Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος «параллельный» + γραμμή «линия») — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (См. другие определения )

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

• Противолежащие стороны параллелограмма равны.
• Противолежащие углы параллелограмма равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
• Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:

  $\left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|$.

• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
• Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
• Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть

$a$ — длина стороны $AB$,

$b$ — длина стороны $BC$,

$d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей; тогда

$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$

Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB=CD,AB\parallel CD$.
2. Все противоположные углы попарно равны: $\angle A=\angle C,\angle B=\angle D$.
3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB=CD,BC=DA$.
4. Все противоположные стороны попарно параллельны: $AB\parallel CD,BC\parallel DA$.
5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $AO=OC,BO=OD$.
6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, выражение через высоту

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

$S=bh$ , где $b$ — сторона, $h$ — высота, проведённая к этой стороне.

• Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:

$S=ab\sin \alpha ,$

где $a$ и $b$ — смежные стороны, $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

• Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны $a,\ b$ и длину любой из диагоналей $d$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

$S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}$

где $p=(a+b+d)/2.$

Существование параллелограмма

Отметим, что для того чтобы параллелограмм с высотами $h_{a}$ и $h_{b}$, опущенными из одной вершины, существовал, необходимо, чтобы его площадь была $S\geqslant h_{a}\cdot h_{b}$ (кв. ед.).

Доказательство

Метод площадей. Пусть дан параллелограмм ${\mathcal {ABCD}}$ со сторонами ${\mathcal {AB=a}}$ и ${\mathcal {BC=b}}$, в котором проведены из одной вершины ${\mathcal {B}}$ высоты $h_{\mathcal {a}}$ и $h_{\mathcal {b}}$. Тогда площадь $S_{\mathcal {ABCD}}$ параллелограмма можно вычислить как $S_{\mathcal {ABCD}}=a\cdot h_{\mathcal {a}}$, но в то же самое время $S_{\mathcal {ABCD}}=b\cdot h_{\mathcal {b}}$.
Получим систему ${\begin{cases}a={\dfrac {S_{\mathcal {ABCD}}}{h_{a}}}\\b={\dfrac {S_{\mathcal {ABCD}}}{h_{b}}}\end{cases}}$, но ${\begin{cases}a={\dfrac {S_{\mathcal {ABCD}}}{h_{a}}}\geqslant h_{b}\left(a\geqslant h_{b}{\text{ — свойство прямоугольного треугольника}}\right)\\b={\dfrac {S_{\mathcal {ABCD}}}{h_{b}}}\geqslant h_{a}\left(b\geqslant h_{a}{\text{ — свойство прямоугольного треугольника}}\right)\end{cases}}$. Следовательно, $S_{\mathcal {ABCD}}\geqslant h_{a}\cdot h_{b}$.■

См. также

• Параллелепипед
• Прямоугольник
• Ромбоид
• Параллелограмм Вариньона
• Теорема Тебо 1