Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Противоположные углы параллелограмма равны, а сумма соседних равна 180°.

• Противолежащие стороны параллелограмма равны.
• Противолежащие углы параллелограмма равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
• Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:

  $\left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|$.

• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
• Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
• Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, $d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей; тогда

  $d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$

Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB=CD,AB\parallel CD$.
2. Все противоположные углы попарно равны: $\angle A=\angle C,\angle B=\angle D$.
3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB=CD,BC=DA$.
4. Все противоположные стороны попарно параллельны: $AB\parallel CD,BC\parallel DA$.
5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $AO=OC,BO=OD$.
6. Сумма соседних углов равна 180 градусов: $\angle A+\angle B=180^{\circ },\angle B+\angle C=180^{\circ },\angle C+\angle D=180^{\circ },\angle D+\angle A=180^{\circ }$.
7. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
8. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$.

Площадь параллелограмма

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

$S=ah$ , где $a$ — сторона, $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

$S=ab\sin \alpha ,$

где $a$ и $b$ — стороны, а $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны $a,\ b$ и длину любой из диагоналей $d$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

$S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}$

где $p=(a+b+d)/2.$

См. также

• Теорема Тебо 1
• Параллелепипед
• Параллелограмм Вариньона