Τρίγωνο τたうοおみくろんυうぷしろん Κέπλερ

Σしぐまτたうηいーたνにゅー γεωμετρία, τたうοおみくろん τρίγωνο τたうοおみくろんυうぷしろん Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο τたうοおみくろんυうぷしろん οποίου τたうαあるふぁ μήκη τたうωおめがνにゅー πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου.

Από τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα έπεται ότι τたうαあるふぁ τετράγωνα τたうωおめがνにゅー πλευρών γがんまιいおたαあるふぁ αυτή τたうηいーたνにゅー ειδική περίπτωση ορθογώνιου τριγώνου, επίσης όροι μιας (άλλης) γεωμετρικής προόδου, έστω $1$ , $x$ κかっぱαあるふぁιいおた $x^{2}$ , εξάγονται από τたうηいーた λύση της δευτεροβάθμιας εξισώσεως

1+x=x^{2}

,

από τたうηいーたνにゅー οποία προκύπτει ότι οおみくろん λόγος τたうωおめがνにゅー μηκών τたうωおめがνにゅー πλευρών ενός τριγώνου τたうοおみくろんυうぷしろん Κέπλερ σχετίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー «χρυσό λόγο»:

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

.

κかっぱαあるふぁιいおた μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφεί ως: $1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi$ , ή κατά προσέγγιση $1:1,272:1,618$ .^[1] Τたうαあるふぁ τετράγωνα τたうωおめがνにゅー πλευρών, όπως προαναφέρθηκε, είναι επίσης όροι μίας γεωμετρικής προόδου (βべーたλらむだ. σχήμα) μみゅーεいぷしろん λόγο τたうηいーた χρυσή τομή.

Τρίγωνα μみゅーεいぷしろん τέτοιους λόγους πλευρών πήραν τたうοおみくろん όνομα τたうοおみくろんυうぷしろん Γερμανού μαθηματικού κかっぱαあるふぁιいおた αστρονόμου Γιοχάνες Κέπλερ (1571–1630), επειδή πρώτος αυτός απέδειξε ότι τたうοおみくろん τρίγωνο αυτό χαρακτηρίζεται από ένα λόγο ανάμεσα σしぐまτたうαあるふぁ μήκη της μικρής κάθετης πλευράς κかっぱαあるふぁιいおた της υποτείνουσας ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー χρυσό λόγο^[2]. Τたうαあるふぁ τρίγωνα τたうοおみくろんυうぷしろん Κέπλερ συνδυάζουν δύο βασικές μαθηματικές έννοιες (τたうοおみくろん πυθαγόρειο θεώρημα κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんνにゅー χρυσό λόγο) πぱいοおみくろんυうぷしろん συνάρπαζαν τたうοおみくろんνにゅー Κέπλερ, όπως δείχνει τたうοおみくろん παρακάτω απόσπασμα:

Ηいーた γεωμετρία έχει δでるたυうぷしろんοおみくろん μεγάλους θησαυρούς: οおみくろん ένας είναι τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Πυθαγόρα κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん άλλος ηいーた διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σしぐまεいぷしろん μέσο κかっぱαあるふぁιいおた άκρο λόγο. Τたうοおみくろん πρώτο μπορεί νにゅーαあるふぁ συγκριθεί μみゅーεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ μάζα χρυσού, τたうοおみくろん δεύτερο μπορούμε νにゅーαあるふぁ τたうοおみくろん αποκαλέσουμε ένα πολύτιμο κόσμημα.
— Γιοχάνες Κέπλερ, ^[3]

Αντίστροφη διαδικασία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τたうοおみくろん αντίστροφο, δηλαδή ότι ένα τρίγωνο μみゅーεいぷしろん μήκη πλευρών 1 , ${\sqrt {\varphi }}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\varphi$ ή πολλαπλάσιά τους είναι ορθογώνιο, αποδεικνύεται εύκολα αあるふぁνにゅー ξαναγράψουμε τたうοおみくろん τριώνυμο γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー χρυσό λόγο $\varphi$ :

\varphi ^{2}=\varphi +1

,

σしぐまτたうηいーた μορφή τたうοおみくろんυうぷしろん πυθαγόρειου θεωρήματος:

(\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}

.

Σχέση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー αριθμητικό, τたうοおみくろんνにゅー γεωμετρικό κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんνにゅー αρμονικό μέσο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε ζεύγος θετικών πραγματικών αριθμών αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた βべーた, οおみくろん αριθμητικός μέσος, οおみくろん γεωμετρικός μέσος κかっぱαあるふぁιいおた αρμονικός μέσος τους αποτελούν τたうαあるふぁ μήκη τたうωおめがνにゅー πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー αυτό τたうοおみくろん τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο τたうοおみくろんυうぷしろん Κέπλερ^[4].

Κατασκευή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τたうοおみくろん τρίγωνο τたうοおみくろんυうぷしろん Κέπλερ μπορεί νにゅーαあるふぁ κατασκευασθεί μみゅーεいぷしろん κανόνα κかっぱαあるふぁιいおた διαβήτη δημιουργώντας πρώτα ένα «χρυσό ορθογώνιο»:

Κατασκευάζουμε ένα απλό τετράγωνο.
Φέρουμε μία γραμμή από τたうοおみくろん μέσο της μιας πλευράς τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου προς μία απέναντι κορυφή.
Χρησιμοποιούμε αυτό τたうοおみくろん ευθύγραμμο τμήμα ως ακτίνα ενός κύκλου γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ σχεδιάσουμε ένα τόξο πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζει τたうοおみくろん ύψος τたうοおみくろんυうぷしろん ορθογωνίου.
Συμπληρώνουμε τたうοおみくろん χρυσό ορθογώνιο.
Χρησιμοποιούμε τたうηいーた μεγάλη πλευρά τたうοおみくろんυうぷしろん χρυσού ορθογωνίου γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ σχεδιάσουμε ένα τόξο πぱいοおみくろんυうぷしろん τέμνει τたうηいーたνにゅー απέναντι πλευρά τたうοおみくろんυうぷしろん ορθογωνίου κかっぱαあるふぁιいおた ορίζει τたうηいーたνにゅー υποτείνουσα τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου τたうοおみくろんυうぷしろん Κέπλερ.

Οおみくろん ίδιος οおみくろん Κέπλερ τたうοおみくろん κατασκεύασε διαφορετικά: Σしぐまεいぷしろん ένα γράμμα τたうοおみくろんυうぷしろん προς τたうοおみくろんνにゅー παλιό καθηγητή τたうοおみくろんυうぷしろん Μίκαελ Mästlin έγραψε:

Αあるふぁνにゅー πάνω σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ γραμμή διαιρεμένη σしぐまεいぷしろん μέσο κかっぱαあるふぁιいおた άκρο λόγο κάποιος κατασκευάσει ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τέτοιο ώστε ηいーた ορθή γωνία είναι σしぐまτたうηいーたνにゅー κάθετο σしぐまτたうοおみくろん σημείο τομής, τότε ηいーた μικρότερη πλευρά θしーたαあるふぁ ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん μεγαλύτερο τμήμα της διαιρεμένης γραμμής.
— Γιοχάνες Κέπλερ, ^[2]

Μみゅーιいおたαあるふぁ μαθηματική σύμπτωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σしぐまεいぷしろん οποιοδήποτε τρίγωνο τたうοおみくろんυうぷしろん Κέπλερ μみゅーεいぷしろん πλευρές $a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,$ θεωρείστε:

τたうοおみくろんνにゅー περιγεγραμμένο κύκλο τたうοおみくろんυうぷしろん, κかっぱαあるふぁιいおた
ένα τετράγωνο μみゅーεいぷしろん πλευρά ίση μみゅーεいぷしろん τたうηいーた μεγάλη κάθετη πλευρά τたうοおみくろんυうぷしろん τριγώνου.

Τότε ηいーた περίμετρος τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγώνου ( $4a{\sqrt {\varphi }}$ ) κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた περιφέρεια τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου ( $a\pi \varphi$ ) είναι σχεδόν ίσες, μみゅーεいぷしろん διαφορά μικρότερη τたうοおみくろんυうぷしろん 0,1%.

Αυτή είναι ηいーた μαθηματική προσέγγιση $\pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}$ . Οおみくろん αριθμός $\pi$ δでるたεいぷしろんνにゅー μπορεί νにゅーαあるふぁ κατασκευαστεί γεωμετρικά (δでるたηいーたλらむだ. μみゅーεいぷしろん κανόνα κかっぱαあるふぁιいおた διαβήτη) από τたうοおみくろんνにゅー $\varphi$ , γιατί αυτό θしーたαあるふぁ ισοδυναμούσε μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー επίλυση τたうοおみくろんυうぷしろん κλασικού άλυτου προβλήματος τたうοおみくろんυうぷしろん τετραγωνισμού τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου. Aυτό, οπως αποδείχτηκε δでるたεいぷしろんνにゅー μπορει νにゅーαあるふぁ γίνει, διότι τたうοおみくろん πぱい είναι υπερβατικός αριθμός, ενώ τたうοおみくろん $4/{\sqrt {\varphi }}$ όχι (είναι αλγεβρικός αριθμός).

Σύμφωνα μみゅーεいぷしろん κάποιες πηγές, τρίγωνα τたうοおみくろんυうぷしろん Κέπλερ εμφανίζονται σしぐまτたうοおみくろんνにゅー σχεδιασμό αιγυπτιακών πυραμίδων, μεταξύ τたうωおめがνにゅー οποίων κかっぱαあるふぁιいおた της Μεγάλης Πυραμίδας της Γκίζας (Πυραμίδα τたうοおみくろんυうぷしろん Χέοπα).^[5]^[6] Ωστόσο, τたうοおみくろん πιθανότερο είναι πως οおみくろんιいおた αρχαίοι Αιγύπτιοι δでるたεいぷしろんνにゅー γνώριζαν τたうηいーた μαθηματική σύμπτωση πぱいοおみくろんυうぷしろん «δένει» τたうοおみくろんνにゅー αριθμό πぱい κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんνにゅー χρυσό λόγο φふぁい.^[7]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ Roger Herz-Fischler (2000). The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. ISBN 0-88920-324-5.
↑ ^2,0 ^2,1 Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. σελίδες 149. ISBN 0-7679-0815-5.
↑ Karl Fink· Wooster Woodruff Beman· David Eugene Smith (1903). A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink's Geschichte der Elementar-Mathematik (2ηいーた έκδοση). Chicago: Open Court Publishing Co.
↑ Di Domenico, Angelo, "The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means", The Mathematical Gazette 89, 2005.
↑ «Squaring the circle, Paul Calter». Αρχειοθετήθηκε από τたうοおみくろん πρωτότυπο στις 2 Σεπτεμβρίου 2011. Ανακτήθηκε στις 25 Ιουλίου 2012.
↑ «The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence, Mark Herkommer». Αρχειοθετήθηκε από τたうοおみくろん πρωτότυπο στις 2 Ιανουαρίου 2014. Ανακτήθηκε στις 25 Ιουλίου 2012.
↑ Markowsky, George (January 1992). «Misconceptions about the Golden Ratio» (PDF). College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193. http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf.

[1] Roger Herz-Fischler (2000). The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. ISBN 0-88920-324-5.

[livio-2] 2,0 ^2,1 Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. σελίδες 149. ISBN 0-7679-0815-5.

[3] Karl Fink· Wooster Woodruff Beman· David Eugene Smith (1903). A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink's Geschichte der Elementar-Mathematik (2ηいーた έκδοση). Chicago: Open Court Publishing Co.

[4] Di Domenico, Angelo, "The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means", The Mathematical Gazette 89, 2005.

[5] «Squaring the circle, Paul Calter». Αρχειοθετήθηκε από τたうοおみくろん πρωτότυπο στις 2 Σεπτεμβρίου 2011. Ανακτήθηκε στις 25 Ιουλίου 2012.

[6] «The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence, Mark Herkommer». Αρχειοθετήθηκε από τたうοおみくろん πρωτότυπο στις 2 Ιανουαρίου 2014. Ανακτήθηκε στις 25 Ιουλίου 2012.

[7] Markowsky, George (January 1992). «Misconceptions about the Golden Ratio» (PDF). College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193. http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]