方ほう根ね

在ざい數學すうがく中ちゅう，一いち數すう $b$ 為ため數かず $a$ 的てき $n$ 次つぎ方かた根ね，則のり $b^{n}=a$ 。在ざい提ひさげ及實數じっすう $a$ 的てき $n$ 次つぎ方かた根ね的てき時候じこう，若わか指ゆび的てき是ぜ此數的てき主あるじ $n$ 次つぎ方かた根ね，則のり可か以用根號こんごう（ ${\sqrt {\color {white}t}}$ ）表示ひょうじ成なり ${\sqrt[{n}]{a}}$ 。例れい如：1024的てき主ぬし10次じ方かた根ね為ため2，就可以記作さく ${\sqrt[{10}]{1024}}=2$ 。當とう $n=2$ 時とき，則のり $n$ 可か以省略しょうりゃく。定義ていぎ實數じっすう $a$ 的まと主ぬし $n$ 次つぎ方かた根ね為ため $a$ 的てき $n$ 次つぎ方かた根ね，且具有ぐゆう與あずか $a$ 相あい同どう的てき正負せいふ號ごう的てき唯ただ一いち實數じっすう $b$ 。在ざい $n$ 是これ偶數ぐうすう時とき，負數ふすう沒ぼつ有ゆう主ぬし $n$ 次つぎ方かた根ね。習慣しゅうかん上じょう，將はた2次じ方かた根ね叫さけべ做平方根へいほうこん，將はた3次じ方かた根ね叫さけべ做立方根りっぽうこん。

方ほう根ね也是冪べき的てき分數ぶんすう指數しすう，即そく數すう $b$ 為ため數かず $a$ 的てき ${\frac {1}{n}}$ 次つぎ方かた：

b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}

符號ふごう史し

最早もはや的てき根號こんごう「√」源げん於字母はは「r」的てき變形へんけい（出自しゅつじ拉ひしげ丁ひのと語ごlatus的てき首くび字母じぼ，表示ひょうじ「邊あたり長ちょう」），沒ぼつ有ゆう線せん括くく號ごう（即そく被ひ開ひらけ方かた數すう上うえ的てき橫線おうせん），後來こうらい數學すうがく家か笛ふえ卡爾給きゅう其加上うえ線せん括くく號ごう，但ただし與あずか前面ぜんめん的てき方かた根ね符號ふごう是ぜ分ぶん開ひらき的てき，因いん此在複雜ふくざつ的てき式子しょくし顯あらわ得とく很亂。直ちょく至いたり18世紀せいき中葉ちゅうよう，數學すうがく家か盧の貝かい將はた前面ぜんめん的てき方かた根ね符號ふごう與あずか線せん括くく號ごう一いち筆寫ひっしゃ成なり，並なみ將しょう根ね指數しすう寫うつし在ざい根號こんごう的てき左上ひだりうえ角かく，以表示ひょうじ高次こうじ方かた根ね（當とう根ね指數しすう為ため2時じ，省略しょうりゃく不ふ寫うつし。）。形成けいせい了りょう現在げんざい所しょ熟じゅく悉的開ひらけ方かた運算うんざん符號ふごう ${\sqrt {\color {white}x}}$ 。

考慮こうりょ在ざい電腦でんのう中なか的てき輸入ゆにゅう問題もんだい，有ゆう時じ也可以使用しようsqrt(a,b)來らい表示ひょうじa的てきb次つぎ方かた根ね。

基本きほん運算うんざん

帶おび有ゆう根號こんごう的てき運算うんざん可か由よし如下公式こうしき推導而得:

{\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0

{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0

{\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},

這裏的てきa和わb是これ正數せいすう。

對たい於所有しょゆう的てき非ひ零れい複數ふくすう $a$ ，有ゆう $n$ 個こ不同ふどう的てき複數ふくすう $b$ 使つかい得とく $b^{n}=a$ ，所以ゆえん符號ふごう ${\sqrt[{n}]{a}}$ 就會出現しゅつげん歧義（通常つうじょう這樣寫うつし是ぜ取と $n$ 個こ值當中ちゅう主しゅ幅はば角かく最小さいしょう的てき）。 $n$ 次つぎ單位たんい根ね是ぜ特別とくべつ重要じゅうよう的てき。

當とう一個數從根號形式變換到冪べき形式けいしき，冪べき的てき規則きそく仍適用てきよう（即そく使つかい對たい分數ぶんすう冪べき），也就是ぜ

a^{m}a^{n}=a^{m+n}

\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}

\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}

例れい如:

{\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}

若わか要よう做加法かほう或ある減法げんぽう，需考慮こうりょ下か列れつ的てき概念がいねん。

{\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}

若わか已やめ可か以簡化か根ね式しき表示ひょうじ式しき，則のり加法かほう和わ減法げんぽう就只是ぜ群ぐん的てき「同類項どうるいこう」問題もんだい。

例れい如

{\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}

={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}

=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}

=({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}

不盡ふじん根ね數すう

未み經けい化か簡的根ね數すう，一般いっぱん叫さけべ做「不盡ふじん根ね數すう」（surd），可か以處理しょり為ため更さら簡單かんたん的てき形式けいしき。

如下恆等こうとう式しき是ぜ處理しょり不盡ふじん根ね數すう的てき基本きほん技巧ぎこう:

${\sqrt {a^{2}b}}=abs(a){\sqrt {b}}$

${\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}$

${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$

$\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}$

無窮むきゅう級數きゅうすう

方ほう根ね可か以表示ひょうじ為ため無窮むきゅう級數きゅうすう:

{\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}

找到所有しょゆう的てき方かた根ね

任にん何なん數すう的てき所有しょゆう的てき根ね，實數じっすう或ある複數ふくすう的てき，可か以通過つうか簡單かんたん的てき演算えんざん法ほう找到。這個數すう應おう當とう首くび先さき被ひ寫うつし為ため如下形式けいしき $ae^{i\varphi }$ (參まいり見み歐おう拉ひしげ公式こうしき)。接着せっちゃく所有しょゆう的てきn次つぎ方かた根ね給きゅう出で為ため:

e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}

對たい於 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ ，這裏的てき ${\sqrt[{n}]{a}}$ 表示ひょうじ $a$ 的まと主ぬし $n$ 次つぎ方かた根ね。

正せい實數じっすう

所有しょゆう $x^{n}=a$ 或ある $a$ 的てき $n$ 次つぎ方かた根ね，這裏的てき $a$ 是正ぜせい實數じっすう，的てき複數ふくすう解かい由よし如下簡單かんたん等式とうしき給きゅう出で:

e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}

對たい於 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ ，這裏的てき ${\sqrt[{n}]{a}}$ 表示ひょうじ $a$ 的まと主ぬし $n$ 次つぎ方かた根ね。

解かい多項式たこうしき

曾經有數ゆうすう學がく猜想，認みとめ為ため多項式たこうしき的てき所有しょゆう根ね可か以用根號こんごう和わ四則しそく運算うんざん來らい表ひょう達たち；但ただし是これ阿おもね貝かい爾なんじ-魯菲尼あま定理ていり斷言だんげん了りょう這不是ぜ普遍ふへん為真ためざに的てき。例れい如，方ぽう程ほど

\ x^{5}=x+1

的てき解かい不能ふのう用よう根號こんごう表ひょう達たち。

要よう解任かいにん何なにn次つぎ方かた程ほど，參まいり見み求根きゅうこん演算えんざん法ほう。

演算えんざん法ほう

對たい於正數すう $A$ ，可か以通過つうか以下いか演算えんざん法ほう求もとめ得とく ${\sqrt[{n}]{A}}$ 的てき值：

猜一いち個こ ${\sqrt[{n}]{A}}$ 的てき近似きんじ值，將はた其作為さくい初はつ始はじめ值 $x_{0}$
設しつらえ $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$ 。記き誤差ごさ為ため $\Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]$ ，即そく $x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}$ 。
重複じゅうふく步ふ驟2，直ちょく至いたり絕對ぜったい誤差ごさ足あし夠小，即そく： $|\Delta x_{k}|<\epsilon$ 。