線形せんけい応答おうとう理論りろん

線形せんけい応答おうとう理論りろん（線型せんけい—、せんけいおうとうりろん、英えい: linear response theory）は、熱ねつ平衡へいこう状態じょうたいにある系けいに、磁場じばや電場でんじょうなどの外そと場じょうが加くわわった時とき、その外そと場じょうによる系けいの状態じょうたいの変化へんか（応答おうとう）を扱あつかう理論りろんである。非ひ平衡へいこうな状態じょうたいを扱あつかうための理論りろんとして、その形成けいせいには久保くぼ亮あきら五ご、森もり肇はじめ、冨田とみた和久かずひさ、中野なかの藤生とうにゅう、中嶋なかじま貞雄さだおら日本人にっぽんじん研究けんきゅう者しゃが大おおきく貢献こうけんしており、特とくに久保くぼ亮あきら五ごは代表だいひょう者しゃとして彼かれらの仕事しごとをまとめたことで有名ゆうめいになった（一いち例れい:)。

線形せんけい応答おうとう理論りろんを使つかって、磁場じばや電場でんじょうに対たいする、磁化じか率りつや電気でんき伝導でんどうなどの応答おうとうを扱あつかうことができる。結晶けっしょう格子こうし内うちでの格子こうしのずれ（変位へんい）を外そと場じょうとして、線形せんけい応答おうとうを使つかって変位へんいに対たいする応答おうとうとしてのフォノンの振動しんどう数すうや状態じょうたい密度みつどなどを求もとめることができる（→DFPT法ほう）。

変位へんいの応答おうとうの虚きょ部ぶ、あるいは流ながれの応答おうとうの実み部ぶがエネルギー散逸さんいつ（パワーロス）を与あたえる。たとえば、電荷でんかの分極ぶんきょく率りつの虚きょ部ぶや電気でんき伝導でんどう率りつの実み部ぶである。変位へんいと流ながれの応答おうとうは互たがいに独立どくりつではなく、互たがいに関係かんけいづけられる。応答おうとう関数かんすうは平衡へいこう状態じょうたいでの流ながれの相関そうかん関数かんすうで与あたえられる。変位へんいに関かんする線形せんけい応答おうとうは、緩和かんわ関数かんすうを通とおしてみるとすっきりする。

歴史れきし

アインシュタインによるブラウン運動うんどうの理論りろんの後のち，ランジュバンによってランジュバン方程式ほうていしきが導入どうにゅうされたのが1908年ねんである。さらに1927年ねんにジョン・バートランド・ジョンソンは抵抗ていこうの両りょう端はしに発生はっせいする揺ゆら動どう起電きでん力りょくを発見はっけんし，起電きでん力りょくのゆらぎと抵抗ていこうを結むすびつけるナイキストの定理ていりは1928年ねんに提案ていあんされている．このナイキストの定理ていりは第だい二に種しゅ揺ゆら動どう散逸さんいつ関係かんけい式しきに他たならない．またオンサーガーの相反あいはん定理ていりは1931年ねんに発表はっぴょうされている。

一方いっぽう，古典こてん的てきなリウヴィル方程式ほうていしきや量子りょうし的てきなフォン・ノイマン方程式ほうていしきから粗あら視し化かによってボルツマン方程式ほうていしきやフォッカー・プランク方程式ほうていしきを導みちびくという研究けんきゅうが戦後せんごの大おおきな流ながれとなった．その中なかでよく知しられているのは分布ぶんぷ関数かんすうのBBGKYヒエラルキーの存在そんざいであり，BBGKYヒエラルキーの最低さいてい次じである1体たい分布ぶんぷ関数かんすうの時間じかん発展はってんにおいて，2体たい相関そうかん以下いかを無視むししたものがボルツマン方程式ほうていしきに対応たいおうするという事実じじつである．一般いっぱんにBBGKYヒエラルキーでは分布ぶんぷ関数かんすうの時間じかん発展はってんを解とこうとすると，より多た体からだの分布ぶんぷ関数かんすうの情報じょうほうが必要ひつようになる．ジョン・G・カークウッドは更さらに研究けんきゅうを進すすめて，ブラウン運動うんどうにおける第だい二種揺動散逸関係式，すなわち揺ゆら動力どうりょくの時間じかん相関そうかんで摩擦まさつ係数けいすうを表現ひょうげんすることも行おこなっている．さらにナイキストの定理ていりの量子りょうし系けいへの拡張かくちょうはCallen-Weltonによってなされ，揺ゆら動どう散逸さんいつ定理ていりの名称めいしょうも定着ていちゃくした．それを発展はってんさせて輸送ゆそう係数けいすうと時間じかん相関そうかん関数かんすうの一般いっぱん論ろんを論ろんじたのはメルヴィル・S・グリーンであった．

戦後せんごしばらくは非ひ平衡へいこう統計とうけい力学りきがくの一大いちだい中心ちゅうしん地ちは日本にっぽんであり，線形せんけい応答おうとう理論りろんの成立せいりつに対たいして果はたした日本にっぽんの役割やくわりは大おおきい．例たとえば熱ねつ揺ゆら動どうと輸送ゆそう係数けいすうの間あいだの一般いっぱん論ろんは高橋たかはし秀俊ひでとしによって世界せかいに先駆さきがけて論ろんじられている．久保くぼ亮あきら五ごは冨田とみた和久かずひさと協力きょうりょくして磁気じき共鳴きょうめいの一般いっぱん論ろんを完成かんせいさせた．これは磁性じせい体たいに振動しんどう磁場じばがかかった時ときの線形せんけい応答おうとう理論りろんであり，後年こうねんの線形せんけい応答おうとう理論りろんに必要ひつような道具どうぐはほとんど含ふくまれていた論文ろんぶんであった．

いわゆる久保くぼ理論りろんが国際こくさい的てき評価ひょうかを受うけたのは，電気でんき伝導でんどう率りつが電流でんりゅうのカノニカル相関そうかんで書かけることを示しめした久保くぼ公式こうしきのためであった．しかしこの久保くぼ公式こうしきは先さきに中野なかの藤生とうにゅうが1955年ねんに発見はっけんしている．中野なかのは電気でんき伝導でんどうの公式こうしきを導みちびいたものの，久保くぼほど評価ひょうかされることはなかった．中野なかのの他ほかにも中嶋なかじま貞雄さだお，M. Lax，ファインマン等ひとしが同様どうようの結論けつろんに達たっしていたようである．その中なかで久保くぼ亮あきら五ごは，ミクロなハミルトニアンから出発しゅっぱつして一見いっけん力学りきがく的てきな計算けいさんで誰だれにでも分わかる形かたちで中野なかの公式こうしきを導出みちびきだし，線形せんけい応答おうとう理論りろんが非ひ平衡へいこう物理ぶつりの中なかで根幹こんかん的てきな役割やくわりをはたすことを認識にんしきして一般いっぱん化かと普及ふきゅうに務つとめた．この久保くぼの立場たちばは，電気でんき伝導でんどうの中野なかの公式こうしきが現象げんしょう論ろんであることを強調きょうちょうしていた中野なかのと著いちじるしい対比たいひをなし，やがて久保くぼ理論りろんは世界せかい的てきに受容じゅようされるようになっていった．

一方いっぽうで久保くぼ理論りろんの発表はっぴょうの後のち，van Kampen等ひとしによって久保くぼ理論りろんは現象げんしょう論ろんであるという指摘してきがなされた。van Kampenは，例たとえばハードコア系けいをイメージすれば分わかる通とおり，軌道きどう不安定ふあんていな系けいでは摂動せつどうでは扱あつかえないような大おおきな起動きどう変化へんかがあるので，ミクロな摂動せつどうとして扱あつかった久保くぼの導出どうしゅつは正ただしくないというものであった．最近さいきんの研究けんきゅうでは，軌道きどう不安ふあん定性ていせいゆえに混合こんごう性せいがあり，軌道きどう分布ぶんぷは摂動せつどうに対たいして安定あんていになり，より線形せんけい応答おうとう理論りろんが成立せいりつすることを保証ほしょうするという理解りかいになっている．しかしそうであれば，設立せつりつ時じにその種たねの認識にんしきがなかった線形せんけい応答おうとう理論りろんは現象げんしょう論ろんとして捉とらえるほうが適切てきせつであろう．

このようにデリケートな問題もんだいを含ふくみつつも線形せんけい応答おうとう理論りろんの果はたした役割やくわりは大おおきく，更さらに数学すうがく的てきには応答おうとう関数かんすうはグリーン関数かんすうにほかならないために，あらゆる分野ぶんやで広ひろく使つかわれる枠組わくぐみとして定着ていちゃくしている．

線形せんけい応答おうとう関係かんけい

詳細しょうさいは「応答おうとう関数かんすう」を参照さんしょう

時刻じこく$t=-\infty$で熱ねつ平衡へいこう状態じょうたいにあった系けいに，摂動せつどうが加くわわったときの物理ぶつり量りょう$A$の期待きたい値ち$\langle A\rangle$の変化へんか$\Delta A$を考かんがえる。（ただしAとして「変位へんい」の場合ばあいと「流ながれ」の場合ばあいがあり、それぞれ結果けっかが異ことなることに注意ちゅういが必要ひつようである。）

$\Delta A=\langle A(t)\rangle -\langle A\rangle _{\mathrm {eq} }$

摂動せつどうが$H'(t)=-BF(t)$と書かけるとする．つまり物理ぶつり量りょう$B$とそれに共役きょうやくな外部がいぶ力りょく$F(t)$で書かけるとする．

時刻じこく$t=t'$に瞬発しゅんぱつ的てきな外力がいりょく$F(t)=\delta (t-t')$が働はたらいた時とき，$\Delta A$は(線形せんけい)応答おうとう関数かんすう(またはインパルス応答おうとう関数かんすう)$\Phi _{AB}(t-t')$を用もちいて以下いかのように表あらわせる．これを線形せんけい応答おうとう関係かんけいという．

$\Delta A=\int _{-\infty }^{t}\Phi _{AB}(t-t')F(t')dt'$

久保くぼ理論りろん

詳細しょうさいは「グリーン-久保くぼ公式こうしき」を参照さんしょう

久保くぼ理論りろんによれば，(線形せんけい)応答おうとう関数かんすうは以下いかのようにカノニカル相関そうかんを用もちいて書かける．

$\Phi _{AB}(t-t')=-\beta \langle B_{I}(t');{\dot {A_{I}}}(t)\rangle _{\mathrm {eq} }$

ここで$B_{I}(t),A_{I}(t)$は，$B,A$を相互そうご作用さよう描像に書かきなおしたものである．

緩和かんわ関数かんすう

詳細しょうさいは「緩和かんわ関数かんすう」を参照さんしょう

時刻じこく$t=t'$で外力がいりょくをゼロにした時ときを考かんがえると，$\Delta A$は以下いかのように書かける．

$\Delta A=\int _{-\infty }^{t'}\Phi _{AB}(t-t'')Fdt''$

ここで変数へんすう変換へんかん$s=t-t''$をし，緩和かんわ関数かんすう$\Psi _{AB}(t-t')=\int _{t-t'}^{\infty }\Phi _{AB}(s)ds$を導入どうにゅうすると

$\Delta A=\Psi _{AB}(t-t')F$

となる． 応答おうとう関数かんすうと緩和かんわ関数かんすうの関係かんけいは以下いかのように書かくことも出来できる．

$\Phi _{AB}(t)=-{\frac {d\Psi _{AB}(t)}{dt}}$

また緩和かんわ関数かんすうはカノニカル相関そうかんを用もちいて次つぎのように書かける．

$\Psi _{AB}(t-t')=\beta \langle {\hat {B}}(t');{\hat {A}}(t)\rangle _{\mathrm {eq} }$

これは高温こうおん近似きんじ$\beta \to 0$をすると，古典こてん論ろんでの緩和かんわ関数かんすうとゆらぎの時間じかん相関そうかん関数かんすうとの関係かんけいが得えられる．

$\Psi _{AB}(t-t')=\beta \langle B(t')A(t)\rangle _{\mathrm {eq} }$

揺ゆら動どう散逸さんいつ定理ていり

詳細しょうさいは「揺ゆら動どう散逸さんいつ定理ていり」を参照さんしょう

緩和かんわ関数かんすう$\Psi _{BA}(t)$のスペクトル強度きょうど$f_{BA}(\omega )$は以下いかのような関係かんけいがある．

$\Psi _{BA}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f_{BA}(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

また時間じかん相関そうかん関数かんすう$C_{BA}(t)$とパワースペクトル$I_{BA}(\omega )$は以下いかの関係かんけいがある(ウィーナー＝ヒンチンの定理ていり)．

$C_{BA}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }I_{BA}(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

このパワースペクトルとスペクトル強度きょうどについて以下いかの揺ゆら動どう散逸さんいつ定理ていりが成立せいりつする．

$I_{BA}(\omega )=E_{\beta }(\omega )f_{BA}(\omega )$

ただし$E_{\beta }(\omega )$は

$E_{\beta }(\omega )={\frac {\hbar \omega }{2}}\coth \left({\frac {\beta \hbar \omega }{2}}\right)$

で与あたえられる．この$E_{\beta }(\omega )$は調和ちょうわ振動しんどう子この平均へいきんエネルギーと一致いっちする量りょうであるが，揺ゆら動どう散逸さんいつ定理ていりは調和ちょうわ振動しんどう子こやボース統計とうけいとは関係かんけいせず，対象たいしょう化か積せきと交換こうかん子この性質せいしつで決きまっている．また$\beta \to 0$の古典こてん極限きょくげんでの揺ゆら動どう散逸さんいつ定理ていりは以下いかのように書かける．

$I_{BA}(\omega )=ktf_{BA}(\omega )$

相反あいはん定理ていり

詳細しょうさいは「オンサーガーの相反あいはん定理ていり」を参照さんしょう

フラックス(単位たんい時間じかんに単位たんい面積めんせきを通過つうかしていく移動いどう量りょう)を$J_{i}$，駆動くどう力りょく(推進すいしん力りょく)を$X_{k}$とおくと，輸送ゆそう係数けいすう$L_{ik}$は以下いかのように書かける．

$J_{i}=\sum _{k}L_{ik}X_{k}$

輸送ゆそう係数けいすうは，その添字そえじに関かんして対称たいしょうである．

$L_{ik}=L_{ki}$

これをオンサーガーの相反あいはん定理ていりという

クラマース・クローニッヒの関係かんけい式しき

詳細しょうさいは「クラマース・クローニッヒの関係かんけい式しき」を参照さんしょう

応答おうとう関数かんすうのフーリエ変換へんかんである複素ふくそ感受かんじゅ率りつ(複素ふくそアドミッタンス)$\phi (\omega )=\phi _{R}(\omega )+i\phi _{I}(\omega )$の実み部ぶと虚きょ部ぶに対たいして、以下いかのクラマース・クローニッヒの関係かんけい式しきが成立せいりつする。

$\phi _{R}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi _{I}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '$
$\phi _{I}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi _{R}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '$

ここで${\mathcal {P}}$はコーシーの主おも値ちをとることを表あらわす。

ゆらぎの定理ていりとの関係かんけい

ゆらぎの定理ていりを平衡へいこう近傍きんぼうで適用てきようすると古典こてん系けいの線形せんけい応答おうとう理論りろんが導みちびかれる．

参考さんこう文献ぶんけん

• 早川はやかわ尚男ひさお『臨時りんじ別冊べっさつ数理すうり科学かがく SGCライブラリ 54 「非ひ平衡へいこう統計とうけい力学りきがく」 2007年ねん 03月がつ号ごう』サイエンス社しゃ、2007年ねん。 
• R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn., 12, (1957) 570.

関連かんれん項目こうもく

• 統計とうけい力学りきがく
• 久保くぼ公式こうしき
• グリーン-久保くぼ公式こうしき
• ゆらぎ
• 揺ゆら動どう散逸さんいつ定理ていり
• 相反あいはん定理ていり
• カノニカル相関そうかん
• フーリエ変換へんかんNMR
• ゆらぎの定理ていり

外部がいぶリンク

• 線形せんけい応答おうとう理論りろんの成立せいりつ
• 線形せんけい応答おうとう理論りろんから半はん世紀せいきを経へて