伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ

氣體きたい流入りゅうにゅう文丘ふみおか里さと計けい。減少げんしょう流體りゅうたい壓力あつりょく而增加ぞうか動どう能のう，由よし圖ず中ちゅう兩りょう管かん水すい的てき高度こうど差さ可か以看出で氣壓きあつ差異さい。

伯はく努つとむ利とぎ原理げんり（英語えいご：Bernoulli's principle），又また稱たたえ白はく努つとむ利とぎ定律ていりつ或ある柏かしわ努つとむ利とぎ定律ていりつ（英語えいご：Bernoulli's Law），是ぜ流體りゅうたい力學りきがく中なか的てき一いち個こ定律ていりつ，由ゆかり瑞みず士し流體りゅうたい物理ぶつり學がく家か丹たん尼に尔·伯はく努つとむ利り於1738年ねん出版しゅっぱん他た的てき理論りろん《Hydrodynamica》，描述流體りゅうたい沿著一いち條じょう穩定、非ひ黏性、不可ふか壓縮あっしゅく的てき流りゅう線せん移動いどう行為こうい。

在ざい流體りゅうたい動力どうりょく學がく，伯はく努つとむ利とぎ原理げんり指出さしで，無む黏性的てき流體りゅうたい的てき速度そくど增加ぞうか時じ，流體りゅうたい的てき壓力あつりょく能のう或ある位くらい能のう（勢いきおい能のう）總和そうわ將すすむ減少げんしょう。

伯はく努つとむ利とぎ原理げんり可か以應用おうよう到いた不ふ同類どうるい型がた的てき流體りゅうたい流動りゅうどう，從したがえ而是可か廣こう泛套用よう的てき伯はく努つとむ利り方かた程ほど表示ひょうじ式しき。事實じじつ上じょう，有ゆう不同ふどう類型るいけい的てき伯はく努つとむ利とぎ方程式ほうていしき不同ふどう形式けいしき的てき。伯はく努つとむ利とぎ原理げんり的てき簡單かんたん形式けいしき是ぜ有效ゆうこう的てき不可ふか壓縮あっしゅく流動りゅうどう（如液體えきたい流動りゅうどう），也為移動いどう可か壓縮あっしゅく流體りゅうたい（如氣體きたい）在ざい低ひく馬うま赫數（通常つうじょう小しょう於0.3）。更さら先進せんしん的てき形式けいしき可か被ひ應用おうよう到いた在ざい某ぼう些情況きょう 下か，在ざい更さら高だか的てき馬うま赫數（見み伯はく努つとむ利り方かた程ほど的てき推導）可か壓縮あっしゅく流りゅう。

伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ可か以從能のう量りょう守恆もりつね定律ていりつ來らい推演。說明せつめい如下：在ざい一いち個こ穩定的てき水流すいりゅう，沿著直線ちょくせん流りゅう向むこう的てき所有しょゆう點てん上じょう，各種かくしゅ形式けいしき的てき流體りゅうたい機械きかい能のう總和そうわ必定ひつじょう相しょう同どう。也就是ぜ說せつ，動どう能のう，位くらい能のう，與あずか內能的てき總和そうわ保持ほじ不變ふへん。換言かんげん之の，任にん何なん的てき流體りゅうたい速度そくど增加ぞうか，即そく代表だいひょう動態どうたい壓力あつりょく和わ單位たんい體積たいせき動どう能のう的てき增加ぞうか，而在同時どうじ會かい導しるべ致其靜態せいたい壓力あつりょく，單位たんい體積たいせき流體りゅうたい的てき位い能のう、內能等とう三さん者しゃ總和そうわ的てき減少げんしょう。如果液體えきたい流りゅう出水しゅっすい庫こ，在ざい各かく方向ほうこう的てき流りゅう線せん上じょう，各種かくしゅ形式けいしき的てき能のう量的りょうてき總和そうわ是ぜ相しょう同どう的てき；因いん為ため每ごと單位たんい體積たいせき能のう量的りょうてき總和そうわ（即そく壓力あつりょく和わ單位たんい體積たいせき流體りゅうたい的てき重力じゅうりょく位い能のう$\rho gh$的てき總和そうわ）在ざい水みず庫こ內的任にん何なん位置いち都と相しょう同どう。

伯はく努つとむ利とぎ原理げんり，也可以直接ちょくせつ由ゆかり牛うし頓ひたぶる第だい二に定律ていりつ推演。說明せつめい如下：如果從したがえ高だか壓あつ區域くいき往低壓あつ區域くいき，有ゆう一小體積流體沿水平方向流動，小しょう體積たいせき區域くいき後方こうほう的てき壓力あつりょく自然しぜん比ひ前方ぜんぽう區域くいき的てき壓力あつりょく更さら大だい。所以ゆえん，此區域くいき的てき力量りきりょう總和そうわ必然ひつぜん是ぜ沿著流りゅう線せん方向ほうこう向こう前まえ。在ざい此假設かせつ，前ぜん後方こうほう區域くいき面積めんせき相等そうとう，如此便びん提供ていきょう了りょう一個正方向淨力施於原先設定的流體小體積區域，其加速度そくど與力よりき量りょう同どう方向ほうこう。此假想かそう環境かんきょう中ちゅう，流體りゅうたい粒子りゅうし僅受到壓力あつりょく和わ自己じこ質量しつりょう的てき重力じゅうりょく之の影響えいきょう。先さき假設かせつ如果流體りゅうたい沿著流りゅう線せん方向ほうこう作さく水平すいへい流動りゅうどう，並なみ與あずか流體りゅうたい流りゅう線せん的てき截面積めんせき垂直すいちょく，因いん為ため流體りゅうたい從したがえ高だか壓あつ區域くいき朝あさ低壓ていあつ區域くいき移動いどう，流體りゅうたい速度そくど因いん此增加ぞうか；如果該小體積たいせき區域くいき的てき流速りゅうそく降くだ低てい，其唯一的可能性必定是因為它從低壓區朝高壓區移動。因よし此，任にん一水平流動流體之內，壓力あつりょく最低さいてい處しょ有ゆう最高さいこう流速りゅうそく，壓力あつりょく最高さいこう處しょ有ゆう最低さいてい流速りゅうそく。

物理ぶつり量りょう及定律ていりつ

原はら表ひょう達たち形式けいしき

${\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gh+p={\mbox{constant}}$

其中：

$v=\;$ 流體りゅうたい速度そくど

$g=\;$ 重力じゅうりょく加速度かそくど（地球ちきゅう表面ひょうめん的てき值约為ため 9.8 m/s²）

$h=\;$ 流體りゅうたい處しょ於的深度しんど（從したがえ某ぼう參考さんこう點てん計けい）

$p=\;$ 流體りゅうたい所しょ受的壓力あつりょく強度きょうど

$\rho =\;$ 流體りゅうたい質量しつりょう密度みつど

${\mbox{constant}}=\;$ 常數じょうすう

定理ていり假設かせつ

使用しよう伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ必須ひっす符合ふごう以下いか假設かせつ，方ぽう可か使用しよう；如沒完全かんぜん符合ふごう以下いか假設かせつ，所ところ求もとむ的てき解かい也是近似きんじ值。

• 定常ていじょう流りゅう动（或ある稱しょう穩定流りゅう，Steady flow）：在ざい流動りゅうどう系統けいとう中ちゅう，流體りゅうたい在任ざいにん何なん一いち點てん之の性質せいしつ不隨ふずい時間じかん改變かいへん。
• 不可ふか壓縮あっしゅく流りゅう（Incompressible flow）：密度みつど為ため常數じょうすう，在ざい流體りゅうたい為ため氣體きたい適用てきよう於馬うま赫數$M$小しょう於0.3的てき情況じょうきょう。
• 無む摩擦まさつ流りゅう（Frictionsless flow）：摩擦まさつ效こう應おう可か忽ゆるがせ略りゃく，忽ゆるがせ略りゃく黏滯性せい效こう應おう。
• 流體りゅうたい沿著流ながれ線せん流動りゅうどう（Flow along a streamline）：流體りゅうたい元素げんそ（element）沿著流りゅう線せん而流動りゅうどう，流りゅう線せん間あいだ彼此ひし是ぜ不ふ相あい交的。

推論すいろん過程かてい

考慮こうりょ一いち符合ふごう上述じょうじゅつ假設かせつ的てき流體りゅうたい，如圖所しょ示しめせ：

流體りゅうたい因いん受壓力りょく的てき推動而得之の能のう量りょう：

$F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.\;$

流體りゅうたい因いん重力じゅうりょく做功所しょ損失そんしつ的てき能のう量りょう：

$mgh_{1}-mgh_{2}=\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}.\;$

流體りゅうたい所得しょとく的てき動どう能のう可か以改寫うつし為ため：

${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}$

根據こんきょ能のう量りょう守恆もりつね定律ていりつ，流體りゅうたい因いん受力所得しょとく的てき能のう量りょう＋流體りゅうたい因いん重力じゅうりょく做功所しょ損失そんしつ的てき能のう量りょう＝流體りゅうたい所得しょとく的てき動どう能のう。

$p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}$

${\frac {\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}{2}}+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t={\frac {\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}}{2}}+\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.$

由ゆかり連續れんぞく方程式ほうていしき可知かち：

$A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}={\mbox{constant}}$

令れい${\mbox{constant}}=\Delta V\;$

從したがえ等式とうしき兩邊りょうへん除じょ以$\Delta t\;$ 及$\Delta V\;$可か得とく：

${\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gh+p={\mbox{constant}}$

或ある

${\frac {v^{2}}{2g}}+h+{\frac {p}{\rho g}}={\mbox{constant}}$

垂たれ直流ちょくりゅう線せん方向ほうこう的てき加速度かそくど定律ていりつ

受壓力りょく及重力じゅうりょく作用さよう流體りゅうたい質點しつてん之の自由じゆう體からだ圖ず

考慮こうりょ沿流線せん運動うんどう的てき微小びしょう流體りゅうたい質點しつてん，其質量りょう以$\delta m=\rho \delta n\delta s\delta y$表示ひょうじ，δでるたy代表だいひょう寬ひろし度ど，流體りゅうたい質點しつてん運動うんどう以速度そくど向むこう量りょうV表示ひょうじ，流りゅう線せん座標ざひょう可か表示ひょうじ為ため與あずか某ぼう參考さんこう點てん的てき距離きょりs=s(t)及流線せん局部きょくぶ曲きょく率りつ半徑はんけい$\Re =\Re (s)$ ，沿著流りゅう線せん的てき座標ざひょう為ためs；垂たれ直流ちょくりゅう線せん的てき座標ざひょう為ため n。

在ざい垂たれ直流ちょくりゅう線せん的てき方向ほうこうn̂上うえ，由ゆかり於存在そんざい向こう心しん加速度かそくど$a_{n}={V^{2} \over \Re }$，故こ質點しつてん所しょ受淨力りょく為ため：

$\textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle ={\frac {\delta mV^{2}}{\Re }}={\frac {\rho \delta \mathbb {V} V^{2}}{\Re }}{\bar {V}}$，其中$\mathbb {V} =\delta s\delta n\delta y$為ため微小びしょう流體りゅうたい質點しつてん體積たいせき，$\rho$為ため流體りゅうたい密度みつど。

而質點てん所しょ受重力じゅうりょく為ため：

$\textstyle \delta W_{n}=-\delta W\cos \theta =-\gamma \delta \mathbb {V} \cos \theta$，其中$\textstyle \gamma =\rho g$。

如圖所しょ示しめせ的てき質點しつてん中央ちゅうおう壓力あつりょく為ためp ，垂たれ直流ちょくりゅう線せん的てき兩端りょうたん平均へいきん壓力あつりょく分別ふんべつ為ため$\textstyle p+\delta p_{n}$及$\textstyle p-\delta p_{n}$，可用かよう泰たい勒級數すう展開てんかい求もとめ壓力あつりょく差異さい$\textstyle \delta p_{n}=({\frac {\partial p}{\partial n}})({\frac {\delta n}{2}})$。

$\delta F_{pn}$為ため質點しつてん於垂直方ちょくほう向上こうじょう所しょ受淨壓あつ

${\begin{aligned}\sum \delta F_{pn}&=(p-\delta p_{n})\delta s\delta y-(p+\delta p_{n})\delta s\delta y=-2\delta p_{n}\delta s\delta y\\&=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta n\delta s\delta y=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta \mathbb {V} \\\end{aligned}}$

故こ

$\textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle =\delta W_{n}+\delta F_{pn}=(-\gamma \cos \theta -{\frac {\partial p}{\partial n}})\delta \mathbb {V}$

因いん為ため沿著垂たれ直流ちょくりゅう線せん方向ほうこう $\textstyle \cos \theta ={dz \over dn}$，可か得え到いた垂たれ直流ちょくりゅう線せん方向ほうこう之の運動うんどう方程式ほうていしき

$(-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }$

此式意味いみ著ちょ，垂直すいちょく於流線せん的てき壓力あつりょく梯はしご度ど及質點てん所しょ受重力じゅうりょく會かい改變かいへん流りゅう向むこう，造成ぞうせい彎曲わんきょく的てき流りゅう線せん。

若わか忽ゆるがせ略りゃく重力じゅうりょく的てき因いん素もと，即そく只ただ考慮こうりょ流體りゅうたい在ざい水平面すいへいめん的てき流動りゅうどう，以龍捲めく風ふう為ため例れい，${dz \over dn}=0$，會得えとく到いた${\frac {\partial p}{\partial n}}=-{\rho V^{2} \over \Re }$，這意味あじ著ちょ，壓力あつりょく隨ずい著ちょ遠とお離はなれ曲きょく率りつ中心ちゅうしん的てき距離きょり而增大ぞうだい（n的てき正ただし向こう，指向しこう彎曲わんきょく流りゅう線せん的てき內部），由ゆかり於${\rho V^{2} \over \Re }$為ため正せい值，因いん此${\partial p \over \partial n}$會かい是ぜ負まけ的てき，在ざい龍りゅう捲めく風ふう之の外的がいてき壓力あつりょく（典型てんけい的てき大氣たいき壓力あつりょく）遠大えんだい於中心ちゅうしん處しょ（低てい氣壓きあつ，可能かのう會かい產さん生部いけぶ分ぶん真空しんくう），而這些壓力りょく差さ會かい被ひ用よう於平衡へいこう曲きょく率りつ運動うんどう所しょ需的向こう心力しんりょく。

在ざいs為ため定てい值的情況じょうきょう下か

${\partial p \over \partial n}={dp \over dn}$

沿n的てき方向ほうこう積分せきぶん可か得とく

$\int {dp \over \rho }+\int {V^{2} \over \Re }dn+gz={\mbox{constant along the streamline}}$

對たい於不可ふか壓縮あっしゅく流りゅう，可か得とく

$p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}$

由よし推導方程式ほうていしき所しょ需的基本きほん假設かせつ：穩定、無む黏性 及不可ふか壓縮あっしゅく流りゅう，可か以得出で

1.跨またが過か流りゅう線せん的てき運動うんどう方程式ほうていしき $(-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }$

$p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}$

2.沿著流りゅう線せん的てき運動うんどう方程式ほうていしき 同どう上述じょうじゅつ做法，可か得とく出で沿著流りゅう線せん方向ほうこう之の運動うんどう方程式ほうていしき

$(-\gamma {dz \over ds}-{\frac {\partial p}{\partial s}})={\rho \over 2}{dV^{2} \over ds}$

以及伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ

$p+{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}$

在ざい跨またが過か流りゅう線せん的てき情じょう形がた使用しよう伯はく努力どりょく定律ていりつ時じ，若わか流體りゅうたい位置いち發生はっせい旋轉せんてん或ある彎曲わんきょく，就會因いん跨またが過か流りゅう線せん的てき運動うんどう方程式ほうていしき中ちゅう所しょ含的$\rho \int {V^{2} \over \Re }dn$，導しるべ致計算けいさん結果けっか須修正しゅうせい。

特例とくれい：托たく里さと切きり利り定律ていりつ

當とう液體えきたい因いん受到地ち心こころ吸力的てき作用さよう而流出りゅうしゅつ時じ，其速度そくど等とう於${\sqrt {2gh}}$，其中$g$為ため重力じゅうりょく加速度かそくど，$h$為ため開口かいこう的てき中心ちゅうしん和わ液體えきたい最高さいこう面めん的てき距離きょり。這個速度そくど剛つよし好こう等とう於液體えきたい從したがえ離はなれ地ち$h$的てき地方ちほう以自由じゆう落體らくたい的てき方式ほうしき下落げらく時じ著ちょ地ち前まえ的てき速度そくど（但ただし實際じっさい上じょう因いん為ため有ゆう空氣くうき阻力，所以ゆえん實際じっさい情じょう形がた一般不會以自由落體的方式下落）。

伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ演えんじ示しめせ實驗じっけん

簡易かんい噴槍

運うん作中さくちゅう的てき簡易かんい噴槍

簡易かんい噴霧ふんむ器き，以大吸管固定こてい兩りょう隻せき小しょう吸管使し之の夾角略りゃく小しょう於直角かく，因いん從したがえ吸管吹出ふきで之の氣體きたい流速りゅうそく較快，壓力あつりょく較一大氣たいき壓力あつりょく為ため低てい，因いん此能夠將水すい經由けいゆ下か端はし吸管中ちゅう吸起，並なみ於開口かいこう處しょ加速かそく破碎はさい成なり霧きり滴しずく，模型もけい製作せいさく用よう噴槍以及工業こうぎょう用よう噴漆噴槍多おお為ため此種設計せっけい。

不ふ過か因いん為ため伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ是ぜ假設かせつ流體りゅうたい沿著流りゅう線せん流動りゅうどう，探さがせ討同一流線上二點的速度及壓力變化。因よし此有些現象げんしょう和わ伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ無關むせき，例れい如懸浮保麗うらら龍りゅう球だま，將はた可か折おり彎的吸管一端向上穩定吹出氣體，將しょう一いち直徑ちょっけい約やく3公おおやけ分ぶん之の保たもて麗うらら龍りゅう球だま放置ほうち於氣柱ばしら上じょう，保ほ麗うらら龍りゅう球だま能のう夠懸浮晃動どう於一定いってい區域くいき中ちゅう，因いん為ため保ほ麗うらら龍りゅう球だま上方かみがた和かず下方かほう的てき氣流きりゅう不ふ是ぜ同どう一流いちりゅう線せん，這和伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ無關むせき，是ぜ康かん達いたる效こう應おう的てき結果けっか。

可か壓縮あっしゅく流體りゅうたい的てき伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ

伯はく努つとむ利り從したがえ觀察かんさつ液體えきたい的てき行為こうい中ちゅう推導出どうしゅつ伯はく努つとむ利とぎ方程式ほうていしき，但ただし他た的てき方かた程ほど是これ只ただ能のう應用おうよう在ざい不可ふか壓縮あっしゅく的てき流體りゅうたい，以及雖然可か壓縮あっしゅく但ただし流速りゅうそく非常ひじょう慢的流體りゅうたい（也許可きょか以到1/3的てき聲こえ速そく）。利用りよう基本きほん物理ぶつり原理げんり，可か以發展はってん出で類似るいじ的てき方程式ほうていしき，以適用てきよう於可壓縮あっしゅく的てき流體りゅうたい。以下いか有ゆう幾いく個こ類似るいじ於伯努力どりょく定律ていりつ，能のう應用おうよう在ざい不同ふどう領域りょういき方程式ほうていしき。它們的てき推導只ただ運用うんよう了りょう像ぞう是ぜ牛うし頓ひたぶる第だい二に定律ていりつ和わ熱ねつ力學りきがく第だい一いち定律ていりつ的てき基本きほん物理ぶつり定律ていりつ。

可か壓縮あっしゅく流體りゅうたい之の流體りゅうたい力學りきがく

對たい於可壓縮あっしゅく的てき流體りゅうたい，在ざい保守ほしゅ力りょく的てき作用さよう之の下した，所得しょとく到いた的てき守恆もりつね式しき為ため

${\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}\ +\Psi ={\text{constant}}$   （流線型りゅうせんけい下か的てき守恆もりつね）

其中:

$p=\;$ 壓力あつりょく

$\rho =\;$ 密度みつど

$v=\;$ 流速りゅうそく

$\Psi =\;$ 保守ほしゅ力りょく場じょう下か的てき位い勢ぜい，通常つうじょう指ゆび重力じゅうりょく位い勢ぜい

在ざい工程こうてい領域りょういき，在ざい海拔かいばつ比較ひかく高だか的てき地方ちほう，其壓力りょく會かい比ひ地表ちひょう來らい的てき小しょう，而且流體りゅうたい流動的りゅうどうてき時間じかん通常つうじょう是ぜ相當そうとう的てき小しょう，如同絕ぜっ熱ねつ系統けいとう般。在ざい這種情じょう形がた下か，上述じょうじゅつ的てき方かた程ほど即そく

${\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}$   （流線型りゅうせんけい下か的てき守恆もりつね）

其中：

$\gamma =\;$ 絕ぜっ熱ねつ指數しすう

$g=\;$ 重力じゅうりょく加速度かそくど

$z=\;$ 離はなれ參考さんこう平面へいめん的てき高度こうど

在ざい可か壓縮あっしゅく流體りゅうたい可か以應用おうよう的てき地方ちほう，因いん為ため高度こうど變化へんか與あずか其他變へん因いん相しょう比ひ小しょう的てき很多，故こgz項こう可か以省略しょうりゃく，所しょ以較常用じょうよう的てき方程式ほうていしき為ため

${\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}$

其中:

$p_{0}=\;$ 總そう壓力あつりょく

$\rho _{0}=\;$ 總そう密度みつど

可か壓縮あっしゅく流動的りゅうどうてき熱ねつ力學りきがく

另一個適合使用在熱力學的公式是

${v^{2} \over 2}+\Psi +w={\text{constant}}$

其中：

$v=\;$ 流速りゅうそく

$\Psi =\;$ 重力じゅうりょく位い勢ぜい

$w=\;$ 單位たんい質量しつりょう的てき焓（通常つうじょう寫うつし作さく$h$，但ただし注意ちゅうい並なみ非ひ表示ひょうじ高度こうど）

請注意ちゅうい$w=\epsilon +{\frac {p}{\rho }}$ ，其中$\epsilon$為ため熱ねつ力學りきがく單位たんい質量しつりょう的てき能のう量りょう，即そく比ひ內能（specific internal energy）；$p$為ため壓力あつりょく；$\rho$為ため密度みつど。

公式こうしき右側みぎがわ的てき常數じょうすう通常つうじょう被ひ稱しょう為ため伯はく努力どりょく常數じょうすう，常つね被ひ寫うつし為ため$b$。當とう在ざい絕ぜっ熱ねつ非ひ黏滯性的せいてき流動りゅうどう，沒ぼつ有能ゆうのう量的りょうてき流りゅう進しん或ある流出りゅうしゅつ時じ，$b$在任ざいにん何なん曲線きょくせん都と是ぜ常數じょうすう。

當とう$\Psi$變化へんか可か以忽略りゃく，一個非常有用的形式的方程式是:

${v^{2} \over 2}+w=w_{0}$

其中$w_{0}$是ぜ焓的總量そうりょう。

相關そうかん條目じょうもく

• 丹たん尼に尔·伯はく努つとむ利り
• 康かん達いたる效こう應おう
• 欧おう拉ひしげ方かた程ほど (流体りゅうたい动力学がく)
• 水力すいりょく学がく
• 纳维-斯托克かつ斯方程ほど
• 流體りゅうたい動力どうりょく學がく
• 文丘ふみおか里さと效こう应

延伸えんしん閱讀

• Ting, J. fluid mechanics. createspace. 2014 [2016-11-14]. ISBN 978-149426094-1. （原始げんし内容ないよう存そん档于2021-05-05）. 
• Batchelor, G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0-521-66396-2. 
• Clancy, L.J. Aerodynamics. Pitman Publishing, London. 1975. ISBN 0-273-01120-0. 
• Lamb, H. Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1993. ISBN 978-0-521-45868-9.  Originally published in 1879; the 6th extended edition appeared first in 1932.
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics 2nd. Pergamon Press. 1987. ISBN 0-7506-2767-0. 
• Chanson, H. Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. CRC Press, Taylor & Francis Group. 2009 [2015-01-06]. ISBN 978-0-415-49271-3. （原始げんし内容ないよう存そん档于2011-08-07）. 

外部がいぶ連結れんけつ

• Head and Energy of Fluid Flow （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Bernoulli equation calculator
• Denver University – Bernoulli's equation and pressure measurement （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Millersville University – Applications of Euler's equation
• NASA – Beginner's guide to aerodynamics （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Misinterpretations of Bernoulli's equation – Weltner and Ingelman-Sundberg （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）