Параллелограмм: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Метки: с мобильного устройства из мобильной версии |
Bezik (обсуждение | вклад) оформление, стандартизация, внос См. также |
||
(не показано 28 промежуточных версий 9 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Параллелограмм.svg| |
[[Файл:Параллелограмм.svg|мини|Параллелограмм]] |
||
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2| |
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} ← {{lang-grc2|παράλληλος}} — параллельный + {{lang-grc2|γραμμή}} — линия) — [[четырёхугольник]], у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на [[Параллельные прямые|параллельных прямых]]{{sfn |Справочник по элементарной математике|2006|с=332—333|name=VYG}}. Существуют другие варианты определения{{переход|#Признаки параллелограмма}}. |
||
Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[ |
{{Якорь|Ромбоид}}Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]] (все углы прямые), [[ромб]] (все стороны равны) и [[квадрат]] (прямоугольник и ромб одновременно)<ref name=VYG/>. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ''ромбоидом'' (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался [[дельтоид]]). |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
[[ |
[[Файл:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]] |
||
[[ |
[[Файл:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]] |
||
Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). |
|||
* Противолежащие углы параллелограмма равны. |
|||
* Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых)<ref>Данное свойство не точное. Гораздо правильнее так: сумма углов, прилежащих к '''''любой''''' стороне параллелограмм а, равна <math>180\deg</math>.</ref>. |
|||
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: |
|||
*: <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>. |
|||
* Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. |
|||
* Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math>a</math> — длина стороны <math>AB</math>, |
|||
: <math>b</math> — длина стороны <math>BC</math>, |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Площадь параллелограмма == |
|||
: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].'' |
|||
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ([[вариньонов параллелограмм]]). |
|||
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: |
|||
⚫ | |||
: <math>S = ah</math> , где <math>a</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Площадь параллелограмма |
== Площадь параллелограмма == |
||
[[Файл:ParallelogramArea.svg|мини|Площадь параллелограмма, выражение через высоту]] |
|||
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на [[Высота (геометрия)|высоту]]: <math>S = bh</math>, где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и [[синус]]а угла <math>\alpha</math> между ними: <math>S = ab\sin \alpha</math>. |
|||
⚫ | Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников<ref>[https://resh.edu.ru/subject/lesson/2012/main/ Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона]</ref>: |
||
: <math>S |
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>, |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
: где <math>a</math> и <math>b</math> — стороны, а <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Литература == |
|||
⚫ | |||
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=АСТ |год=2006 |
|||
|заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике |
|||
|страниц=509 |isbn=5-17-009554-6}} |
|||
== Ссылки == |
|||
: <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math> |
|||
* {{h|MathWorld|3={{mathworld|title=Parallelogram|urlname=Parallelogram}}}} |
|||
⚫ | |||
== См. также == |
|||
⚫ | |||
* [[Параллелепипед]] |
|||
* [[Прямоугольник]] |
|||
* [[Ромбоид]] |
|||
* [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]] |
|||
* [[Теорема Тебо|Теорема Тебо 1]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
{{rq|source}} |
|||
{{Многоугольники}} |
{{Многоугольники}} |
||
{{ВС}} |
|||
[[Категория:Четырёхугольники]] |
[[Категория:Четырёхугольники]] |
Текущая версия от 16:01, 14 июня 2024
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC.svg/220px-%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC.svg.png)
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых[1]. Существуют другие варианты определения .
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)[1]. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).
Свойства
[править | править код]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg/220px-%D0%A1%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg/220px-%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0.svg.png)
Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
- ,
где и — длины смежных сторон, а и — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).
Признаки параллелограмма
[править | править код]Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
- у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: и ;
- все противоположные углы попарно равны: и ;
- у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: и ;
- все противоположные стороны попарно параллельны: и ;
- диагонали делятся в точке их пересечения пополам: и , где — точка пересечения диагоналей;
- сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
- сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .
Площадь параллелограмма
[править | править код]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/ParallelogramArea.svg/220px-ParallelogramArea.svg.png)
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: , где — сторона, — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон и и синуса угла между ними: .
Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон и и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников[2]:
- ,
где .
Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Parallelogram (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.