Քառանիստ
Տետրաէդր կամ քառանիստ [1] (հին հունարեն ՝ τετρά-εδρον ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττορες / τέτορες «չորս» + ἕδ でるた ρ ろー α あるふぁ «նստույք, հիմք»), պարզագույն բազմանիստ , որի նիստերը հանդիսանում են չորս եռանկյուններ[2] ։
Քառանիստը հանդիսանում է եռանկյուն բուրգ ։ Քառանիստն ունի 4 գագաթ, 4 նիստ, 6 կող։
Քառանիստը, որի բոլոր նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ է, կոչվում է կանոնավոր քառանիստ ։ Կանոնավոր քառանիստը հանդիսանում է 5 կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։
Քառանիստի յուրաքանչյուր գագաթով անցնում է 3 նիստ և 3 կող, յուրաքանչյուր կողով 2 նիստ։
Ըստ Էյլերի բանաձևի, ցանկացած բազմանիստի համար գագաթների թվին գումարենք նիստերի թիվը և հանենք կողմերի թիվը կստանանք 2։
4 + 4 - 6 = 2
2 = 2
Հավասարանիստ քառանիստի փռվածք
Բոլոր նիստերը իրենցից ներկայացնում են իրար հավասար եռանկյուններ։ Հավասարանիստ քառանիստի փռվածքը հանդիսանում է եռանկյուն՝ միջին գծերով բաժանված չորս հավասար եռանկյունների ։ Հավասարանիստ քառանիստի նիստերի բարձրությունների հիմքերը, բարձրությունների միջնակետերը և բարձրությունների հատման կետերը ընկած են մեկ գնդային մակերևույթի վրա (12 կետերի գնդային մակերևույթ) (Եռանկյան համար Էյլերի շրջանագծի անալոգը)։
Հավասարանիստ քառանիստի հատկություններ.
Նրա բոլոր նիստերը հավասար են (կոնգրուէնտ են)։
Խաչվող կեղերը զույգ առ զույգ հավասար են։
Եռանիստ անկյունները հավասար են։
Հակադիր անկյունները հավասար են։
Մեկ կողի վրա հենված երկու հարթ անկյունները հավասար են։
Յուրաքանչյուր գագաթի հարթ անկյունների գումարը հավասար է 180°:
Քառանիստի փռվածքը եռանկյուն է կամ զուգահեռագիծ ։
Արտագծած զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է։
Քառանիստն ունի համաչափության երեք առանցք։
Խաչվող կողերի ընհանուր ուղղահայացները զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
Միջին գծերը զույգ առ զույգ ուղղահայաց են։
Նիստերի պարագծերը հավասար են։
Նիստերի մակերեսները հավասար են։
Քառանիստի բարձրությունները հավասար են։
Հանդիպակած նիստերի ծանրության կենտրոնները գագաթներին միացնող հատվածներն իրար հավասար են։
Նիստերին արտագծած շրջանագծերի շառավղերը հավասար են։
Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
Քառանիստի ծանրության կենտրոնը համընկնում է ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։
Ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների կենտրոնները համընկնում են։
Ներգծած գնդային մակերևույթը նիստերին շոշափում է նիստերին արտագծած շրջանագծերի կենտրոններում։
Ներքին միավոր նորմալների գումարը (նիստերին ուղղահայաց միավոր վեկտորները) հավասար է զրոյի։
Բոլոր երկնիստ անկյունների գումարը հավասար է զրոյի։
Քառանիստի գագաթի կոորդինատներն են
r
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle ~\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1})}
,
r
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle ~\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2})}
,
r
3
(
x
3
,
y
3
,
z
3
)
{\displaystyle ~\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3})}
,
r
4
(
x
4
,
y
4
,
z
4
)
{\displaystyle ~\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})}
, որոնք հավասար են։
V
=
1
6
|
1
x
1
y
1
z
1
1
x
2
y
2
z
2
1
x
3
y
3
z
3
1
x
4
y
4
z
4
|
{\displaystyle ~V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}}
Մակերես (Ծավալ)
S
=
−
1
16
|
0
1
1
1
1
0
a
2
b
2
1
a
2
0
c
2
1
b
2
c
2
0
|
{\displaystyle S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}}
V
=
1
288
|
0
1
1
1
1
1
0
α あるふぁ
2
,
1
2
α あるふぁ
3
,
1
2
α あるふぁ
4
,
1
2
1
α あるふぁ
2
,
1
2
0
α あるふぁ
3
,
2
2
α あるふぁ
4
,
2
2
1
α あるふぁ
3
,
1
2
α あるふぁ
3
,
2
2
0
α あるふぁ
4
,
3
2
1
α あるふぁ
4
,
1
2
α あるふぁ
4
,
2
2
α あるふぁ
4
,
3
2
0
|
{\displaystyle V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}}
, որտեղ
α あるふぁ
1
,
2
{\displaystyle \alpha _{1,2}}
-ն 1 և 2 գագաթների միջև հեռավորությունն է։
S
=
1
2
a
h
a
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}}
V
=
1
3
S
1
H
1
{\displaystyle V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}}
S
=
1
2
a
b
sin
γ がんま
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }
V
=
2
3
S
1
S
2
α あるふぁ
3
,
4
sin
(
ϕ
1
,
2
)
{\displaystyle V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2})}
,
որտեղ
ϕ
1
,
2
{\displaystyle \phi _{1,2}}
-ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է,
S
1
{\displaystyle S_{1}}
և
S
2
{\displaystyle S_{2}}
-ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները։
Կիսորդի երկարություն (մակերես)
l
c
=
2
a
b
cos
γ がんま
2
a
+
b
{\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}
L
1
,
2
=
2
S
1
S
2
cos
(
ϕ
1
,
2
2
)
S
1
+
S
2
{\displaystyle L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+S_{2}}}}
Միջնագծի երկարություն
m
c
=
2
a
2
+
2
b
2
−
c
2
2
{\displaystyle m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}}
m
1
=
3
(
α あるふぁ
1
,
2
2
+
α あるふぁ
1
,
3
2
+
α あるふぁ
1
,
4
2
)
−
(
α あるふぁ
2
,
3
2
+
α あるふぁ
2
,
4
2
+
α あるふぁ
3
,
4
2
)
3
{\displaystyle m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4}^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{3}}}
Ներգծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
r
=
2
S
a
+
b
+
c
{\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}}
r
=
3
V
S
1
+
S
2
+
S
3
+
S
4
{\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}}}
Արտագծած շրջանագծի (մակերևույթի) շառավիղ
R
=
a
b
c
4
S
{\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}}
R
=
S
T
6
V
{\displaystyle R={\frac {S_{T}}{6V}}}
, որտեղ
S
T
{\displaystyle S_{T}}
-ն
α あるふぁ
1
,
2
α あるふぁ
3
,
4
,
α あるふぁ
1
,
3
α あるふぁ
2
,
4
,
α あるふぁ
1
,
4
α あるふぁ
2
,
3
{\displaystyle \alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2,3}}
կողմերով եռանկյան մակերեսն է
Կոսինուսների թեորեմ
cos
α あるふぁ
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
{\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}
cos
(
ϕ
1
,
2
)
=
A
1
,
2
16
S
1
S
2
{\displaystyle \cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}}
,
որտեղ
ϕ
1
,
2
{\displaystyle \phi _{1,2}}
-ն 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է,
S
1
{\displaystyle S_{1}}
և
S
2
{\displaystyle S_{2}}
-ը՝ 1 և 2 գագաթներով հանդիպակած նիստերի մակերեսները,
A
1
,
2
{\displaystyle A_{1,2}}
-ն՝
(
0
1
1
1
1
1
0
α あるふぁ
2
,
1
2
α あるふぁ
3
,
1
2
α あるふぁ
4
,
1
2
1
α あるふぁ
2
,
1
2
0
α あるふぁ
3
,
2
2
α あるふぁ
4
,
2
2
1
α あるふぁ
3
,
1
2
α あるふぁ
3
,
2
2
0
α あるふぁ
4
,
3
2
1
α あるふぁ
4
,
1
2
α あるふぁ
4
,
2
2
α あるふぁ
4
,
3
2
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}}
մատրիցայի
α あるふぁ
2
,
1
2
{\displaystyle \alpha _{2,1}^{2}}
տարի հանրահաշվական լրացումը
Սինուսների թեորեմ
a
sin
α あるふぁ
=
b
sin
β べーた
=
c
sin
γ がんま
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}
S
1
Ψ ぷさい
1
=
S
2
Ψ ぷさい
2
=
S
3
Ψ ぷさい
3
=
S
4
Ψ ぷさい
4
{\displaystyle {\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}}{\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}}
,
որտեղ
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
{\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}
-ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի մակերեսներն են
Ψ ぷさい
=
|
1
−
cos
(
A
)
−
cos
(
B
)
−
cos
(
A
)
1
−
cos
(
C
)
−
cos
(
B
)
−
cos
(
C
)
1
|
{\displaystyle \Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos(B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}}
, որտեղ
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
-ն գագաթների երկնիստ անկյուններն են ։
Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմ(Տետրաէդրի երկնիստ անկյունների հարաբերություն)
α あるふぁ
+
β べーた
+
γ がんま
=
180
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}
|
1
−
cos
(
ϕ
2
,
1
)
−
cos
(
ϕ
3
,
1
)
−
cos
(
ϕ
4
,
1
)
−
cos
(
ϕ
2
,
1
)
1
−
cos
(
ϕ
3
,
2
)
−
cos
(
ϕ
4
,
2
)
−
cos
(
ϕ
3
,
1
)
−
cos
(
ϕ
3
,
2
)
1
−
cos
(
ϕ
4
,
3
)
−
cos
(
ϕ
4
,
1
)
−
cos
(
ϕ
4
,
2
)
−
cos
(
ϕ
4
,
3
)
1
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0}
,
որտեղ
ϕ
1
,
2
{\displaystyle \phi _{1,2}}
-ը 1 և 2 նիստերի կազմած անկյունն է։
Ներգծած և արտագծած շրջանագծերի (մակերևույթների) կենտրոնների հեռավորություն
R
2
−
d
2
=
2
R
r
{\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr}
R
2
−
d
2
=
S
1
S
2
α あるふぁ
1
,
2
2
+
S
1
S
3
α あるふぁ
1
,
3
2
+
S
1
S
4
α あるふぁ
1
,
4
2
+
S
2
S
3
α あるふぁ
2
,
3
2
+
S
2
S
4
α あるふぁ
2
,
4
2
+
S
3
S
4
α あるふぁ
3
,
4
2
(
S
1
+
S
2
+
S
3
+
S
4
)
2
{\displaystyle R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}}
,
որտեղ
S
1
,
S
2
,
S
3
,
S
4
{\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}
-ը 1, 2, 3, 4 գագաթներով հանդիպակած
նիստերի մակերեսներն են։
Արտահայտության երկրորդ գրառում.
R
2
−
d
2
=
2
r
T
,
{\displaystyle R^{2}-d^{2}=2rT,}
որտեղ
T
{\displaystyle T}
-ն ներգծած մակերևույթի և երեք գագաթներով և կենտրոնով անցնող մակերևույթի կենտրոնների հեռավորությունն է։
Գոյություն ունեն ոչ էվկլիդյան քառանիստի ծավալի հաշվան բազում բանաձևեր ։ Օրինակ, հիպերբոլային քառանիստի համար Դերեվնին—Մեդնիխի բանաձևը[3] և գնդային քառանիստի համար Ջ. Մուրակամիի բանաձևը[4] ։ Գնդաձև տարածությունում և Լոբաչևսկու տարածությունում քառանիստի ծավալը, որպես կանոն, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով ։
det
Ψ ぷさい
>
0
{\displaystyle \operatorname {det} \Psi >0}
— գնդային քառանիստի համար։
det
Ψ ぷさい
<
0
{\displaystyle \operatorname {det} \Psi <0}
— հիպերբոլային քառանիստի համար։
Որտեղ
Ψ ぷさい
=
(
1
−
cos
(
A
2
,
1
)
−
cos
(
A
3
,
1
)
−
cos
(
A
4
,
1
)
−
cos
(
A
2
,
1
)
1
−
cos
(
A
3
,
2
)
−
cos
(
A
4
,
2
)
−
cos
(
A
3
,
1
)
−
cos
(
A
3
,
2
)
1
−
cos
(
A
4
,
3
)
−
cos
(
A
4
,
1
)
−
cos
(
A
4
,
2
)
−
cos
(
A
4
,
3
)
1
)
{\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\-\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}
-ն գնդային և հիպերբոլային քառանիստի երկնիստ անկյունների համար Գրամի մատրիցն է։
A
i
,
j
{\displaystyle A_{i,j}}
-ն i և j գագաթներով հակառակ դասավորված նիստերի կազմած անկյունն է։
cos
(
A
i
,
j
)
=
−
Φ ふぁい
i
,
j
Φ ふぁい
i
,
i
Φ ふぁい
j
,
j
{\displaystyle \cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j}}{\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j}}}}}
— գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։
cos
(
α あるふぁ
i
,
j
)
=
Ψ ぷさい
i
,
j
Ψ ぷさい
i
,
i
Ψ ぷさい
j
,
j
{\displaystyle \cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j}}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j}}}}}
— գնդային քառանիստի համար։
ch
(
α あるふぁ
i
,
j
)
=
Ψ ぷさい
i
,
j
Ψ ぷさい
i
,
i
Ψ ぷさい
j
,
j
{\displaystyle \operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j}}{\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j}}}}}
— հիպերբոլային քառանիստի համար։
Որտեղ
Φ ふぁい
=
(
1
cos
(
α あるふぁ
2
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
3
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
2
,
1
)
1
cos
(
α あるふぁ
3
,
2
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
2
)
cos
(
α あるふぁ
3
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
3
,
2
)
1
cos
(
α あるふぁ
4
,
3
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
2
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
3
)
1
)
{\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}
-ն գնդային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։
Φ ふぁい
=
(
1
ch
(
α あるふぁ
2
,
1
)
ch
(
α あるふぁ
3
,
1
)
ch
(
α あるふぁ
4
,
1
)
ch
(
α あるふぁ
2
,
1
)
1
ch
(
α あるふぁ
3
,
2
)
ch
(
α あるふぁ
4
,
2
)
ch
(
α あるふぁ
3
,
1
)
ch
(
α あるふぁ
3
,
2
)
1
ch
(
α あるふぁ
4
,
3
)
ch
(
α あるふぁ
4
,
1
)
ch
(
α あるふぁ
4
,
2
)
ch
(
α あるふぁ
4
,
3
)
1
)
{\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}}
-ն հիպերբոլային քառանիստի տրված կողերի համար Գրամի մատրիցն է։
α あるふぁ
i
,
j
{\displaystyle \alpha _{i,j}}
-ն i և j գագաթների միջև տրված հեռավորությունն է։
Ψ ぷさい
i
,
j
{\displaystyle \Psi _{i,j}}
-ն
Ψ ぷさい
{\displaystyle \Psi }
մատրիցային հանրահաշվական լրացումն է։
Φ ふぁい
1
,
1
Ψ ぷさい
1
,
1
=
Φ ふぁい
2
,
2
Ψ ぷさい
2
,
2
=
Φ ふぁい
3
,
3
Ψ ぷさい
3
,
3
=
Φ ふぁい
4
,
4
Ψ ぷさい
4
,
4
{\displaystyle {\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2}}}={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4}}}}
— գնդային և հիպերբոլային քառանիստի համար։
|
1
cos
(
α あるふぁ
2
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
3
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
1
)
1
cos
(
α あるふぁ
2
,
1
)
1
cos
(
α あるふぁ
3
,
2
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
2
)
1
cos
(
α あるふぁ
3
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
3
,
2
)
1
cos
(
α あるふぁ
4
,
3
)
1
cos
(
α あるふぁ
4
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
2
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
3
)
1
1
1
1
1
1
1
cos
2
(
R
)
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0}
— գնդային քառանիստի համար։
Արտահայտության մեկ այլ գրառում.
1
cos
(
R
)
=
|
Φ ふぁい
1
,
1
n
1
→
+
Φ ふぁい
2
,
2
n
2
→
+
Φ ふぁい
3
,
3
n
3
→
+
Φ ふぁい
4
,
4
n
4
→
|
det
Φ ふぁい
{\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}{\overrightarrow {n_{2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}{\overrightarrow {n_{3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}{\overrightarrow {n_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}
, որտեղ
n
1
→
,
n
2
→
,
n
3
→
,
n
4
→
{\displaystyle {\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}}
քառանիստի նիստերի նորմալներն են։
Կամ քառանիստի գագաթի կոորդինատներով.
1
cos
(
R
)
=
|
|
0
i
1
→
i
2
→
i
3
→
i
4
→
1
X
1
Y
1
Z
1
T
1
1
X
2
Y
2
Z
2
T
2
1
X
3
Y
3
Z
3
T
3
1
X
4
Y
4
Z
4
T
4
|
|
det
Φ ふぁい
{\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}}}&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2}&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{vmatrix}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}
:
|
1
ch
(
α あるふぁ
2
,
1
)
ch
(
α あるふぁ
3
,
1
)
ch
(
α あるふぁ
4
,
1
)
1
ch
(
α あるふぁ
2
,
1
)
1
ch
(
α あるふぁ
3
,
2
)
ch
(
α あるふぁ
4
,
2
)
1
ch
(
α あるふぁ
3
,
1
)
ch
(
α あるふぁ
3
,
2
)
1
ch
(
α あるふぁ
4
,
3
)
1
ch
(
α あるふぁ
4
,
1
)
ch
(
α あるふぁ
4
,
2
)
ch
(
α あるふぁ
4
,
3
)
1
1
1
1
1
1
1
ch
2
(
R
)
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,2})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}(R)}}\\\end{vmatrix}}=0}
— հիպերբոլոյաին քառանիստի համար։
1
sin
2
(
r
)
=
Φ ふぁい
1
,
1
+
Φ ふぁい
2
,
2
+
Φ ふぁい
3
,
3
+
Φ ふぁい
4
,
4
+
2
Φ ふぁい
1
,
1
Φ ふぁい
2
,
2
cos
(
α あるふぁ
1
,
2
)
+
2
Φ ふぁい
1
,
1
Φ ふぁい
3
,
3
cos
(
α あるふぁ
1
,
3
)
+
2
Φ ふぁい
1
,
1
Φ ふぁい
4
,
4
cos
(
α あるふぁ
1
,
4
)
+
2
Φ ふぁい
2
,
2
Φ ふぁい
3
,
3
cos
(
α あるふぁ
2
,
3
)
+
2
Φ ふぁい
2
,
2
Φ ふぁい
4
,
4
cos
(
α あるふぁ
2
,
4
)
+
2
Φ ふぁい
3
,
3
Φ ふぁい
4
,
4
cos
(
α あるふぁ
3
,
4
)
det
Φ ふぁい
{\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}(r)}}={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2}}}\cos(\alpha _{1,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\operatorname {det} \Phi }}}
— գնդային քառանիստի համար։
Արտահայտության մեկ այլ գրառում.
1
sin
(
r
)
=
|
Φ ふぁい
1
,
1
r
1
→
+
Φ ふぁい
2
,
2
r
2
→
+
Φ ふぁい
3
,
3
r
3
→
+
Φ ふぁい
4
,
4
r
4
→
|
det
Φ ふぁい
{\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}{\overrightarrow {r_{2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}{\overrightarrow {r_{3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}{\overrightarrow {r_{4}}}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}
, որտեղ
r
1
→
,
r
2
→
,
r
3
→
,
r
4
→
{\displaystyle {\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}}
քառանիստի գագաթի միավոր շառավիղ վեկտորներն են։
1
sh
2
(
r
)
=
−
Φ ふぁい
1
,
1
+
Φ ふぁい
2
,
2
+
Φ ふぁい
3
,
3
+
Φ ふぁい
4
,
4
+
2
Φ ふぁい
1
,
1
Φ ふぁい
2
,
2
ch
(
α あるふぁ
1
,
2
)
+
2
Φ ふぁい
1
,
1
Φ ふぁい
3
,
3
ch
(
α あるふぁ
1
,
3
)
+
2
Φ ふぁい
1
,
1
Φ ふぁい
4
,
4
ch
(
α あるふぁ
1
,
4
)
+
2
Φ ふぁい
2
,
2
Φ ふぁい
3
,
3
ch
(
α あるふぁ
2
,
3
)
+
2
Φ ふぁい
2
,
2
Φ ふぁい
4
,
4
ch
(
α あるふぁ
2
,
4
)
+
2
Φ ふぁい
3
,
3
Φ ふぁい
4
,
4
ch
(
α あるふぁ
3
,
4
)
det
Φ ふぁい
{\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)}}=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\operatorname {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4}}}\operatorname {ch} (\alpha _{3,4})}{\operatorname {det} \Phi }}}
— հիպերբոլային քառանիստի համար։
cos
(
d
)
sin
(
r
)
cos
(
R
)
=
Φ ふぁい
1
,
1
+
Φ ふぁい
2
,
2
+
Φ ふぁい
3
,
3
+
Φ ふぁい
4
,
4
det
Φ ふぁい
{\displaystyle {\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)}}={\frac {{\sqrt {\Phi _{1,1}}}+{\sqrt {\Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}}
— գնդային քառանիստի համար։
Ներգծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.
J
r
(
Φ ふぁい
1
,
1
,
Φ ふぁい
2
,
2
,
Φ ふぁい
3
,
3
,
Φ ふぁい
4
,
4
)
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1}}},{\sqrt {\Phi _{2,2}}},{\sqrt {\Phi _{3,3}}},{\sqrt {\Phi _{4,4}}}).}
— գնդային քառանիստի համար։
Արտագծյալ գնդային մակերևույթի կենտրոնի կոորդինատներ.
J
R
=
|
0
J
1
J
2
J
3
J
4
1
1
cos
(
α あるふぁ
1
,
2
)
cos
(
α あるふぁ
1
,
3
)
cos
(
α あるふぁ
1
,
4
)
1
cos
(
α あるふぁ
2
,
1
)
1
cos
(
α あるふぁ
2
,
3
)
cos
(
α あるふぁ
2
,
4
)
1
cos
(
α あるふぁ
3
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
3
,
2
)
1
cos
(
α あるふぁ
3
,
4
)
1
cos
(
α あるふぁ
4
,
1
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
2
)
cos
(
α あるふぁ
4
,
3
)
1
|
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf {J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.}
— գնդային քառանիստի համար։
Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант» , № 9, 1988 г. С.66.
Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.