轨形

这术语的来らい源げん不ふ该归在ざい我身わがみ上じょう。它是我わが在ざい1976-77年ねん的てき课程中通なかとおり过民主みんしゅ程ほど序じょ获得的てき。轨形是ぜ有ゆう很多“折おり”（fold）的てき东西，但ただし是ぜ“manifold”（流行りゅうこう）已やめ经占了りょう一いち个位置いち。我わが试着用ちゃくよう“foldamani”，但ただし很快被ひ“manifolded”取と代だい了りょう。我わが每次まいじ都と耐たい心地ごこち说“不ふ，不ふ是ぜ流りゅう形がた，是ぜ‘死し流りゅう形がた’（manifoldead）”，两个月がつ后きさき我わが们搞了りょう一いち次じ投票とうひょう，“轨形”（orbifold）获胜了りょう。

Thurston (1978–1981, p. 300，section 13.2)解かい释了“轨形”（orbifold）的てき起源きげん

拓つぶせ扑学与あずか几何学がく中なか，轨形（orbifold，“有ゆう轨的流りゅう形がた”）是ぜ对流ながれ形がた的てき推广。粗略そりゃく地ち说，轨形是ぜ局部きょくぶ为欧氏し空そら间的有限ゆうげん群ぐん商しょう的てき拓つぶせ扑空间。

轨形的てき定てい义已出で现过好こう几次：1950年代ねんだい佐武さたけ一郎いちろう在ざい研究けんきゅう自じ守もり形式けいしき时将其命名めいめい为“V-流ながれ形がた”；1970年代ねんだい，威い廉かど·瑟斯顿在ざい研究けんきゅう3-流ながれ形がた的てき几何时，经过与学生がくせい的てき投票とうひょう将はた其命名めいめい为“轨形”；1980年代ねんだい，André Haefliger在ざい研究けんきゅう米べい哈伊尔·格かく罗莫夫おっと的てきCAT(k)空そら间纲领时将其命名めいめい为“轨边形がた”（orbihedron）。

历史上じょう，早はや在ざい正式せいしき定てい义出现前，轨形首くび先さき是ぜ作さく为具有ぐゆう奇き点てん的てき曲面きょくめん出で现的。最早もはや的てき经典例れい子こ之の一いち出で现在模かたぎ形式けいしき理り论中，模も群ぐん$\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$对上うえ半平はんぺん面めん的てき作用さよう：对商添加てんか2个轨形がた尖とんが点てん、实现紧化后きさき，可か得え到いた黎はじむ曼–罗赫定理ていり的てき一いち种表述じゅつ。3-流ながれ形がた理り论中，赫伯特とく·塞ふさが弗どる特とく提出ていしゅつ的てき塞ふさが弗どる特とく纤维空そら间理り论可用よう2维轨形がた表ひょう述じゅつ。几何群ぐん论中なか，后きさき格かく罗莫夫おっと时期的てき离散群ぐん是ぜ根ね据すえ“轨边形がた”（orbihedron）及其覆くつがえ叠空间的てき局部きょくぶ曲きょく率りつ特性とくせい来らい研究けんきゅう的てき。

弦つる论中なか，“轨形”的てき含义略りゃく有ゆう不同ふどう。下しも详。二に维共形がた场论中なか，“轨形”指ゆび顶点代数だいすう在ざい自じ同どう构的てき有限ゆうげん群ぐん作用さよう下か附着ふちゃく于定点てん的てき子こ代数だいすう。

底そこ空そら间的主要しゅよう例れい子こ是ぜ流りゅう形がた在ざい具有ぐゆう迷向有限ゆうげん子こ群ぐん的てき微分びぶん同どう胚はい（可能かのう无限）群ぐん的てき纯不连续作用さよう下か的てき商しょう空そら间。这尤其适于有限ゆうげん群ぐん的てき任にん何なん作用さよう，于是有界ゆうかい流りゅう形がた带有自然しぜん的てき轨形结构，因いん为它是ぜ自身じしん的てき双そう倍ばい对$\mathbb {Z} _{2}$作用さよう的てき商しょう。

拓つぶせ扑空间可携带不同ふどう的てき轨形结构。例れい如，考こう虑与沿$\pi$旋转的てき圆的商しょう空そら间相关联的てき轨形O，其与圆同どう胚はい，但ただし自然しぜん轨形结构不同ふどう。可か将しょう流りゅう形がた的てき大だい部分ぶぶん特とく征せい直接ちょくせつ推广到轨形，而它们通常つうじょう不同ふどう于底空そら间的相しょう应特征せい。上述じょうじゅつ例れい子中こなか，O的てき轨形基本きほん群ぐん是これ$\mathbb {Z} _{2}$，其轨形がた欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう为1。

正式せいしき定てい义

使用しよう轨形图集

与あずか流りゅう形がた类似，轨形也由局部きょくぶ条件じょうけん指定してい；不ふ过轨形がた不ふ是ぜ以$\mathbb {R} ^{n}$的てき开子集しゅう为局部ぶ模型もけい，而用$\mathbb {R} ^{n}$的てき开子集しゅう对有限げん群ぐん作用さよう的てき商しょう。轨形的てき结构不ふ仅包括ほうかつ底そこ商しょう空そら间的结构（不ふ必是流りゅう形がた），还包括ほうかつ迷向子こ群ぐん。

n维轨形包含ほうがん豪ごう斯多夫おっと拓つぶせ扑空间X，称しょう作さく底そこ空そら间（underlying space）；以及一いち个覆叠，包含ほうがん对有限げん交封闭的开集$U_{i}$。$\forall U_{i}$都みやこ有ゆう

• 开子集しゅう$V_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$，在ざい有限ゆうげん群ぐん$\Gamma _{i}$的てき忠ちゅう实线性作用さよう下か不ふ变；
• 连续映射しゃ$\varphi _{i}:\ V_{i}\to U_{i}$（在ざい$\Gamma _{i}$下した不ふ变），称しょう作さく轨形坐すわ标图（chart），定てい义了$V_{i}/\Gamma _{i}$与あずか$U_{i}$间的同どう胚はい。

若わか满足下か列れつ属性ぞくせい，则轨形がた坐すわ标图的てき集合しゅうごう形成けいせい轨形图集（atlas）：

• 对每个包含ほうがん$U_{i}\subset U_{j}$，都みやこ有ゆう单射群ぐん同どう态$f_{ij}:\ \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}$
• 对每个包含ほうがん$U_{i}\subset U_{j}$，都みやこ有ゆう$\Gamma _{i}$-等とう变同どう胚はい$\psi _{ij}:\ V_{i}\to V_{j}$的てき开子集しゅう，称しょう作さく胶合映うつ射い（gluing map）
• 胶合映うつ射い与あずか坐すわ标图相しょう容よう，即そく$\phi _{j}\cdot \psi _{ij}=\phi _{i}$
• 胶合映うつ射い在ざい群ぐん元素げんそ组成的てき意い义上是ぜ唯一ゆいいつ的てき，即そく对$\Gamma _{j}$中ちゅう唯ただ一いち的てきg，$V_{i}\to V_{j}$的てき任意にんい其他可能かのう的てき胶合映うつ射い都みやこ有ゆう$g\cdot \psi _{ij}$形式けいしき。

对流形がた上じょう的てき图集，若わかX的てき两个轨形图集能のう连续地ち组合成ごうせい更さら大だい的てき轨形图集，则称它们等とう价。于是，轨形结构是ぜ轨形图集的てき等とう价类。

注意ちゅうい轨形结构在ざい同どう构意义上决定了りょう轨形上じょう任意にんい点てん的てき迷向子こ群ぐん：可か作さく为任意にんい轨形坐すわ标图上うえ点てん的てき稳定子来こらい计算。若わか$U_{i}\subset U_{j}\subset U_{k}$，则在$\Gamma _{k}$中有ちゅうう唯一ゆいいつ的てき过渡元素げんそ$g_{ijk}\in \Gamma _{k}$，使つかい得とく

$g_{ijk}\cdot \psi _{ik}=\psi _{jk}\cdot \psi _{ij}$

这些过渡元素げんそ满足

$({\rm {Ad}}g_{ijk})\cdot f_{ik}=f_{jk}\cdot f_{ij}$

以及上じょう循环关系（不ふ失しつ结合性せい）

$f_{km}(g_{ijk})\cdot g_{ikm}=g_{ijm}\cdot g_{jkm}$

更さら广义地ち说，在ざい轨形坐すわ标图对轨形がた的てき开覆叠上，附ふ着着ちゃくちゃく叫さけべ做“复群”的てき组合数すう据すえ。（下しも详）

与あずか流りゅう形がた的てき情じょう形がた完全かんぜん一いち样，可か对胶合あい映うつ射い施ほどこせ加か可か微ほろ条件じょうけん，得とく到いた微分びぶん轨形。若わか轨形坐すわ标图上じょう还存在そんざい不ふ变的黎はじむ曼度量りょう，且胶合あい映うつ射い等とう距，则称为黎曼轨形がた。

用もちい李り广群定てい义

广群包含ほうがん对象集合しゅうごう$G_{0}$、箭や头集$G_{1}$与あずか结构映射い（包括ほうかつ源げん映うつ射和いざわ目め标映射しゃ$s,t:G_{1}\to G_{0}$及允许箭头组合あい、取と逆ぎゃく的てき其他映うつ射い）。若わか$G_{0},\ G_{1}$都みやこ是ただし光こう滑すべり流りゅう形がた；所有しょゆう结构映射しゃ都と光こう滑すべり；源げん映うつ射和いざわ目め标映射しゃ都みやこ是ただし浸ひた没ぼつ，则称其为李り广群。源みなもと纤维与目め标纤维在给定点てん$x\in G_{0}$的てき交，即そく集合しゅうごう$(G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)$，是ぜ$G_{1}$在ざいx点てん的てき迷向群ぐん，是ぜ个李り群ぐん。若わか映うつ射い$(s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}$是これ紧合映うつ射い，则称李り广群也紧合（proper）；若わか源みなもと映うつ射和いざわ目め标映射しゃ都みやこ是ただし局部きょくぶ微分びぶん同どう胚はい，则称平たいら展てん。

轨形广群由よし以下いか等とう价定义给出で：

• 紧合平たいら展てん李り广群；
• 紧合李り广群，其迷向こう为离散空そら间。

由よし于紧合あい广群的てき迷向群ぐん自じ动地紧，离散条件じょうけん意味いみ着ぎ迷向群ぐん必须是ぜ有限ゆうげん群ぐん。

在ざい上述じょうじゅつ定てい义中，轨形广群与あずか轨形图集起おこり类似作用さよう。事こと实上，在ざい豪ごう斯多夫おっと拓つぶせ扑空间X上うえ的てき轨形结构被ひ定てい义为轨形广群$G\rightrightarrows M$的てき森田もりた等ひとし价类，以及同どう胚はい$|M/G|\simeq X$，其中$|M/G|$是ぜ李り广群G的てき轨道空そら间（即そく当とう$x\sim y$时，若わか有ゆう$g\in G\ (s(g)=x,\ t(g)=y)$，M对等价关系けい的てき商しょう）。这定义表明ひょうめい，轨形是ぜ一いち种特殊こと的てき微分びぶん叠。

两种定てい义间的てき关系

给定空そら间X上うえ的てき轨形图集，可か构造伪群，由ゆかりX的てき开集间所有しょゆう保留ほりゅう了りょう过渡函数かんすう$\varphi _{i}$的てき微分びぶん同どう胚はい组成。反はん过来，其元素的すてき芽め空そら间$G_{X}$是ぜ轨形广群。此外，据すえ轨形图集的てき定てい义，有限ゆうげん群ぐん$\Gamma _{i}$都みやこ忠ただし实地作用さよう于$V_{i}$，所以ゆえん广群$G_{X}$自じ动地有效ゆうこう，即そく映うつ射い$g\in (G_{X})_{x}\mapsto \mathrm {germ} _{x}(t\circ s^{-1}),\ \forall x\in X$都みやこ是ただし单射。当とう且仅当とう与あずか之これ相しょう关联的てき轨形广群森田もりた等ひとし价时，两个不同ふどう的てき轨形图集会かい产生相しょう同どう的てき轨形结构。于是，第だい一个定义的轨形结构（也称为经典轨形）在ざい第だい二个定义下是特殊的。

反はん过来说，给定轨形广群$G\rightrightarrows M$，在ざい其轨道どう空そら间上有ゆう规范轨形图集，其相关的有效ゆうこう轨形广群与あずかG 森田もりた等ひとし价。由よし于森田もりた等ひとし价广群ぐん的てき轨道空そら间是同どう胚はい的てき，在ざい有效ゆうこう情じょう况下，第だい二个定义的轨形结构还原了经典轨形。

因いん此，虽然轨形图集的てき概念がいねん更さら简单，在ざい文献ぶんけん中ちゅう也更常つね见，但ただし轨形广群在ざい讨论非ひ有效ゆうこう轨形与あずか轨形间的映うつ射い时特别有用よう。例れい如，轨形间的映うつ射い可用かよう广群间的同どう胚はい描述，比ひ底そこ拓つぶせ扑空间之间的底そこ连续映射しゃ携带更さら多た信しん息いき。

例れい子こ

• 无界流りゅう形かたち都と是ぜ轨形，其中每ごと个群$\Gamma _{i}$都みやこ是ただし平凡へいぼん群ぐん。等とう价地，其对应单位い广群的てき森田もりた等ひとし价类。
• 若わかN是ぜ紧有界かい流りゅう形がた，则其加か倍ばい（double）M可か由ゆかりN与あずか其镜像ぞう沿共同どう边界粘ねば合ごう而成。在ざい固定こてい共同きょうどう边界的てき流りゅう形がたM上うえ存在そんざい$\mathbb {Z} _{2}$的てき自然しぜん反射はんしゃ作用さよう，商しょう空そら间可被ひ认同为N，于是N具有ぐゆう自然しぜん轨形结构。

• 若わかM是ぜ黎はじむ曼n维流形がた，且具有ぐゆう离散群ぐんΓがんま的てき余あまり紧等距真作用さよう（cocompact proper isometric），则轨道どう空そら间$X=M/\Gamma$具有ぐゆう自然しぜん轨形结构：$\forall x\in X$，取と代表だいひょう性せい的てき$m\in M$与あずか其开邻域$V_{m}$，在ざい稳定子こ$\Gamma _{m}$下した不ふ变，与あずか$T_{m}M$在ざいm处的指数しすう映うつ射い下か的てき$\Gamma _{m}$子こ集しゅう等とう价确定てい；有限ゆうげん多た邻域覆くつがえ盖X，而它们的有限ゆうげん交（若わか非ひ空そら）都と被ひ相あい应群$g_{m}\Gamma g_{m}^{-1}$与あずかΓがんま-平たいら移うつり（Γがんま-translate）$g_{m}\cdot V_{m}$的てき交覆盖。这样产生的てき轨形称しょう作さく可か发展或ある性せい质良好りょうこう。
• 亨とおる利り·庞加莱的てき一个经典定理将福ぶく斯群构造为双曲きょく反射はんしゃ群ぐん，由ゆかり双そう曲きょく面めん中ちゅう测地三角形さんかっけい边的反射はんしゃ生成せいせい，符合ふごう庞加莱度量りょう。若わか三角形さんかっけい有ゆう角かく$\pi /n_{i}$（$n_{i}$为正整数せいすう），则其是ぜ基本きほん域いき，自然しぜん是ぜ2维轨形がた，对应的てき群ぐん是ぜ双そう曲きょく三角さんかく群ぐん的てき例れい子こ。庞加莱还给出了りょう这一结果对克かつ莱因群ぐん的てき3维版本はんぽん：这时，克かつ莱因群ぐんΓがんま由よし双そう曲きょく反射はんしゃ生成せいせい，轨形是ぜ$\mathbb {H} ^{3}/\Gamma$。
• 若わかM是ぜ闭2维流形がた，则可从M中ちゅう取出とりで有限ゆうげん多おお不ふ交闭圆盘，再さい分ぶん别粘回かい圆盘$D/\Gamma _{i}$（D是ぜ闭单位圆盘，$\Gamma _{i}$是ぜ旋转的てき有限ゆうげん循环群ぐん），这样便びん在ざいMi上うえ定てい义了新しん的てき轨形结构。

轨形基本きほん群ぐん

有ゆう几种方法ほうほう定てい义轨形基本きほん群ぐん。更さら精せい致的方法ほうほう是ぜ用よう轨形覆くつがえ叠空间或ある分ぶん类空间（广群的てき空そら间）。最さい简单的てき方法ほうほう（Haefliger采さい用よう，瑟斯顿也使用しよう）推广了りょう基本きほん群ぐん标准定てい义中的てき环圈。

轨形路ろ径みち在ざい底そこ空そら间中，具ぐ有明ありあけ确的将しょう路ろ径みち分段ぶんだん提ひさげ升ます到いた轨形坐すわ标图的てき方法ほうほう，及明确的识别重じゅう叠坐标图中路なかじ径みち的てき群ぐん元素げんそ；若わか底そこ路ろ径みち是ぜ环圈，则称之の为轨形环圈。两轨形がた路ろ径みち若わか通どおり过与轨形坐すわ标图中ちゅう的てき群ぐん元素げんそ相乘そうじょう而产生せい关联，则它们就被ひ确认了りょう。轨形基本きほん群ぐん是ぜ由よし轨形环圈的てき同どう伦类形成けいせい的てき群ぐん。

若わか轨形来き自じ单连通どおり流ながれ形がたM对离散群ぐんΓがんま的てき紧合刚性作用さよう（proper rigid action）的てき商しょう，则轨形がた基本きほん群ぐん可か被ひ认同为Γがんま。总的来らい说，它是Γがんま对$\pi _{1}M$的てき群ぐん扩张。

若わか轨形来き自じ对群作用さよう的てき商しょう，则称其可发展或ある性せい质良好こう；否いや则称不良ふりょう。类比拓つぶせ扑空间的万有覆叠空间，可か为轨形がた构造万有覆叠轨形，即そく“轨形上じょう的てき点てん，与あずか连接点てん和わ基点きてん的てき轨形路ろ径みち的てき同どう伦类”的てき对子组成的てき空そら间。这空间自然しぜん是ぜ轨形。

注意ちゅうい，若わか可か收おさむ缩开子集しゅう上じょう的てき轨形坐すわ标图对应群ぐんΓがんま，则Γがんま到いた轨形基本きほん群ぐん，有ゆう自然しぜん的てき局部きょくぶ同どう胚はい。

以下いか条件じょうけん等とう价：

• 轨形是ぜ良好りょうこう的てき。
• 万有覆叠轨形上的轨形结构平凡。
• 对可收おさむ缩开集しゅう的てき覆くつがえ叠，局部きょくぶ同どう胚はい都と是ぜ单射。

作さく为广义微分ぶん几何

轨形可か定てい义在广义微分びぶん几何的てき一般いっぱん框かまち架か中ちゅう，可か以证明あかり其等价于佐武さたけ一郎いちろう的てき原始げんし定てい义：

定てい义. 轨形是ぜ在ざい每まい个点上うえ都と与あずか某ぼう个$\mathbb {R} ^{n}/G$（n是ぜ整数せいすう，G是ぜ有限ゆうげん线性群ぐん，后きさき者しゃ不ふ是ぜ定じょう的てき）局部きょくぶ微分びぶん同どう胚はい的てき微分びぶん空そら间（diffeological space）。

这个定てい义需要じゅよう一いち些说明あきら：

• 这个定てい义模仿了广义微分びぶん几何中流ちゅうりゅう形がた的てき定てい义，即そく每まい个点上うえ都と与あずか$\mathbb {R} ^{n}$存在そんざい局部きょくぶ微分びぶん同どう胚はい的てき微分びぶん空そら间。
• 轨形首くび先さき是ぜ微分びぶん空そら间，具ぐ备广义微分ぶん几何的てき集合しゅうごう。然しか后きさき，广义微分びぶん几何在ざい检验中ちゅう，于每点てん都と局部きょくぶ微分びぶん同どう胚はい于商$\mathbb {R} ^{n}/G$，其中G是ぜ有限ゆうげん线性群ぐん。
• 这定义等同どう于Haefliger轨形。
• {轨形}是ぜ{广义微分びぶん几何}的てき子こ范畴，其对象ぞう是ぜ微分びぶん空そら间，态射是ぜ光こう滑すべり映うつ射しゃ。轨形间的光こう滑すべり映うつ射い，是ぜ对其广义微分びぶん几何而言光こう滑すべり的てき映うつ射しゃ。这就解かい决了佐武さたけ一郎在定义中所说：“如此定てい义的$C^{\infty }$-映うつ射い有ゆう点てん不ふ方便ほうべん：在ざい不同ふどう的てき定てい义族中ちゅう定てい义的两个$C^{\infty }$-映うつ射しゃ之の复合并不总是$C^{\infty }$-映うつ射しゃ。”事こと实上，有ゆう些轨形がた间的光こう滑すべり映うつ射い并不作さく为等变映射しゃ局部きょくぶ提ひさげ升ます（lift）。

注意ちゅうい，作さく为微分ぶん空そら间的轨形的てき基本きほん群ぐん不同ふどう于上面めん定てい义的基本きほん群ぐん，后きさき者しゃ与あずか结构广群及其迷向群ぐん有ゆう关。

轨空间

在ざい几何群ぐん论的てき应用中ちゅう，用ようHaefliger提出ていしゅつ的てき略りゃく微ほろ广义的てき轨形概念がいねん往往おうおう更さら方便ほうべん。轨空间（orbispace）之の于拓扑空间，如同轨形之の于流形がた，是ぜ轨形概念がいねん在ざい拓つぶせ扑学的てき推广。其定义用具有ぐゆう有限ゆうげん群ぐん的てき刚性作用さよう的てき局部きょくぶ紧空そら间代替だいたい了りょう轨形坐すわ标图模型もけい，即そく具有ぐゆう平凡へいぼん迷向的てき点てん是ぜ稠密ちゅうみつ的てき（忠ちゅう实线性せい作用さよう自じ动满足あし这条件じょうけん，因いん为任何なん非ひ平凡へいぼん群ぐん元素げんそ固定こてい的てき点てん都会とかい形成けいせい紧合线性子こ空そら间）考こう虑轨空そら间上的てき度量どりょう空そら间结构也是有用ゆうよう的てき，它们由よし轨空间上的てき不ふ变度量どりょう给出，其中胶合映うつ射い保留ほりゅう距离。这时，通常つうじょう要求ようきゅう轨空间坐标图是ぜ长度空そら间，具有ぐゆう连接任意にんい两点的てき唯一ゆいいつ测地线。

令れいX为赋以度量りょう空そら间结构的轨空间，其坐标图是ぜ测地线长度ど空そら间。前面ぜんめん关于轨形的てき定てい义和结果可か推广到轨空间基本きほん群ぐん和わ万有覆叠轨空间，及类似に的てき可か发展性せい标准。轨空间坐标图上じょう的てき距离函数かんすう可用かよう于定义万有覆叠轨空间中轨空间路径的长度，若わか每まい个坐标图中ちゅう的てき距离函数かんすう曲きょく率りつ非ひ正せい，则伯克かつ霍夫曲きょく线缩短たん论证就可证明，任にん何なん定てい端点たんてん轨空间路径みち都と与あずか唯ただ一的测地线同伦。将はた这应用よう于轨空そら间坐标图中ちゅう的てき常つね路ろ径みち，可知かち每まい个局部ぶ同どう态都是ぜ单射，于是：

• 曲きょく率りつ非ひ正せい的てき轨空间都是ぜ良好りょうこう的てき。

复群

每まい个轨形がた都と与あずか由よし复群给出的てき附加ふか组合结构有ゆう联系。

定てい义

抽象ちゅうしょう单纯复形Y上うえ的てき复群$(Y,\ f,\ g)$由よし以下いか条件じょうけん给出

• 对Y的まと每ごと个单纯形σしぐま，有限ゆうげん群ぐん$\Gamma _{\sigma }$
• 单射同どう态$f_{\sigma \tau }:\ \Gamma _{\tau }\rightarrow \Gamma _{\sigma },\ \sigma \subset \tau$

• 对每个包含ほうがん$\rho \subset \sigma \subset \tau$，都みやこ有ゆう群ぐん元素げんそ$g_{\rho \sigma \tau }\in \Gamma _{\rho }$使つかい得とく$({\rm {Ad}}g_{\rho \sigma \tau })\cdot f_{\rho \tau }=f_{\rho \sigma }\cdot f_{\sigma \tau }$（其中Ad表示ひょうじ共ども轭的伴とも随ずい作用さよう）

此外，群ぐん作用さよう还要满足上じょう循环条件じょうけん

$f_{\pi \rho }(g_{\rho \sigma \tau })g_{\pi \rho \tau }=g_{\pi \sigma \tau }g_{\pi \rho \sigma }$

对每个单形がた链$\pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .$（若わかY的てき维度小しょう于等于2，这条件じょうけん就是空そら的てき）

任意にんい元素げんそ的てき选择$h_{\sigma \tau }\in \Gamma _{\sigma }$都会とかい产生等とう价的复群，定てい义如下か

• $f_{\sigma \tau }=({\rm {Ad}}h_{\sigma \tau })\cdot f_{\sigma \tau }$
• $g_{\rho \sigma \tau }=h_{\rho \sigma }\cdot f_{\rho \sigma }(h_{\sigma \tau })\cdot g_{\rho \sigma \tau }\cdot h_{\rho \tau }^{-1}$

只ただ要よう$g_{\rho \sigma _{\tau }}=1$无处不在ふざい，就称复群是ぜ单的てき。

• 一个简单的归纳论证表明，单纯形がた上じょう的てき复群都と等とう价于各かく处$g_{\rho \sigma \tau }=1$的てき复群。

用ようY的てき重心じゅうしん重じゅう分ぶん通常つうじょう更さら方便ほうべん，概念がいねん上じょう也更吸引きゅういん人じん。这细分ぶん的てき顶点对应Y的てき单形，因いん此顶点てん附ふ带一个群。重心じゅうしん重じゅう分ぶん的てき边自然しぜん有向ゆうこう（对应单形的てき包含ほうがん），有向ゆうこう边给出で了りょう群ぐん的てき包含ほうがん。三角形都附有过渡元素，属ぞく于恰有ゆう1顶点的てき群ぐん；（若わか有ゆう）四面体给出了过渡元素的上循环关系。于是，复群只ただ涉わたる及重心こころ重じゅう分ぶん的てき3-骨ほね架か；若わか是ぜ单的，则只涉わたる及2-骨ほね架か。

例れい子こ

若わかX是ぜ轨形或ある轨空间，从轨形がた坐すわ标图$f_{i}:\ V_{i}\rightarrow U_{i}$中ちゅう择一由开子集构成的覆叠。令れいY为由覆くつがえ叠的神しん经给出で的てき抽象ちゅうしょう单纯复形：其定点てん是ぜ覆くつがえ叠集，n单形对应非ひ空そら交$U_{\alpha }=U_{i_{1}}\cap \ldots \cap U_{i_{n}}.$对每个这样的单纯形がた，都みやこ有ゆう相しょう关联的てき群ぐん$\Gamma _{\alpha }$，同どう态$f_{ij}$成なり为同态$f_{\sigma \tau }$。每まい个三さん元げん链$\rho \subset \sigma \subset \tau$对应交

$U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$

有ゆう坐すわ标图$\varphi _{i}:\ V_{i}\rightarrow U_{i},\ \varphi _{ij}:\ V_{ij}\rightarrow U_{i}\cap U_{j},\ \varphi _{ijk}:\ V_{ijk}\rightarrow U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$，以及胶合映うつ射い$\psi :\ V_{ij}\rightarrow V_{i},\ \psi ':\ V_{ijk}\rightarrow V_{ij},\ \psi '':\ V_{ijk}\rightarrow V_{i}.$

有ゆう唯ただ一いち的てき过渡元素げんそ$g_{\rho \sigma \tau }\in \Gamma _{i}$，使つかい$g_{\rho \sigma \tau }\cdot \psi ''=\psi \cdot \psi '.$轨形的てき过渡元素げんそ满足的てき关系意味いみ着ぎ复群所しょ需的关系，这样，复群就可通どおり过轨形がた（或ある轨空间）坐すわ标图，规范地ち与あずか开覆叠的神しん经相关联。用もちい非ひ交换层理り论和束たば的てき语言来らい说，这时的てき复群是ぜ作さく为与覆くつがえ叠$U_{i}$相あい关联的てき群ぐん层产生せい的てき；数すう据すえ$g_{\rho \sigma \tau }$是非ぜひ交换层上同どう调中なか的てき一いち个2-上うえ循环，数すう据すえ$h_{\sigma \tau }$给出了りょう2-上うえ边界扰动。

边径群ぐん

复群的てき边径群ぐん（edge-path group）可か定てい义为单纯复形边径群ぐん的てき自然しぜん推广。在ざいY的てき重心じゅうしん重じゅう分ぶん中ちゅう，取と对应于i到いたj的てき边（$i\rightarrow j$）的てき生成せいせい子こ$e_{ij}$，则有单射$\psi _{ij}:\ \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}.$令れいΓがんま为由$e_{ij},\ \Gamma _{k}$生成せいせい的てき群ぐん，具有ぐゆう关系

$e_{ij}^{-1}\cdot g\cdot e_{ij}=\psi _{ij}(g)$

其中$g\in \Gamma _{i}$，且

$e_{ik}=e_{jk}\cdot e_{ij}\cdot g_{ijk}$

若わか$i\rightarrow j\rightarrow k.$

对于定てい顶点$i_{0}$，边径群ぐん$\Gamma (i_{0})$定てい义为由よしΓがんま的てき所有しょゆう积生成せいせい的てき子こ群ぐん：

$g_{0}\cdot e_{i_{0}i_{1}}\cdot g_{1}\cdot e_{i_{1}i_{2}}\cdot \dots \cdot g_{n}\cdot e_{i_{n}i_{0}}$

其中$i_{0},\ i_{1},\ \ldots ,\ i_{n},\ i_{0}$是ぜ一いち条じょう边径，$g_{k}$位くらい于$\Gamma _{i_{k}}$中なか，$e_{ji}=e_{ij}\ (i\rightarrow j).$

可か发展复形

在ざい具有ぐゆう有限ゆうげん商しょう的てき单纯复形X上うえ，离散群ぐん的てき单纯紧合作用さよう若わか满足以下いか条件じょうけん之の一いち，则称该作用よう正せい则（regular）：

• X以有限げん子こ复形为基本きほん域いき；
• 商しょう$Y=X/\Gamma$具有ぐゆう自然しぜん单纯结构；
• 商しょう单纯结构在ざい定点ていてん的てき轨道表示ひょうじ上じょう一致いっち；
• 若わか$(v_{0},\ \ldots ,\ v_{k})$和わ$(g_{0}\cdot v_{0},\ \ldots ,\ g_{k}\cdot v_{k})$是ぜ单形，则对部分ぶぶん$g\in \Gamma ,\ g\cdot v_{i}=g_{i}v_{i}.$

这时，基本きほん域いき和わ商しょう$Y=X/\Gamma$可か自然しぜん地ち确定为单纯复形がた，由ゆかり基本きほん域いき中ちゅう单形的てき稳定子こ给出。这样得え到いた的てき复群Y称しょう作さく可か发展（developable）。

• 复群可か发展，当とう且仅当とう$\Gamma _{\sigma }$到いた边径群ぐん的てき同どう态是单射。
• 复群可か发展，当とう且仅当とう对每个单形がたσしぐま，有ゆう单射同どう态$\theta _{\sigma }:\ \Gamma _{\alpha }\to \Gamma$，其中后きさき者しゃ是ぜ定てい离散群ぐん，使つかい得とく$\theta _{\tau }\cdot f_{\sigma \tau }=\theta _{\sigma }$。这时，单纯复形X得え到いた了りょう规范的てき定てい义：其有k单形$(\sigma ,\ x\Gamma _{\sigma }$，其中σしぐま是ぜY的てきk单形，x在ざい$\Gamma /\Gamma _{\sigma }$上うえ运行。利用りよう复群对单形がた的てき限きり制せい等とう价于具有ぐゆう平凡へいぼん上じょう循环$g_{\rho \sigma \tau }$这一事いちじ实，可か以检验一致いっち性せい。

Γがんま在ざいX的てき重点じゅうてん重じゅう分ぶんX'上うえ的てき作用さよう总满足あし以下いか条件じょうけん，弱じゃく于正则性：

• 只ただ要ようσしぐま和わ$g\cdot \sigma$是ぜ某ぼう单形τたう的てき子こ单形，则它们就相等そうとう：$\sigma =g\cdot \sigma$

事こと实上，X '中ちゅう的てき单形对应X中なか的てき单形链，因いん此单形がた子こ链给出で的てき子こ单形由子ゆうこ链中单形的てき大小だいしょう唯一ゆいいつ确定。作用さよう满足这条件じょうけん时，g必然ひつぜん固定こてい了りょうσしぐま的てき所有しょゆう顶点。有ゆう直接的ちょくせつてき归纳证明表明ひょうめい，这样的てき作用さよう在ざい重心じゅうしん重じゅう分上ぶんじょう是正ぜせい则的；特とく别是

• 在ざい第だい二に重じゅう心こころ重じゅう分ぶんX"上じょう的てき作用さよう正せい则；
• Γがんま自然しぜん地ち与あずかX"中ちゅう基本きほん域いき的てき重心じゅうしん子分こぶん用よう边径和わ定点ていてん稳定子こ定てい义的边径群ぐん同どう构

事こと实上没ぼつ必要ひつよう进行第だい三さん次じ重心じゅうしん重じゅう分ぶん：如Haefliger利用りよう范畴论的てき语言指出さしで的てき，这时X基本きほん域いき的てき3-骨ほね架か已やめ经承载了所有しょゆう必要ひつよう数すう据すえ，包括ほうかつ三角形さんかっけい的てき过渡元素げんそ，可か定てい义与Γがんま同どう构的边径群ぐん。

2维中，这尤其容易ようい描述。X的てき基本きほん域いき具有ぐゆう与あずか群ぐんY的てき复合的てき重心じゅうしん重じゅう分ぶんY'相あい同どう的てき结构，即そく

• 有限ゆうげん2维单纯复形がたZ；
• 所有しょゆう边$i\rightarrow j$的てき方向ほうこう；
• 若わか$i\rightarrow j,\ j\rightarrow k$是ぜ边，则 $i\rightarrow k$也是边，且$(i,\ j,\ k)$是ぜ三角形さんかっけい；
• 有限ゆうげん群ぐん附着ふちゃく于定点てん，包含ほうがん于边；过渡元もと素描そびょう述じゅつ了りょう相しょう容よう性せい，接せっ到いた三角形さんかっけい。

这样就可以定义边径みち群ぐん。重心じゅうしん子分こぶんZ'也继承了りょう类似结构，其边径みち群ぐん同どう构于Z的てき边径群ぐん。

轨边形がた

若わか可か数すう离散群ぐん在ざい单纯复形上うえ有正ありまさ则单纯紧合作がっさく用よう，则商不ふ仅可被ひ赋予复群的てき结构，还可被ひ赋予轨空间结构。这就引出了りょう“轨边形がた”（orbihedron）概念がいねん，其是轨形的てき简单类似物ぶつ。

定てい义

令れいX是ぜ有限ゆうげん单纯复形，有ゆう重心じゅうしん重じゅう分ぶんX'。轨边形がた结构包含ほうがん：

• 对每个定点てん$i\in X$，都みやこ有ゆう由よし有限ゆうげん群ぐん$\Gamma _{i}$的てき刚性单纯作用さよう的てき单纯复形$L'_{i}$。
• $L'_{i}$到いたX'中なかi的てき邻域$L_{i}$的てき单纯映射しゃ$\varphi _{i}$使つかい得とく商しょう$L'_{i}/\Gamma _{i}$与あずか$L_{i}$一致いっち。

$\Gamma _{i}$在ざい$L'_{i}$上うえ的てき这作用よう延伸えんしん到いた$L'_{i}$上うえ单纯锥$C_{i}$的てき单纯作用さよう（i和わ$L'_{i}$的てき单纯链接），并固定こてい了りょう锥心i，映うつ射い$\varphi _{i}$延伸えんしん为单纯映射しゃ$C_{i}\to {\rm {St}}(i)$（i的てき星ほし），将はた重心じゅうしん带到i上うえ，因いん此$\varphi _{i}$可か与あずか$C_{i}/\Gamma _{i}$等ひとし同どう，在ざいi处给出で一个轨边形坐标图。

• 对X'的てき有向ゆうこう边$i\rightarrow j$，单射同どう态$f_{ij}:\ \Gamma _{i}\to \Gamma _{j}.$
• 对每条じょう有向ゆうこう边$i\rightarrow j$，$\Gamma _{i}$等とう变单纯胶合あい映うつ射い$\psi _{ij}:\ C_{i}\to C_{j}.$
• 胶合映うつ射い与あずか坐すわ标图相しょう容よう，即そく$\varphi _{j}\cdot \psi _{ij}=\varphi _{i}$
• 胶合映うつ射い在ざい与あずか群ぐん元素げんそ的てき复合的てき意い义上唯一ゆいいつ，即そく对唯一いち的てき$g\in \Gamma _{j},\ V_{i}\to V_{j}$的てき任にん何なん其他可能かのう的てき胶合映うつ射い都と具有ぐゆう$g\cdot \psi _{ij}$形式けいしき。

若わか$i\rightarrow j\rightarrow k$，则有唯一ゆいいつ的てき过渡元素げんそ$g_{ijk}\in \Gamma _{k}$使つかい得とく

$g_{ijk}\cdot \psi _{ik}=\psi _{jk}\cdot \psi _{ij}$

这些过渡元素げんそ满足

$({\rm {Ad}}g_{ijk})\cdot f_{ik}=f_{jk}\cdot f_{ij}$

及上循环关系

$\psi _{km}(g_{ijk})\cdot g_{ikm}=g_{ijm}\cdot g_{jkm}$

主要しゅよう性せい质

• 轨边形がた的てき群ぐん论数据すえ给出了りょうX上うえ的てき复群，因いん为重点てん重じゅう分ぶんX'的てき顶点i对应X中なか的てき单形。
• X上うえ的てき每まい个复群ぐん都と与あずかX上本うえほん质上唯ただ一的轨边形结构相关联。注意ちゅうい到いた与あずかX的てき单形σしぐま相あい对的X'的てき顶点i的てき星ほし与あずか链具有ぐゆう自然しぜん分解ぶんかい，就可得え到いた这一关键事实：星ほし与あずかσしぐま同どうσ的てき重心じゅうしん重じゅう分ぶんσしぐま'的てき联合给出的てき抽象ちゅうしょう单纯复形同どう构，链与X中なか的てきσしぐま链与σしぐま'中なかσしぐま的てき重心じゅうしん链的联合同どう构。将はた复群限げん制せい在ざいX中なかσしぐま的てき链上，则所有しょゆう群ぐん$\Gamma _{\tau }$都みやこ有ゆう到いた$\Gamma _{\sigma }$的てき单射同どう态。由よし于X'中ちゅう的てきi链被由ゆかり$\Gamma _{\sigma }$作用さよう的てき单纯复形规范覆叠，这就在ざいX上うえ定じょう义了轨边形がた结构。
• 轨边形がた基本きほん群ぐん只ただ是ぜ相しょう关复群ぐん的てき边径群ぐん。
• 每まい个轨边形自然しぜん也是轨空间：在ざい单纯复形的てき几何实现中ちゅう，轨空间可用よう星ほし的てき内部ないぶ来き定てい义。
• 轨边形がた基本きほん群ぐん可か自然しぜん地ち等とう同どう于相关轨空そら间的基本きほん群ぐん。将はた单纯近似きんじ定理ていり应用于轨空そら间坐标图中ちゅう的てき轨空间路径みち段だん，便びん知ち：多面体ためんたい的てき基本きほん群ぐん可か与あずか边径群ぐん吻合ふんごう，这是经典证明的てき直接ちょくせつ变体。
• 与あずか轨边形相ぎょうそう关的轨空间具有ぐゆう规范度量どりょう结构（canonical metric structure），局部きょくぶ上じょう来き自じ欧おう氏し空そら间标准じゅん几何实现中ちゅう的てき长度度量どりょう，顶点映うつ射い到いた正せい交基上じょう。也用其他度量どりょう结构，如双そう曲きょく空そら间中ちゅう实现单形而得到いた的てき长度度量どりょう，其中单形沿着共同きょうどう边界等とう距地形成けいせい。
• 当とう且仅当とう每まい个轨边形坐すわ标图中ちゅう链的围长大だい于等于6（即そく，链中任にん何なん闭合回路かいろ长度至いたり少しょう为），与あずか轨边形相ぎょうそう联系的てき轨空间拥有ゆう非ひ正せい的てき曲きょく率りつ。这条件じょうけん在ざい阿おもね达马空そら间理り论中十じゅう分有ぶんゆう名めい，只ただ取と决于底そこ复群。
• 万有覆叠轨边形的曲率非正时，其基本きほん群ぐん是ぜ无限群ぐん，由ゆかり迷向群ぐん的てき同どう构副本ほん生成せいせい。这源于轨空そら间的相しょう应结果はて。

群ぐん三さん角かく

历史上じょう，几何群ぐん论中ちゅう最さい重要じゅうよう的てき轨形的てき应用之の一いち就是群ぐん三さん角かく。塞ふさが尔关于树的讲座将しょう混合こんごう自由じゆう积视作对树的てき作用さよう，讨论了りょう1维“群ぐん区く间”；群ぐん三角是最简单的将其推广到2维的示しめせ例れい。在ざい$SL_{3}(\mathbb {Q} _{p})$的てき仿射Bruhat–Tits建造けんぞう中ちゅう，当とう离散群ぐん简单地ち作用さよう于三さん角かく时，就产生せい这样的てき群ぐん三角さんかく；1979年ねん，戴维·芒すすき福德ふくとく发现了りょう$p=2$的てき第だい一いち个例子こ（下しも详），作さく为产生せい与あずか射影しゃえい空そら间不同ふどう构而有ゆう相しょう同どう贝蒂数すう的てき代数だいすう曲面きょくめん的てき一いち步ほ。Gersten & Stallings详细研究けんきゅう了りょう群ぐん三さん角かく，而上述じょうじゅつ复群的てき更さら一般情形则是Haefliger独立どくりつ提出ていしゅつ的てき。由ゆかり非ひ正せい曲きょく率りつ度量どりょう空そら间分析ぶんせき有限ゆうげん呈てい现群的てき基本きほん几何方法ほうほう由よし格かく罗莫夫おっと提出ていしゅつ。这样，群ぐん三角对应曲率非正的2维单纯复形がた，具有ぐゆう群ぐん的てき正せい规作用よう，在ざい三角形上有传递性。

群ぐん三さん角かく是ぜ由よし三角形さんかっけいABC组成的てき简单复群，其中有ちゅうう这些群ぐん：

• 每まい个顶点てん的てき$\Gamma _{A},\ \Gamma _{B},\ \Gamma _{C}$
• 每まい条じょう边的$\Gamma _{BC},\ \Gamma _{CA},\ \Gamma _{AB}$
• 三角形さんかっけい本身ほんみ的てき$\Gamma _{ABC}.$

$\Gamma _{ABC}$到いた其他群ぐん有ゆう单射同どう态，边群$\Gamma _{XY}$到いた$\Gamma _{X},\ \Gamma _{Y}$也有やゆう单射同どう态。$\Gamma _{ABC}$到いた顶点群ぐん的てき三种映射都一致（$\Gamma _{ABC}$通常つうじょう是ぜ平凡へいぼん群ぐん）。对应轨空间上的てき欧おう氏し度量どりょう结构曲きょく率りつ非ひ正せい，当とう且仅当とう轨边形がた坐すわ标图中ちゅう每まい个顶点てん的てき链的围长不ふ小しょう于6。

顶点上じょう的てき围长总是偶数ぐうすう，且正如Stallings观察到的てき，在ざい顶点A上うえ，可か描述为到达两边群$\Gamma _{CA},\ \Gamma _{AB}$在ざい$\Gamma _{ABC}$上うえ的てき混合こんごう自由じゆう积的てき$\Gamma _{A}$的てき自然しぜん同どう态核中ちゅう的てき最小さいしょう字じ长：

$\Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.$

欧おう氏し度量どりょう结构所得しょとく结果不ふ理想りそう。Stallings将しょう角かくαあるふぁ、βべーた、γがんま定てい义为2πぱい/围长，在ざい欧おう氏し情じょう况下αあるふぁ、βべーた、γがんま ≤ πぱい/3；而若只ただ要求ようきゅうαあるふぁ + βべーた + γがんま ≤ πぱい，便びん有ゆう可能かのう由ゆかり庞加莱度量りょう得え到いた与あずか双そう曲面きょくめん上相かみや应的测地三さん角かく（取と等とう时等同どう于欧氏し平面へいめん）。双そう曲きょく几何的てき经典结果是ぜ，双そう曲きょく中ちゅう线相交于双そう曲きょく重心じゅうしん，与あずか我わが们熟悉的欧おう氏し几何情じょう形がた一いち样。这模型がた的てき重心じゅうしん重じゅう分ぶん和わ度量どりょう在ざい相しょう应的轨空间上产生了りょう曲きょく率りつ非ひ正せい的てき度量どりょう结构，因いん此若αあるふぁ+βべーた+γがんま≤πぱい：

• 群ぐん三角的轨空间良好；
• 相あい应边径みち群ぐん（也可说是群ぐん三角さんかく的てき上うえ极限）是ぜ无限群ぐん；
• 顶点群ぐん到いた边径群ぐん的てき同どう态是单射。

芒すすき福德ふくとく的てき例れい子こ

法ほう诺面

设$\alpha ={\sqrt {-7}}$，由ゆかり$(1-8)^{1/2}$在ざい$\mathbb {Q} _{2}$中なか的てき二项展开式得到，并使$K=\mathbb {Q} (\alpha )\subset \mathbb {Q} _{2}$。令れい

${\begin{aligned}\zeta &={\rm {exp}}(2\pi i/7)\\\lambda &=(\alpha -1)/2=\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}\\\mu &=\lambda /\lambda ^{*}.\end{aligned}}$

令れい$E=\mathbb {Q} (\zeta )$，K上うえ的てき3维向量りょう空そら间，$1,\ \zeta ,\ \zeta ^{2}$为基。定てい义E上うえ的てきK线性算さん子こ如下：

• σしぐま为E在ざいK上うえ的てき伽とぎ罗瓦群ぐん的てき生成せいせい器き，是ぜ由ゆかり$\sigma (\zeta )=\zeta ^{2}$给出的てき3阶元素げんそ
• τたう是これE上うえ与あずかζぜーた'相乘そうじょう的てき算さん子こ，元素げんそ阶数为7
• ρろー是ぜ由ゆかり$\rho (\zeta )=1,\ \rho (\zeta ^{2})=\zeta ,\ \rho (1)=\mu \cdot \zeta ^{2}$给出的てき算さん子こ，于是$\rho ^{3}$是ぜ对$\mu$的てき标量乘法じょうほう。

$\rho ,\ \sigma ,\ \tau$生成せいせい了りょう$GL_{3}(K)$的てき离散子こ群ぐん，紧合作用さよう于与$SL_{3}(\mathbb {Q} _{2})$相あい对应的てき仿射Bruhat–Tits建造けんぞう。这个群ぐん对建造けんぞう中ちゅう的てき所有しょゆう顶点、边与三角形さんかっけい都と传递。令れい

$\sigma _{1}=\sigma ,\ \sigma _{2}=\rho \sigma \rho ^{-1},\ \sigma _{3}=\rho ^{2}\sigma \rho ^{-2}.$

则

• $\sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \sigma _{3}$生成せいせい了りょう$SL_{3}(K)$的てき子こ群ぐんΓがんま。
• Γがんま是ぜ由ゆかり$\sigma ,\ \tau$生成せいせい的てき最小さいしょう子こ群ぐん，在ざいρろー的まと共ども轭作用よう下か不ふ变。
• Γがんま简单传递地ち作用さよう于建造けんぞう中ちゅう的てき三角形さんかっけい。
• 有ゆう三角形さんかっけいΔでるた，其边的てき稳定子こ是ぜ由ゆかり$\sigma _{i}$生成せいせい的てき3阶子群ぐん。
• Δでるた顶点的てき稳定子こ是ぜ21阶弗どる罗贝尼あま乌斯群ぐん，由ゆかり两个3阶元素げんそ生成せいせい，它们稳定了りょう在ざい这定点てん相しょう遇ぐう的てき边。
• Δでるた的てき稳定子こ平凡へいぼん。

元素げんそ$\sigma ,\ \tau$生成せいせい了りょう顶点的てき稳定子こ。可か以认为这定点ていてん的てき链等同どう于$SL_{3}(\mathbb {F} _{2})$的てき球面きゅうめん建造けんぞう。稳定子こ则等同どう于法ほう诺面的てき直射ちょくしゃ变换群ぐん，由よし固定こてい一いち个点的てき3次じ对称σしぐま及所有しょゆう7个点的てき循环置おけ换τたう生成せいせい（满足$\sigma \tau =\tau ^{2}\sigma$）。法ほう诺面可か看み做$\mathbb {F} _{8}^{*}$，σしぐま可か看み作づく$\mathbb {F} _{8}$的てき弗どる罗贝尼あま乌斯自じ同どう态$\sigma (x)=x^{22}$的てき约束，τたう则是与あずか任意にんい不在ふざい素もと域いき$\mathbb {F} _{2}$中元ちゅうげん素的すてき乘法じょうほう，即そく$\mathbb {F} _{8}$的てき循环乘法じょうほう群ぐん的てき7阶生成せいせい器き。这个弗どる罗贝尼あま乌斯群ぐん简单传递地ち作用さよう于法诺面的てき21个标记，即そく带标记点的てき直ちょく线。于是，E上うえσしぐま、τたう的てき公式こうしき“提ひさげ升ます”（lift）了りょう$\mathbb {F} _{8}$上うえ的てき公式こうしき。

芒すすき福德ふくとく还通过传递到子こ群ぐん$\Gamma _{1}=\langle \rho ,\ \sigma ,\ \tau ,\ -I\rangle$，得え到いた了りょう对建造けんぞう顶点的てき简单传递作用さよう。群ぐん$\Gamma _{1}$保留ほりゅう了りょう定てい义域为$\mathbb {Q} (\zeta )$，值域属ぞく于$\mathbb {Q} (\alpha )$的てき埃ほこり尔米特とく形式けいしき

$f(x,\ y)=xy^{*}+\sigma (xy^{*})+\sigma ^{2}(xy^{*})$

其可看み作さく是ぜ$U_{3}(f)\cap GL_{3}(S),\ S=\mathbb {Z} [\alpha ,\ {\frac {1}{2}}].$由よし于$S/(\alpha )=\mathbb {F} _{7},$所以ゆえん有ゆう群ぐん同どう态$\Gamma _{1}\to GL_{3}(\mathbb {F} _{7}).$这作用よう使し$\mathbb {F} _{7}^{3}$中なか的てき一いち个2维子空そら间不变，产生了りょう同どう态$\Psi :\ \Gamma _{1}\to SL_{2}(\mathbb {F} _{7}),$是ぜ阶数为16·3·7的てき群ぐん。另一方面ほうめん，顶点的てき稳定子こ是ぜ21阶子群ぐん，Ψぷさい是ぜ其上的てき单射。于是，若わか合同ごうどう子こ群ぐん$\Gamma _{0}$定てい义为$SL_{2}(\mathbb {F} _{7})$的てき2-西にし罗子群ぐん的てきΨぷさい下した的てき原はら像ぞう，则$\Gamma _{0}$对定点てん的てき群ぐん作用さよう一定是简单传递的。

推广

其他三角形さんかっけい或ある2维复群ぐん的てき例れい子こ可か由よし上述じょうじゅつ例れい子こ的てき变化来らい构造。

Cartwright et al.考こう虑了对建造けんぞう顶点简单传递的てき作用さよう。这样的てき作用さよう会かい在ざい有限ゆうげん射影しゃえい平面へいめん的てき标记复形中なか的てき点てんx-线x*间产生せい双そう射い（或ある改良かいりょう的てき对偶），和わ点てん$(x,\ y,\ z)$的てき有向ゆうこう三角形さんかっけい集合しゅうごう，其在循环置おけ换下不ふ变，即そくx在ざいz*上うえ，y在ざいx*上うえ，z在ざいy*上うえ；任意にんい两点唯一ゆいいつ确定第だい三さん点てん。所ところ生成せいせい的てき群ぐん有ゆう生成せいせい器きx（以点为标记），对每个三角形さんかっけい有ゆう关系$xyz=1.$一般いっぱん来らい说，这种构造不ふ对应于经典てん仿射建造けんぞう上じょう的てき作用さよう。

更さら一般いっぱん地ち说，如Ballmann & Brin所しょ证的，类似的てき代数だいすう数すう据すえ编码了りょう曲きょく率りつ非ひ正せい2维单纯复形がた顶点上じょう的てき所有しょゆう简单传递作用さよう，条件じょうけん是ぜ每ごと个顶点てん的てき链的围长不ふ少しょう于6。数かず据すえ包括ほうかつ

• 生成せいせい集しゅうS，包含ほうがん逆ぎゃく，但ただし不ふ含恒等とう；
• 关系集しゅう$g\ h\ k\ -1$，在ざい循环置おけ换下不ふ变。

S中なか的てき元素げんそg表示ひょうじ定てい顶点v的てき链中的てき顶点$g\cdot v$；关系对应链中的てき边$(g^{-1}\cdot v,\ h\cdot v)$。对于$g^{-1}h\in S,\$有ゆう定点ていてんS与あずか边$(g,\ h)$的てき图的围长至いたり少しょう要よう是ぜ6。可用かよう复群和わ第だい二重心重分重建原单纯复形。

有ゆう两部分ぶぶん的てき希まれ伍ご德とく图

Swiatkowski基もと于对有向ゆうこう边简单传递的作用さよう和わ每ごと个三角形さんかっけい的てき3次じ对称，构造了りょう更さら多おお非ひ正せい曲きょく率りつ2维复群ぐん的てき例れい子こ。这样，复群也通过对第だい二重心重分的正则作用得到。最さい简单的てき例れい子こ是ぜBallmann发现的てき：有ゆう有限ゆうげん群ぐんH与あずか生成せいせい器き的てき对称集しゅうS（不ふ含恒等とう），于是相しょう应的凯莱图的てき围长至いたり少しょう为6。伴とも生せい群ぐん（associated group）由ゆかりH和かず对合τたう生成せいせい，使つかい得とく$\forall g\in S,\ (\tau g)^{3}=1.$

事こと实上，若わかΓがんま以这种方式しき作用さよう，且固定こてい一いち条じょう边$(v,\ w),$则存在そんざい交换v、w的てき对合τたう。v的てき链由顶点$g\cdot w\ (g\in$对称子こ集しゅう$S\subset H=\Gamma _{v})$，若わか链连通どおり则生成せいせいH。三角形さんかっけい假かり设意味いみ着ぎ

$\forall g\in S,\ \tau \cdot (g\cdot w)=g^{-1}\cdot w$

于是，若わか$\sigma =\tau g,\ u=g^{-1}\cdot w,$则有

$\sigma (x)=w,\ \sigma (w)=u,\ \sigma (u)=w$

由よし对三角形さんかっけい$(v,\ w,\ u)$的てき简单传递，可か得とく$\sigma ^{3}=1.$

第だい二に重じゅう心こころ重じゅう分ぶん给出了りょう由よし沿大边相连的单子或ある细分三角形对组成的复群：后きさき者しゃ依よ据すえ识别S中なか的てき逆ぎゃく，得とく到いた的てき商しょう空そら间$S/\sim$进行索引さくいん。单个或ある“成なり对”的てき三角形さんかっけい又また沿着共同きょうどう的てき“脊线”连接起おこり来らい。除じょ了りょう脊线两端的てき顶点（稳定子分こぶん别为H、<τたう>）及大三角形的其余顶点（稳定子こ由よし适当的てきσしぐま生成せいせい）外そと，单形的てき稳定子こ都と平凡へいぼん。大だい三角形さんかっけい中ちゅう的てき3个小三角さんかく包含ほうがん过渡元素げんそ。

当とうS的てき所有しょゆう元素げんそ都と是ぜ对合时，便びん没ぼつ有ゆう三角形さんかっけい需要じゅよう加か倍ばい（double）。若わか将しょうH看み作さく14阶二に面体めんてい群ぐんD₇、由ゆかり对合a与あずか7阶元素げんそb生成せいせい，其中

$ab=b^{-1}a,$

则H是ぜ由よし3个对合あい：$a,\ ab,\ ab^{5}$生成せいせい。顶点的てき链由对应的てき凯莱图给出で，因いん此只是ぜ有ゆう两部分ぶぶん的てき希まれ伍ご德とく图，即そく与あずか$SL_{3}(\mathbb {Q} _{2})$的てき仿射建造けんぞう完全かんぜん相しょう同どう。这种链结构意味いみ着ぎ，对应的てき单纯复形必须是ぜ欧おう氏し建造けんぞう，而目前まえ似に乎还不知ふち道どう这些类型的てき作用さよう能否のうひ实现在ざい经典仿射建造けんぞう：芒すすき福德ふくとく群ぐん$\Gamma _{1}$（模かたぎ标量）只ただ在ざい边上简单传递，而不在ざい有向ゆうこう边上简单传递。

2维轨形がた

2维轨形がた有ゆう以下いか3类奇异点：

• 边界点てん
• 椭圆点てん或あるn阶回かい转点てん，如由n阶旋转的循环群ぐん商しょう出で的てき$\mathbb {R} ^{2}$原点げんてん。
• n阶角反射はんしゃ器き：由よし2n阶二に面体めんてい群ぐん商しょう出で的てき$\mathbb {R} ^{2}$原点げんてん。

紧2维轨形がた有ゆう欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう$\chi =\chi (X_{0})-\sum _{i}(1-1/n_{i})/2-\sum _{i}(1-1/m_{i})$，其中$\chi (X_{0})$是ぜ底そこ拓つぶせ扑流形がた$X_{0}$的まと欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう，$n_{i}$是ぜ角かく反射はんしゃ器き阶数，$m_{i}$是ぜ椭圆点てん阶数。

2维紧连通轨形的てき欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう若わか为负，则具有ぐゆう双そう曲きょく结构；若わか是ぜ0，则具有ぐゆう欧おう几里得とく结构；若わか为正，则或是ぜ不良ふりょう的てき，或ある具有ぐゆう椭圆结构（若わか轨形没ぼつ有ゆう流りゅう形かたち作さく为覆叠空间，则称为不良ふりょう）。也就是ぜ说，其万有覆叠空间具有双曲、欧おう氏し或ある球面きゅうめん结构。

下表かひょう列れつ出で了りょう非ひ双そう曲きょく的てき紧2维连通どおり轨形。17个抛物ぶつ轨形是ぜ平面へいめん与あずか17个壁かべ纸群的てき商しょう。

类型	欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう	底そこ2维流形がた	椭圆点てん阶数	角かく反射はんしゃ器き阶数
不良ふりょう	1 + 1/n	球たま	n > 1
	1/m + 1/n	球たま	n > m > 1
	1/2 + 1/2n	圆盘		n > 1
	1/2m + 1/2n	圆盘		n > m > 1
椭圆	2	球たま
	2/n	球たま	n, n
	1/n	球たま	2, 2, n
	1/6	球たま	2, 3, 3
	1/12	球たま	2, 3, 4
	1/30	球たま	2, 3, 5
	1	圆盘
	1/n	圆盘		n, n
	1/2n	圆盘		2, 2, n
	1/12	圆盘		2, 3, 3
	1/24	圆盘		2, 3, 4
	1/60	圆盘		2, 3, 5
	1/n	圆盘	n
	1/2n	圆盘	2	n
	1/12	圆盘	3	2
	1	射影しゃえい平面へいめん
	1/n	射影しゃえい平面へいめん	n
抛ほう物もの	0	球たま	2, 3, 6
	0	球たま	2, 4, 4
	0	球たま	3, 3, 3
	0	球たま	2, 2, 2, 2
	0	圆盘		2, 3, 6
	0	圆盘		2, 4, 4
	0	圆盘		3, 3, 3
	0	圆盘		2, 2, 2, 2
	0	圆盘	2	2, 2
	0	圆盘	3	3
	0	圆盘	4	2
	0	圆盘	2, 2
	0	射影しゃえい平面へいめん	2, 2
	0	环面
	0	克かつ莱因瓶びん
	0	环形
	0	莫比乌斯带

3维轨形がた

若わか3维流形がた是ぜ闭的、不可ふか还原的てき且不含任何なん不可ふか压缩面めん，则称其“小しょう”。

轨形定理ていり. 令れいM为小3维流形がた，φふぁい为M的てき周期しゅうき保ほ向こう非ひ平凡へいぼん微分びぶん同どう胚はい。则，M具有ぐゆうφふぁい不ふ变的双そう曲きょく或ある塞ふさが弗どる特とく纤维结构。

这是瑟斯顿轨形がた定理ていり（1981，未み经证明あきら）的てき特例とくれい，是ぜ几何化か猜想的てき一いち部分ぶぶん。它意味いみ着ぎ，若わかX的てき紧连通どおり有向ゆうこう不可ふか还原、具有ぐゆう非ひ空そら奇き异轨迹的てき非ひ环状3维轨形がた，则M具有ぐゆう几何结构（在ざい轨形的てき意い义上）。完かん整せい证明由ゆかりBoileau, Leeb & Porti (2005)给出。

应用

弦つる论

弦つる论中なか，“轨形”的てき意い义稍有ゆう不同ふどう。数学すうがく中ちゅう的てき轨形是ぜ流ながれ形がた的てき推广，允まこと许有邻域微分びぶん同どう胚はい于$\mathbb {R} ^{n}$对有限げん群ぐん之の商しょう（$\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$）的てき点てん。物理ぶつり学がく中ちゅう，轨形则通常つうじょう描述能のう全局ぜんきょく描写びょうしゃ为轨道どう空そら间M/G（M是ぜ流りゅう形がた或ある理り论，G是ぜ其等距的群ぐん或ある对称，不ふ必是所有しょゆう等とう距群）的てき对象。这些对称性せい在ざい弦つる论中不ふ必有几何解かい释。

定てい义在轨形上じょう的てき量子りょうし场论在ざいG的てき定点ていてん附近ふきん变得奇き异。不ふ过，弦げん论要求ようきゅう我わが们在闭弦つる希まれ尔伯特とく空そら间中ちゅう增加ぞうか新しん的てき部分ぶぶん——即そく“扭结弦つる”（twisted sector），当とう中ちゅう定てい义在闭弦上じょう的てき场在G作用さよう下か是ぜ周期しゅうき性せい的てき。于是，轨形化成かせい为了弦つる论的一般いっぱん程ほど序じょ，从旧弦つる论推出新いでしん弦つる论。这能减少状じょう态数，因いん为状态在G下しも必须不ふ变；但ただし也增加ぞうか了りょう状じょう态数，因いん为增加ぞうか了りょう扭结弦つる。结果通常つうじょう是ぜ完かん美び平滑へいかつ的てき新しん弦つる论。

低能ていのう情じょう形がた下か，轨形上じょう传播的てきD膜まく由ゆかり箭や图定てい义的规范场论描述。连接到いた这些D膜まく上じょう的てき开弦没ぼつ有ゆう扭结弦つる，于是开弦状じょう态数会かい随ずい轨形化か减少。

更さら具体ぐたい地ち说，轨形群ぐんG是ぜ时空等とう距的离散子こ群ぐん时，若わか无定点てん，则通常つうじょう得え到いた紧光滑空かっくう间；扭结弦つる包含ほうがん缠绕在ざい紧维度ど上じょう的てき闭弦，后きさき者しゃ也称作さく“缠绕态”（winding state）。

轨形群ぐんG是ぜ时空等とう距的离散子こ群ぐん，且有定点ていてん时，通常つうじょう有ゆう锥奇点てん，因いん为$\mathbb {R} ^{n}/$$\mathbb {Z} _{k}$在ざい$\mathbb {Z} _{k}$的てき定点ていてん处有这样的てき奇き点てん。弦つる论中，引力いんりょく奇き点てん通常つうじょう代表だいひょう着ぎ额外自由じゆう度ど，位い于时空中くうちゅう的てき轨迹点てん（locus point）。在ざい轨形情じょう形がた下か，这些自由じゆう度ど就是扭结态，是ぜ“卡”在ざい定点ていてん上じょう的てき弦つる。当とう与あずか扭结态相关的场获得とく非ひ零れい真空しんくう期き望もち值，奇き点てん便びん发生变形，即そく度量どりょう发生变化，在ざい点てん附近ふきん变得正せい规（regular）。江口えぐち-汉森时空就是一例由此产生的几何。

从定点てん附近ふきん的てきD膜まく看み来らい，对附着ふちゃく于D膜まく上じょう的てき开弦的てき有效ゆうこう理り论是超ちょう对称场论，其真空空くうくう间有奇き异点，存在そんざい额外的てき无质量りょう自由じゆう度ど。与あずか闭弦扭结弦つる有ゆう关的场以这样一种方式同开弦耦合，即そく在ざい超ちょう对称场论的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び量りょう中ちゅう添加てんかFayet–Iliopoulos项，于是场获得とく非ひ零れい真空しんくう期き望もち值时，Fayet–Iliopoulos项非零れい，理り论从而变形がた，使つかい奇き点てん不ふ再さい存在そんざい[1] （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, [2]。

卡拉比ひ-丘おか流りゅう形がた

主しゅ条目じょうもく：卡拉比ひ–丘おか流りゅう形がた

超ちょう弦つる理り论中なか，构造现实的てき现象学がく模型もけい需要じゅよう维度减化，因いん为弦在ざい10维空间中才能さいのう自然しぜん传播，而观测到的てき宇宙うちゅう时空则是4维的。理り论的形式けいしき约束对额外がい“隐”变量所在しょざい的てき紧化空そら间施ほどこせ加か了りょう限げん制せい：寻找具有ぐゆう超ちょう对称的てき现实4维模型がた时，辅助紧化空そら间必须是6维卡拉比ひ-丘おか流りゅう形がた。

可能かのう的てき卡拉比ひ-丘おか流りゅう形がた有ゆう很多（数すう以万まん计），因いん此目前まえ的てき理り论物理学りがく文献ぶんけん常用じょうよう“景けい观”（landscape）描述这种令れい人じん困惑こんわく的てき选择。卡拉比ひ-丘おか流りゅう形がた的てき一般研究在数学上非常复杂，且长期き以来いらい难以明あかり确构造づくり实例。轨形被ひ证明非常ひじょう有用ゆうよう，因いん为轨形がた能のう自じ动满足あし超ちょう对称施ほどこせ加か的てき约束。其奇き点てん提供ていきょう了りょう卡拉比ひ-丘おか流りゅう形がた退化たいか的てき例れい子こ，但ただし从理论物理学りがく的てき角度かくど看み是ぜ完全かんぜん可か接受せつじゅ的てき。这种轨形称しょう作さく“超ちょう对称”：在ざい技わざ术上比ひ一般いっぱん卡拉比ひ-丘おか流りゅう形がた更さら容易ようい研究けんきゅう。通常つうじょう可か将はた非ひ奇き异卡拉ひしげ比ひ-丘おか流りゅう形がた的てき连续族ぞく同どう奇き异超对称轨形联系起おこり来らい。4维中，可用かよう复K3曲きょく面めん说明：

• K3曲面きょくめん都と有ゆう16个2维循环，其拓扑等价于通常つうじょう的てき2球きゅう。当とう球面きゅうめん趋于0时，K3曲きょく面会めんかい出で现16个奇点てん。这个极限代表だいひょう了りょうK3曲きょく面めん模かたぎ空そら间边界上じょう的てき一いち点てん，对应轨形$T^{4}/\mathbb {Z} _{2}\,$是ぜ由よし环面对逆对称取と商しょう得え到いた的てき。

1988年ねん，对弦论中卡拉比ひ-丘おか流りゅう形がた与あずか不ふ同どう模型もけい（IIA、IIB）间对偶性的てき研究けんきゅう引发了りょう镜像对称的てき想そう法ほう。大だい约同一いち时期，Dixon, Harvey, Vafa & Witten首くび次じ指出さしで了りょう轨形的てき作用さよう。

乐理

在ざい数学すうがく和物あえもの理学りがく的てき流りゅう形がた和わ各かく种应用よう外がい，最さい晚ばん在ざい1985年ねん，Guerino Mazzola和かず后きさき来らいDmitri Tymoczko及同事ごと（Tymoczko 2006）、（Callender & Tymoczko 2008）就已将はた轨形应用于乐理。Tymoczko的てき论文是ぜ《科学かがく》的てき第だい一いち篇へん乐理论文。Mazzola和わTymoczko参与さんよ了りょう有ゆう关其理り论的讨论，在ざい各自かくじ的てき网站上じょう发表了りょう一いち系列けいれつ评论。

3维轨形がた$T^{3}/S_{3}$的てき动画。 竖起来らい的てき立方体りっぽうたい片へん（长对角かく线垂直ちょく于图像ぞう平面へいめん）形成けいせい彩色さいしき的てき沃罗诺伊区域くいき（按和弦つる类似着色ちゃくしょく），区域くいき中心ちゅうしん代表だいひょう三さん音おと和わ弦つる，最中さいちゅう心こころ是これ增ぞう三和さんわ弦つる，围绕着ぎ大三おおみつ、小しょう三和さんわ弦つる（石灰せっかい绿和海うみ军蓝）。白色はくしょく是ぜ退化たいか三和さんわ弦つる（1个音重じゅう复3次じ），连接中心ちゅうしん的てき三さん条じょう线（双そう音おと和かず弦つる）构成扭曲三さん棱柱的てき墙壁，与あずか图像垂直すいちょく的てき2D平面へいめん起おこり到いた镜面作用さよう。

Tymoczko将はた由ゆかりn个（不ふ必不同ふどう）音おと和かず弦つる模型もけい化か为轨形がた$T^{n}/S_{n}$中なか的てき点てん，即そく圆中n个无序じょ点てん（不ふ必不同ふどう）组成的てき空そら间，实现为n环面$T^{n}$（圆上n个有序じょ点てん的てき空そら间）对对称しょう群ぐん$S_{n}$（对应有ゆう序じょ集しゅう到いた无序集しゅう的てき移うつり动）的てき商しょう。

从音乐角度かくど可か解かい释如下か：

• 乐音取と决于基音きおん频率（音おと高だか），于是以正实数$\mathbb {R} ^{+}$为参数すう。
• 相差おうさつ一いち个八はち度ど（频率翻こぼし倍ばい）的てき被ひ视作同一どういつ乐音，这相当とう于对频率取と底そこ数すう为2的てき对数（产生实数：$\mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}$），然しか后きさき用よう整数せいすう取と商しょう（对应相しょう差さ若干じゃっかん八はち度ど），得え到いた圆（如$S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z}$）。
• 和かず弦つる对应多た个乐音おん，而不考こう虑顺序じょ——因いん此t个乐音おん（有ゆう序じょ）对应圆上的てきt个有序じょ点てん，或ある等とう价于t环面$T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1}$上うえ的てき单点，而省略しょうりゃく顺序，相当そうとう于取对$S_{t}$的てき商しょう，得とく到いた轨形。

对双和わ弦つる，这会产生闭莫比乌斯带；对三和さんわ弦つる，这会产生轨形，可か描述为三さん棱柱，其顶面めん和わ底面ていめん带有120°（⅓）的てき扭转，等ひとし同どう于截面めん为等边三角形さんかっけい、且有扭转的てき3维实心こころ环面。

由よし此得到いた的てき轨形自然しぜん由ゆかり重じゅう复的乐音（由ゆかりt的てき整数せいすう部分ぶぶん）分ぶん层：开集包含ほうがん不同ふどう乐音（分ぶん区く$t=1+1+\cdots +1$），还有1维奇异集，包含ほうがん所有しょゆう相しょう同どう乐音（分ぶん区く$t=t$），拓つぶせ扑等价于圆，还有各かく种中间分区く。还有一个明显的圆，穿ほじ过等距点开集的てき中心ちゅうしん。至いたり于三和さんわ弦つる，三さん棱柱的てき3个侧面めん对应2个相同どう乐音+1个不同どう乐音（分ぶん区く$3=2+1$），三条さんじょう边对应1维奇异集。顶面、底面ていめん是ぜ开集的てき一いち部分ぶぶん，它们的てき出で现只是ぜ因いん为轨形がた被ひ分割ぶんかつ了りょう——若わか将はた其视作さく带扭曲きょく的てき三角さんかく环面，便びん消失しょうしつ了りょう。

Tymoczko认为，靠もたれ近きん中心ちゅうしん的てき和わ弦つる（音程おんてい（几乎）相等そうとう）构成了りょう许多西方せいほう传统和わ弦つる的てき基もと础，这样将はた其可视化有ゆう助じょ于分析ぶんせき。中心ちゅうしん有ゆう4个和弦つる（十じゅう二に平均へいきん律りつ下等かとう间距：4/4/4），对应增ぞう三和さんわ弦つる（可か视作音おと集しゅう）C♯FA、DF♯A♯、D♯GB、EG♯C（之これ后きさき就循环了：FAC♯ = C♯FA），12个大だい三和さんわ弦つる和わ12个小しょう三和さんわ弦つる是ぜ紧邻中心ちゅうしん的てき点てん——几乎均ひとし匀分布ぶんぷ。大だい三和弦对应间距为4/3/5（或ある等とう价地5/4/3），小しょう三和弦则对应3/4/5。音おと阶变化か对应轨形上うえ点てん的てき移うつり动，相そう邻点之の间的移うつり动会产生更さら光こう滑すべり的てき变化。

另见

• 几何商しょう
• 向こう形かたち
• 叠 (数学すうがく)

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