伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ

气体流入りゅうにゅう文丘ふみおか里さと计。减少流体りゅうたい压力而增加ぞうか动能，由ゆかり图中两管水すい的てき高度こうど差さ可か以看出で气压差さ异。

伯はく努つとむ利とぎ原理げんり（英えい语：Bernoulli's principle），又また称たたえ伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ或ある柏かしわ努つとむ利とぎ定律ていりつ（英えい语：Bernoulli's Law），是ぜ流体りゅうたい力学りきがく中なか的てき一いち个定律ていりつ，由ゆかり瑞みず士し流体りゅうたい物理ぶつり学がく家か丹たん尼に尔·伯はく努つとむ利り于1738年ねん出版しゅっぱん他た的てき理り论《Hydrodynamica》，描述流体りゅうたい沿着一いち条じょう稳定、非ひ黏性、不可ふか压缩的てき流りゅう线移动行为。

在ざい流体りゅうたい动力学がく，伯はく努つとむ利とぎ原理げんり指出さしで，无黏性せい的てき流体りゅうたい的てき速度そくど增加ぞうか时，流体りゅうたい的てき压力能のう或ある势能（势能）总和将はた减少。

伯はく努つとむ利とぎ原理げんり可か以应用よう到いた不ふ同どう类型的てき流体りゅうたい流りゅう动，从而是ぜ可か广泛套用的てき伯はく努つとむ利り方かた程ほど表示ひょうじ式しき。事こと实上，有ゆう不同ふどう类型的てき伯はく努つとむ利り方かた程ほど不同ふどう形式けいしき的てき。伯はく努つとむ利とぎ原理げんり的てき简单形式けいしき是ぜ有效ゆうこう的てき不可ふか压缩流りゅう动（如液体えきたい流りゅう动），也为移うつり动可压缩流体りゅうたい（如气体たい）在ざい低ひく马赫数すう（通常つうじょう小しょう于0.3）。更さら先さき进的形式けいしき可か被ひ应用到いた在ざい某ぼう些情况 下か，在ざい更さら高だか的てき马赫数すう（见伯努つとむ利り方かた程ほど的てき推导）可か压缩流りゅう。

伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ可か以从能のう量りょう守恒もりつね定律ていりつ来らい推演。说明如下：在ざい一个稳定的水流，沿着直ちょく线流向むこう的てき所有しょゆう点てん上じょう，各かく种形式しき的てき流体りゅうたい机つくえ械能总和必定ひつじょう相しょう同どう。也就是ぜ说，动能，势能，与あずか内うち能のう的てき总和保持ほじ不ふ变。换言之の，任にん何なん的てき流体りゅうたい速度そくど增加ぞうか，即そく代表だいひょう动态压力和わ单位体たい积动能のう的てき增加ぞうか，而在同どう时会导致其静态压力りょく，单位体たい积流体りゅうたい的てき势能、内うち能のう等とう三さん者しゃ总和的てき减少。如果液体えきたい流出りゅうしゅつ水すい库，在ざい各かく方向ほうこう的てき流りゅう线上，各かく种形式しき的てき能のう量的りょうてき总和是ぜ相しょう同どう的てき；因いん为每单位体たい积能量的りょうてき总和（即そく压力和わ单位体たい积流体りゅうたい的てき重力じゅうりょく势能$\rho gh$的てき总和）在ざい水みず库内的てき任にん何なん位置いち都と相しょう同どう。

伯はく努つとむ利とぎ原理げんり，也可以直接ちょくせつ由ゆかり牛うし顿第二に定律ていりつ推演。说明如下：如果从高压区域くいき往低压区域くいき，有ゆう一小体积流体沿水平方向流动，小体こてい积区域くいき后きさき方かた的てき压力自然しぜん比ひ前方ぜんぽう区域くいき的てき压力更さら大だい。所以ゆえん，此区域くいき的てき力量りきりょう总和必然ひつぜん是ぜ沿着流りゅう线方向ほうこう向こう前まえ。在ざい此假设，前ぜん后きさき方かた区域くいき面めん积相等とう，如此便びん提供ていきょう了りょう一个正方向合力施于原先设定的流体小体积区域，其加速度そくど与力よりき量りょう同どう方向ほうこう。此假想かそう环境中ちゅう，流体りゅうたい粒子りゅうし仅受到压力和わ自己じこ质量的てき重力じゅうりょく之の影かげ响。先さき假かり设如果はて流体りゅうたい沿着流りゅう线方向ほうこう作さく水平すいへい流りゅう动，并与流体りゅうたい流りゅう线的截面积垂直すいちょく，因いん为流体りゅうたい从高压区域くいき朝あさ低てい压区域くいき移うつり动，流体りゅうたい速度そくど因いん此增加ぞうか；如果该小体こてい积区域くいき的てき流速りゅうそく降くだ低てい，其唯一的可能性必定是因为它从低压区朝高压区移动。因よし此，任にん一水平流动流体之内，压力最低さいてい处有最高さいこう流速りゅうそく，压力最高さいこう处有最低さいてい流速りゅうそく。

物理ぶつり量りょう及定律ていりつ

原はら表おもて达形式しき

${\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gh+p={\mbox{constant}}$

其中：

$v=\;$ 流体りゅうたい速度そくど

$g=\;$ 重力じゅうりょく加速度かそくど（地球ちきゅう表面ひょうめん的てき值约为 9.8 m/s²）

$h=\;$ 流体りゅうたい处于的てき深度しんど（从某参考さんこう点てん计）

$p=\;$ 流体りゅうたい所しょ受的压力强度きょうど

$\rho =\;$ 流体りゅうたい质量密度みつど

${\mbox{constant}}=\;$ 常数じょうすう

定理ていり假かり设

使用しよう伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ必须符合ふごう以下いか假かり设，方ぽう可か使用しよう；如没完全かんぜん符合ふごう以下いか假かり设，所ところ求もとむ的てき解かい也是近似きんじ值。

• 定常ていじょう流りゅう动（或ある称しょう稳定流りゅう，Steady flow）：在ざい流りゅう动系统中，流体りゅうたい在任ざいにん何なん一点之性质不随时间改变。
• 不可ふか压缩流りゅう（Incompressible flow）：密度みつど为常数すう，在ざい流体りゅうたい为气体たい适用于马赫数すう$M$小しょう于0.3的てき情じょう况。
• 无摩擦まさつ流りゅう（Frictionsless flow）：摩擦まさつ效こう应可忽ゆるがせ略りゃく，忽ゆるがせ略りゃく黏滞性せい效こう应。
• 流体りゅうたい沿着流ながれ线流ながれ动（Flow along a streamline）：流体りゅうたい元素げんそ（element）沿着流りゅう线而流りゅう动，流りゅう线间彼此ひし是ぜ不ふ相あい交的。

推论过程

考こう虑一符合上述假设的流体，如图所しょ示しめせ：

流体りゅうたい因いん受压力りょく的てき推动而得之の能のう量りょう：

$F_{1}s_{1}-F_{2}s_{2}=p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.\;$

流体りゅうたい因いん重力じゅうりょく做功所しょ损失的てき能のう量りょう：

$mgh_{1}-mgh_{2}=\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}.\;$

流体りゅうたい所得しょとく的てき动能可か以改写うつし为：

${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}$

根ね据すえ能のう量りょう守恒もりつね定律ていりつ，流体りゅうたい因いん受力所得しょとく的てき能のう量りょう＋流体りゅうたい因いん重力じゅうりょく做功所しょ损失的てき能のう量りょう＝流体りゅうたい所得しょとく的てき动能。

$p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t-p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}-\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}={\frac {1}{2}}\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}$

${\frac {\rho A_{1}v_{1}\Delta tv_{1}^{2}}{2}}+\rho gA_{1}v_{1}\Delta th_{1}+p_{1}A_{1}v_{1}\Delta t={\frac {\rho A_{2}v_{2}\Delta tv_{2}^{2}}{2}}+\rho gA_{2}v_{2}\Delta th_{2}+p_{2}A_{2}v_{2}\Delta t.$

由ゆかり连续方かた程ほど可知かち：

$A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}={\mbox{constant}}$

令れい${\mbox{constant}}=\Delta V\;$

从等式とうしき两边除じょ以$\Delta t\;$ 及$\Delta V\;$可か得とく：

${\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gh+p={\mbox{constant}}$

或ある

${\frac {v^{2}}{2g}}+h+{\frac {p}{\rho g}}={\mbox{constant}}$

垂たれ直流ちょくりゅう线方向ほうこう的てき加速度かそくど定律ていりつ

受压力りょく及重力じゅうりょく作用さよう流体りゅうたい质点之の自由じゆう体たい图

考こう虑沿流りゅう线运动的微小びしょう流体りゅうたい质点，其质量りょう以$\delta m=\rho \delta n\delta s\delta y$表示ひょうじ，δでるたy代表だいひょう宽度，流体りゅうたい质点运动以速度そくど向むこう量りょうV表示ひょうじ，流りゅう线坐标可表示ひょうじ为与某ぼう参考さんこう点てん的てき距离s=s(t)及流线局部ぶ曲きょく率りつ半径はんけい$\Re =\Re (s)$ ，沿着流りゅう线的坐すわ标为s；垂たれ直流ちょくりゅう线的坐すわ标为 n。

在ざい垂たれ直流ちょくりゅう线的方向ほうこうn̂上うえ，由ゆかり于存在そんざい向こう心しん加速度かそくど$a_{n}={V^{2} \over \Re }$，故こ质点所しょ受合力ごうりょく为：

$\textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle ={\frac {\delta mV^{2}}{\Re }}={\frac {\rho \delta \mathbb {V} V^{2}}{\Re }}{\bar {V}}$，其中$\mathbb {V} =\delta s\delta n\delta y$为微小びしょう流体りゅうたい质点体たい积，$\rho$为流体りゅうたい密度みつど。

而质点てん所しょ受重力じゅうりょく为：

$\textstyle \delta W_{n}=-\delta W\cos \theta =-\gamma \delta \mathbb {V} \cos \theta$，其中$\textstyle \gamma =\rho g$。

如图所しょ示しめせ的てき质点中央ちゅうおう压力为p ，垂たれ直流ちょくりゅう线的两端平均へいきん压力分ぶん别为$\textstyle p+\delta p_{n}$及$\textstyle p-\delta p_{n}$，可用かよう泰たい勒级数すう展てん开求压力差さ异$\textstyle \delta p_{n}=({\frac {\partial p}{\partial n}})({\frac {\delta n}{2}})$。

$\delta F_{pn}$为质点てん于垂直方ちょくほう向上こうじょう所しょ受净压

${\begin{aligned}\sum \delta F_{pn}&=(p-\delta p_{n})\delta s\delta y-(p+\delta p_{n})\delta s\delta y=-2\delta p_{n}\delta s\delta y\\&=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta n\delta s\delta y=-{\frac {\partial p}{\partial n}}\delta \mathbb {V} \\\end{aligned}}$

故こ

$\textstyle \sum \delta F_{n}\displaystyle =\delta W_{n}+\delta F_{pn}=(-\gamma \cos \theta -{\frac {\partial p}{\partial n}})\delta \mathbb {V}$

因いん为沿着ぎ垂直すいちょく流りゅう线方向ほうこう $\textstyle \cos \theta ={dz \over dn}$，可か得え到いた垂直すいちょく流りゅう线方向ほうこう之の运动方かた程ほど

$(-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }$

此式意味いみ着ぎ，垂直すいちょく于流线的压力梯はしご度ど及质点てん所しょ受重力じゅうりょく会かい改あらため变流向むこう，造成ぞうせい弯曲的てき流りゅう线。

若わか忽ゆるがせ略りゃく重力じゅうりょく的てき因いん素もと，即そく只ただ考こう虑流体りゅうたい在ざい水平面すいへいめん的てき流りゅう动，以龙卷まき风为例れい，${dz \over dn}=0$，会得えとく到いた${\frac {\partial p}{\partial n}}=-{\rho V^{2} \over \Re }$，这意味いみ着ぎ，压力随ずい着ぎ远离曲きょく率りつ中心ちゅうしん的てき距离而增大ぞうだい（n的てき正ただし向こう，指向しこう弯曲流りゅう线的内部ないぶ），由ゆかり于${\rho V^{2} \over \Re }$为正值，因いん此${\partial p \over \partial n}$会かい是ぜ负的，在ざい龙卷风之外的がいてき压力（典型てんけい的てき大だい气压力りょく）远大于中心ちゅうしん处（低てい气压，可能かのう会かい产生部分ぶぶん真空しんくう），而这些压力りょく差さ会かい被ひ用よう于平衡へいこう曲きょく率りつ运动所しょ需的向こう心力しんりょく。

在ざいs为定值的情じょう况下

${\partial p \over \partial n}={dp \over dn}$

沿n的てき方向ほうこう积分可か得とく

$\int {dp \over \rho }+\int {V^{2} \over \Re }dn+gz={\mbox{constant along the streamline}}$

对于不可ふか压缩流りゅう，可か得とく

$p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}$

由よし推导方かた程ほど所しょ需的基本きほん假かり设：稳定、无黏性せい 及不可ふか压缩流りゅう，可か以得出で

1.跨またが过流线的运动方かた程ほど $(-\gamma {dz \over dn}-{\frac {\partial p}{\partial n}})={\rho V^{2} \over \Re }$

$p+\rho \int {V^{2} \over \Re }dn+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}$

2.沿着流りゅう线的运动方かた程ほど 同どう上述じょうじゅつ做法，可か得とく出で沿着流りゅう线方向ほうこう之の运动方かた程ほど

$(-\gamma {dz \over ds}-{\frac {\partial p}{\partial s}})={\rho \over 2}{dV^{2} \over ds}$

以及伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ

$p+{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}+\gamma z={\mbox{constant along the streamline}}$

在ざい跨またが过流线的情じょう形がた使用しよう伯はく努力どりょく定律ていりつ时，若わか流体りゅうたい位置いち发生旋转或ある弯曲，就会因いん跨またが过流线的运动方かた程ほど中ちゅう所しょ含的$\rho \int {V^{2} \over \Re }dn$，导致计算结果须修正しゅうせい。

特例とくれい：托たく里さと切きり利り定律ていりつ

当とう液体えきたい因いん受到地ち心こころ吸力的てき作用さよう而流出りゅうしゅつ时，其速度そくど等とう于${\sqrt {2gh}}$，其中$g$为重力じゅうりょく加速度かそくど，$h$为开口こう的てき中心ちゅうしん和わ液体えきたい最高さいこう面めん的てき距离。这个速度そくど刚好等とう于液体えきたい从离地ち$h$的てき地方ちほう以自由じゆう落体らくたい的てき方式ほうしき下か落时着地ちゃくち前まえ的てき速度そくど（但ただし实际上じょう因いん为有空そら气阻力りょく，所以ゆえん实际情じょう形がた一般不会以自由落体的方式下落）。

伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ演えんじ示しめせ实验

简易喷枪

运作中ちゅう的てき简易喷枪

简易喷雾器き，以大吸管固定こてい两只小しょう吸管使し之の夹角略りゃく小しょう于直角かく，因いん从吸管かん吹出ふきで之の气体流速りゅうそく较快，压力较一大气压力为低，因いん此能够将水すい经由下端かたん吸管中ちゅう吸起，并于开口处加速そく破碎はさい成なり雾滴，模型もけい制作せいさく用よう喷枪以及工こう业用喷漆喷枪多た为此种设计。

不ふ过因为伯努つとむ利とぎ定律ていりつ是ぜ假かり设流体りゅうたい沿着流りゅう线流动，探さがせ讨同一流线上二点的速度及压力变化。因よし此有些现象ぞう和わ伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ无关，例れい如悬浮保丽龙球だま，将はた可か折おり弯的吸管一端向上稳定吹出气体，将しょう一いち直径ちょっけい约3公おおやけ分ぶん之の保たもて丽龙球だま放置ほうち于气柱ばしら上じょう，保ほ丽龙球だま能のう够悬浮晃动于一定いってい区域くいき中ちゅう，因いん为保丽龙球だま上方かみがた和かず下方かほう的てき气流不ふ是ぜ同どう一流いちりゅう线，这和伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ无关，是ぜ康かん达效应的てき结果。

可か压缩流体りゅうたい的てき伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ

伯はく努つとむ利とぎ从观察液体えきたい的てき行ぎょう为中推导出で伯はく努つとむ利り方かた程ほど，但ただし他た的てき方かた程ほど是これ只ただ能のう应用在ざい不可ふか压缩的てき流体りゅうたい，以及虽然可か压缩但ただし流速りゅうそく非常ひじょう慢的流体りゅうたい（也许可か以到1/3的てき声こえ速そく）。利用りよう基本きほん物理ぶつり原理げんり，可か以发展てん出で类似的てき方かた程ほど，以适用よう于可压缩的てき流体りゅうたい。以下いか有ゆう几个类似于伯努力どりょく定律ていりつ，能のう应用在ざい不同ふどう领域方かた程ほど。它们的てき推导只ただ运用了りょう像ぞう是ぜ牛うし顿第二に定律ていりつ和わ热力学がく第だい一いち定律ていりつ的てき基本きほん物理ぶつり定律ていりつ。

可か压缩流体りゅうたい之の流体りゅうたい力学りきがく

对于可か压缩的てき流体りゅうたい，在ざい保守ほしゅ力りょく的てき作用さよう之の下した，所得しょとく到いた的てき守恒もりつね式しき为

${\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}\ +\Psi ={\text{constant}}$   （流ながれ线型下か的てき守恒もりつね）

其中:

$p=\;$ 压力

$\rho =\;$ 密度みつど

$v=\;$ 流速りゅうそく

$\Psi =\;$ 保守ほしゅ力りょく场下的てき位い势，通常つうじょう指ゆび重力じゅうりょく位い势

在ざい工程こうてい领域，在ざい海拔かいばつ比ひ较高的てき地方ちほう，其压力りょく会かい比ひ地表ちひょう来らい的てき小しょう，而且流体りゅうたい流りゅう动的时间通常つうじょう是ぜ相当そうとう的てき小しょう，如同绝热系けい统般。在ざい这种情じょう形がた下か，上述じょうじゅつ的てき方かた程ほど即そく

${\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}$   （流ながれ线型下か的てき守恒もりつね）

其中：

$\gamma =\;$ 绝热指数しすう

$g=\;$ 重力じゅうりょく加速度かそくど

$z=\;$ 离参考さんこう平面へいめん的てき高度こうど

在ざい可か压缩流体りゅうたい可か以应用よう的てき地方ちほう，因いん为高度ど变化与あずか其他变因相しょう比ひ小しょう的てき很多，故こgz项可以省略しょうりゃく，所しょ以较常用じょうよう的てき方かた程ほど为

${\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}$

其中:

$p_{0}=\;$ 总压力りょく

$\rho _{0}=\;$ 总密度みつど

可か压缩流りゅう动的热力学がく

另一个适合使用在热力学的公式是

${v^{2} \over 2}+\Psi +w={\text{constant}}$

其中：

$v=\;$ 流速りゅうそく

$\Psi =\;$ 重力じゅうりょく位い势

$w=\;$ 单位质量的てき焓（通常つうじょう写うつし作さく$h$，但ただし注意ちゅうい并非表示ひょうじ高度こうど）

请注意ちゅうい$w=\epsilon +{\frac {p}{\rho }}$ ，其中$\epsilon$为热力学りきがく单位质量的てき能のう量りょう，即そく比内ひない能のう（specific internal energy）；$p$为压力りょく；$\rho$为密度ど。

公式こうしき右みぎ侧的常数じょうすう通常つうじょう被ひ称しょう为伯努力どりょく常数じょうすう，常つね被ひ写うつし为$b$。当とう在ざい绝热非ひ黏滞性的せいてき流りゅう动，没ぼつ有能ゆうのう量的りょうてき流りゅう进或流出りゅうしゅつ时，$b$在任ざいにん何なん曲きょく线都是ぜ常数じょうすう。

当とう$\Psi$变化可か以忽略りゃく，一个非常有用的形式的方程是:

${v^{2} \over 2}+w=w_{0}$

其中$w_{0}$是ぜ焓的总量。

相あい关条目め

• 丹たん尼に尔·伯はく努つとむ利り
• 康かん达效应
• 欧おう拉ひしげ方かた程ほど (流体りゅうたい动力学がく)
• 水力すいりょく学がく
• 纳维-斯托克かつ斯方程ほど
• 流体りゅうたい动力学がく
• 文丘ふみおか里さと效こう应

延伸えんしん阅读

• Ting, J. fluid mechanics. createspace. 2014 [2016-11-14]. ISBN 978-149426094-1. （原始げんし内容ないよう存そん档于2021-05-05）. 
• Batchelor, G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0-521-66396-2. 
• Clancy, L.J. Aerodynamics. Pitman Publishing, London. 1975. ISBN 0-273-01120-0. 
• Lamb, H. Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1993. ISBN 978-0-521-45868-9.  Originally published in 1879; the 6th extended edition appeared first in 1932.
• Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Fluid Mechanics. Course of Theoretical Physics 2nd. Pergamon Press. 1987. ISBN 0-7506-2767-0. 
• Chanson, H. Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. CRC Press, Taylor & Francis Group. 2009 [2015-01-06]. ISBN 978-0-415-49271-3. （原始げんし内容ないよう存そん档于2011-08-07）. 

外部がいぶ链接

• Head and Energy of Fluid Flow （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Bernoulli equation calculator
• Denver University – Bernoulli's equation and pressure measurement （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Millersville University – Applications of Euler's equation
• NASA – Beginner's guide to aerodynamics （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Misinterpretations of Bernoulli's equation – Weltner and Ingelman-Sundberg （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）