这术语的来 らい 源 げん 不 ふ 该归在 ざい 我身 わがみ 上 じょう 。它是我 わが 在 ざい 1976-77年 ねん 的 てき 课程中通 なかとおり 过民主 みんしゅ 程 ほど 序 じょ 获得的 てき 。轨形是 ぜ 有 ゆう 很多“折 おり ”(fold)的 てき 东西,但 ただし 是 ぜ “manifold”(流行 りゅうこう )已 やめ 经占了 りょう 一 いち 个位置 いち 。我 わが 试着用 ちゃくよう “foldamani”,但 ただし 很快被 ひ “manifolded”取 と 代 だい 了 りょう 。我 わが 每次 まいじ 都 と 耐 たい 心地 ごこち 说“不 ふ ,不 ふ 是 ぜ 流 りゅう 形 がた ,是 ぜ ‘死 し 流 りゅう 形 がた ’(manifoldead )”,两个月 がつ 后 きさき 我 わが 们搞了 りょう 一 いち 次 じ 投票 とうひょう ,“轨形”(orbifold)获胜了 りょう 。
Thurston (1978–1981 ,第 だい 300頁 ぺーじ ,section 13.2)解 かい 释了“轨形”(orbifold)的 てき 起源 きげん
拓 つぶせ 扑学与 あずか 几何学 がく 中 なか ,轨形 (orbifold,“有 ゆう 轨的流 りゅう 形 がた ”)是 ぜ 对流 ながれ 形 がた 的 てき 推广。粗略 そりゃく 地 ち 说,轨形是 ぜ 局部 きょくぶ 为欧氏 し 空 そら 间的有限 ゆうげん 群 ぐん 商 しょう 的 てき 拓 つぶせ 扑空间 。
轨形的 てき 定 てい 义已出 で 现过好 こう 几次:1950年代 ねんだい 佐武 さたけ 一郎 いちろう 在 ざい 研究 けんきゅう 自 じ 守 もり 形式 けいしき 时将其命名 めいめい 为“V-流 ながれ 形 がた ”;1970年代 ねんだい ,威 い 廉 かど ·瑟斯顿在 ざい 研究 けんきゅう 3-流 ながれ 形 がた 的 てき 几何时,经过与学生 がくせい 的 てき 投票 とうひょう 将 はた 其命名 めいめい 为“轨形”;1980年代 ねんだい ,André Haefliger在 ざい 研究 けんきゅう 米 べい 哈伊尔·格 かく 罗莫夫 おっと 的 てき CAT(k)空 そら 间 纲领时将其命名 めいめい 为“轨边形 がた ”(orbihedron)。
历史上 じょう ,早 はや 在 ざい 正式 せいしき 定 てい 义出现前,轨形首 くび 先 さき 是 ぜ 作 さく 为具有 ぐゆう 奇 き 点 てん 的 てき 曲面 きょくめん 出 で 现的。最早 もはや 的 てき 经典例 れい 子 こ 之 の 一 いち 出 で 现在模 かたぎ 形式 けいしき 理 り 论中,模 も 群 ぐん
S
L
(
2
,
Z
)
{\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}
对上 うえ 半平 はんぺん 面 めん 的 てき 作用 さよう :对商添加 てんか 2个轨形 がた 尖 とんが 点 てん 、实现紧化后 きさき ,可 か 得 え 到 いた 黎 はじむ 曼–罗赫定理 ていり 的 てき 一 いち 种表述 じゅつ 。3-流 ながれ 形 がた 理 り 论中,赫伯特 とく ·塞 ふさが 弗 どる 特 とく 提出 ていしゅつ 的 てき 塞 ふさが 弗 どる 特 とく 纤维空 そら 间理 り 论可用 よう 2维轨形 がた 表 ひょう 述 じゅつ 。几何群 ぐん 论 中 なか ,后 きさき 格 かく 罗莫夫 おっと 时期的 てき 离散群 ぐん 是 ぜ 根 ね 据 すえ “轨边形 がた ”(orbihedron)及其覆 くつがえ 叠空间的 てき 局部 きょくぶ 曲 きょく 率 りつ 特性 とくせい 来 らい 研究 けんきゅう 的 てき 。
弦 つる 论中 なか ,“轨形”的 てき 含义略 りゃく 有 ゆう 不同 ふどう 。下 しも 详。二 に 维共形 がた 场论中 なか ,“轨形”指 ゆび 顶点代数 だいすう 在 ざい 自 じ 同 どう 构的 てき 有限 ゆうげん 群 ぐん 作用 さよう 下 か 附着 ふちゃく 于定点 てん 的 てき 子 こ 代数 だいすう 。
底 そこ 空 そら 间的主要 しゅよう 例 れい 子 こ 是 ぜ 流 りゅう 形 がた 在 ざい 具有 ぐゆう 迷向有限 ゆうげん 子 こ 群 ぐん 的 てき 微分 びぶん 同 どう 胚 はい (可能 かのう 无限)群 ぐん 的 てき 纯不连续作用 さよう 下 か 的 てき 商 しょう 空 そら 间。这尤其适于有限 ゆうげん 群 ぐん 的 てき 任 にん 何 なん 作用 さよう ,于是有界 ゆうかい 流 りゅう 形 がた 带有自然 しぜん 的 てき 轨形结构,因 いん 为它是 ぜ 自身 じしん 的 てき 双 そう 倍 ばい 对
Z
2
{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
作用 さよう 的 てき 商 しょう 。
拓 つぶせ 扑空间可携带不同 ふどう 的 てき 轨形结构。例 れい 如,考 こう 虑与沿
π ぱい
{\displaystyle \pi }
旋转的 てき 圆的商 しょう 空 そら 间相关联的 てき 轨形O ,其与圆同 どう 胚 はい ,但 ただし 自然 しぜん 轨形结构不同 ふどう 。可 か 将 しょう 流 りゅう 形 がた 的 てき 大 だい 部分 ぶぶん 特 とく 征 せい 直接 ちょくせつ 推广到轨形,而它们通常 つうじょう 不同 ふどう 于底空 そら 间的相 しょう 应特征 せい 。上述 じょうじゅつ 例 れい 子中 こなか ,O 的 てき 轨形基本 きほん 群 ぐん 是 これ
Z
2
{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
,其轨形 がた 欧 おう 拉 ひしげ 示 しめせ 性 せい 数 すう 为1。
与 あずか 流 りゅう 形 がた 类似,轨形也由局部 きょくぶ 条件 じょうけん 指定 してい ;不 ふ 过轨形 がた 不 ふ 是 ぜ 以
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
的 てき 开子集 しゅう 为局部 ぶ 模型 もけい ,而用
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
的 てき 开子集 しゅう 对有限 げん 群 ぐん 作用 さよう 的 てき 商 しょう 。轨形的 てき 结构不 ふ 仅包括 ほうかつ 底 そこ 商 しょう 空 そら 间的结构(不 ふ 必是流 りゅう 形 がた ),还包括 ほうかつ 迷向子 こ 群 ぐん 。
n 维轨形 包含 ほうがん 豪 ごう 斯多夫 おっと 拓 つぶせ 扑空间X ,称 しょう 作 さく 底 そこ 空 そら 间 (underlying space);以及一 いち 个覆叠,包含 ほうがん 对有限 げん 交封闭的开集
U
i
{\displaystyle U_{i}}
。
∀
U
i
{\displaystyle \forall U_{i}}
都 みやこ 有 ゆう
开子集 しゅう
V
i
∈
R
n
{\displaystyle V_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}
,在 ざい 有限 ゆうげん 群 ぐん
Γ がんま
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
的 てき 忠 ちゅう 实 线性作用 さよう 下 か 不 ふ 变;
连续映射 しゃ
φ ふぁい
i
:
V
i
→
U
i
{\displaystyle \varphi _{i}:\ V_{i}\to U_{i}}
(在 ざい
Γ がんま
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
下 した 不 ふ 变),称 しょう 作 さく 轨形坐 すわ 标图 (chart),定 てい 义了
V
i
/
Γ がんま
i
{\displaystyle V_{i}/\Gamma _{i}}
与 あずか
U
i
{\displaystyle U_{i}}
间的同 どう 胚 はい 。
若 わか 满足下 か 列 れつ 属性 ぞくせい ,则轨形 がた 坐 すわ 标图的 てき 集合 しゅうごう 形成 けいせい 轨形图集 (atlas):
对每个包含 ほうがん
U
i
⊂
U
j
{\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}
,都 みやこ 有 ゆう 单射 群 ぐん 同 どう 态
f
i
j
:
Γ がんま
i
→
Γ がんま
j
{\displaystyle f_{ij}:\ \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}}
对每个包含 ほうがん
U
i
⊂
U
j
{\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}
,都 みやこ 有 ゆう
Γ がんま
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
-等 とう 变同 どう 胚 はい
ψ ぷさい
i
j
:
V
i
→
V
j
{\displaystyle \psi _{ij}:\ V_{i}\to V_{j}}
的 てき 开子集 しゅう ,称 しょう 作 さく 胶合映 うつ 射 い (gluing map)
胶合映 うつ 射 い 与 あずか 坐 すわ 标图相 しょう 容 よう ,即 そく
ϕ
j
⋅
ψ ぷさい
i
j
=
ϕ
i
{\displaystyle \phi _{j}\cdot \psi _{ij}=\phi _{i}}
胶合映 うつ 射 い 在 ざい 群 ぐん 元素 げんそ 组成的 てき 意 い 义上是 ぜ 唯一 ゆいいつ 的 てき ,即 そく 对
Γ がんま
j
{\displaystyle \Gamma _{j}}
中 ちゅう 唯 ただ 一 いち 的 てき g ,
V
i
→
V
j
{\displaystyle V_{i}\to V_{j}}
的 てき 任意 にんい 其他可能 かのう 的 てき 胶合映 うつ 射 い 都 みやこ 有 ゆう
g
⋅
ψ ぷさい
i
j
{\displaystyle g\cdot \psi _{ij}}
形式 けいしき 。
对流形 がた 上 じょう 的 てき 图集,若 わか X 的 てき 两个轨形图集能 のう 连续地 ち 组合成 ごうせい 更 さら 大 だい 的 てき 轨形图集,则称它们等 とう 价。于是,轨形结构 是 ぜ 轨形图集的 てき 等 とう 价类。
注意 ちゅうい 轨形结构在 ざい 同 どう 构意义上决定了 りょう 轨形上 じょう 任意 にんい 点 てん 的 てき 迷向子 こ 群 ぐん :可 か 作 さく 为任意 にんい 轨形坐 すわ 标图上 うえ 点 てん 的 てき 稳定子来 こらい 计算。若 わか
U
i
⊂
U
j
⊂
U
k
{\displaystyle U_{i}\subset U_{j}\subset U_{k}}
,则在
Γ がんま
k
{\displaystyle \Gamma _{k}}
中有 ちゅうう 唯一 ゆいいつ 的 てき 过渡元素 げんそ
g
i
j
k
∈
Γ がんま
k
{\displaystyle g_{ijk}\in \Gamma _{k}}
,使 つかい 得 とく
g
i
j
k
⋅
ψ ぷさい
i
k
=
ψ ぷさい
j
k
⋅
ψ ぷさい
i
j
{\displaystyle g_{ijk}\cdot \psi _{ik}=\psi _{jk}\cdot \psi _{ij}}
这些过渡元素 げんそ 满足
(
A
d
g
i
j
k
)
⋅
f
i
k
=
f
j
k
⋅
f
i
j
{\displaystyle ({\rm {Ad}}g_{ijk})\cdot f_{ik}=f_{jk}\cdot f_{ij}}
以及上 じょう 循环关系(不 ふ 失 しつ 结合性 せい )
f
k
m
(
g
i
j
k
)
⋅
g
i
k
m
=
g
i
j
m
⋅
g
j
k
m
{\displaystyle f_{km}(g_{ijk})\cdot g_{ikm}=g_{ijm}\cdot g_{jkm}}
更 さら 广义地 ち 说,在 ざい 轨形坐 すわ 标图对轨形 がた 的 てき 开覆叠上,附 ふ 着着 ちゃくちゃく 叫 さけべ 做“复群”的 てき 组合数 すう 据 すえ 。(下 しも 详)
与 あずか 流 りゅう 形 がた 的 てき 情 じょう 形 がた 完全 かんぜん 一 いち 样,可 か 对胶合 あい 映 うつ 射 い 施 ほどこせ 加 か 可 か 微 ほろ 条件 じょうけん ,得 とく 到 いた 微分 びぶん 轨形 。若 わか 轨形坐 すわ 标图上 じょう 还存在 そんざい 不 ふ 变的黎 はじむ 曼度量 りょう ,且胶合 あい 映 うつ 射 い 等 とう 距 ,则称为黎曼轨形 がた 。
广群 包含 ほうがん 对象集合 しゅうごう
G
0
{\displaystyle G_{0}}
、箭 や 头集
G
1
{\displaystyle G_{1}}
与 あずか 结构映射 い (包括 ほうかつ 源 げん 映 うつ 射和 いざわ 目 め 标映射 しゃ
s
,
t
:
G
1
→
G
0
{\displaystyle s,t:G_{1}\to G_{0}}
及允许箭头组合 あい 、取 と 逆 ぎゃく 的 てき 其他映 うつ 射 い )。若 わか
G
0
,
G
1
{\displaystyle G_{0},\ G_{1}}
都 みやこ 是 ただし 光 こう 滑 すべり 流 りゅう 形 がた ;所有 しょゆう 结构映射 しゃ 都 と 光 こう 滑 すべり ;源 げん 映 うつ 射和 いざわ 目 め 标映射 しゃ 都 みやこ 是 ただし 浸 ひた 没 ぼつ ,则称其为李 り 广群 。源 みなもと 纤维与目 め 标纤维在给定点 てん
x
∈
G
0
{\displaystyle x\in G_{0}}
的 てき 交,即 そく 集合 しゅうごう
(
G
1
)
x
:=
s
−
1
(
x
)
∩
t
−
1
(
x
)
{\displaystyle (G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)}
,是 ぜ
G
1
{\displaystyle G_{1}}
在 ざい x 点 てん 的 てき 迷向群 ぐん ,是 ぜ 个李 り 群 ぐん 。若 わか 映 うつ 射 い
(
s
,
t
)
:
G
1
→
G
0
×
G
0
{\displaystyle (s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}}
是 これ 紧合映 うつ 射 い ,则称李 り 广群也紧合 (proper);若 わか 源 みなもと 映 うつ 射和 いざわ 目 め 标映射 しゃ 都 みやこ 是 ただし 局部 きょくぶ 微分 びぶん 同 どう 胚 はい ,则称平 たいら 展 てん 。
轨形广群 由 よし 以下 いか 等 とう 价定义给出 で :
紧合平 たいら 展 てん 李 り 广群;
紧合李 り 广群,其迷向 こう 为离散空 そら 间 。
由 よし 于紧合 あい 广群的 てき 迷向群 ぐん 自 じ 动地紧 ,离散条件 じょうけん 意味 いみ 着 ぎ 迷向群 ぐん 必须是 ぜ 有限 ゆうげん 群 ぐん 。[ 10]
在 ざい 上述 じょうじゅつ 定 てい 义中,轨形广群与 あずか 轨形图集起 おこり 类似作用 さよう 。事 こと 实上,在 ざい 豪 ごう 斯多夫 おっと 拓 つぶせ 扑空间X 上 うえ 的 てき 轨形结构 被 ひ 定 てい 义为轨形广群
G
⇉
M
{\displaystyle G\rightrightarrows M}
的 てき 森田 もりた 等 ひとし 价 类,以及同 どう 胚 はい
|
M
/
G
|
≃
X
{\displaystyle |M/G|\simeq X}
,其中
|
M
/
G
|
{\displaystyle |M/G|}
是 ぜ 李 り 广群G 的 てき 轨道空 そら 间(即 そく 当 とう
x
∼
y
{\displaystyle x\sim y}
时,若 わか 有 ゆう
g
∈
G
(
s
(
g
)
=
x
,
t
(
g
)
=
y
)
{\displaystyle g\in G\ (s(g)=x,\ t(g)=y)}
,M 对等价关系 けい 的 てき 商 しょう )。这定义表明 ひょうめい ,轨形是 ぜ 一 いち 种特殊 こと 的 てき 微分 びぶん 叠 。
给定空 そら 间X 上 うえ 的 てき 轨形图集,可 か 构造伪群 ,由 ゆかり X 的 てき 开集间所有 しょゆう 保留 ほりゅう 了 りょう 过渡函数 かんすう
φ ふぁい
i
{\displaystyle \varphi _{i}}
的 てき 微分 びぶん 同 どう 胚 はい 组成。反 はん 过来,其元素的 すてき 芽 め 空 そら 间
G
X
{\displaystyle G_{X}}
是 ぜ 轨形广群。此外,据 すえ 轨形图集的 てき 定 てい 义,有限 ゆうげん 群 ぐん
Γ がんま
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
都 みやこ 忠 ただし 实地作用 さよう 于
V
i
{\displaystyle V_{i}}
,所以 ゆえん 广群
G
X
{\displaystyle G_{X}}
自 じ 动地有效 ゆうこう ,即 そく 映 うつ 射 い
g
∈
(
G
X
)
x
↦
g
e
r
m
x
(
t
∘
s
−
1
)
,
∀
x
∈
X
{\displaystyle g\in (G_{X})_{x}\mapsto \mathrm {germ} _{x}(t\circ s^{-1}),\ \forall x\in X}
都 みやこ 是 ただし 单射。当 とう 且仅当 とう 与 あずか 之 これ 相 しょう 关联的 てき 轨形广群森田 もりた 等 ひとし 价时,两个不同 ふどう 的 てき 轨形图集会 かい 产生相 しょう 同 どう 的 てき 轨形结构。于是,第 だい 一个定义的轨形结构(也称为经典轨形 )在 ざい 第 だい 二个定义下是特殊的。
反 はん 过来说,给定轨形广群
G
⇉
M
{\displaystyle G\rightrightarrows M}
,在 ざい 其轨道 どう 空 そら 间上有 ゆう 规范轨形图集,其相关的有效 ゆうこう 轨形广群与 あずか G 森田 もりた 等 ひとし 价。由 よし 于森田 もりた 等 ひとし 价广群 ぐん 的 てき 轨道空 そら 间是同 どう 胚 はい 的 てき ,在 ざい 有效 ゆうこう 情 じょう 况下,第 だい 二个定义的轨形结构还原了经典轨形。[ 11]
因 いん 此,虽然轨形图集的 てき 概念 がいねん 更 さら 简单,在 ざい 文献 ぶんけん 中 ちゅう 也更常 つね 见,但 ただし 轨形广群在 ざい 讨论非 ひ 有效 ゆうこう 轨形与 あずか 轨形间的映 うつ 射 い 时特别有用 よう 。例 れい 如,轨形间的映 うつ 射 い 可用 かよう 广群间的同 どう 胚 はい 描述,比 ひ 底 そこ 拓 つぶせ 扑空间之间的底 そこ 连续映射 しゃ 携带更 さら 多 た 信 しん 息 いき 。
无界流 りゅう 形 かたち 都 と 是 ぜ 轨形,其中每 ごと 个群
Γ がんま
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
都 みやこ 是 ただし 平凡 へいぼん 群 ぐん 。等 とう 价地,其对应单位 い 广群的 てき 森田 もりた 等 ひとし 价类。
若 わか N 是 ぜ 紧有界 かい 流 りゅう 形 がた ,则其加 か 倍 ばい (double)M 可 か 由 ゆかり N 与 あずか 其镜像 ぞう 沿共同 どう 边界粘 ねば 合 ごう 而成。在 ざい 固定 こてい 共同 きょうどう 边界的 てき 流 りゅう 形 がた M 上 うえ 存在 そんざい
Z
2
{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
的 てき 自然 しぜん 反射 はんしゃ 作用 さよう ,商 しょう 空 そら 间可被 ひ 认同为N ,于是N 具有 ぐゆう 自然 しぜん 轨形结构。
若 わか M 是 ぜ 黎 はじむ 曼n 维流形 がた ,且具有 ぐゆう 离散群 ぐん Γ がんま 的 てき 余 あまり 紧等距真作用 さよう (cocompact proper isometric),则轨道 どう 空 そら 间
X
=
M
/
Γ がんま
{\displaystyle X=M/\Gamma }
具有 ぐゆう 自然 しぜん 轨形结构:
∀
x
∈
X
{\displaystyle \forall x\in X}
,取 と 代表 だいひょう 性 せい 的 てき
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
与 あずか 其开邻域
V
m
{\displaystyle V_{m}}
,在 ざい 稳定子 こ
Γ がんま
m
{\displaystyle \Gamma _{m}}
下 した 不 ふ 变,与 あずか
T
m
M
{\displaystyle T_{m}M}
在 ざい m 处的指数 しすう 映 うつ 射 い 下 か 的 てき
Γ がんま
m
{\displaystyle \Gamma _{m}}
子 こ 集 しゅう 等 とう 价确定 てい ;有限 ゆうげん 多 た 邻域覆 くつがえ 盖X ,而它们的有限 ゆうげん 交(若 わか 非 ひ 空 そら )都 と 被 ひ 相 あい 应群
g
m
Γ がんま
g
m
−
1
{\displaystyle g_{m}\Gamma g_{m}^{-1}}
与 あずか Γ がんま -平 たいら 移 うつり (Γ がんま -translate)
g
m
⋅
V
m
{\displaystyle g_{m}\cdot V_{m}}
的 てき 交覆盖。这样产生的 てき 轨形称 しょう 作 さく 可 か 发展或 ある 性 せい 质良好 りょうこう 。
亨 とおる 利 り ·庞加莱的 てき 一个经典定理将福 ぶく 斯群 构造为双曲 きょく 反射 はんしゃ 群 ぐん ,由 ゆかり 双 そう 曲 きょく 面 めん 中 ちゅう 测地 三角形 さんかっけい 边的反射 はんしゃ 生成 せいせい ,符合 ふごう 庞加莱度量 りょう 。若 わか 三角形 さんかっけい 有 ゆう 角 かく
π ぱい
/
n
i
{\displaystyle \pi /n_{i}}
(
n
i
{\displaystyle n_{i}}
为正整数 せいすう ),则其是 ぜ 基本 きほん 域 いき ,自然 しぜん 是 ぜ 2维轨形 がた ,对应的 てき 群 ぐん 是 ぜ 双 そう 曲 きょく 三角 さんかく 群 ぐん 的 てき 例 れい 子 こ 。庞加莱还给出了 りょう 这一结果对克 かつ 莱因群 ぐん 的 てき 3维版本 はんぽん :这时,克 かつ 莱因群 ぐん Γ がんま 由 よし 双 そう 曲 きょく 反射 はんしゃ 生成 せいせい ,轨形是 ぜ
H
3
/
Γ がんま
{\displaystyle \mathbb {H} ^{3}/\Gamma }
。
若 わか M 是 ぜ 闭2维流形 がた ,则可从M 中 ちゅう 取出 とりで 有限 ゆうげん 多 おお 不 ふ 交闭圆盘,再 さい 分 ぶん 别粘回 かい 圆盘
D
/
Γ がんま
i
{\displaystyle D/\Gamma _{i}}
(D 是 ぜ 闭单位圆盘 ,
Γ がんま
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
是 ぜ 旋转的 てき 有限 ゆうげん 循环群 ぐん ),这样便 びん 在 ざい M i上 うえ 定 てい 义了新 しん 的 てき 轨形结构。
有 ゆう 几种方法 ほうほう 定 てい 义轨形基本 きほん 群 ぐん 。更 さら 精 せい 致的方法 ほうほう 是 ぜ 用 よう 轨形覆 くつがえ 叠空间或 ある 分 ぶん 类空间 (广群 的 てき 空 そら 间)。最 さい 简单的 てき 方法 ほうほう (Haefliger采 さい 用 よう ,瑟斯顿也使用 しよう )推广了 りょう 基本 きほん 群 ぐん 标准定 てい 义中的 てき 环圈 。
轨形路 ろ 径 みち 在 ざい 底 そこ 空 そら 间中,具 ぐ 有明 ありあけ 确的将 しょう 路 ろ 径 みち 分段 ぶんだん 提 ひさげ 升 ます 到 いた 轨形坐 すわ 标图的 てき 方法 ほうほう ,及明确的识别重 じゅう 叠坐标图中路 なかじ 径 みち 的 てき 群 ぐん 元素 げんそ ;若 わか 底 そこ 路 ろ 径 みち 是 ぜ 环圈,则称之 の 为轨形环圈 。两轨形 がた 路 ろ 径 みち 若 わか 通 どおり 过与轨形坐 すわ 标图中 ちゅう 的 てき 群 ぐん 元素 げんそ 相乘 そうじょう 而产生 せい 关联,则它们就被 ひ 确认了 りょう 。轨形基本 きほん 群 ぐん 是 ぜ 由 よし 轨形环圈的 てき 同 どう 伦类形成 けいせい 的 てき 群 ぐん 。
若 わか 轨形来 き 自 じ 单连通 どおり 流 ながれ 形 がた M 对离散群 ぐん Γ がんま 的 てき 紧合刚性作用 さよう (proper rigid action)的 てき 商 しょう ,则轨形 がた 基本 きほん 群 ぐん 可 か 被 ひ 认同为Γ がんま 。总的来 らい 说,它是Γ がんま 对
π ぱい
1
M
{\displaystyle \pi _{1}M}
的 てき 群 ぐん 扩张 。
若 わか 轨形来 き 自 じ 对群作用 さよう 的 てき 商 しょう ,则称其可发展或 ある 性 せい 质良好 こう ;否 いや 则称不良 ふりょう 。类比拓 つぶせ 扑空间的万有覆叠空间,可 か 为轨形 がた 构造万有覆叠轨形,即 そく “轨形上 じょう 的 てき 点 てん ,与 あずか 连接点 てん 和 わ 基点 きてん 的 てき 轨形路 ろ 径 みち 的 てき 同 どう 伦类”的 てき 对子组成的 てき 空 そら 间。这空间自然 しぜん 是 ぜ 轨形。
注意 ちゅうい ,若 わか 可 か 收 おさむ 缩 开子集 しゅう 上 じょう 的 てき 轨形坐 すわ 标图对应群 ぐん Γ がんま ,则Γ がんま 到 いた 轨形基本 きほん 群 ぐん ,有 ゆう 自然 しぜん 的 てき 局部 きょくぶ 同 どう 胚 はい 。
以下 いか 条件 じょうけん 等 とう 价:
轨形是 ぜ 良好 りょうこう 的 てき 。
万有覆叠轨形上的轨形结构平凡。
对可收 おさむ 缩开集 しゅう 的 てき 覆 くつがえ 叠,局部 きょくぶ 同 どう 胚 はい 都 と 是 ぜ 单射。
轨形可 か 定 てい 义在广义微分 びぶん 几何 的 てき 一般 いっぱん 框 かまち 架 か 中 ちゅう ,可 か 以证明 あかり 其等价于佐武 さたけ 一郎 いちろう 的 てき 原始 げんし 定 てい 义:
定 てい 义 . 轨形是 ぜ 在 ざい 每 まい 个点上 うえ 都 と 与 あずか 某 ぼう 个
R
n
/
G
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}
(n 是 ぜ 整数 せいすう ,G 是 ぜ 有限 ゆうげん 线性群 ぐん ,后 きさき 者 しゃ 不 ふ 是 ぜ 定 じょう 的 てき )局部 きょくぶ 微分 びぶん 同 どう 胚 はい 的 てき 微分 びぶん 空 そら 间(diffeological space)。
这个定 てい 义需要 じゅよう 一 いち 些说明 あきら :
这个定 てい 义模仿了广义微分 びぶん 几何中流 ちゅうりゅう 形 がた 的 てき 定 てい 义,即 そく 每 まい 个点上 うえ 都 と 与 あずか
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
存在 そんざい 局部 きょくぶ 微分 びぶん 同 どう 胚 はい 的 てき 微分 びぶん 空 そら 间。
轨形首 くび 先 さき 是 ぜ 微分 びぶん 空 そら 间,具 ぐ 备广义微分 ぶん 几何的 てき 集合 しゅうごう 。然 しか 后 きさき ,广义微分 びぶん 几何在 ざい 检验中 ちゅう ,于每点 てん 都 と 局部 きょくぶ 微分 びぶん 同 どう 胚 はい 于商
R
n
/
G
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/G}
,其中G 是 ぜ 有限 ゆうげん 线性群 ぐん 。
这定义等同 どう 于Haefliger轨形。
{轨形}是 ぜ {广义微分 びぶん 几何}的 てき 子 こ 范畴,其对象 ぞう 是 ぜ 微分 びぶん 空 そら 间,态射是 ぜ 光 こう 滑 すべり 映 うつ 射 しゃ 。轨形间的光 こう 滑 すべり 映 うつ 射 い ,是 ぜ 对其广义微分 びぶん 几何而言光 こう 滑 すべり 的 てき 映 うつ 射 しゃ 。这就解 かい 决了佐武 さたけ 一郎在定义中所说:“如此定 てい 义的
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
-映 うつ 射 い 有 ゆう 点 てん 不 ふ 方便 ほうべん :在 ざい 不同 ふどう 的 てき 定 てい 义族中 ちゅう 定 てい 义的两个
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
-映 うつ 射 しゃ 之 の 复合并不总是
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
-映 うつ 射 しゃ 。”事 こと 实上,有 ゆう 些轨形 がた 间的光 こう 滑 すべり 映 うつ 射 い 并不作 さく 为等变映射 しゃ 局部 きょくぶ 提 ひさげ 升 ます (lift)。
注意 ちゅうい ,作 さく 为微分 ぶん 空 そら 间的轨形的 てき 基本 きほん 群 ぐん 不同 ふどう 于上面 めん 定 てい 义的基本 きほん 群 ぐん ,后 きさき 者 しゃ 与 あずか 结构广群及其迷向群 ぐん 有 ゆう 关。
在 ざい 几何群 ぐん 论 的 てき 应用中 ちゅう ,用 よう Haefliger提出 ていしゅつ 的 てき 略 りゃく 微 ほろ 广义的 てき 轨形概念 がいねん 往往 おうおう 更 さら 方便 ほうべん 。轨空间 (orbispace)之 の 于拓扑空间,如同轨形之 の 于流形 がた ,是 ぜ 轨形概念 がいねん 在 ざい 拓 つぶせ 扑学的 てき 推广。其定义用具有 ぐゆう 有限 ゆうげん 群 ぐん 的 てき 刚性作用 さよう 的 てき 局部 きょくぶ 紧空 そら 间代替 だいたい 了 りょう 轨形坐 すわ 标图模型 もけい ,即 そく 具有 ぐゆう 平凡 へいぼん 迷向的 てき 点 てん 是 ぜ 稠密 ちゅうみつ 的 てき (忠 ちゅう 实线性 せい 作用 さよう 自 じ 动满足 あし 这条件 じょうけん ,因 いん 为任何 なん 非 ひ 平凡 へいぼん 群 ぐん 元素 げんそ 固定 こてい 的 てき 点 てん 都会 とかい 形成 けいせい 紧合线性子 こ 空 そら 间 )考 こう 虑轨空 そら 间上的 てき 度量 どりょう 空 そら 间 结构也是有用 ゆうよう 的 てき ,它们由 よし 轨空间上的 てき 不 ふ 变度量 どりょう 给出,其中胶合映 うつ 射 い 保留 ほりゅう 距离。这时,通常 つうじょう 要求 ようきゅう 轨空间坐标图是 ぜ 长度空 そら 间,具有 ぐゆう 连接任意 にんい 两点的 てき 唯一 ゆいいつ 测地线 。
令 れい X 为赋以度量 りょう 空 そら 间结构的轨空间,其坐标图是 ぜ 测地线长度 ど 空 そら 间。前面 ぜんめん 关于轨形的 てき 定 てい 义和结果可 か 推广到轨空间基本 きほん 群 ぐん 和 わ 万有覆叠轨空间,及类似 に 的 てき 可 か 发展性 せい 标准。轨空间坐标图上 じょう 的 てき 距离函数 かんすう 可用 かよう 于定义万有覆叠轨空间中轨空间路径的长度,若 わか 每 まい 个坐标图中 ちゅう 的 てき 距离函数 かんすう 曲 きょく 率 りつ 非 ひ 正 せい ,则伯克 かつ 霍夫曲 きょく 线缩短 たん 论证就可证明,任 にん 何 なん 定 てい 端点 たんてん 轨空间路径 みち 都 と 与 あずか 唯 ただ 一的测地线同伦。将 はた 这应用 よう 于轨空 そら 间坐标图中 ちゅう 的 てき 常 つね 路 ろ 径 みち ,可知 かち 每 まい 个局部 ぶ 同 どう 态都是 ぜ 单射,于是:
曲 きょく 率 りつ 非 ひ 正 せい 的 てき 轨空间都是 ぜ 良好 りょうこう 的 てき 。
每 まい 个轨形 がた 都 と 与 あずか 由 よし 复群给出的 てき 附加 ふか 组合结构有 ゆう 联系。
抽象 ちゅうしょう 单纯复形Y 上 うえ 的 てき 复群
(
Y
,
f
,
g
)
{\displaystyle (Y,\ f,\ g)}
由 よし 以下 いか 条件 じょうけん 给出
对Y 的 まと 每 ごと 个单纯形σ しぐま ,有限 ゆうげん 群 ぐん
Γ がんま
σ しぐま
{\displaystyle \Gamma _{\sigma }}
单射同 どう 态
f
σ しぐま
τ たう
:
Γ がんま
τ たう
→
Γ がんま
σ しぐま
,
σ しぐま
⊂
τ たう
{\displaystyle f_{\sigma \tau }:\ \Gamma _{\tau }\rightarrow \Gamma _{\sigma },\ \sigma \subset \tau }
对每个包含 ほうがん
ρ ろー
⊂
σ しぐま
⊂
τ たう
{\displaystyle \rho \subset \sigma \subset \tau }
,都 みやこ 有 ゆう 群 ぐん 元素 げんそ
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
∈
Γ がんま
ρ ろー
{\displaystyle g_{\rho \sigma \tau }\in \Gamma _{\rho }}
使 つかい 得 とく
(
A
d
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
)
⋅
f
ρ ろー
τ たう
=
f
ρ ろー
σ しぐま
⋅
f
σ しぐま
τ たう
{\displaystyle ({\rm {Ad}}g_{\rho \sigma \tau })\cdot f_{\rho \tau }=f_{\rho \sigma }\cdot f_{\sigma \tau }}
(其中Ad表示 ひょうじ 共 ども 轭的伴 とも 随 ずい 作用 さよう )
此外,群 ぐん 作用 さよう 还要满足上 じょう 循环条件 じょうけん
f
π ぱい
ρ ろー
(
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
)
g
π ぱい
ρ ろー
τ たう
=
g
π ぱい
σ しぐま
τ たう
g
π ぱい
ρ ろー
σ しぐま
{\displaystyle f_{\pi \rho }(g_{\rho \sigma \tau })g_{\pi \rho \tau }=g_{\pi \sigma \tau }g_{\pi \rho \sigma }}
对每个单形 がた 链
π ぱい
⊂
ρ ろー
⊂
σ しぐま
⊂
τ たう
.
{\displaystyle \pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .}
(若 わか Y 的 てき 维度小 しょう 于等于2,这条件 じょうけん 就是空 そら 的 てき )
任意 にんい 元素 げんそ 的 てき 选择
h
σ しぐま
τ たう
∈
Γ がんま
σ しぐま
{\displaystyle h_{\sigma \tau }\in \Gamma _{\sigma }}
都会 とかい 产生等 とう 价的复群,定 てい 义如下 か
f
σ しぐま
τ たう
=
(
A
d
h
σ しぐま
τ たう
)
⋅
f
σ しぐま
τ たう
{\displaystyle f_{\sigma \tau }=({\rm {Ad}}h_{\sigma \tau })\cdot f_{\sigma \tau }}
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
=
h
ρ ろー
σ しぐま
⋅
f
ρ ろー
σ しぐま
(
h
σ しぐま
τ たう
)
⋅
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
⋅
h
ρ ろー
τ たう
−
1
{\displaystyle g_{\rho \sigma \tau }=h_{\rho \sigma }\cdot f_{\rho \sigma }(h_{\sigma \tau })\cdot g_{\rho \sigma \tau }\cdot h_{\rho \tau }^{-1}}
只 ただ 要 よう
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
=
1
{\displaystyle g_{\rho \sigma _{\tau }}=1}
无处不在 ふざい ,就称复群是 ぜ 单 的 てき 。
一个简单的归纳论证表明,单纯形 がた 上 じょう 的 てき 复群都 と 等 とう 价于各 かく 处
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
=
1
{\displaystyle g_{\rho \sigma \tau }=1}
的 てき 复群。
用 よう Y 的 てき 重心 じゅうしん 重 じゅう 分 ぶん 通常 つうじょう 更 さら 方便 ほうべん ,概念 がいねん 上 じょう 也更吸引 きゅういん 人 じん 。这细分 ぶん 的 てき 顶点对应Y 的 てき 单形,因 いん 此顶点 てん 附 ふ 带一个群。重心 じゅうしん 重 じゅう 分 ぶん 的 てき 边自然 しぜん 有向 ゆうこう (对应单形的 てき 包含 ほうがん ),有向 ゆうこう 边给出 で 了 りょう 群 ぐん 的 てき 包含 ほうがん 。三角形都附有过渡元素,属 ぞく 于恰有 ゆう 1顶点的 てき 群 ぐん ;(若 わか 有 ゆう )四面体给出了过渡元素的上循环关系。于是,复群只 ただ 涉 わたる 及重心 こころ 重 じゅう 分 ぶん 的 てき 3-骨 ほね 架 か ;若 わか 是 ぜ 单的,则只涉 わたる 及2-骨 ほね 架 か 。
若 わか X 是 ぜ 轨形或 ある 轨空间,从轨形 がた 坐 すわ 标图
f
i
:
V
i
→
U
i
{\displaystyle f_{i}:\ V_{i}\rightarrow U_{i}}
中 ちゅう 择一由开子集构成的覆叠。令 れい Y 为由覆 くつがえ 叠的神 しん 经给出 で 的 てき 抽象 ちゅうしょう 单纯复形:其定点 てん 是 ぜ 覆 くつがえ 叠集,n 单形对应非 ひ 空 そら 交
U
α あるふぁ
=
U
i
1
∩
…
∩
U
i
n
.
{\displaystyle U_{\alpha }=U_{i_{1}}\cap \ldots \cap U_{i_{n}}.}
对每个这样的单纯形 がた ,都 みやこ 有 ゆう 相 しょう 关联的 てき 群 ぐん
Γ がんま
α あるふぁ
{\displaystyle \Gamma _{\alpha }}
,同 どう 态
f
i
j
{\displaystyle f_{ij}}
成 なり 为同态
f
σ しぐま
τ たう
{\displaystyle f_{\sigma \tau }}
。每 まい 个三 さん 元 げん 链
ρ ろー
⊂
σ しぐま
⊂
τ たう
{\displaystyle \rho \subset \sigma \subset \tau }
对应交
U
i
⊃
U
i
∩
U
j
⊃
U
i
∩
U
j
∩
U
k
{\displaystyle U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}
有 ゆう 坐 すわ 标图
φ ふぁい
i
:
V
i
→
U
i
,
φ ふぁい
i
j
:
V
i
j
→
U
i
∩
U
j
,
φ ふぁい
i
j
k
:
V
i
j
k
→
U
i
∩
U
j
∩
U
k
{\displaystyle \varphi _{i}:\ V_{i}\rightarrow U_{i},\ \varphi _{ij}:\ V_{ij}\rightarrow U_{i}\cap U_{j},\ \varphi _{ijk}:\ V_{ijk}\rightarrow U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}
,以及胶合映 うつ 射 い
ψ ぷさい
:
V
i
j
→
V
i
,
ψ ぷさい
′
:
V
i
j
k
→
V
i
j
,
ψ ぷさい
″
:
V
i
j
k
→
V
i
.
{\displaystyle \psi :\ V_{ij}\rightarrow V_{i},\ \psi ':\ V_{ijk}\rightarrow V_{ij},\ \psi '':\ V_{ijk}\rightarrow V_{i}.}
有 ゆう 唯 ただ 一 いち 的 てき 过渡元素 げんそ
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
∈
Γ がんま
i
{\displaystyle g_{\rho \sigma \tau }\in \Gamma _{i}}
,使 つかい
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
⋅
ψ ぷさい
″
=
ψ ぷさい
⋅
ψ ぷさい
′
.
{\displaystyle g_{\rho \sigma \tau }\cdot \psi ''=\psi \cdot \psi '.}
轨形的 てき 过渡元素 げんそ 满足的 てき 关系意味 いみ 着 ぎ 复群所 しょ 需的关系,这样,复群就可通 どおり 过轨形 がた (或 ある 轨空间)坐 すわ 标图,规范地 ち 与 あずか 开覆叠的神 しん 经相关联。用 もちい 非 ひ 交换层 理 り 论和束 たば 的 てき 语言来 らい 说,这时的 てき 复群是 ぜ 作 さく 为与覆 くつがえ 叠
U
i
{\displaystyle U_{i}}
相 あい 关联的 てき 群 ぐん 层产生 せい 的 てき ;数 すう 据 すえ
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
{\displaystyle g_{\rho \sigma \tau }}
是非 ぜひ 交换层上同 どう 调 中 なか 的 てき 一 いち 个2-上 うえ 循环,数 すう 据 すえ
h
σ しぐま
τ たう
{\displaystyle h_{\sigma \tau }}
给出了 りょう 2-上 うえ 边界扰动。
复群的 てき 边径群 ぐん (edge-path group)可 か 定 てい 义为单纯复形边径群 ぐん 的 てき 自然 しぜん 推广。在 ざい Y 的 てき 重心 じゅうしん 重 じゅう 分 ぶん 中 ちゅう ,取 と 对应于i 到 いた j 的 てき 边(
i
→
j
{\displaystyle i\rightarrow j}
)的 てき 生成 せいせい 子 こ
e
i
j
{\displaystyle e_{ij}}
,则有单射
ψ ぷさい
i
j
:
Γ がんま
i
→
Γ がんま
j
.
{\displaystyle \psi _{ij}:\ \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}.}
令 れい Γ がんま 为由
e
i
j
,
Γ がんま
k
{\displaystyle e_{ij},\ \Gamma _{k}}
生成 せいせい 的 てき 群 ぐん ,具有 ぐゆう 关系
e
i
j
−
1
⋅
g
⋅
e
i
j
=
ψ ぷさい
i
j
(
g
)
{\displaystyle e_{ij}^{-1}\cdot g\cdot e_{ij}=\psi _{ij}(g)}
其中
g
∈
Γ がんま
i
{\displaystyle g\in \Gamma _{i}}
,且
e
i
k
=
e
j
k
⋅
e
i
j
⋅
g
i
j
k
{\displaystyle e_{ik}=e_{jk}\cdot e_{ij}\cdot g_{ijk}}
若 わか
i
→
j
→
k
.
{\displaystyle i\rightarrow j\rightarrow k.}
对于定 てい 顶点
i
0
{\displaystyle i_{0}}
,边径群 ぐん
Γ がんま
(
i
0
)
{\displaystyle \Gamma (i_{0})}
定 てい 义为由 よし Γ がんま 的 てき 所有 しょゆう 积生成 せいせい 的 てき 子 こ 群 ぐん :
g
0
⋅
e
i
0
i
1
⋅
g
1
⋅
e
i
1
i
2
⋅
⋯
⋅
g
n
⋅
e
i
n
i
0
{\displaystyle g_{0}\cdot e_{i_{0}i_{1}}\cdot g_{1}\cdot e_{i_{1}i_{2}}\cdot \dots \cdot g_{n}\cdot e_{i_{n}i_{0}}}
其中
i
0
,
i
1
,
…
,
i
n
,
i
0
{\displaystyle i_{0},\ i_{1},\ \ldots ,\ i_{n},\ i_{0}}
是 ぜ 一 いち 条 じょう 边径,
g
k
{\displaystyle g_{k}}
位 くらい 于
Γ がんま
i
k
{\displaystyle \Gamma _{i_{k}}}
中 なか ,
e
j
i
=
e
i
j
(
i
→
j
)
.
{\displaystyle e_{ji}=e_{ij}\ (i\rightarrow j).}
在 ざい 具有 ぐゆう 有限 ゆうげん 商 しょう 的 てき 单纯复形 X 上 うえ ,离散群 ぐん 的 てき 单纯紧合作用 さよう 若 わか 满足以下 いか 条件 じょうけん 之 の 一 いち ,则称该作用 よう 正 せい 则 (regular):
X 以有限 げん 子 こ 复形为基本 きほん 域 いき ;
商 しょう
Y
=
X
/
Γ がんま
{\displaystyle Y=X/\Gamma }
具有 ぐゆう 自然 しぜん 单纯结构;
商 しょう 单纯结构在 ざい 定点 ていてん 的 てき 轨道表示 ひょうじ 上 じょう 一致 いっち ;
若 わか
(
v
0
,
…
,
v
k
)
{\displaystyle (v_{0},\ \ldots ,\ v_{k})}
和 わ
(
g
0
⋅
v
0
,
…
,
g
k
⋅
v
k
)
{\displaystyle (g_{0}\cdot v_{0},\ \ldots ,\ g_{k}\cdot v_{k})}
是 ぜ 单形,则对部分 ぶぶん
g
∈
Γ がんま
,
g
⋅
v
i
=
g
i
v
i
.
{\displaystyle g\in \Gamma ,\ g\cdot v_{i}=g_{i}v_{i}.}
这时,基本 きほん 域 いき 和 わ 商 しょう
Y
=
X
/
Γ がんま
{\displaystyle Y=X/\Gamma }
可 か 自然 しぜん 地 ち 确定为单纯复形 がた ,由 ゆかり 基本 きほん 域 いき 中 ちゅう 单形的 てき 稳定子 こ 给出。这样得 え 到 いた 的 てき 复群Y 称 しょう 作 さく 可 か 发展 (developable)。
复群可 か 发展,当 とう 且仅当 とう
Γ がんま
σ しぐま
{\displaystyle \Gamma _{\sigma }}
到 いた 边径群 ぐん 的 てき 同 どう 态是单射。
复群可 か 发展,当 とう 且仅当 とう 对每个单形 がた σ しぐま ,有 ゆう 单射同 どう 态
θ しーた
σ しぐま
:
Γ がんま
α あるふぁ
→
Γ がんま
{\displaystyle \theta _{\sigma }:\ \Gamma _{\alpha }\to \Gamma }
,其中后 きさき 者 しゃ 是 ぜ 定 てい 离散群 ぐん ,使 つかい 得 とく
θ しーた
τ たう
⋅
f
σ しぐま
τ たう
=
θ しーた
σ しぐま
{\displaystyle \theta _{\tau }\cdot f_{\sigma \tau }=\theta _{\sigma }}
。这时,单纯复形X 得 え 到 いた 了 りょう 规范的 てき 定 てい 义:其有k 单形
(
σ しぐま
,
x
Γ がんま
σ しぐま
{\displaystyle (\sigma ,\ x\Gamma _{\sigma }}
,其中σ しぐま 是 ぜ Y 的 てき k 单形,x 在 ざい
Γ がんま
/
Γ がんま
σ しぐま
{\displaystyle \Gamma /\Gamma _{\sigma }}
上 うえ 运行。利用 りよう 复群对单形 がた 的 てき 限 きり 制 せい 等 とう 价于具有 ぐゆう 平凡 へいぼん 上 じょう 循环
g
ρ ろー
σ しぐま
τ たう
{\displaystyle g_{\rho \sigma \tau }}
这一事 いちじ 实,可 か 以检验一致 いっち 性 せい 。
Γ がんま 在 ざい X 的 てき 重点 じゅうてん 重 じゅう 分 ぶん X' 上 うえ 的 てき 作用 さよう 总满足 あし 以下 いか 条件 じょうけん ,弱 じゃく 于正则性:
只 ただ 要 よう σ しぐま 和 わ
g
⋅
σ しぐま
{\displaystyle g\cdot \sigma }
是 ぜ 某 ぼう 单形τ たう 的 てき 子 こ 单形,则它们就相等 そうとう :
σ しぐま
=
g
⋅
σ しぐま
{\displaystyle \sigma =g\cdot \sigma }
事 こと 实上,X '中 ちゅう 的 てき 单形对应X 中 なか 的 てき 单形链,因 いん 此单形 がた 子 こ 链给出 で 的 てき 子 こ 单形由子 ゆうこ 链中单形的 てき 大小 だいしょう 唯一 ゆいいつ 确定。作用 さよう 满足这条件 じょうけん 时,g 必然 ひつぜん 固定 こてい 了 りょう σ しぐま 的 てき 所有 しょゆう 顶点。有 ゆう 直接的 ちょくせつてき 归纳证明表明 ひょうめい ,这样的 てき 作用 さよう 在 ざい 重心 じゅうしん 重 じゅう 分上 ぶんじょう 是正 ぜせい 则的;特 とく 别是
在 ざい 第 だい 二 に 重 じゅう 心 こころ 重 じゅう 分 ぶん X "上 じょう 的 てき 作用 さよう 正 せい 则;
Γ がんま 自然 しぜん 地 ち 与 あずか X "中 ちゅう 基本 きほん 域 いき 的 てき 重心 じゅうしん 子分 こぶん 用 よう 边径和 わ 定点 ていてん 稳定子 こ 定 てい 义的边径群 ぐん 同 どう 构
事 こと 实上没 ぼつ 必要 ひつよう 进行第 だい 三 さん 次 じ 重心 じゅうしん 重 じゅう 分 ぶん :如Haefliger利用 りよう 范畴论 的 てき 语言指出 さしで 的 てき ,这时X 基本 きほん 域 いき 的 てき 3-骨 ほね 架 か 已 やめ 经承载了所有 しょゆう 必要 ひつよう 数 すう 据 すえ ,包括 ほうかつ 三角形 さんかっけい 的 てき 过渡元素 げんそ ,可 か 定 てい 义与Γ がんま 同 どう 构的边径群 ぐん 。
2维中,这尤其容易 ようい 描述。X 的 てき 基本 きほん 域 いき 具有 ぐゆう 与 あずか 群 ぐん Y 的 てき 复合的 てき 重心 じゅうしん 重 じゅう 分 ぶん Y' 相 あい 同 どう 的 てき 结构,即 そく
有限 ゆうげん 2维单纯复形 がた Z ;
所有 しょゆう 边
i
→
j
{\displaystyle i\rightarrow j}
的 てき 方向 ほうこう ;
若 わか
i
→
j
,
j
→
k
{\displaystyle i\rightarrow j,\ j\rightarrow k}
是 ぜ 边,则
i
→
k
{\displaystyle i\rightarrow k}
也是边,且
(
i
,
j
,
k
)
{\displaystyle (i,\ j,\ k)}
是 ぜ 三角形 さんかっけい ;
有限 ゆうげん 群 ぐん 附着 ふちゃく 于定点 てん ,包含 ほうがん 于边;过渡元 もと 素描 そびょう 述 じゅつ 了 りょう 相 しょう 容 よう 性 せい ,接 せっ 到 いた 三角形 さんかっけい 。
这样就可以定义边径 みち 群 ぐん 。重心 じゅうしん 子分 こぶん Z' 也继承了 りょう 类似结构,其边径 みち 群 ぐん 同 どう 构于Z 的 てき 边径群 ぐん 。
若 わか 可 か 数 すう 离散群 ぐん 在 ざい 单纯复形 上 うえ 有正 ありまさ 则单纯紧合作 がっさく 用 よう ,则商不 ふ 仅可被 ひ 赋予复群的 てき 结构,还可被 ひ 赋予轨空间结构。这就引出了 りょう “轨边形 がた ”(orbihedron)概念 がいねん ,其是轨形的 てき 简单类似物 ぶつ 。
令 れい X 是 ぜ 有限 ゆうげん 单纯复形,有 ゆう 重心 じゅうしん 重 じゅう 分 ぶん X' 。轨边形 がた 结构包含 ほうがん :
对每个定点 てん
i
∈
X
{\displaystyle i\in X}
,都 みやこ 有 ゆう 由 よし 有限 ゆうげん 群 ぐん
Γ がんま
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
的 てき 刚性单纯作用 さよう 的 てき 单纯复形
L
i
′
{\displaystyle L'_{i}}
。
L
i
′
{\displaystyle L'_{i}}
到 いた X' 中 なか i 的 てき 邻域
L
i
{\displaystyle L_{i}}
的 てき 单纯映射 しゃ
φ ふぁい
i
{\displaystyle \varphi _{i}}
使 つかい 得 とく 商 しょう
L
i
′
/
Γ がんま
i
{\displaystyle L'_{i}/\Gamma _{i}}
与 あずか
L
i
{\displaystyle L_{i}}
一致 いっち 。
Γ がんま
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
在 ざい
L
i
′
{\displaystyle L'_{i}}
上 うえ 的 てき 这作用 よう 延伸 えんしん 到 いた
L
i
′
{\displaystyle L'_{i}}
上 うえ 单纯锥
C
i
{\displaystyle C_{i}}
的 てき 单纯作用 さよう (i 和 わ
L
i
′
{\displaystyle L'_{i}}
的 てき 单纯链接),并固定 こてい 了 りょう 锥心i ,映 うつ 射 い
φ ふぁい
i
{\displaystyle \varphi _{i}}
延伸 えんしん 为单纯映射 しゃ
C
i
→
S
t
(
i
)
{\displaystyle C_{i}\to {\rm {St}}(i)}
(i 的 てき 星 ほし ),将 はた 重心 じゅうしん 带到i 上 うえ ,因 いん 此
φ ふぁい
i
{\displaystyle \varphi _{i}}
可 か 与 あずか
C
i
/
Γ がんま
i
{\displaystyle C_{i}/\Gamma _{i}}
等 ひとし 同 どう ,在 ざい i 处给出 で 一个轨边形坐标图。
对X' 的 てき 有向 ゆうこう 边
i
→
j
{\displaystyle i\rightarrow j}
,单射同 どう 态
f
i
j
:
Γ がんま
i
→
Γ がんま
j
.
{\displaystyle f_{ij}:\ \Gamma _{i}\to \Gamma _{j}.}
对每条 じょう 有向 ゆうこう 边
i
→
j
{\displaystyle i\rightarrow j}
,
Γ がんま
i
{\displaystyle \Gamma _{i}}
等 とう 变单纯胶合 あい 映 うつ 射 い
ψ ぷさい
i
j
:
C
i
→
C
j
.
{\displaystyle \psi _{ij}:\ C_{i}\to C_{j}.}
胶合映 うつ 射 い 与 あずか 坐 すわ 标图相 しょう 容 よう ,即 そく
φ ふぁい
j
⋅
ψ ぷさい
i
j
=
φ ふぁい
i
{\displaystyle \varphi _{j}\cdot \psi _{ij}=\varphi _{i}}
胶合映 うつ 射 い 在 ざい 与 あずか 群 ぐん 元素 げんそ 的 てき 复合的 てき 意 い 义上唯一 ゆいいつ ,即 そく 对唯一 いち 的 てき
g
∈
Γ がんま
j
,
V
i
→
V
j
{\displaystyle g\in \Gamma _{j},\ V_{i}\to V_{j}}
的 てき 任 にん 何 なん 其他可能 かのう 的 てき 胶合映 うつ 射 い 都 と 具有 ぐゆう
g
⋅
ψ ぷさい
i
j
{\displaystyle g\cdot \psi _{ij}}
形式 けいしき 。
若 わか
i
→
j
→
k
{\displaystyle i\rightarrow j\rightarrow k}
,则有唯一 ゆいいつ 的 てき 过渡元素 げんそ
g
i
j
k
∈
Γ がんま
k
{\displaystyle g_{ijk}\in \Gamma _{k}}
使 つかい 得 とく
g
i
j
k
⋅
ψ ぷさい
i
k
=
ψ ぷさい
j
k
⋅
ψ ぷさい
i
j
{\displaystyle g_{ijk}\cdot \psi _{ik}=\psi _{jk}\cdot \psi _{ij}}
这些过渡元素 げんそ 满足
(
A
d
g
i
j
k
)
⋅
f
i
k
=
f
j
k
⋅
f
i
j
{\displaystyle ({\rm {Ad}}g_{ijk})\cdot f_{ik}=f_{jk}\cdot f_{ij}}
及上循环关系
ψ ぷさい
k
m
(
g
i
j
k
)
⋅
g
i
k
m
=
g
i
j
m
⋅
g
j
k
m
{\displaystyle \psi _{km}(g_{ijk})\cdot g_{ikm}=g_{ijm}\cdot g_{jkm}}
轨边形 がた 的 てき 群 ぐん 论数据 すえ 给出了 りょう X 上 うえ 的 てき 复群,因 いん 为重点 てん 重 じゅう 分 ぶん X' 的 てき 顶点i 对应X 中 なか 的 てき 单形。
X 上 うえ 的 てき 每 まい 个复群 ぐん 都 と 与 あずか X 上本 うえほん 质上唯 ただ 一的轨边形结构相关联。注意 ちゅうい 到 いた 与 あずか X 的 てき 单形σ しぐま 相 あい 对的X '的 てき 顶点i 的 てき 星 ほし 与 あずか 链具有 ぐゆう 自然 しぜん 分解 ぶんかい ,就可得 え 到 いた 这一关键事实:星 ほし 与 あずか σ しぐま 同 どう σ的 てき 重心 じゅうしん 重 じゅう 分 ぶん σ しぐま '的 てき 联合给出的 てき 抽象 ちゅうしょう 单纯复形同 どう 构,链与X 中 なか 的 てき σ しぐま 链与σ しぐま '中 なか σ しぐま 的 てき 重心 じゅうしん 链的联合同 どう 构。将 はた 复群限 げん 制 せい 在 ざい X 中 なか σ しぐま 的 てき 链上,则所有 しょゆう 群 ぐん
Γ がんま
τ たう
{\displaystyle \Gamma _{\tau }}
都 みやこ 有 ゆう 到 いた
Γ がんま
σ しぐま
{\displaystyle \Gamma _{\sigma }}
的 てき 单射同 どう 态。由 よし 于X '中 ちゅう 的 てき i 链被由 ゆかり
Γ がんま
σ しぐま
{\displaystyle \Gamma _{\sigma }}
作用 さよう 的 てき 单纯复形规范覆叠,这就在 ざい X 上 うえ 定 じょう 义了轨边形 がた 结构。
轨边形 がた 基本 きほん 群 ぐん 只 ただ 是 ぜ 相 しょう 关复群 ぐん 的 てき 边径群 ぐん 。
每 まい 个轨边形自然 しぜん 也是轨空间:在 ざい 单纯复形的 てき 几何实现中 ちゅう ,轨空间可用 よう 星 ほし 的 てき 内部 ないぶ 来 き 定 てい 义。
轨边形 がた 基本 きほん 群 ぐん 可 か 自然 しぜん 地 ち 等 とう 同 どう 于相关轨空 そら 间的基本 きほん 群 ぐん 。将 はた 单纯近似 きんじ 定理 ていり 应用于轨空 そら 间坐标图中 ちゅう 的 てき 轨空间路径 みち 段 だん ,便 びん 知 ち :多面体 ためんたい 的 てき 基本 きほん 群 ぐん 可 か 与 あずか 边径群 ぐん 吻合 ふんごう ,这是经典证明的 てき 直接 ちょくせつ 变体。
与 あずか 轨边形相 ぎょうそう 关的轨空间具有 ぐゆう 规范度量 どりょう 结构(canonical metric structure),局部 きょくぶ 上 じょう 来 き 自 じ 欧 おう 氏 し 空 そら 间标准 じゅん 几何实现中 ちゅう 的 てき 长度度量 どりょう ,顶点映 うつ 射 い 到 いた 正 せい 交基上 じょう 。也用其他度量 どりょう 结构,如双 そう 曲 きょく 空 そら 间中 ちゅう 实现单形而得到 いた 的 てき 长度度量 どりょう ,其中单形沿着共同 きょうどう 边界等 とう 距地形成 けいせい 。
当 とう 且仅当 とう 每 まい 个轨边形坐 すわ 标图中 ちゅう 链的围长 大 だい 于等于6(即 そく ,链中任 にん 何 なん 闭合回路 かいろ 长度至 いたり 少 しょう 为),与 あずか 轨边形相 ぎょうそう 联系的 てき 轨空间拥有 ゆう 非 ひ 正 せい 的 てき 曲 きょく 率 りつ 。这条件 じょうけん 在 ざい 阿 おもね 达马空 そら 间理 り 论中十 じゅう 分有 ぶんゆう 名 めい ,只 ただ 取 と 决于底 そこ 复群。
万有覆叠轨边形的曲率非正时,其基本 きほん 群 ぐん 是 ぜ 无限群 ぐん ,由 ゆかり 迷向群 ぐん 的 てき 同 どう 构副本 ほん 生成 せいせい 。这源于轨空 そら 间的相 しょう 应结果 はて 。
历史上 じょう ,几何群 ぐん 论 中 ちゅう 最 さい 重要 じゅうよう 的 てき 轨形的 てき 应用之 の 一 いち 就是群 ぐん 三 さん 角 かく 。塞 ふさが 尔 关于树的讲座将 しょう 混合 こんごう 自由 じゆう 积 视作对树的 てき 作用 さよう ,讨论了 りょう 1维“群 ぐん 区 く 间”;群 ぐん 三角是最简单的将其推广到2维的示 しめせ 例 れい 。在 ざい
S
L
3
(
Q
p
)
{\displaystyle SL_{3}(\mathbb {Q} _{p})}
的 てき 仿射Bruhat–Tits建造 けんぞう 中 ちゅう ,当 とう 离散群 ぐん 简单地 ち 作用 さよう 于三 さん 角 かく 时,就产生 せい 这样的 てき 群 ぐん 三角 さんかく ;1979年 ねん ,戴维·芒 すすき 福德 ふくとく 发现了 りょう
p
=
2
{\displaystyle p=2}
的 てき 第 だい 一 いち 个例子 こ (下 しも 详),作 さく 为产生 せい 与 あずか 射影 しゃえい 空 そら 间不同 ふどう 构而有 ゆう 相 しょう 同 どう 贝蒂数 すう 的 てき 代数 だいすう 曲面 きょくめん 的 てき 一 いち 步 ほ 。Gersten & Stallings详细研究 けんきゅう 了 りょう 群 ぐん 三 さん 角 かく ,而上述 じょうじゅつ 复群的 てき 更 さら 一般情形则是Haefliger独立 どくりつ 提出 ていしゅつ 的 てき 。由 ゆかり 非 ひ 正 せい 曲 きょく 率 りつ 度量 どりょう 空 そら 间分析 ぶんせき 有限 ゆうげん 呈 てい 现群的 てき 基本 きほん 几何方法 ほうほう 由 よし 格 かく 罗莫夫 おっと 提出 ていしゅつ 。这样,群 ぐん 三角对应曲率非正的2维单纯复形 がた ,具有 ぐゆう 群 ぐん 的 てき 正 せい 规作用 よう ,在 ざい 三角形上有传递性 。
群 ぐん 三 さん 角 かく 是 ぜ 由 よし 三角形 さんかっけい ABC组成的 てき 简单复群,其中有 ちゅうう 这些群 ぐん :
每 まい 个顶点 てん 的 てき
Γ がんま
A
,
Γ がんま
B
,
Γ がんま
C
{\displaystyle \Gamma _{A},\ \Gamma _{B},\ \Gamma _{C}}
每 まい 条 じょう 边的
Γ がんま
B
C
,
Γ がんま
C
A
,
Γ がんま
A
B
{\displaystyle \Gamma _{BC},\ \Gamma _{CA},\ \Gamma _{AB}}
三角形 さんかっけい 本身 ほんみ 的 てき
Γ がんま
A
B
C
.
{\displaystyle \Gamma _{ABC}.}
Γ がんま
A
B
C
{\displaystyle \Gamma _{ABC}}
到 いた 其他群 ぐん 有 ゆう 单射同 どう 态,边群
Γ がんま
X
Y
{\displaystyle \Gamma _{XY}}
到 いた
Γ がんま
X
,
Γ がんま
Y
{\displaystyle \Gamma _{X},\ \Gamma _{Y}}
也有 やゆう 单射同 どう 态。
Γ がんま
A
B
C
{\displaystyle \Gamma _{ABC}}
到 いた 顶点群 ぐん 的 てき 三种映射都一致(
Γ がんま
A
B
C
{\displaystyle \Gamma _{ABC}}
通常 つうじょう 是 ぜ 平凡 へいぼん 群 ぐん )。对应轨空间上的 てき 欧 おう 氏 し 度量 どりょう 结构曲 きょく 率 りつ 非 ひ 正 せい ,当 とう 且仅当 とう 轨边形 がた 坐 すわ 标图中 ちゅう 每 まい 个顶点 てん 的 てき 链的围长不 ふ 小 しょう 于6。
顶点上 じょう 的 てき 围长总是偶数 ぐうすう ,且正如Stallings观察到的 てき ,在 ざい 顶点A 上 うえ ,可 か 描述为到达两边群
Γ がんま
C
A
,
Γ がんま
A
B
{\displaystyle \Gamma _{CA},\ \Gamma _{AB}}
在 ざい
Γ がんま
A
B
C
{\displaystyle \Gamma _{ABC}}
上 うえ 的 てき 混合 こんごう 自由 じゆう 积的 てき
Γ がんま
A
{\displaystyle \Gamma _{A}}
的 てき 自然 しぜん 同 どう 态核中 ちゅう 的 てき 最小 さいしょう 字 じ 长:
Γ がんま
A
B
⋆
Γ がんま
A
B
C
Γ がんま
A
C
→
Γ がんま
A
.
{\displaystyle \Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.}
欧 おう 氏 し 度量 どりょう 结构所得 しょとく 结果不 ふ 理想 りそう 。Stallings将 しょう 角 かく α あるふぁ 、β べーた 、γ がんま 定 てい 义为2π ぱい /围长,在 ざい 欧 おう 氏 し 情 じょう 况下α あるふぁ 、β べーた 、γ がんま ≤ π ぱい /3;而若只 ただ 要求 ようきゅう α あるふぁ + β べーた + γ がんま ≤ π ぱい ,便 びん 有 ゆう 可能 かのう 由 ゆかり 庞加莱度量 りょう 得 え 到 いた 与 あずか 双 そう 曲面 きょくめん 上相 かみや 应的测地三 さん 角 かく (取 と 等 とう 时等同 どう 于欧氏 し 平面 へいめん )。双 そう 曲 きょく 几何的 てき 经典结果是 ぜ ,双 そう 曲 きょく 中 ちゅう 线相交于双 そう 曲 きょく 重心 じゅうしん ,[ 19] 与 あずか 我 わが 们熟悉的欧 おう 氏 し 几何情 じょう 形 がた 一 いち 样。这模型 がた 的 てき 重心 じゅうしん 重 じゅう 分 ぶん 和 わ 度量 どりょう 在 ざい 相 しょう 应的轨空间上产生了 りょう 曲 きょく 率 りつ 非 ひ 正 せい 的 てき 度量 どりょう 结构,因 いん 此若α あるふぁ +β べーた +γ がんま ≤π ぱい :
群 ぐん 三角的轨空间良好;
相 あい 应边径 みち 群 ぐん (也可说是群 ぐん 三角 さんかく 的 てき 上 うえ 极限 )是 ぜ 无限群 ぐん ;
顶点群 ぐん 到 いた 边径群 ぐん 的 てき 同 どう 态是单射。
法 ほう 诺面
设
α あるふぁ
=
−
7
{\displaystyle \alpha ={\sqrt {-7}}}
,由 ゆかり
(
1
−
8
)
1
/
2
{\displaystyle (1-8)^{1/2}}
在 ざい
Q
2
{\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}
中 なか 的 てき 二项展开式得到,并使
K
=
Q
(
α あるふぁ
)
⊂
Q
2
{\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )\subset \mathbb {Q} _{2}}
。令 れい
ζ ぜーた
=
e
x
p
(
2
π ぱい
i
/
7
)
λ らむだ
=
(
α あるふぁ
−
1
)
/
2
=
ζ ぜーた
+
ζ ぜーた
2
+
ζ ぜーた
4
μ みゅー
=
λ らむだ
/
λ らむだ
∗
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &={\rm {exp}}(2\pi i/7)\\\lambda &=(\alpha -1)/2=\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{4}\\\mu &=\lambda /\lambda ^{*}.\end{aligned}}}
令 れい
E
=
Q
(
ζ ぜーた
)
{\displaystyle E=\mathbb {Q} (\zeta )}
,K 上 うえ 的 てき 3维向量 りょう 空 そら 间,
1
,
ζ ぜーた
,
ζ ぜーた
2
{\displaystyle 1,\ \zeta ,\ \zeta ^{2}}
为基。定 てい 义E 上 うえ 的 てき K 线性算 さん 子 こ 如下:
σ しぐま 为E 在 ざい K 上 うえ 的 てき 伽 とぎ 罗瓦群 ぐん 的 てき 生成 せいせい 器 き ,是 ぜ 由 ゆかり
σ しぐま
(
ζ ぜーた
)
=
ζ ぜーた
2
{\displaystyle \sigma (\zeta )=\zeta ^{2}}
给出的 てき 3阶元素 げんそ
τ たう 是 これ E 上 うえ 与 あずか ζ ぜーた '相乘 そうじょう 的 てき 算 さん 子 こ ,元素 げんそ 阶数为7
ρ ろー 是 ぜ 由 ゆかり
ρ ろー
(
ζ ぜーた
)
=
1
,
ρ ろー
(
ζ ぜーた
2
)
=
ζ ぜーた
,
ρ ろー
(
1
)
=
μ みゅー
⋅
ζ ぜーた
2
{\displaystyle \rho (\zeta )=1,\ \rho (\zeta ^{2})=\zeta ,\ \rho (1)=\mu \cdot \zeta ^{2}}
给出的 てき 算 さん 子 こ ,于是
ρ ろー
3
{\displaystyle \rho ^{3}}
是 ぜ 对
μ みゅー
{\displaystyle \mu }
的 てき 标量乘法 じょうほう 。
ρ ろー
,
σ しぐま
,
τ たう
{\displaystyle \rho ,\ \sigma ,\ \tau }
生成 せいせい 了 りょう
G
L
3
(
K
)
{\displaystyle GL_{3}(K)}
的 てき 离散子 こ 群 ぐん ,紧合作用 さよう 于与
S
L
3
(
Q
2
)
{\displaystyle SL_{3}(\mathbb {Q} _{2})}
相 あい 对应的 てき 仿射Bruhat–Tits建造 けんぞう 。这个群 ぐん 对建造 けんぞう 中 ちゅう 的 てき 所有 しょゆう 顶点、边与三角形 さんかっけい 都 と 传递。令 れい
σ しぐま
1
=
σ しぐま
,
σ しぐま
2
=
ρ ろー
σ しぐま
ρ ろー
−
1
,
σ しぐま
3
=
ρ ろー
2
σ しぐま
ρ ろー
−
2
.
{\displaystyle \sigma _{1}=\sigma ,\ \sigma _{2}=\rho \sigma \rho ^{-1},\ \sigma _{3}=\rho ^{2}\sigma \rho ^{-2}.}
则
σ しぐま
1
,
σ しぐま
2
,
σ しぐま
3
{\displaystyle \sigma _{1},\ \sigma _{2},\ \sigma _{3}}
生成 せいせい 了 りょう
S
L
3
(
K
)
{\displaystyle SL_{3}(K)}
的 てき 子 こ 群 ぐん Γ がんま 。
Γ がんま 是 ぜ 由 ゆかり
σ しぐま
,
τ たう
{\displaystyle \sigma ,\ \tau }
生成 せいせい 的 てき 最小 さいしょう 子 こ 群 ぐん ,在 ざい ρ ろー 的 まと 共 ども 轭作用 よう 下 か 不 ふ 变。
Γ がんま 简单传递 地 ち 作用 さよう 于建造 けんぞう 中 ちゅう 的 てき 三角形 さんかっけい 。
有 ゆう 三角形 さんかっけい Δ でるた ,其边的 てき 稳定子 こ 是 ぜ 由 ゆかり
σ しぐま
i
{\displaystyle \sigma _{i}}
生成 せいせい 的 てき 3阶子群 ぐん 。
Δ でるた 顶点的 てき 稳定子 こ 是 ぜ 21阶弗 どる 罗贝尼 あま 乌斯群 ぐん ,由 ゆかり 两个3阶元素 げんそ 生成 せいせい ,它们稳定了 りょう 在 ざい 这定点 てん 相 しょう 遇 ぐう 的 てき 边。
Δ でるた 的 てき 稳定子 こ 平凡 へいぼん 。
元素 げんそ
σ しぐま
,
τ たう
{\displaystyle \sigma ,\ \tau }
生成 せいせい 了 りょう 顶点的 てき 稳定子 こ 。可 か 以认为这定点 ていてん 的 てき 链等同 どう 于
S
L
3
(
F
2
)
{\displaystyle SL_{3}(\mathbb {F} _{2})}
的 てき 球面 きゅうめん 建造 けんぞう 。稳定子 こ 则等同 どう 于法 ほう 诺面的 てき 直射 ちょくしゃ 变换群 ぐん ,由 よし 固定 こてい 一 いち 个点的 てき 3次 じ 对称σ しぐま 及所有 しょゆう 7个点的 てき 循环置 おけ 换τ たう 生成 せいせい (满足
σ しぐま
τ たう
=
τ たう
2
σ しぐま
{\displaystyle \sigma \tau =\tau ^{2}\sigma }
)。法 ほう 诺面可 か 看 み 做
F
8
∗
{\displaystyle \mathbb {F} _{8}^{*}}
,σ しぐま 可 か 看 み 作 づく
F
8
{\displaystyle \mathbb {F} _{8}}
的 てき 弗 どる 罗贝尼 あま 乌斯自 じ 同 どう 态
σ しぐま
(
x
)
=
x
22
{\displaystyle \sigma (x)=x^{22}}
的 てき 约束,τ たう 则是与 あずか 任意 にんい 不在 ふざい 素 もと 域 いき
F
2
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}
中元 ちゅうげん 素的 すてき 乘法 じょうほう ,即 そく
F
8
{\displaystyle \mathbb {F} _{8}}
的 てき 循环乘法 じょうほう 群 ぐん 的 てき 7阶生成 せいせい 器 き 。这个弗 どる 罗贝尼 あま 乌斯群 ぐん 简单传递地 ち 作用 さよう 于法诺面的 てき 21个标记,即 そく 带标记点的 てき 直 ちょく 线。于是,E 上 うえ σ しぐま 、τ たう 的 てき 公式 こうしき “提 ひさげ 升 ます ”(lift)了 りょう
F
8
{\displaystyle \mathbb {F} _{8}}
上 うえ 的 てき 公式 こうしき 。
芒 すすき 福德 ふくとく 还通过传递到子 こ 群 ぐん
Γ がんま
1
=
⟨
ρ ろー
,
σ しぐま
,
τ たう
,
−
I
⟩
{\displaystyle \Gamma _{1}=\langle \rho ,\ \sigma ,\ \tau ,\ -I\rangle }
,得 え 到 いた 了 りょう 对建造 けんぞう 顶点的 てき 简单传递作用 さよう 。群 ぐん
Γ がんま
1
{\displaystyle \Gamma _{1}}
保留 ほりゅう 了 りょう 定 てい 义域为
Q
(
ζ ぜーた
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta )}
,值域属 ぞく 于
Q
(
α あるふぁ
)
{\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}
的 てき 埃 ほこり 尔米特 とく 形式 けいしき
f
(
x
,
y
)
=
x
y
∗
+
σ しぐま
(
x
y
∗
)
+
σ しぐま
2
(
x
y
∗
)
{\displaystyle f(x,\ y)=xy^{*}+\sigma (xy^{*})+\sigma ^{2}(xy^{*})}
其可看 み 作 さく 是 ぜ
U
3
(
f
)
∩
G
L
3
(
S
)
,
S
=
Z
[
α あるふぁ
,
1
2
]
.
{\displaystyle U_{3}(f)\cap GL_{3}(S),\ S=\mathbb {Z} [\alpha ,\ {\frac {1}{2}}].}
由 よし 于
S
/
(
α あるふぁ
)
=
F
7
,
{\displaystyle S/(\alpha )=\mathbb {F} _{7},}
所以 ゆえん 有 ゆう 群 ぐん 同 どう 态
Γ がんま
1
→
G
L
3
(
F
7
)
.
{\displaystyle \Gamma _{1}\to GL_{3}(\mathbb {F} _{7}).}
这作用 よう 使 し
F
7
3
{\displaystyle \mathbb {F} _{7}^{3}}
中 なか 的 てき 一 いち 个2维子空 そら 间不变,产生了 りょう 同 どう 态
Ψ ぷさい
:
Γ がんま
1
→
S
L
2
(
F
7
)
,
{\displaystyle \Psi :\ \Gamma _{1}\to SL_{2}(\mathbb {F} _{7}),}
是 ぜ 阶数为16·3·7的 てき 群 ぐん 。另一方面 ほうめん ,顶点的 てき 稳定子 こ 是 ぜ 21阶子群 ぐん ,Ψ ぷさい 是 ぜ 其上的 てき 单射。于是,若 わか 合同 ごうどう 子 こ 群 ぐん
Γ がんま
0
{\displaystyle \Gamma _{0}}
定 てい 义为
S
L
2
(
F
7
)
{\displaystyle SL_{2}(\mathbb {F} _{7})}
的 てき 2-西 にし 罗子群 ぐん 的 てき Ψ ぷさい 下 した 的 てき 原 はら 像 ぞう ,则
Γ がんま
0
{\displaystyle \Gamma _{0}}
对定点 てん 的 てき 群 ぐん 作用 さよう 一定是简单传递的。
其他三角形 さんかっけい 或 ある 2维复群 ぐん 的 てき 例 れい 子 こ 可 か 由 よし 上述 じょうじゅつ 例 れい 子 こ 的 てき 变化来 らい 构造。
Cartwright et al.考 こう 虑了对建造 けんぞう 顶点简单传递的 てき 作用 さよう 。这样的 てき 作用 さよう 会 かい 在 ざい 有限 ゆうげん 射影 しゃえい 平面 へいめん 的 てき 标记复形 中 なか 的 てき 点 てん x -线x *间产生 せい 双 そう 射 い (或 ある 改良 かいりょう 的 てき 对偶),和 わ 点 てん
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
的 てき 有向 ゆうこう 三角形 さんかっけい 集合 しゅうごう ,其在循环置 おけ 换下不 ふ 变,即 そく x 在 ざい z *上 うえ ,y 在 ざい x *上 うえ ,z 在 ざい y *上 うえ ;任意 にんい 两点唯一 ゆいいつ 确定第 だい 三 さん 点 てん 。所 ところ 生成 せいせい 的 てき 群 ぐん 有 ゆう 生成 せいせい 器 き x (以点为标记),对每个三角形 さんかっけい 有 ゆう 关系
x
y
z
=
1.
{\displaystyle xyz=1.}
一般 いっぱん 来 らい 说,这种构造不 ふ 对应于经典 てん 仿射建造 けんぞう 上 じょう 的 てき 作用 さよう 。
更 さら 一般 いっぱん 地 ち 说,如Ballmann & Brin所 しょ 证的,类似的 てき 代数 だいすう 数 すう 据 すえ 编码了 りょう 曲 きょく 率 りつ 非 ひ 正 せい 2维单纯复形 がた 顶点上 じょう 的 てき 所有 しょゆう 简单传递作用 さよう ,条件 じょうけん 是 ぜ 每 ごと 个顶点 てん 的 てき 链的围长不 ふ 少 しょう 于6。数 かず 据 すえ 包括 ほうかつ
生成 せいせい 集 しゅう S ,包含 ほうがん 逆 ぎゃく ,但 ただし 不 ふ 含恒等 とう ;
关系集 しゅう
g
h
k
−
1
{\displaystyle g\ h\ k\ -1}
,在 ざい 循环置 おけ 换下不 ふ 变。
S 中 なか 的 てき 元素 げんそ g 表示 ひょうじ 定 てい 顶点v 的 てき 链中的 てき 顶点
g
⋅
v
{\displaystyle g\cdot v}
;关系对应链中的 てき 边
(
g
−
1
⋅
v
,
h
⋅
v
)
{\displaystyle (g^{-1}\cdot v,\ h\cdot v)}
。对于
g
−
1
h
∈
S
,
{\displaystyle g^{-1}h\in S,\ }
有 ゆう 定点 ていてん S 与 あずか 边
(
g
,
h
)
{\displaystyle (g,\ h)}
的 てき 图的围长至 いたり 少 しょう 要 よう 是 ぜ 6。可用 かよう 复群和 わ 第 だい 二重心重分重建原单纯复形。
有 ゆう 两部分 ぶぶん 的 てき 希 まれ 伍 ご 德 とく 图
Swiatkowski基 もと 于对有向 ゆうこう 边简单传递的作用 さよう 和 わ 每 ごと 个三角形 さんかっけい 的 てき 3次 じ 对称,构造了 りょう 更 さら 多 おお 非 ひ 正 せい 曲 きょく 率 りつ 2维复群 ぐん 的 てき 例 れい 子 こ 。这样,复群也通过对第 だい 二重心重分的正则作用得到。最 さい 简单的 てき 例 れい 子 こ 是 ぜ Ballmann发现的 てき :有 ゆう 有限 ゆうげん 群 ぐん H 与 あずか 生成 せいせい 器 き 的 てき 对称集 しゅう S (不 ふ 含恒等 とう ),于是相 しょう 应的凯莱图 的 てき 围长至 いたり 少 しょう 为6。伴 とも 生 せい 群 ぐん (associated group)由 ゆかり H 和 かず 对合τ たう 生成 せいせい ,使 つかい 得 とく
∀
g
∈
S
,
(
τ たう
g
)
3
=
1.
{\displaystyle \forall g\in S,\ (\tau g)^{3}=1.}
事 こと 实上,若 わか Γ がんま 以这种方式 しき 作用 さよう ,且固定 こてい 一 いち 条 じょう 边
(
v
,
w
)
,
{\displaystyle (v,\ w),}
则存在 そんざい 交换v 、w 的 てき 对合τ たう 。v 的 てき 链由顶点
g
⋅
w
(
g
∈
{\displaystyle g\cdot w\ (g\in }
对称子 こ 集 しゅう
S
⊂
H
=
Γ がんま
v
)
{\displaystyle S\subset H=\Gamma _{v})}
,若 わか 链连通 どおり 则生成 せいせい H 。三角形 さんかっけい 假 かり 设意味 いみ 着 ぎ
∀
g
∈
S
,
τ たう
⋅
(
g
⋅
w
)
=
g
−
1
⋅
w
{\displaystyle \forall g\in S,\ \tau \cdot (g\cdot w)=g^{-1}\cdot w}
于是,若 わか
σ しぐま
=
τ たう
g
,
u
=
g
−
1
⋅
w
,
{\displaystyle \sigma =\tau g,\ u=g^{-1}\cdot w,}
则有
σ しぐま
(
x
)
=
w
,
σ しぐま
(
w
)
=
u
,
σ しぐま
(
u
)
=
w
{\displaystyle \sigma (x)=w,\ \sigma (w)=u,\ \sigma (u)=w}
由 よし 对三角形 さんかっけい
(
v
,
w
,
u
)
{\displaystyle (v,\ w,\ u)}
的 てき 简单传递,可 か 得 とく
σ しぐま
3
=
1.
{\displaystyle \sigma ^{3}=1.}
第 だい 二 に 重 じゅう 心 こころ 重 じゅう 分 ぶん 给出了 りょう 由 よし 沿大边相连的单子或 ある 细分三角形对组成的复群:后 きさき 者 しゃ 依 よ 据 すえ 识别S 中 なか 的 てき 逆 ぎゃく ,得 とく 到 いた 的 てき 商 しょう 空 そら 间
S
/
∼
{\displaystyle S/\sim }
进行索引 さくいん 。单个或 ある “成 なり 对”的 てき 三角形 さんかっけい 又 また 沿着共同 きょうどう 的 てき “脊线”连接起 おこり 来 らい 。除 じょ 了 りょう 脊线两端的 てき 顶点(稳定子分 こぶん 别为H 、<τ たう >)及大三角形的其余顶点(稳定子 こ 由 よし 适当的 てき σ しぐま 生成 せいせい )外 そと ,单形的 てき 稳定子 こ 都 と 平凡 へいぼん 。大 だい 三角形 さんかっけい 中 ちゅう 的 てき 3个小三角 さんかく 包含 ほうがん 过渡元素 げんそ 。
当 とう S 的 てき 所有 しょゆう 元素 げんそ 都 と 是 ぜ 对合时,便 びん 没 ぼつ 有 ゆう 三角形 さんかっけい 需要 じゅよう 加 か 倍 ばい (double)。若 わか 将 しょう H 看 み 作 さく 14阶二 に 面体 めんてい 群 ぐん D 7 、由 ゆかり 对合a 与 あずか 7阶元素 げんそ b 生成 せいせい ,其中
a
b
=
b
−
1
a
,
{\displaystyle ab=b^{-1}a,}
则H 是 ぜ 由 よし 3个对合 あい :
a
,
a
b
,
a
b
5
{\displaystyle a,\ ab,\ ab^{5}}
生成 せいせい 。顶点的 てき 链由对应的 てき 凯莱图给出 で ,因 いん 此只是 ぜ 有 ゆう 两部分 ぶぶん 的 てき 希 まれ 伍 ご 德 とく 图 ,即 そく 与 あずか
S
L
3
(
Q
2
)
{\displaystyle SL_{3}(\mathbb {Q} _{2})}
的 てき 仿射建造 けんぞう 完全 かんぜん 相 しょう 同 どう 。这种链结构意味 いみ 着 ぎ ,对应的 てき 单纯复形必须是 ぜ 欧 おう 氏 し 建造 けんぞう ,而目前 まえ 似 に 乎还不知 ふち 道 どう 这些类型的 てき 作用 さよう 能否 のうひ 实现在 ざい 经典仿射建造 けんぞう :芒 すすき 福德 ふくとく 群 ぐん
Γ がんま
1
{\displaystyle \Gamma _{1}}
(模 かたぎ 标量)只 ただ 在 ざい 边上简单传递,而不在 ざい 有向 ゆうこう 边上简单传递。
2维轨形 がた 有 ゆう 以下 いか 3类奇异点:
边界点 てん
椭圆点 てん 或 ある n 阶回 かい 转点 てん ,如由n 阶旋转的循环群 ぐん 商 しょう 出 で 的 てき
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
原点 げんてん 。
n 阶角反射 はんしゃ 器 き :由 よし 2n 阶二 に 面体 めんてい 群 ぐん 商 しょう 出 で 的 てき
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
原点 げんてん 。
紧2维轨形 がた 有 ゆう 欧 おう 拉 ひしげ 示 しめせ 性 せい 数 すう
χ かい
=
χ かい
(
X
0
)
−
∑
i
(
1
−
1
/
n
i
)
/
2
−
∑
i
(
1
−
1
/
m
i
)
{\displaystyle \chi =\chi (X_{0})-\sum _{i}(1-1/n_{i})/2-\sum _{i}(1-1/m_{i})}
,其中
χ かい
(
X
0
)
{\displaystyle \chi (X_{0})}
是 ぜ 底 そこ 拓 つぶせ 扑流形 がた
X
0
{\displaystyle X_{0}}
的 まと 欧 おう 拉 ひしげ 示 しめせ 性 せい 数 すう ,
n
i
{\displaystyle n_{i}}
是 ぜ 角 かく 反射 はんしゃ 器 き 阶数,
m
i
{\displaystyle m_{i}}
是 ぜ 椭圆点 てん 阶数。
2维紧连通轨形的 てき 欧 おう 拉 ひしげ 示 しめせ 性 せい 数 すう 若 わか 为负,则具有 ぐゆう 双 そう 曲 きょく 结构;若 わか 是 ぜ 0,则具有 ぐゆう 欧 おう 几里得 とく 结构;若 わか 为正,则或是 ぜ 不良 ふりょう 的 てき ,或 ある 具有 ぐゆう 椭圆结构(若 わか 轨形没 ぼつ 有 ゆう 流 りゅう 形 かたち 作 さく 为覆叠空间,则称为不良 ふりょう )。也就是 ぜ 说,其万有覆叠空间具有双曲、欧 おう 氏 し 或 ある 球面 きゅうめん 结构。
下表 かひょう 列 れつ 出 で 了 りょう 非 ひ 双 そう 曲 きょく 的 てき 紧2维连通 どおり 轨形。17个抛物 ぶつ 轨形是 ぜ 平面 へいめん 与 あずか 17个壁 かべ 纸群的 てき 商 しょう 。
类型
欧 おう 拉 ひしげ 示 しめせ 性 せい 数 すう
底 そこ 2维流形 がた
椭圆点 てん 阶数
角 かく 反射 はんしゃ 器 き 阶数
不良 ふりょう
1 + 1/n
球 たま
n > 1
1/m + 1/n
球 たま
n > m > 1
1/2 + 1/2n
圆盘
n > 1
1/2m + 1/2n
圆盘
n > m > 1
椭圆
2
球 たま
2/n
球 たま
n , n
1/n
球 たま
2, 2, n
1/6
球 たま
2, 3, 3
1/12
球 たま
2, 3, 4
1/30
球 たま
2, 3, 5
1
圆盘
1/n
圆盘
n , n
1/2n
圆盘
2, 2, n
1/12
圆盘
2, 3, 3
1/24
圆盘
2, 3, 4
1/60
圆盘
2, 3, 5
1/n
圆盘
n
1/2n
圆盘
2
n
1/12
圆盘
3
2
1
射影 しゃえい 平面 へいめん
1/n
射影 しゃえい 平面 へいめん
n
抛 ほう 物 もの
0
球 たま
2, 3, 6
0
球 たま
2, 4, 4
0
球 たま
3, 3, 3
0
球 たま
2, 2, 2, 2
0
圆盘
2, 3, 6
0
圆盘
2, 4, 4
0
圆盘
3, 3, 3
0
圆盘
2, 2, 2, 2
0
圆盘
2
2, 2
0
圆盘
3
3
0
圆盘
4
2
0
圆盘
2, 2
0
射影 しゃえい 平面 へいめん
2, 2
0
环面
0
克 かつ 莱因瓶 びん
0
环形
0
莫比乌斯带
若 わか 3维流形 がた 是 ぜ 闭的、不可 ふか 还原的 てき 且不含任何 なん 不可 ふか 压缩面 めん ,则称其“小 しょう ”。
轨形定理 ていり . 令 れい M 为小3维流形 がた ,φ ふぁい 为M 的 てき 周期 しゅうき 保 ほ 向 こう 非 ひ 平凡 へいぼん 微分 びぶん 同 どう 胚 はい 。则,M 具有 ぐゆう φ ふぁい 不 ふ 变的双 そう 曲 きょく 或 ある 塞 ふさが 弗 どる 特 とく 纤维结构。
这是瑟斯顿轨形 がた 定理 ていり (1981,未 み 经证明 あきら )的 てき 特例 とくれい ,是 ぜ 几何化 か 猜想 的 てき 一 いち 部分 ぶぶん 。它意味 いみ 着 ぎ ,若 わか X 的 てき 紧连通 どおり 有向 ゆうこう 不可 ふか 还原、具有 ぐゆう 非 ひ 空 そら 奇 き 异轨迹 的 てき 非 ひ 环状3维轨形 がた ,则M 具有 ぐゆう 几何结构(在 ざい 轨形的 てき 意 い 义上)。完 かん 整 せい 证明由 ゆかり Boileau, Leeb & Porti (2005)给出。[ 20]
弦 つる 论中 なか ,“轨形”的 てき 意 い 义稍有 ゆう 不同 ふどう 。数学 すうがく 中 ちゅう 的 てき 轨形是 ぜ 流 ながれ 形 がた 的 てき 推广,允 まこと 许有邻域微分 びぶん 同 どう 胚 はい 于
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
对有限 げん 群 ぐん 之 の 商 しょう (
R
n
/
Γ がんま
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\Gamma }
)的 てき 点 てん 。物理 ぶつり 学 がく 中 ちゅう ,轨形则通常 つうじょう 描述能 のう 全局 ぜんきょく 描写 びょうしゃ 为轨道 どう 空 そら 间M /G (M 是 ぜ 流 りゅう 形 がた 或 ある 理 り 论,G 是 ぜ 其等距的群 ぐん 或 ある 对称,不 ふ 必是所有 しょゆう 等 とう 距群)的 てき 对象。这些对称性 せい 在 ざい 弦 つる 论中不 ふ 必有几何解 かい 释。
定 てい 义在轨形上 じょう 的 てき 量子 りょうし 场论在 ざい G 的 てき 定点 ていてん 附近 ふきん 变得奇 き 异。不 ふ 过,弦 げん 论要求 ようきゅう 我 わが 们在闭弦 つる 希 まれ 尔伯特 とく 空 そら 间中 ちゅう 增加 ぞうか 新 しん 的 てき 部分 ぶぶん ——即 そく “扭结弦 つる ”(twisted sector),当 とう 中 ちゅう 定 てい 义在闭弦上 じょう 的 てき 场在G 作用 さよう 下 か 是 ぜ 周期 しゅうき 性 せい 的 てき 。于是,轨形化成 かせい 为了弦 つる 论的一般 いっぱん 程 ほど 序 じょ ,从旧弦 つる 论推出新 いでしん 弦 つる 论。这能减少状 じょう 态数,因 いん 为状态在G 下 しも 必须不 ふ 变;但 ただし 也增加 ぞうか 了 りょう 状 じょう 态数,因 いん 为增加 ぞうか 了 りょう 扭结弦 つる 。结果通常 つうじょう 是 ぜ 完 かん 美 び 平滑 へいかつ 的 てき 新 しん 弦 つる 论。
低能 ていのう 情 じょう 形 がた 下 か ,轨形上 じょう 传播的 てき D膜 まく 由 ゆかり 箭 や 图定 てい 义的规范场论描述。连接到 いた 这些D膜 まく 上 じょう 的 てき 开弦没 ぼつ 有 ゆう 扭结弦 つる ,于是开弦状 じょう 态数会 かい 随 ずい 轨形化 か 减少。
更 さら 具体 ぐたい 地 ち 说,轨形群 ぐん G 是 ぜ 时空等 とう 距的离散子 こ 群 ぐん 时,若 わか 无定点 てん ,则通常 つうじょう 得 え 到 いた 紧光滑空 かっくう 间;扭结弦 つる 包含 ほうがん 缠绕在 ざい 紧维度 ど 上 じょう 的 てき 闭弦,后 きさき 者 しゃ 也称作 さく “缠绕态”(winding state)。
轨形群 ぐん G是 ぜ 时空等 とう 距的离散子 こ 群 ぐん ,且有定点 ていてん 时,通常 つうじょう 有 ゆう 锥奇点 てん ,因 いん 为
R
n
/
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/}
Z
k
{\displaystyle \mathbb {Z} _{k}}
在 ざい
Z
k
{\displaystyle \mathbb {Z} _{k}}
的 てき 定点 ていてん 处有这样的 てき 奇 き 点 てん 。弦 つる 论中,引力 いんりょく 奇 き 点 てん 通常 つうじょう 代表 だいひょう 着 ぎ 额外自由 じゆう 度 ど ,位 い 于时空中 くうちゅう 的 てき 轨迹点 てん (locus point)。在 ざい 轨形情 じょう 形 がた 下 か ,这些自由 じゆう 度 ど 就是扭结态,是 ぜ “卡”在 ざい 定点 ていてん 上 じょう 的 てき 弦 つる 。当 とう 与 あずか 扭结态相关的场获得 とく 非 ひ 零 れい 真空 しんくう 期 き 望 もち 值 ,奇 き 点 てん 便 びん 发生变形,即 そく 度量 どりょう 发生变化,在 ざい 点 てん 附近 ふきん 变得正 せい 规(regular)。江口 えぐち -汉森时空就是一例由此产生的几何。
从定点 てん 附近 ふきん 的 てき D膜 まく 看 み 来 らい ,对附着 ふちゃく 于D膜 まく 上 じょう 的 てき 开弦的 てき 有效 ゆうこう 理 り 论是超 ちょう 对称场论,其真空空 くうくう 间有奇 き 异点,存在 そんざい 额外的 てき 无质量 りょう 自由 じゆう 度 ど 。与 あずか 闭弦扭结弦 つる 有 ゆう 关的场以这样一种方式同开弦耦合,即 そく 在 ざい 超 ちょう 对称场论的 てき 拉 ひしげ 格 かく 朗 ろう 日 び 量 りょう 中 ちゅう 添加 てんか Fayet–Iliopoulos项,于是场获得 とく 非 ひ 零 れい 真空 しんくう 期 き 望 もち 值时,Fayet–Iliopoulos项非零 れい ,理 り 论从而变形 がた ,使 つかい 奇 き 点 てん 不 ふ 再 さい 存在 そんざい [1] (页面存 そん 档备份 ,存 そん 于互联网档案 あん 馆 ), [2] 。
超 ちょう 弦 つる 理 り 论中 なか ,[ 21] [ 22] 构造现实的 てき 现象学 がく 模型 もけい 需要 じゅよう 维度减化 ,因 いん 为弦在 ざい 10维空间中才能 さいのう 自然 しぜん 传播,而观测到的 てき 宇宙 うちゅう 时空 则是4维的。理 り 论的形式 けいしき 约束对额外 がい “隐”变量所在 しょざい 的 てき 紧化空 そら 间 施 ほどこせ 加 か 了 りょう 限 げん 制 せい :寻找具有 ぐゆう 超 ちょう 对称的 てき 现实4维模型 がた 时,辅助紧化空 そら 间必须是6维卡拉比 ひ -丘 おか 流 りゅう 形 がた 。[ 23]
可能 かのう 的 てき 卡拉比 ひ -丘 おか 流 りゅう 形 がた 有 ゆう 很多(数 すう 以万 まん 计),因 いん 此目前 まえ 的 てき 理 り 论物理学 りがく 文献 ぶんけん 常用 じょうよう “景 けい 观 ”(landscape)描述这种令 れい 人 じん 困惑 こんわく 的 てき 选择。卡拉比 ひ -丘 おか 流 りゅう 形 がた 的 てき 一般研究在数学上非常复杂,且长期 き 以来 いらい 难以明 あかり 确构造 づくり 实例。轨形被 ひ 证明非常 ひじょう 有用 ゆうよう ,因 いん 为轨形 がた 能 のう 自 じ 动满足 あし 超 ちょう 对称施 ほどこせ 加 か 的 てき 约束。其奇 き 点 てん 提供 ていきょう 了 りょう 卡拉比 ひ -丘 おか 流 りゅう 形 がた 退化 たいか 的 てき 例 れい 子 こ ,[ 24] 但 ただし 从理论物理学 りがく 的 てき 角度 かくど 看 み 是 ぜ 完全 かんぜん 可 か 接受 せつじゅ 的 てき 。这种轨形称 しょう 作 さく “超 ちょう 对称”:在 ざい 技 わざ 术上比 ひ 一般 いっぱん 卡拉比 ひ -丘 おか 流 りゅう 形 がた 更 さら 容易 ようい 研究 けんきゅう 。通常 つうじょう 可 か 将 はた 非 ひ 奇 き 异卡拉 ひしげ 比 ひ -丘 おか 流 りゅう 形 がた 的 てき 连续族 ぞく 同 どう 奇 き 异超对称轨形联系起 おこり 来 らい 。4维中,可用 かよう 复K3曲 きょく 面 めん 说明:
K3曲面 きょくめん 都 と 有 ゆう 16个2维循环,其拓扑等价于通常 つうじょう 的 てき 2球 きゅう 。当 とう 球面 きゅうめん 趋于0时,K3曲 きょく 面会 めんかい 出 で 现16个奇点 てん 。这个极限代表 だいひょう 了 りょう K3曲 きょく 面 めん 模 かたぎ 空 そら 间 边界上 じょう 的 てき 一 いち 点 てん ,对应轨形
T
4
/
Z
2
{\displaystyle T^{4}/\mathbb {Z} _{2}\,}
是 ぜ 由 よし 环面对逆对称取 と 商 しょう 得 え 到 いた 的 てき 。
1988年 ねん ,对弦论中卡拉比 ひ -丘 おか 流 りゅう 形 がた 与 あずか 不 ふ 同 どう 模型 もけい (IIA、IIB)间对偶性的 てき 研究 けんきゅう 引发了 りょう 镜像对称 的 てき 想 そう 法 ほう 。大 だい 约同一 いち 时期,Dixon, Harvey, Vafa & Witten首 くび 次 じ 指出 さしで 了 りょう 轨形的 てき 作用 さよう 。[ 25]
在 ざい 数学 すうがく 和物 あえもの 理学 りがく 的 てき 流 りゅう 形 がた 和 わ 各 かく 种应用 よう 外 がい ,最 さい 晚 ばん 在 ざい 1985年 ねん ,Guerino Mazzola[ 26] [ 27] 和 かず 后 きさき 来 らい Dmitri Tymoczko及同事 ごと (Tymoczko 2006 )、(Callender & Tymoczko 2008 ) harv error: no target: CITEREFCallenderTymoczko2008 (help ) 就已将 はた 轨形应用于乐理 。[ 28] [ 29] Tymoczko的 てき 论文是 ぜ 《科学 かがく 》的 てき 第 だい 一 いち 篇 へん 乐理论文。[ 30] [ 31] [ 32] Mazzola和 わ Tymoczko参与 さんよ 了 りょう 有 ゆう 关其理 り 论的讨论,在 ざい 各自 かくじ 的 てき 网站上 じょう 发表了 りょう 一 いち 系列 けいれつ 评论。[ 33] [ 34]
3维轨形 がた
T
3
/
S
3
{\displaystyle T^{3}/S_{3}}
的 てき 动画。 竖起来 らい 的 てき 立方体 りっぽうたい 片 へん (长对角 かく 线垂直 ちょく 于图像 ぞう 平面 へいめん )形成 けいせい 彩色 さいしき 的 てき 沃罗诺伊 区域 くいき (按和弦 つる 类似着色 ちゃくしょく ),区域 くいき 中心 ちゅうしん 代表 だいひょう 三 さん 音 おと 和 わ 弦 つる ,最中 さいちゅう 心 こころ 是 これ 增 ぞう 三和 さんわ 弦 つる ,围绕着 ぎ 大三 おおみつ 、小 しょう 三和 さんわ 弦 つる (石灰 せっかい 绿和海 うみ 军蓝)。白色 はくしょく 是 ぜ 退化 たいか 三和 さんわ 弦 つる (1个音重 じゅう 复3次 じ ),连接中心 ちゅうしん 的 てき 三 さん 条 じょう 线(双 そう 音 おと 和 かず 弦 つる )构成扭曲三 さん 棱柱的 てき 墙壁,与 あずか 图像垂直 すいちょく 的 てき 2D平面 へいめん 起 おこり 到 いた 镜面作用 さよう 。
Tymoczko将 はた 由 ゆかり n 个(不 ふ 必不同 ふどう )音 おと 和 かず 弦 つる 模型 もけい 化 か 为轨形 がた
T
n
/
S
n
{\displaystyle T^{n}/S_{n}}
中 なか 的 てき 点 てん ,即 そく 圆中n 个无序 じょ 点 てん (不 ふ 必不同 ふどう )组成的 てき 空 そら 间,实现为n 环面
T
n
{\displaystyle T^{n}}
(圆上n 个有序 じょ 点 てん 的 てき 空 そら 间)对对称 しょう 群 ぐん
S
n
{\displaystyle S_{n}}
(对应有 ゆう 序 じょ 集 しゅう 到 いた 无序集 しゅう 的 てき 移 うつり 动)的 てき 商 しょう 。
从音乐角度 かくど 可 か 解 かい 释如下 か :
乐音取 と 决于基音 きおん 频率(音 おと 高 だか ),于是以正实数
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
为参数 すう 。
相差 おうさつ 一 いち 个八 はち 度 ど (频率翻 こぼし 倍 ばい )的 てき 被 ひ 视作同一 どういつ 乐音,这相当 とう 于对频率取 と 底 そこ 数 すう 为2的 てき 对数 (产生实数:
R
=
log
2
R
+
{\displaystyle \mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}}
),然 しか 后 きさき 用 よう 整数 せいすう 取 と 商 しょう (对应相 しょう 差 さ 若干 じゃっかん 八 はち 度 ど ),得 え 到 いた 圆(如
S
1
=
R
/
Z
{\displaystyle S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z} }
)。
和 かず 弦 つる 对应多 た 个乐音 おん ,而不考 こう 虑顺序 じょ ——因 いん 此t 个乐音 おん (有 ゆう 序 じょ )对应圆上的 てき t 个有序 じょ 点 てん ,或 ある 等 とう 价于t 环面
T
t
:=
S
1
×
⋯
×
S
1
{\displaystyle T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1}}
上 うえ 的 てき 单点,而省略 しょうりゃく 顺序,相当 そうとう 于取对
S
t
{\displaystyle S_{t}}
的 てき 商 しょう ,得 とく 到 いた 轨形。
对双和 わ 弦 つる ,这会产生闭莫比乌斯带 ;对三和 さんわ 弦 つる ,这会产生轨形,可 か 描述为三 さん 棱柱,其顶面 めん 和 わ 底面 ていめん 带有120°(⅓)的 てき 扭转,等 ひとし 同 どう 于截面 めん 为等边三角形 さんかっけい 、且有扭转的 てき 3维实心 こころ 环面。
由 よし 此得到 いた 的 てき 轨形自然 しぜん 由 ゆかり 重 じゅう 复的乐音(由 ゆかり t 的 てき 整数 せいすう 部分 ぶぶん )分 ぶん 层:开集包含 ほうがん 不同 ふどう 乐音(分 ぶん 区 く
t
=
1
+
1
+
⋯
+
1
{\displaystyle t=1+1+\cdots +1}
),还有1维奇异集,包含 ほうがん 所有 しょゆう 相 しょう 同 どう 乐音(分 ぶん 区 く
t
=
t
{\displaystyle t=t}
),拓 つぶせ 扑等价于圆,还有各 かく 种中间分区 く 。还有一个明显的圆,穿 ほじ 过等距点开集的 てき 中心 ちゅうしん 。至 いたり 于三和 さんわ 弦 つる ,三 さん 棱柱的 てき 3个侧面 めん 对应2个相同 どう 乐音+1个不同 どう 乐音(分 ぶん 区 く
3
=
2
+
1
{\displaystyle 3=2+1}
),三条 さんじょう 边对应1维奇异集。顶面、底面 ていめん 是 ぜ 开集的 てき 一 いち 部分 ぶぶん ,它们的 てき 出 で 现只是 ぜ 因 いん 为轨形 がた 被 ひ 分割 ぶんかつ 了 りょう ——若 わか 将 はた 其视作 さく 带扭曲 きょく 的 てき 三角 さんかく 环面,便 びん 消失 しょうしつ 了 りょう 。
Tymoczko认为,靠 もたれ 近 きん 中心 ちゅうしん 的 てき 和 わ 弦 つる (音程 おんてい (几乎)相等 そうとう )构成了 りょう 许多西方 せいほう 传统和 わ 弦 つる 的 てき 基 もと 础,这样将 はた 其可视化有 ゆう 助 じょ 于分析 ぶんせき 。中心 ちゅうしん 有 ゆう 4个和弦 つる (十 じゅう 二 に 平均 へいきん 律 りつ 下等 かとう 间距:4/4/4),对应增 ぞう 三和 さんわ 弦 つる (可 か 视作音 おと 集 しゅう )C♯FA、DF♯A♯、D♯GB、EG♯C(之 これ 后 きさき 就循环了:FAC♯ = C♯FA),12个大 だい 三和 さんわ 弦 つる 和 わ 12个小 しょう 三和 さんわ 弦 つる 是 ぜ 紧邻中心 ちゅうしん 的 てき 点 てん ——几乎均 ひとし 匀分布 ぶんぷ 。大 だい 三和弦对应间距为4/3/5(或 ある 等 とう 价地5/4/3),小 しょう 三和弦则对应3/4/5。音 おと 阶变化 か 对应轨形上 うえ 点 てん 的 てき 移 うつり 动,相 そう 邻点之 の 间的移 うつり 动会产生更 さら 光 こう 滑 すべり 的 てき 变化。
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