算さん术-几何平均へいきん值不等式とうしき

算さん术-几何平均へいきん值不等式とうしき，簡稱算さん几不等式とうしき，是ぜ一个常见而基本的不等式ふとうしき，表おもて现算さん术平均へいきん数すう和わ几何平均へいきん数すう之これ间恒定じょう的てき不等ふとう关系。设$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$为 $n$ 个正实数，它们的てき算さん术平均へいきん数すう是これ$\mathbf {A} _{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$，它们的てき几何平均へいきん数すう是これ $\mathbf {G} _{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}$。算さん术-几何平均へいきん值不等式とうしき表明ひょうめい，对任意にんい的てき非ひ负实数$x_{1},\ldots ,x_{n}$：

$\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$

等号とうごう成立せいりつ当とう且仅当とう $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ 。

通常つうじょう用よう于两个数之の间，设这两个数すう为$a$和わ$b$，也就是ぜ${\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}$

算さん术-几何平均へいきん值不等式とうしき仅适用よう于正实数，是ぜ对数函数かんすう之これ凹性的てき体からだ现，在ざい数学すうがく、自然しぜん科学かがく、工程こうてい科学かがく以及经济学がく等とう其它学科がっか都と有ゆう应用。

算さん术-几何平均へいきん值不等式とうしき有ゆう時じ被ひ称しょう为平均へいきん值不等式とうしき（或ある均ひとし值不等式とうしき），其實后きさき者しゃ是ぜ一组更廣泛的不等式。

例れい子こ

在ざい $n=4$ 的てき情じょう况，设：$x_{1}=3.5,\ x_{2}=6.2,\ x_{3}=8.4,\ x_{4}=5$，那な么

$\mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945$

可か见$\mathbf {A} _{4}\geq \mathbf {G} _{4}$。

历史上しじょう的てき证明

历史上じょう，算さん术-几何平均へいきん值不等式とうしき拥有众多证明。$n=2$的てき情じょう况很早さ就为人じん所しょ知ち，但ただし对于一般いっぱん的てき $n$，不等式ふとうしき并不容易ようい证明。1729年ねん，英国えいこく数学すうがく家か麦むぎ克かつ劳林最早もはや给出一般情况的证明，用よう的てき是ぜ调整法ほう，然しか而这个证明あかり并不严谨，是ぜ错误的てき。

柯西的てき证明

1821年ねん，法ほう国こく数学すうがく家か柯西在ざい他た的てき著作ちょさく《分析ぶんせき教程きょうてい》中ちゅう给出一いち个使用しよう逆ぎゃく向こう归纳法ほう的てき证明：

命いのち题$P_{n}$：对任意にんい的てき $n$ 个正实数$x_{1},\ldots ,x_{n}$，$\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$

当とう $n=2$ 时，$P_{2}$显然成立せいりつ。假かり设 $P_{n}$ 成立せいりつ，那な么 $P_{2n}$ 成立せいりつ。证明：对于$2n$ 个正实数$x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}$，

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+y_{1}+\cdots y_{n}}{2n}}=\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}+{\frac {y_{1}+\cdots +y_{n}}{n}}\right)$

$\geq \ {\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}\right)\geq \ {\sqrt {{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}}$

$=\ {\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}$

假かり设$P_{n}$成立せいりつ，那な么$P_{n-1}$成立せいりつ。证明：对于$n-1$ 个正实数$x_{1},\cdots ,x_{n-1}$，设$\mathbf {A} _{n-1}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}$，$\mathbf {G} _{n-1}={\sqrt[{n-1}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}}}$，那な么由于$P_{n}$成立せいりつ， ${\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\mathbf {A} _{n-1}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}}$。

但ただし是これ $x_{1}+\cdots +x_{n-1}=(n-1)\mathbf {A} _{n-1}$， $x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}=\mathbf {G} _{n-1}^{n-1}$，因いん此上式しき正せい好こう变成

$\mathbf {A} _{n-1}^{n}\geq \mathbf {G} _{n-1}^{n-1}\mathbf {A} _{n-1}$

也就是ぜ说$\mathbf {A} _{n-1}\geq \mathbf {G} _{n-1}$

综上可か以得到いた结论：对任意にんい的てき自然しぜん数すう $n\geq 2$，命いのち题 $P_{n}$ 都と成立せいりつ。这是因いん为由前ぜん两条可か以得到いた：对任意にんい的てき自然しぜん数すう $k$，命いのち题 $P_{2^{k}}$ 都と成立せいりつ。因よし此对任意にんい的てき $n\geq 2$，可か以先找 $k$ 使つかい得とく $2^{k}\geq n$，再さい结合第だい三条就可以得到命题 $P_{n}$ 成立せいりつ了りょう。

归纳法的ほうてき证明

使用しよう常つね规数学がく归纳法的ほうてき证明则有乔治·克かつ里さと斯托（George Chrystal）在ざい其著作ちょさく《代数だいすう论》（Algebra）的てき第だい二に卷かん中ちゅう给出的てき：

由よし对称性せい不ふ妨さまたげ设 $x_{n+1}$ 是これ $x_{1},x_{2}\cdots x_{n+1}$ 中ちゅう最大さいだい的てき，由ゆかり于 $\mathbf {A} _{n+1}={\frac {n\mathbf {A} _{n}+x_{n+1}}{n+1}}$ ，设 $x_{n+1}=\mathbf {A} _{n}+b$，则 $b\geq 0$，并且有ゆう $\mathbf {A} _{n+1}=\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}}$。

根ね据すえ二に项式定理ていり，

$\mathbf {A} _{n+1}^{n+1}=(\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}})^{n+1}\geq \mathbf {A} _{n}^{n+1}+(n+1)\mathbf {A} _{n}^{n}{\frac {b}{n+1}}=\mathbf {A} _{n}^{n}(\mathbf {A} _{n}+b)=\mathbf {A} _{n}^{n}x_{n+1}\geq \mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}$

$=x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}=\mathbf {G} _{n+1}^{n+1}$

于是完成かんせい了りょう从 $n$ 到いた $n+1$ 的てき证明。

此外还有更さら简洁的てき归纳法ほう证明：

在ざい $n$ 的てき情じょう况下有ゆう不等式ふとうしき $\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}$ 和わ $x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}\geq n{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}$ 成立せいりつ，于是：

${\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}}{n}}\geq \mathbf {G} _{n}+{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}\geq 2{\sqrt[{2n}]{\mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}=2\mathbf {G} _{n+1}$

所以ゆえん $(n+1)\mathbf {A} _{n+1}=x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}\geq 2n\mathbf {G} _{n+1}-(n-1)\mathbf {G} _{n+1}=(n+1)\mathbf {G} _{n+1}$，从而有ゆう$\mathbf {A} _{n+1}\geq \mathbf {G} _{n+1}$。

基もと于琴生せい不等式ふとうしき的てき证明

注意ちゅうい到いた几何平均へいきん数すう$\mathbf {G} _{n}$ 实际上等じょうとう于 $\exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right)$，因いん此算术-几何平均へいきん不等式ふとうしき等とう价于：

$\ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}$。

由よし于对数函数かんすう是ぜ一いち个凹函数すう，由ゆかり琴きん生せい不等式ふとうしき可知かち上うえ式しき成立せいりつ。

基もと于排序じょ不等式ふとうしき的てき证明

令れい $b_{i}={\frac {a_{i}}{{\mathbf {G} }_{n}}}(i=1,2,3,...,n)$，于是有ゆう $b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=1$，再さい作さく代だい换 $b_{1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac {c_{2}}{c_{3}}},\cdots ,b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{1}}}$，运用排はい序じょ不等式ふとうしき得え到いた：

${\frac {c_{1}}{c_{2}}}+{\frac {c_{2}}{c_{3}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{c_{1}}}\geqslant {\frac {c_{1}}{c_{1}}}+{\frac {c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac {c_{n}}{c_{n}}}=n$，

于是得え到いた $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\geqslant n{\mathbf {G} }_{n}$，即そく原げん不等式ふとうしき成立せいりつ。

此外还有基もと于伯はく努つとむ利とぎ不等式ふとうしき或ある借か助じょ调整法ほう、辅助函数かんすう求もとめ导和加か强きょう命いのち题的证明。

推广

算さん术-几何平均へいきん不等式ふとうしき有ゆう很多不同ふどう形式けいしき的てき推广。

加か权算术-几何平均へいきん不等式ふとうしき

不ふ仅“均ひとし匀”的てき算さん术平均へいきん数すう和わ几何平均へいきん数すう之の间有不等式ふとうしき，加か权的算さん术平均へいきん数すう和わ几何平均へいきん数すう之の间也有ゆう不等式ふとうしき。设 $x_{1},\cdots ,x_{n}$ 和わ $p_{1},\cdots ,p_{n}$ 为正实数，并且 $p_{1}+p_{2}\cdots +p_{n}=1$，那な么：

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}$。

加か权算术-几何平均へいきん不等式ふとうしき可か以由琴きん生せい不等式ふとうしき得え到いた。

矩のり阵形式しき

算さん术-几何平均へいきん不等式ふとうしき可か以看成なり是ぜ一いち维向むかい量りょう的まと系けい数すう的てき平均へいきん数すう不等式ふとうしき。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系けい数すう都と是正ぜせい实数的てき矩のり阵

${\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nk}\end{bmatrix}}$

设 $A_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}$，$G_{i}={\sqrt[{k}]{\prod _{j=1}^{k}a_{ij}}}$，那な么有：

${\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}$

也就是ぜ说：对 $k$ 个纵列れつ取と算さん术平均へいきん数すう，它们的てき几何平均へいきん小しょう于等于对 $n$ 个横行おうこう取的とりてき $n$ 个几何なん平均へいきん数すう的てき算さん术平均へいきん。

极限形式けいしき

也称为积分形式けいしき：对任意にんい在ざい区く间$[0,1]$上うえ可か积的正せい值函数すう $f$，都みやこ有ゆう

$\int _{0}^{1}f(x)dx\geq \exp(\int _{0}^{1}\ln f(x)dx)$

这实际上是ぜ在ざい算さん术-几何平均へいきん值不等式とうしき取と成なり ${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq \exp({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}})$ 后きさき，将はた两边的てき黎はじむ曼和中なか的てき $n$ 趋于无穷大だい后きさき得え到いた的てき形式けいしき。

算數さんすう-幾何きか-調和ちょうわ平均へいきん值不等式とうしき

若わか再さい規定きてい$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$的てき调和平均へいきん数すう $H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.$

則のり有ゆう

$\mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}$

且等号ごう依よ舊きゅう成立せいりつ当とう且仅当とう $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$ 。

證明しょうめい由よし算數さんすう-幾何きか平均へいきん值不等式とうしき知ち

${\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}{x_{2}}}\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

故こ

${\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}$

即そく

$\mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}$

且等號ごう成立せいりつ於

${\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}}}=\cdots ={\frac {1}{x_{n}}}$

即そく

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

参まいり见

• 平均へいきん数すう不等式ふとうしき
• 算さん术平均へいきん数すう
• 几何平均へいきん数すう
• 幂平均へいきん不等式ふとうしき
• 杨氏不等式ふとうしき

参考さんこう来らい源げん

• 匡ただし继昌，《常用じょうよう不等式ふとうしき》，山やま东科技わざ出版しゅっぱん社しゃ。
• 李り胜宏，《平均へいきん不等式ふとうしき与あずか柯西不等式ふとうしき》，华东师大出版しゅっぱん社しゃ。
• 莫里斯·克かつ莱因（Morris Kline），张理京きょう 张锦炎えん 江こう泽涵 译，《古今ここん数学すうがく思想しそう》，上海しゃんはい科学かがく技わざ术出版しゅっぱん社しゃ。
• 李り兴怀，《学科がっか奥おく林りん匹ひき克かつ丛书·高だか中ちゅう数学すうがく》，广东教育きょういく出版しゅっぱん社しゃ。