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在交換代數中,準素分解將一個交換環的理想(或模的子模)唯一地表成準素理想(或準素子模)之交。這是算術基本定理的推廣,能用以處理代數幾何中的情況。
設
為交換諾特環,
為有限生成之
-模。對任一子模
,存在有限多個準素子模
使得
![{\displaystyle N=\bigcap _{i}M_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3053568e482810b02ad6315af7f48877c869f8a7)
事實上,可以要求此分解是最小的(即:無法省去任何
),且諸準素子模
對應到的素理想彼此相異。滿足上述條件的準素分解是唯一確定的。
最常見的情形是取
,並取
為一理想。任取一準素分解
,這些
中的極小者稱為
的孤立素理想,否則稱為鑲嵌素理想;孤立素理想是
的一組不變量。
在幾何上,
的孤立素理想對應到仿射概形
的閉子集
之不可約成份。
伊曼紐·拉斯克在1905年證明了
為多項式環的情形。埃米·諾特在1921年證明上述的推廣版本。職是之故,準素分解的存在性也被稱為拉斯克-諾特定理。
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