ケプラー三角形さんかっけい

ケプラー三角形さんかっけいは、面積めんせきが黄金おうごん比ひを公おおやけ比ひとした等比とうひ数列すうれつの関係かんけいになっている3つの正方形せいほうけいの辺あたりで形成けいせいされる直角ちょっかく三角形さんかっけい。

ケプラー三角形さんかっけいは三さん辺へんの比ひが等比とうひ数列すうれつとなっている直角ちょっかく三角形さんかっけいで、その公おおやけ比ひは黄金おうごん比ひ $\phi$ の平方根へいほうこん${\sqrt {\phi }}$であるような三角形さんかっけいのことである。つまりケプラー三角形さんかっけいの辺あたりの比ひは$1:{\sqrt {\phi }}:\phi$ 、おおよそ1 ：1.272 ：1.618である。したがって三角形さんかっけいの一辺いっぺんを辺あたりとした正方形せいほうけいも黄金おうごん比ひを公おおやけ比ひとした等比とうひ数列すうれつになる。

このような比率ひりつの三角形さんかっけいは、ドイツの数学すうがく者しゃで天文学てんもんがく者しゃのヨハネス・ケプラー（1571–1630）にちなんで名付なづけられた。ケプラーは、この三角形さんかっけいの短たん辺あたりと斜辺しゃへんの比率ひりつが黄金おうごん比ひに等ひとしいことを最初さいしょに発見はっけんした人物じんぶつである。ケプラー三角形さんかっけいはピタゴラスの定理ていりと黄金おうごん比ひという2つの重要じゅうような数学すうがく的てき概念がいねんを組くみ合あわせており、次つぎに示しめすようにケプラーを深ふかく魅了みりょうした：

幾何きか学がくには2つの宝たからがある。一ひとつはピタゴラスの定理ていり、もう一ひとつは外そと中ちゅう比ひ（黄金おうごん比ひ）である。一ひとつ目めは金塊きんかいと比くらべ、二ふたつ目めは貴重きちょうな宝石ほうせきと呼よぶことになるだろう。

また、ケプラー三角形さんかっけいに非常ひじょうに近ちかい寸法すんぽうの三角形さんかっけいがギザの大だいピラミッドにあるという主張しゅちょうもいくつか存在そんざいする。

導出どうしゅつ

黄金おうごん比ひ $\phi$ は次つぎの二に次じ方程式ほうていしき

$x^{2}-x-1=0$

の解かいである。したがって

$\phi ^{2}-\phi -1=0$

であるため、次つぎの等式とうしきが成立せいりつする：

$\phi ^{2}=\phi +1$

これをピタゴラスの定理ていりの形かたちに書かき換かえると

$(\phi )^{2}=({\sqrt {\phi }})^{2}+(1)^{2}.$

算術さんじゅつ平均へいきん、幾何きか平均へいきん、調和ちょうわ平均へいきんとの関係かんけい

正せいの実数じっすうaおよびbに対たいし、それらの算術さんじゅつ平均へいきん、幾何きか平均へいきん、および調和ちょうわ平均へいきんが直角ちょっかく三角形さんかっけいの各かく辺あたりの長ながさとなることは、直角ちょっかく三角形さんかっけいがケプラー三角形さんかっけいであることに同値どうちである。

ケプラー三角形さんかっけいの作図さくず

黄金おうごん長方形ちょうほうけいを利用りようしたケプラー三角形さんかっけいの作図さくず方法ほうほう。

ケプラー三角形さんかっけいは初はじめに黄金おうごん三角形さんかっけいを作つくることで、定規じょうぎとコンパスによる作図さくずにより作図さくずすることが可能かのうである：

1. 一辺いっぺんが1の正方形せいほうけいを作図さくずする
2. 正方形せいほうけいの片側かたがわの中点ちゅうてんから反対はんたい側がわの角かくまで線分せんぶんを引ひく
3. その線分せんぶんを半径はんけいとした円弧えんこを描えがき、長方形ちょうほうけいの高たかさを定さだめる
4. 黄金おうごん長方形ちょうほうけいを作図さくずする
5. 黄金おうごん長方形ちょうほうけいの長ちょう辺あたりを使用しようして、長方形ちょうほうけいの反対はんたい側がわと交差こうさし、ケプラー三角形さんかっけいの斜辺しゃへんを定義ていぎする円弧えんこを描画びょうがする

ケプラー自身じしんは上述じょうじゅつの方法ほうほうとは違ちがう方法ほうほうでケプラー三角形さんかっけいを作図さくずしており、実際じっさい、彼かれの前ぜん指導しどう教官きょうかんであったミヒャエル・メストリンへの手紙てがみの中なかで「外そと中ちゅう比ひ（黄金おうごん比ひ）で分割ぶんかつされた直線ちょくせん上じょうに直角ちょっかく三角形さんかっけいを作つくると、その直角ちょっかくが区間くかん点てんに置おかれた垂直すいちょく上じょうにある場合ばあい、小ちいさい方ほうの脚あしは分割ぶんかつされた直線ちょくせんの大おおきい方ほうと等ひとしくなる。」と書かいている。

数学すうがく的てき性質せいしつ

この円えんと正方形せいほうけいの周しゅう長ちょうはほぼ同おなじになる

三さん辺へんが$1,{\sqrt {\phi }},\phi$であるケプラー三角形さんかっけいにおいて次つぎの円えんと正方形せいほうけいを考かんがえる：

• ケプラー三角形さんかっけいに外接がいせつする円えん
• 一辺いっぺんが${\sqrt {\phi }}$の正方形せいほうけい

このとき、円周えんしゅう（ $\pi \phi$ ）と正方形せいほうけいの周しゅう長ちょう（ $4{\sqrt {\phi }}$ ）は0.1％以下いかの誤差ごさの範囲はんいで一致いっちする。 したがって近似きんじ的てきに $\pi \approx 4/{\sqrt {\phi }}$ が成なり立たつがこれは偶然ぐうぜんの一致いっちであり、正方形せいほうけいと円えんの周囲しゅうい長ちょうを完全かんぜんに一致いっちさせることは不可能ふかのうである（仮かりに一致いっちできた場合ばあい、円えん積せき問題もんだいにおける古典こてん的てきな（不可能ふかのうな）問題もんだいを解決かいけつできてしまうため）。い換いかえると、円周えんしゅう率りつ $\pi$ が超越ちょうえつ数すうであるため$\pi \neq 4/{\sqrt {\phi }}$である。

ケプラー三角形さんかっけいはエジプトのピラミッドのデザインに現あらわれている。ギザの大だいピラミッドにある部屋へやの床ゆか面めんの対角線たいかくせんに部屋へやの幅はばを加くわえたものを部屋へやの奥行おくゆきで割わると、黄金おうごん比ひに非常ひじょうに近ちかくなる。ただし、この関係かんけいを調査ちょうさしたさまざまな学者がくしゃによると、古代こだいエジプト人じんはおそらく円周えんしゅう率りつ $\pi$ と黄金おうごん比ひ $\phi$ の間あいだの数学すうがく的てき一致いっちを知しらなかったと考かんがえられている。

関連かんれん項目こうもく

• 黄金おうごん三角形さんかっけい
• 特殊とくしゅ直角ちょっかく三角形さんかっけい

脚注きゃくちゅう

脚注きゃくちゅう

引用いんよう

外部がいぶリンク

• ケプラー三角形さんかっけい