算けいさんの下位かいの桁けたが意味いみが無ないものになる。演算えんざん式しきの変形へんけいなどで、桁けた落おちを避さけるのが基本きほんである。

例れい

有効ゆうこう数字すうじ8桁けたで

{\sqrt {1001}}-{\sqrt {999}}

を計算けいさんする。

{\sqrt {1001}}=31.6385840\cdots \simeq 31.638584

{\sqrt {999}}=31.6069612\cdots \simeq 31.606961

(1) 式しきの通とおりに計算けいさんすると、

{\sqrt {1001}}-{\sqrt {999}}\simeq 31.638584-31.606961=0.031623

有効ゆうこう数字すうじが5桁けたになってしまう。

有効ゆうこう数字すうじが8桁けたなので本来ほんらいなら±0.00000005%程度ていどの誤差ごさであるはずが、±0.00005%程度ていど、ざっと1,000倍ばいの誤差ごさを含ふくむことになる。

(2) 式しきを変形へんけいして、ほぼ等ひとしい数値すうち同士どうしの減算げんざんを回避かいひすると、

{\sqrt {1001}}-{\sqrt {999}}

={\frac {({\sqrt {1001}}-{\sqrt {999}})({\sqrt {1001}}+{\sqrt {999}})}{({\sqrt {1001}}+{\sqrt {999}})}}

={\frac {2}{({\sqrt {1001}}+{\sqrt {999}})}}

\simeq {\frac {2}{31.638584+31.606961}}={\frac {2}{63.245545}}

\simeq 0.031622781

となり、有効ゆうこう数字すうじ8桁けたの結果けっかが得えられる。ただし、常つねにこのような回避かいひが可能かのうであるわけではない。

本質ほんしつは、元もととなるデータ 31.638584 と 31.606961 とが、すでに最下位さいかい桁けたに丸まるめ誤差ごさを含ふくむ近似きんじ値ちである点てんにある。(1) では、差さの上位じょうい3桁けたがゼロになることによって、この丸まるめ誤差ごさが大おおきな相対そうたい誤差ごさになってしまう。（もし、これらの元もとデータが丸まるめ誤差ごさを含ふくまない値ねであった場合ばあいは、結果けっかも全まったく誤差ごさを含ふくまない点てんに注意ちゅういを要ようする。）

最大さいだいの問題もんだいはこの後のち、丸まるめ誤差ごさを含ふくんだ桁けたが上位じょうい有効ゆうこう桁けたの喪失そうしつに伴ともなう正規せいき化かによって上位じょうい桁けたに大おおきく移動いどうすることになるため、大おおきな誤差ごさを含ふくんだまま失うしなわれた有効ゆうこう桁数けたすうが見みかけ上じょう回復かいふくするところにある。これによって、後続こうぞくする演算えんざんが全すべて「巨大きょだいな誤差ごさ」を「有効ゆうこう桁けた」として演算えんざんを続つづけることになり、最終さいしゅう的てきな演算えんざん結果けっかは見みかけどおりの有効ゆうこう桁数けたすうを持もっていない状態じょうたいになる。

乗除じょうじょ算ざんおよび加算かさん（符号ふごうが異ことなる減算げんざん）に関かんしては有効ゆうこう桁数けたすうの減少げんしょう（上位じょうい有効ゆうこう桁けたの喪失そうしつ）を伴ともなわないのでこの問題もんだいは発生はっせいしない。また正規せいき化かを行おこなわない固定こてい小数点しょうすうてん形式けいしきでもこの問題もんだいは発生はっせいしない（そもそも固定こてい小数点しょうすうてんの場合ばあいは精度せいどの考かんがえ方かたが異ことなるため）。（※丸まるめ誤差ごさが累積るいせきする問題もんだいは発生はっせいするが、それは桁けた落おち誤差ごさではない）

出典しゅってん

^ 岡村おかむら総そう吾われ監訳かんやく『IEEE電気でんき・電子でんし用語ようご事典じてん』丸善まるぜん、1989年ねん
^ 西野にしの治おさむ『標準ひょうじゅん電気でんき工学こうがく講座こうざ　電気でんき計測けいそく』第だい1章しょう、コロナ社しゃ、1985年ねん
^ “誤差ごさ伝播でんぱの公式こうしきの意味いみと証明しょうめい”. 具体ぐたい例れいで学まなぶ数学すうがく. 2022年ねん1月がつ22日にち閲覧えつらん。
^ ^a ^b 大石おおいし進一しんいち（編著へんちょ）『精度せいど保証ほしょう付つき数値すうち計算けいさんの基礎きそ』コロナ社しゃ、2018年ねん7月がつ。ISBN 978-4-339-02887-4。
^ ^a ^b ^c 山本やまもと哲朗てつろう『数値すうち解析かいせき入門にゅうもん』（増ぞう訂てい版ばん）サイエンス社しゃ〈サイエンスライブラリ現代げんだい数学すうがくへの入門にゅうもん 14〉、2003年ねん6月がつ。ISBN 4-7819-1038-6。
^ 奥村おくむら (1991)、pp. 125–126。
^ 奥村おくむら (1991)、p. 69。

参考さんこう文献ぶんけん

奥村おくむら晴彦はるひこ『C言語げんごによる最新さいしんアルゴリズム事典じてん』技術評論社ぎじゅつひょうろんしゃ、1991年ねん。ISBN 4-87408-414-1。
John R. Taylor 著しる、林はやし茂雄しげお, 馬場ばば凉（訳わけ）編へん『計測けいそくにおける誤差ごさ解析かいせき入門にゅうもん』東京とうきょう化学かがく同人どうじん、2000年ねん。ISBN 480790521X。
カール・F・ガウス著しる、飛田ひだ武幸たけゆき、石川いしかわ耕こう春はる（訳わけ）編へん『誤差ごさ論ろん』紀伊国屋きのくにや書店しょてん、1981年ねん。
安藤あんどう洋美ひろみ『最小さいしょう二に乗法じょうほうの歴史れきし』現代げんだい数学すうがく社しゃ、1995年ねん。

外部がいぶリンク

“達人たつじん”芳かおる坂和さかかず行こう氏しに学まなぶ、エクセル「演算えんざん誤差ごさ」対策たいさく講座こうざ (ウェイバックマシン)