Czworościan
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Tetrahedron.svg/300px-Tetrahedron.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Tetrahedron_flat.svg/300px-Tetrahedron_flat.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Siatki_czworoscianu.svg/220px-Siatki_czworoscianu.svg.png)
Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Czworościan – ostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach[1]. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki[a]. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.
Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupa trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.
Wzory
[edytuj | edytuj kod]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/120px-Tetrahedron-slowturn.gif)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Platonic_Solids_Stereo_1_-_Tetrahedron.gif/220px-Platonic_Solids_Stereo_1_-_Tetrahedron.gif)
Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach dana jest wzorem:
gdzie zmienna pomocnicza to wyznacznik
to długość krawędzi łączącej wierzchołek z wierzchołkiem
Promień kuli opisanej na czworościanie:
gdzie zmienna pomocnicza to
Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:
gdzie to pole ściany niezawierającej wierzchołka
Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli i i oraz i są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów i spełniają zależność[2]:
Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru:
Uwagi
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Jest to zgodne z twierdzeniem Eulera o wielościanach:
χ = W – K + S = 4 – 6 + 4 = 2.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ czworościan, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Tetrahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).