Параллелограмм: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки Метки: отменено через визуальный редактор |
LGB (обсуждение | вклад) м откат правок 2A03:D000:4190:6A6E:7888:980A:E7FA:876C (обс.) к версии LGB Метка: откат |
||
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Параллелограмм.svg|thumb|331x331px|Параллелограмм]] |
[[Файл:Параллелограмм.svg|thumb|331x331px|Параллелограмм]] |
||
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|[[wikt:παράλληλος#Греческий|παράλληλος]]}} «параллельный» + {{lang-grc2|[[wikt:γραμμή#Греческий|γραμμή]]}} «линия») — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]. |
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|[[wikt:παράλληλος#Греческий|παράλληλος]]}} «параллельный» + {{lang-grc2|[[wikt:γραμμή#Греческий|γραμμή]]}} «линия») — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=332—333|name=VYG}}. См. также другие варианты определения{{переход|Признаки параллелограмма|1}}. |
||
Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[квадрат]] и [[ромб]]. |
Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[квадрат]] и [[ромб]]<ref name=VYG/>. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
{{основной источник|{{sfn|MathWorld}}}} |
|||
[[File:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]] |
[[File:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]] |
||
[[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]] |
[[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]] |
||
* Противолежащие стороны параллелограмма равны. |
* Противолежащие стороны параллелограмма равны. |
||
* Противолежащие углы параллелограмма равны |
* Противолежащие углы параллелограмма равны. |
||
* Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). |
* Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). |
||
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: |
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: |
||
Строка 24: | Строка 25: | ||
== Признаки параллелограмма == |
== Признаки параллелограмма == |
||
{{основной источник|<ref name=VYG/>}} |
|||
[[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные): |
[[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные): |
||
Строка 35: | Строка 37: | ||
== Площадь параллелограмма == |
== Площадь параллелограмма == |
||
{{основной источник|{{sfn|MathWorld}}}} |
|||
[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|150px|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]] |
[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|150px|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]] |
||
: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].'' |
: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].'' |
||
Строка 46: | Строка 49: | ||
: где <math>a</math> и <math>b</math> — смежные стороны, <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>. |
: где <math>a</math> и <math>b</math> — смежные стороны, <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>. |
||
* Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников: |
* Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников<ref>[https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона]</ref>: |
||
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math> |
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math> |
||
Строка 56: | Строка 59: | ||
* [[Параллелепипед]] |
* [[Параллелепипед]] |
||
* [[Прямоугольник]] |
* [[Прямоугольник]] |
||
* [[Ромбоид]] |
|||
* [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]] |
* [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]] |
||
* [[Теорема Тебо|Теорема Тебо 1]] |
|||
== Примечания == |
== Примечания == |
||
{{примечания}} |
{{примечания}} |
||
== Литература == |
|||
{{rq|source}} |
|||
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006 |
|||
|заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике |
|||
|страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}} |
|||
== Ссылки == |
|||
* {{h|MathWorld|3={{mathworld|title=Parallelogram|urlname=Parallelogram}}}} |
|||
{{Многоугольники}} |
{{Многоугольники}} |
||
Версия от 12:14, 3 февраля 2024
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC.svg/331px-%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC.svg.png)
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος «параллельный» + γραμμή «линия») — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых[1]. См. также другие варианты определения .
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб[1].
Свойства
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg/220px-%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg/220px-%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg.png)
- Противолежащие стороны параллелограмма равны.
- Противолежащие углы параллелограмма равны.
- Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
- Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
- .
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
- Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
- Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
- Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
- — длина стороны ,
- — длина стороны ,
- и — длины диагоналей; тогда
- Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
- Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
- У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: .
- Все противоположные углы попарно равны: .
- У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: .
- Все противоположные стороны попарно параллельны: .
- Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
- Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .
Площадь параллелограмма
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/ParallelogramArea.svg/150px-ParallelogramArea.svg.png)
- Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
- Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
- , где — сторона, — высота, проведённая к этой стороне.
- Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:
- где и — смежные стороны, — угол между сторонами и .
- Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников[3]:
- где
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 3 Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.
- ↑ 1 2 MathWorld.
- ↑ Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Parallelogram (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.