Tetraedro

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Tetraedro
TipoSolido platonico
Forma facceTriangoli
Nº facce4
Nº spigoli6
Nº vertici4
Valenze vertici3
Caratteristica di Eulero2
Incidenza dei vertici3.3.3
Notazione di Wythoff3 | 2 3
| 2 2 2
Notazione di Schläfli{3,3}
h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2}
Diagramma di Coxeter-Dynkin =

Gruppo di simmetriaGruppo simmetrico
Gruppo rotazionaleT, [3,3]+, (332)
Dualese stesso
Angoli diedralicirca 70° 32′
Proprietànon chirale
Politopi correlati
Figura al vertice
Poliedro duale
Sviluppo piano
Modello 3D (in formato .stl) di un tetraedro

In geometria, un tetraedro è un poliedro con quattro facce. Un tetraedro è necessariamente convesso, le sue facce sono triangolari, ha 4 vertici e 6 spigoli.

Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici.

Il tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, cioè uno dei poliedri regolari e le sue facce sono triangoli equilateri. Esso presenta un angolo diedro di circa 70° 31′ 43,606″ o più precisamente di angolo diedro .

Parametri metrici

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Alcuni parametri metrici del tetraedro regolare con spigoli di lunghezza sono i seguenti:

Altezza (cioè distanza fra vertice e faccia opposta)
Angolo diedrale (circa 71°)
Area della superficie totale
Volume

La costruzione di Euclide

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Fig. 1: determinazione dello spigolo del tetraedro inscritto nella sfera di diametro
Fig. 2: costruzione del tetraedro

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un tetraedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:

Sia (vedi Fig. 1) un diametro della sfera data; lo si divida nel punto in modo che sia il doppio di . Su questo diametro si costruisca un semicerchio, si alzi la perpendicolare da e si denoti con il punto di intersezione tra tale perpendicolare e la circonferenza. Infine, si congiungano i punti .

Si replichi la stessa costruzione su due piani passanti per , con angolo diedro di 120° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti , ed .

È chiaro che i vertici , , e si trovano sugli archi di cerchio costruiti sul diametro , quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli , ed sono uguali fra loro, così come lo sono gli spigoli , ed (questi ultimi determinano il triangolo equilatero alla base del tetraedro). Rimane da verificare che questi due gruppi di spigoli abbiano la stessa lunghezza.

Nella parte alta della figura di sinistra è replicata la costruzione iniziale: per il secondo teorema di Euclide, il segmento è medio proporzionale fra i segmenti e . Supponendo (senza perdita di generalità) che il diametro del cerchio sia unitario, risulta che tali segmenti hanno le lunghezze indicate in figura, quindi:

Grazie al teorema di Pitagora si può ora calcolare la lunghezza del segmento o, per praticità, il suo quadrato:

La parte inferiore del disegno raffigura la base del tetraedro. Il segmento è cateto del triangolo rettangolo in , quindi:

Di conseguenza, i tre spigoli alla base del tetraedro e i tre spigoli che fanno capo al vertice , hanno tutti la stessa lunghezza e quindi il poliedro costruito è effettivamente inscritto nella sfera data. Si noti inoltre come da questi calcoli segua anche che il quadrato di un qualsiasi spigolo del tetraedro è pari a del quadrato del diametro .

Poliedro duale

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Tetraedri

Il poliedro duale del tetraedro è ancora un tetraedro. Il tetraedro regolare è l'unico dei cinque solidi platonici che è duale di sé stesso: gli altri quattro sono accoppiati dalla relazione di dualità.

Simmetrie del tetraedro: rotazioni intorno ad un asse o riflessione rispetto ad un piano.

Il tetraedro ha simmetrie: ogni permutazione dei quattro vertici è infatti realizzata da un'unica simmetria. Il gruppo di simmetria è quindi il gruppo di permutazioni di elementi, di cardinalità . Tra queste, sono rotazioni intorno ad alcuni assi, mentre le altre invertono l'orientazione dello spazio.

Le simmetrie rotatorie (inclusa l'identità) formano un sottogruppo, isomorfo al gruppo alternante . L'asse di rotazione di una simmetria può collegare il centro di una faccia con un vertice opposto ( possibilità), oppure i punti medi di due spigoli opposti ( possibilità). Intorno ad un asse del primo tipo possono essere effettuate rotazioni di 120° o 240°, mentre intorno ad un asse del secondo tipo la rotazione è di 180°. In totale, si ottengono quindi rotazioni, cui va aggiunta l'identità per ottenere tutte le simmetrie rotatorie.

Le 12 simmetrie rotatorie del tetraedro. Oltre all'identità, vi sono rotazioni lungo assi passanti per i vertici e lungo assi che collegano spigoli opposti.

Numerando i vertici del tetraedro con , , e , le rotazioni di 120° e 240° corrispondono alle permutazioni

ovvero ai cicli di ordine . Le rotazioni di 180° invece corrispondono alle permutazioni

ottenute come prodotto di -cicli indipendenti.

Delle simmetrie che non preservano l'orientazione, sono riflessioni lungo piani: ciascun piano contiene uno spigolo e il punto medio dello spigolo opposto (come nella figura a destra). Queste corrispondono ai cicli di ordine

Infine, le altre simmetrie sono composizioni di riflessioni lungo piani e rotazioni, e corrispondono ai cicli di ordine

Generalizzazioni

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Lo stesso argomento in dettaglio: Simplesso.

Il simplesso è un oggetto che generalizza la nozione di tetraedro in dimensione arbitraria. Si tratta dell'unico politopo -dimensionale avente vertici, mentre ogni altro politopo ne ha una quantità maggiore. Per il simplesso è rispettivamente un segmento, un triangolo e un tetraedro.

Einstein e il tetraedro

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Tetraedro costruito con sei stuzzicadenti

Esiste un curioso aneddoto riguardo Albert Einstein[1]: ad un convegno di fisici, subissato dalle critiche per la sua balzana concezione di uno spaziotempo a quattro dimensioni, egli propose il seguente problema:

Dati sei stuzzicadenti, costruire quattro triangoli equilateri.

Nessuno dei presenti riuscì a posizionare su un piano gli stuzzicadenti per formare i triangoli richiesti, il che è infatti impossibile, al che Einstein compose un tetraedro coi sei stuzzicadenti e disse:

Se non sapete usare la terza dimensione, che sperimentate tutti i giorni, come sperate di capire la quarta?
  1. ^ Maria Toffetti, Campo estivo per giovani geni, A. Mondadori, 2009.

Voci correlate

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Altri progetti

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