Tetraedro
Tetraedro | |||
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Tipo | Solido platonico | ||
Forma facce | Triangoli | ||
Nº facce | 4 | ||
Nº spigoli | 6 | ||
Nº vertici | 4 | ||
Valenze vertici | 3 | ||
Caratteristica di Eulero | 2 | ||
Incidenza dei vertici | 3.3.3 | ||
Notazione di Wythoff | 3 | 2 3 | 2 2 2 | ||
Notazione di Schläfli | {3,3} h{4,3}, s{2,4}, sr{2,2} | ||
Diagramma di Coxeter-Dynkin | = | ||
Gruppo di simmetria | Gruppo simmetrico | ||
Gruppo rotazionale | T, [3,3]+, (332) | ||
Duale | se stesso | ||
Angoli diedrali | circa 70° 32′ | ||
Proprietà | non chirale | ||
Politopi correlati | |||
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Sviluppo piano | |||
In geometria, un tetraedro è un poliedro con quattro facce. Un tetraedro è necessariamente convesso, le sue facce sono triangolari, ha 4 vertici e 6 spigoli.
Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici.
Il tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, cioè uno dei poliedri regolari e le sue facce sono triangoli equilateri. Esso presenta un angolo diedro di circa 70° 31′ 43,606″ o più precisamente di angolo diedro .
Parametri metrici
[modifica | modifica wikitesto]Alcuni parametri metrici del tetraedro regolare con spigoli di lunghezza sono i seguenti:
Altezza (cioè distanza fra vertice e faccia opposta) | |
Angolo diedrale | (circa 71°) |
Area della superficie totale | |
Volume |
La costruzione di Euclide
[modifica | modifica wikitesto]Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un tetraedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:
Sia (vedi Fig. 1) un diametro della sfera data; lo si divida nel punto in modo che sia il doppio di . Su questo diametro si costruisca un semicerchio, si alzi la perpendicolare da e si denoti con il punto di intersezione tra tale perpendicolare e la circonferenza. Infine, si congiungano i punti .
Si replichi la stessa costruzione su due piani passanti per , con angolo diedro di 120° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti , ed .
È chiaro che i vertici , , e si trovano sugli archi di cerchio costruiti sul diametro , quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli , ed sono uguali fra loro, così come lo sono gli spigoli , ed (questi ultimi determinano il triangolo equilatero alla base del tetraedro). Rimane da verificare che questi due gruppi di spigoli abbiano la stessa lunghezza.
Nella parte alta della figura di sinistra è replicata la costruzione iniziale: per il secondo teorema di Euclide, il segmento è medio proporzionale fra i segmenti e . Supponendo (senza perdita di generalità) che il diametro del cerchio sia unitario, risulta che tali segmenti hanno le lunghezze indicate in figura, quindi:
Grazie al teorema di Pitagora si può ora calcolare la lunghezza del segmento o, per praticità, il suo quadrato:
La parte inferiore del disegno raffigura la base del tetraedro. Il segmento è cateto del triangolo rettangolo in , quindi:
Di conseguenza, i tre spigoli alla base del tetraedro e i tre spigoli che fanno capo al vertice , hanno tutti la stessa lunghezza e quindi il poliedro costruito è effettivamente inscritto nella sfera data. Si noti inoltre come da questi calcoli segua anche che il quadrato di un qualsiasi spigolo del tetraedro è pari a del quadrato del diametro .
Poliedro duale
[modifica | modifica wikitesto]Il poliedro duale del tetraedro è ancora un tetraedro. Il tetraedro regolare è l'unico dei cinque solidi platonici che è duale di sé stesso: gli altri quattro sono accoppiati dalla relazione di dualità.
Simmetrie
[modifica | modifica wikitesto]Il tetraedro ha simmetrie: ogni permutazione dei quattro vertici è infatti realizzata da un'unica simmetria. Il gruppo di simmetria è quindi il gruppo di permutazioni di elementi, di cardinalità . Tra queste, sono rotazioni intorno ad alcuni assi, mentre le altre invertono l'orientazione dello spazio.
Le simmetrie rotatorie (inclusa l'identità) formano un sottogruppo, isomorfo al gruppo alternante . L'asse di rotazione di una simmetria può collegare il centro di una faccia con un vertice opposto ( possibilità), oppure i punti medi di due spigoli opposti ( possibilità). Intorno ad un asse del primo tipo possono essere effettuate rotazioni di 120° o 240°, mentre intorno ad un asse del secondo tipo la rotazione è di 180°. In totale, si ottengono quindi rotazioni, cui va aggiunta l'identità per ottenere tutte le simmetrie rotatorie.
Numerando i vertici del tetraedro con , , e , le rotazioni di 120° e 240° corrispondono alle permutazioni
ovvero ai cicli di ordine . Le rotazioni di 180° invece corrispondono alle permutazioni
ottenute come prodotto di -cicli indipendenti.
Delle simmetrie che non preservano l'orientazione, sono riflessioni lungo piani: ciascun piano contiene uno spigolo e il punto medio dello spigolo opposto (come nella figura a destra). Queste corrispondono ai cicli di ordine
Infine, le altre simmetrie sono composizioni di riflessioni lungo piani e rotazioni, e corrispondono ai cicli di ordine
Generalizzazioni
[modifica | modifica wikitesto]Il simplesso è un oggetto che generalizza la nozione di tetraedro in dimensione arbitraria. Si tratta dell'unico politopo -dimensionale avente vertici, mentre ogni altro politopo ne ha una quantità maggiore. Per il simplesso è rispettivamente un segmento, un triangolo e un tetraedro.
Einstein e il tetraedro
[modifica | modifica wikitesto]Esiste un curioso aneddoto riguardo Albert Einstein[1]: ad un convegno di fisici, subissato dalle critiche per la sua balzana concezione di uno spaziotempo a quattro dimensioni, egli propose il seguente problema:
- Dati sei stuzzicadenti, costruire quattro triangoli equilateri.
Nessuno dei presenti riuscì a posizionare su un piano gli stuzzicadenti per formare i triangoli richiesti, il che è infatti impossibile, al che Einstein compose un tetraedro coi sei stuzzicadenti e disse:
- Se non sapete usare la terza dimensione, che sperimentate tutti i giorni, come sperate di capire la quarta?
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Maria Toffetti, Campo estivo per giovani geni, A. Mondadori, 2009.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]- Wikizionario contiene il lemma di dizionario «tetraedro»
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul tetraedro
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Tetraedro, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- Giovanni Sansone, TETRAEDRO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1937.
- Tetraedro, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
- Tetraèdro, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
- tetraèdro, su sapere.it, De Agostini.
- Tetraedro, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) tetrahedron, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Tetrahedron, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Tetrahedron, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
- (EN) Poliedri uniformi, su mathconsult.ch.
- (EN) Poliedri in realtà virtuale, su georgehart.com.
- Modelli in carta di poliedri, su korthalsaltes.com.
Controllo di autorità | GND (DE) 4129555-9 |
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