ダイナモ理論りろん

ダイナモ理論りろん（ダイナモりろん、英えい: dynamo theory）とは、地球ちきゅうや太陽たいようなどの天体てんたいが内部ないぶの流体りゅうたい運動うんどうによって大だい規模きぼな磁場じばを生成せいせい・維持いじする働はたらきを記述きじゅつする理論りろんである。ダイナモ効果こうか、ダイナモ作用さようとも呼よばれる。天体てんたいの磁場じばは、大だい規模きぼな電流でんりゅうによって支ささえられているという意味いみで、電磁石でんじしゃくであると考かんがえられている。電流でんりゅうが電磁石でんじしゃくを作つくるという意味いみでは、磁場じばは、発電はつでん機き（ダイナモ）のように生成せいせい・維持いじされている。

理論りろんのあらまし

ダイナモ理論りろんでは、自転じてんする天体てんたいの中なかで、導電性どうでんせいのある流体りゅうたいが対流たいりゅうによって磁場じばを維持いじするプロセスが記述きじゅつされる。この理論りろんは、天体てんたいにおいてなぜ磁場じばが長ながい間あいだ存在そんざいできるのかを説明せつめいするのに使つかわれる。導電性どうでんせい流体りゅうたいは地球ちきゅう磁場じばにおいては外そと核かくにある液体えきたいの鉄てつであり、太陽たいよう磁場じばにおいては対流たいりゅう層そうのプラズマである。天体てんたいのダイナモ理論りろんにおいては、磁気じき流体りゅうたい力学りきがく（電磁でんじ流体りゅうたい力学りきがく、magnetohydrodynamics、MHD）の方程式ほうていしきを用もちいてどのように流体りゅうたいが継続けいぞく的てきに磁場じばを再生さいせいするかを調しらべる。天体てんたい物理ぶつり学がくと地球ちきゅう物理ぶつり学がくにおけるほぼすべてのダイナモは磁気じき流体りゅうたいダイナモである。

地磁気ちじきの起源きげんの理論りろんの発達はったつ史し

1600 年ねんにウィリアム・ギルバートは、『磁石じしゃく論ろん (De Magnete)』において、地磁気ちじきの起源きげんは地球ちきゅう内部ないぶにあり、地球ちきゅう全体ぜんたいが本質ほんしつ的てきには磁石じしゃくなのであるという議論ぎろんをした。以来いらい、長ながらく、永久えいきゅう磁石じしゃくが地球ちきゅう内部ないぶの物質ぶっしつの恒久こうきゅう的てきな磁気じきを引ひき起おこしていると信しんじられてきた。カール・フリードリヒ・ガウスは、1832年ねんと1838年ねんの論文ろんぶんによって、地磁気ちじきの強度きょうどの観測かんそく方法ほうほうを確立かくりつするとともに、地磁気ちじきポテンシャルの球面きゅうめん調和ちょうわ関数かんすう展開てんかいの方法ほうほうを発明はつめいし、地磁気ちじきの99%の起源きげんが地球ちきゅう外部がいぶではなく内部ないぶであることを明あきらかにした。ガウスも、地球ちきゅう内部ないぶ（それも地表ちひょう近ちかく）にある永久えいきゅう磁石じしゃくが地球ちきゅうの磁場じばの起源きげんであると考かんがえていた。ダイナモ理論りろんの萌芽ほうがと言いえるものは、1919年ねんにジョゼフ・ラーモアが太陽たいよう磁場じばに関かんして提案ていあんした。それは地球ちきゅうにも適用てきようできるものではあったが、単たんなるアイディアだったので、それ以上いじょう発展はってんしなかった。ラーモアによる提案ていあんの後のちも、著名ちょめいな科学かがく者しゃで、他たの仮説かせつを提案ていあんした例れいもある。アルベルト・アインシュタインは、電子でんしと陽子ようしの何なんらかの非対称ひたいしょう性せいによって地球ちきゅう全体ぜんたいで地磁気ちじきができているのではないかと考かんがえていた。ノーベル賞しょう受賞じゅしょう者しゃパトリック・ブラケットは、実験じっけんを通つうじて角かく運動うんどう量りょうと磁気じきモーメントの関係かんけいを見出みいだそうとしたが、うまくいかなかった。

ダイナモ理論りろんの発展はってんは 1930 年代ねんだいくらいまで停滞ていたいしていた。一ひとつの理由りゆうは、1933年ねんにトーマス・カウリングが、電磁でんじ誘導ゆうどうでは軸じく対称たいしょうな定常ていじょう磁場じばは作つくれないという反はんダイナモ定理ていりを証明しょうめいしてしまったことにあった。今いまから考かんがえれば、これはかなり特殊とくしゅな形態けいたいの磁場じばがダイナモ作用さようによっては作つくれないということを述のべているだけなのであるが、当時とうじは、流体りゅうたいダイナモの不可能ふかのう性せいの証明しょうめいとも受うけ取とられた。地磁気ちじきに関かんする当時とうじの代表だいひょう的てきな教科書きょうかしょであるチャップマンとバーテルスによる『地磁気ちじき』(1940)では、自己じこ増幅ぞうふくするダイナモ作用さようが否定ひていされていた。

現在げんざいにつながるダイナモ作用さようの理論りろんが作つくられたのは1940年代ねんだいになってからである。地磁気ちじきの起源きげんに関かんするダイナモ理論りろんの「父ちち」は、ウォルター・エルサッサーである。彼かれは、地球ちきゅうの流体りゅうたい外がい核かくの中なかで誘導ゆうどうされている電流でんりゅうによって地磁気ちじきが作つくられているのだ、と提案ていあんした。彼かれは、岩石がんせき中ちゅうの鉱物こうぶつの磁化じかの方向ほうこうの研究けんきゅうによって、地磁気ちじきの歴史れきしも明あきらかにした。1950年代ねんだいになるとエドワード・ブラードらがダイナモ理論りろんの構築こうちくに加くわわった。この理論りろんは、さらにその後ご、地磁気ちじき永年えいねん変動へんどう、古こ地磁気ちじき学がく（地磁気ちじき逆転ぎゃくてんを含ふくむ）、地震じしん学がく、および太陽系たいようけいの元素げんその多様たよう性せいなど広範囲こうはんいの研究けんきゅうを通つうじって修正しゅうせいされた。現在げんざいでは、地磁気ちじきの起源きげんは磁気じき流体りゅうたいダイナモであることが確立かくりつされている。

現在げんざいの理解りかいでは、地球ちきゅうでは、内部ないぶの核かく（コア）において、鉄てつやニッケルを主成分しゅせいぶんとする液体えきたい金属きんぞくが自転じてんの効果こうかを受うけながら熱ねつ対流たいりゅうすることで電流でんりゅうを生しょうじ、この電流でんりゅうが磁場じばを作つくっている。オーム散逸さんいつ（地球ちきゅうの双極そうきょく子こ磁場じばでは2万まん年ねん程度ていどで起おこる）に抗こうして磁場じばを維持いじするためには、外そと核かくは対流たいりゅうしていなくてはならない。対流たいりゅうとしては、熱ねつ的てき対流たいりゅうと組成そせい的てき対流たいりゅうの両方りょうほうが起おこっていると考かんがえられている。核かくからどれだけ熱ねつが放出ほうしゅつされるかはマントルが決きめている。熱源ねつげんには、地球ちきゅうの冷却れいきゃくに伴ともなうエネルギーの放出ほうしゅつ、核かくの圧縮あっしゅくによる温度おんど上昇じょうしょう、内うち核かくが成長せいちょうする際さいに内うち核かくとの境界きょうかいにおいて軽けい元素げんそ（おそらくは硫黄いおう、酸素さんそ、またはケイ素けいそ）が放出ほうしゅつされることによる重力じゅうりょくエネルギーの解放かいほう、内うち核かく境界きょうかいにおける結晶けっしょう化かの潜熱せんねつ、ならびにカリウム、ウラン、トリウムの放射能ほうしゃのうなどがある。

磁場じばが作つくられるためには回転かいてん流体りゅうたいであることも本質ほんしつ的てきに重要じゅうようである。外そと核かくは、地球ちきゅうの自転じてんが引ひき起おこすコリオリ効果こうかによって回転かいてん流体りゅうたいになっている。コリオリ力りょくのはたらきにより、流体りゅうたい運動うんどうと電流でんりゅうは自転じてん軸じくに沿そった柱状ちゅうじょう（テイラー柱はしら参照さんしょう）に組織そしきされる。

基礎きそ方程式ほうていしき

地球ちきゅうの外そと核かくのようなあまり圧縮あっしゅく性せいの大おおきくない液体えきたい金属きんぞく中ちゅうのダイナモ作用さようは以下いかの少すくなくとも五いつつの方程式ほうていしきで記述きじゅつされる。キネマティックダイナモ理論りろんは、このうちの誘導ゆうどう方程式ほうていしきのみの性質せいしつを調しらべるものである。完全かんぜんな非線形ひせんけいダイナモ理論りろんでは以下いかの五いつつの方程式ほうていしきをすべて用もちいる。そのシミュレーションはコンピュータを用もちいて数値すうち的てきに行おこなわれる。

磁場じばの誘導ゆうどうないし発生はっせいは次つぎの誘導ゆうどう方程式ほうていしきで記述きじゅつされる。これは、マクスウェル方程式ほうていしきに光ひかりよりも十分じゅうぶんに遅おそい現象げんしょうを扱あつかう近似きんじをして、磁場じば優勢ゆうせいと仮定かていし、それにオームの法則ほうそくの回転かいてん (curl) を代入だいにゅうすることで求もとめられる。

${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\eta \nabla ^{2}{\vec {B}}+{\vec {\nabla }}\times ({\vec {u}}\times {\vec {B}})$

ここで ${\vec {u}}$ は速度そくど、 ${\vec {B}}$ は磁場じば、 $t$ は時間じかん、 $\eta =1/\sigma \mu$ は、電気でんき伝導でんどう率りつ $\sigma$ と透とおる磁率 $\mu$ を用もちいて定義ていぎされる磁気じき拡散かくさん率りつである。右辺うへん第だい二に項こうの第だい一いち項こうに対たいする比率ひりつは、磁場じばの拡散かくさんの移流いりゅうについての無む次元じげんの比率ひりつである磁気じきレイノルズ数すうを与あたえる。

磁束じそく密度みつどに対たいするソレノイダル条件じょうけん：

$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$

ブシネスク質量しつりょう保存ほぞん：

$\nabla \cdot {\vec {u}}=0$

ブシネスク運動うんどう量りょう保存ほぞん（ナビエ-ストークス方程式ほうていしきとしても知しられる）：

${\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}+\rho ^{'}{\vec {g}}+2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}+{\vec {\Omega }}\times {\vec {\Omega }}\times {\vec {R}}+{\vec {J}}\times {\vec {B}}$

ここで $\nu$ は動どう粘性ねんせい係数けいすう、 $\rho ^{'}$ は浮力ふりょくを与あたえる密度みつど摂動せつどうで、熱ねつ対流たいりゅうの場合ばあいは $\rho ^{'}=\alpha \Delta T$、$\Omega$ は地球ちきゅうの自転じてん角速度かくそくど、そして ${\vec {J}}$ は電流でんりゅう密度みつどである。ここで、圧力あつりょくは、静水せいすい力学りきがく的てきな圧力あつりょくと求心きゅうしんポテンシャルを除のぞいた動どう圧あつである。

最後さいごに、通常つうじょうは熱ねつ（ときには軽けい元素げんそ）の輸送ゆそう方程式ほうていしき:

${\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon$

ここで T は温度おんど、 $\kappa =k/\rho c_{p}$ は熱ねつ拡散かくさん率りつ ($k$は熱ねつ伝導でんどう率りつ、 $c_{p}$ は熱容量ねつようりょう、 $\rho$ は密度みつど)、そして $\epsilon$ は熱源ねつげんで、これは考かんがえないこともある。これらの方程式ほうていしきが無む次元じげん化かされると、以下いかの無む次元じげんのパラメータが導入どうにゅうされる。

$Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}$

ここで Ra はレイリー数すう、 E はエクマン数すう、 Pr と Pm はプラントル数すうおよび磁気じきプラントル数すうである。磁場じばはしばしばエルサッサ―数かず(Elsasser number) $B=\rho \Omega /\sigma$を単位たんいとしてスケールされる。

キネマティックダイナモ理論りろん

キネマティックダイナモ理論りろん（運動うんどう学がく的てきダイナモ理論りろん）では、誘導ゆうどう方程式ほうていしきの性質せいしつを調しらべる。速度そくど場じょうを力学りきがく変数へんすうとして取とり扱あつかわず、予あらかじめ与あたえる。この方法ほうほうは、流ながれ (flow) の構造こうぞうや速度そくどによって磁場じばがどのように変かわるかを研究けんきゅうするために用もちいられる。この方法ほうほうでは、もちろん完全かんぜんな非線形ひせんけいなダイナモの時間じかん変化へんかは記述きじゅつできない。

誘導ゆうどう方程式ほうていしきは磁場じば ${\vec {B}}$について線形せんけいなので、速度そくど場じょうが時間じかん変化へんかしなければ、解かいは$e^{\lambda t}$に比例ひれいすると置おくことができて、$\lambda$に対たいする固有値こゆうち方程式ほうていしきが導みちびかれる。流ながれの大おおきさに比例ひれいする磁気じきレイノルズ数すうが十分じゅうぶんに大おおきければ磁場じばが増幅ぞうふくされ、小ちいさければ磁場じばが減衰げんすいする。その境界きょうかいとなる磁気じきレイノルズ数すうの値ねを臨界りんかい磁気じきレイノルズ数すうという。

キネマティックダイナモ理論りろんの利用りよう法ほうとしては、ある与あたえられた速度そくど場じょうがダイナモ作用さようを起おこすかどうかを調しらべるということがある。小ちいさい種たね磁場じばに対たいして調しらべたい速度そくど場じょうを作用さようさせて、その流ながれに応おうじて磁場じばが成長せいちょうするかどうかを見みてやれば良よい。もし磁場じばが成長せいちょうするならその系けいにはダイナモ作用さようがあるということで、もし磁場じばが成長せいちょうしないならダイナモ作用さようが無ないということだ。

非線形ひせんけいダイナモ理論りろん

誘導ゆうどう方程式ほうていしきは磁場じばに対たいして線型せんけいなので、それだけでは磁場じばの強つよさが決きまらない。つまり、キネマティックダイナモ理論りろんでは磁場じばの強つよさが分わからない。磁場じばの強つよさを決きめようと思おもえば、ＭＨＤの方程式ほうていしきを全部ぜんぶ解とかなければならない。このようにして解とかれたダイナモは、磁気じき流体りゅうたいダイナモと呼よばれる。磁場じばが強つよくなると、速度そくどはローレンツ力つとむによって抑おさえられる。それで、磁場じばの増幅ぞうふくが抑おさえられることにより、磁場じばの強つよさが決きまる。

ブラックホールとの関係かんけい

膜まくパラダイム (membrane paradigm) はダイナモ理論りろんの言葉ことばでブラックホール表面ひょうめん近ちかくの物質ぶっしつを覗のぞく方法ほうほうである。

参考さんこう文献ぶんけん

• 山本やまもと, 義隆よしたか『磁力じりょくと重力じゅうりょくの発見はっけん 3 近代きんだいの始はじまり』みすず書房しょぼう、2003年ねん5月がつ。ISBN 4622080338。 
• Merrill, Ronald T.; McElhinny, Michael W.; McFadden, Phillip L. (1996). The magnetic field of the earth: Paleomagnetism, the core, and the deep mantle. Academic Press. ISBN 978-0-12-491246-5 
• Olson, Peter, ed (2007). Core Dynamics. Treatise on Geophysics. 8. Elsevier. ISBN 978-0-444-51928-3 
• Chapman, S.; Bartels, J. (1940). Geomagnetism. Oxford: Clarendon Press 
• Demorest, Paul. "Dynamo Theory and Earth's magnetic Field." 21 May 2001. [1]
• Fitzpatrick, Richard. "MHD Dynamo Theory." 18 May 2002. [2]

関連かんれん項目こうもく

• ダイナモ
• 太陽たいよう磁場じば
• 太陽たいようダイナモ
• 地磁気ちじき
• マクスウェル方程式ほうていしき
• 回転かいてん磁界じかい
• 磁気じき流体りゅうたい力学りきがく

外部がいぶリンク

• Brandenburg, Axel. (2007年ねん). “Hydromagnetic dynamo theory”. Scholarpedia. 2013年ねん12月21日にち閲覧えつらん。