Параллелограмм: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Метки: замена через визуальный редактор |
Хоббит (обсуждение | вклад) м откат правок 147.30.193.100 (обс.) к версии Д.Ильин Метка: откат |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:Параллелограмм.svg|thumb|331x331px|Параллелограмм]] |
|||
'''Параллелогра́мм''' ({{lang-grc|παραλληλόγραμμον}} от {{lang-grc2|παράλληλος}} — параллельный и {{lang-grc2|γραμμή}} — линия) — это [[четырёхугольник]], у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются [[прямоугольник]], [[квадрат]] и [[ромб]]. |
|||
== Свойства == |
|||
[[File:Свойства параллелограмма.svg|thumb|Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.]] |
|||
[[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Противоположные углы параллелограмма равны, а сумма соседних равна 180°.]] |
|||
* Противолежащие стороны параллелограмма равны. |
|||
* Противолежащие углы параллелограмма равны. |
|||
* Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). |
|||
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: |
|||
*: <math>\left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|</math>. |
|||
* Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. |
|||
* Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. |
|||
* [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам. |
|||
* [[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть ''а'' — длина стороны ''AB'', ''b'' — длина стороны ''BC'', <math> d_1 </math> и <math>d_2 </math> — длины диагоналей; тогда |
|||
*: '''<math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).</math> ''' |
|||
: Тождество параллелограмма есть простое следствие [[Формула Эйлера для четырёхугольника|формулы Эйлера]] для произвольного [[четырехугольник]]а: ''учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей''. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю. |
|||
* [[Аффинное преобразование]] всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат. |
|||
== Признаки параллелограмма == |
|||
[[Четырёхугольник]] ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные): |
|||
# У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD, AB \parallel CD</math>. |
|||
# Все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C, \angle B = \angle D</math>. |
|||
# У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD, BC=DA</math>. |
|||
# Все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD, BC \parallel DA</math>. |
|||
# Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC, BO = OD</math>. |
|||
# Сумма соседних углов равна 180 градусов: <math>\angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ</math>. |
|||
# Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру. |
|||
# Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>. |
|||
== Площадь параллелограмма == |
|||
: ''Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для [[Четырёхугольник#Площадь|площади произвольных четырёхугольников]].'' |
|||
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: |
|||
: <math>S = ah</math> , где <math>a</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведенная к этой стороне. |
|||
Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на [[синус]] угла между ними: |
|||
: <math>S = ab\sin \alpha,</math> |
|||
: где <math>a</math> и <math>b</math> — стороны, а <math>\alpha</math> — угол между сторонами <math>a</math> и <math>b</math>. |
|||
Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны <math>a,\ b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по [[Формула Герона|формуле Герона]] как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников: |
|||
: <math>S=2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math> |
|||
: где <math>p=(a+b+d)/2.</math> |
|||
== См. также == |
|||
* [[Теорема Тебо|Теорема Тебо 1]] |
|||
* [[Параллелепипед]] |
|||
* [[Теорема Вариньона (геометрия)|Параллелограмм Вариньона]] |
|||
== Примечания == |
|||
{{примечания}} |
|||
{{rq|source}} |
|||
{{Многоугольники}} |
|||
[[Категория:Четырёхугольники]] |
[[Категория:Четырёхугольники]] |
Версия от 05:27, 24 января 2019
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Свойства
- Противолежащие стороны параллелограмма равны.
- Противолежащие углы параллелограмма равны.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
- Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
- .
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
- Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
- Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
- Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, и — длины диагоналей; тогда
- Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
- Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
- У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: .
- Все противоположные углы попарно равны: .
- У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: .
- Все противоположные стороны попарно параллельны: .
- Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
- Сумма соседних углов равна 180 градусов: .
- Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .
Площадь параллелограмма
- Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
- , где — сторона, — высота, проведенная к этой стороне.
Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:
- где и — стороны, а — угол между сторонами и .
Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:
- где
См. также
Примечания
Для улучшения этой статьи желательно:
|