オームの法則ほうそく

ゲオルク・オーム

オームの法則ほうそく（オームのほうそく、英語えいご: Ohm's law）とは、導しるべ電でん現象げんしょうにおいて、電気でんき回路かいろの部分ぶぶんに流ながれる電流でんりゅうとその両りょう端はしの電位差でんいさの関係かんけいを主張しゅちょうする法則ほうそくである。クーロンの法則ほうそくとともに電気でんき工学こうがくで最もっとも重要じゅうような関係かんけい式しきの一ひとつである。

1781年ねんにヘンリー・キャヴェンディッシュが発見はっけんしたが、その業績ぎょうせきは死後しご数すう十じゅう年ねんした後のちに1879年ねんにその遺稿いこうを纏まとめたマクスウェルが『ヘンリー・キャヴェンディシュ電気でんき学がく論ろん文集ぶんしゅう』として出版しゅっぱんするまで世間せけんには未み公表こうひょうであったため知しられておらず、1826年ねんにドイツの物理ぶつり学者がくしゃであるゲオルク・オームによって独自どくじに再さい発見はっけん・公表こうひょうされたため、その名なを冠かんしてオームの法則ほうそくと呼よばれるようになった。

内容ないよう

オームの法則ほうそくは、電気でんき回路かいろの2点てん間あいだの電位差でんいさが、その2点てん間あいだに流ながれる電流でんりゅうに比例ひれいすることを主張しゅちょうする。 電流でんりゅうが I で電位差でんいさが V であるとき

$V=IR$

となる。比例ひれい係数けいすう R は導体どうたいの材質ざいしつ・形状けいじょう・温度おんどなどによって定さだまり、電気でんき抵抗ていこう（electric resistance）あるいは単たんに抵抗ていこう（resistance）と呼よばれる。

この関係かんけいの逆ぎゃくを考かんがえると、流ながれる電流でんりゅうが電位差でんいさに比例ひれいする、と表現ひょうげんすることができる。これを数式すうしきで表あらわせば

$I=GV$

となる。このときの比例ひれい係数けいすう G = R⁻¹ は電気でんき伝導でんどう率りつ（conductance）、あるいはコンダクタンスと呼よばれる。

電流でんりゅうの単位たんいにアンペア（記号きごう:A）を、電位差でんいさの単位たんいにボルト（記号きごう:V）を用もちいたときの電気でんき抵抗ていこうの単位たんいはオーム（記号きごう:Ωおめが）が用もちいられる。また、コンダクタンスの単位たんいはジーメンス（記号きごう:S）が用もちいられる。

微分びぶん型がた表現ひょうげん

導体どうたい内ないの微小びしょうな断面だんめん（法線ほうせんベクトル n）を考かんがえ、その面積めんせきを ΔでるたS とすると、この断面だんめんを貫つらぬく電流でんりゅう I は、この点てんでの電流でんりゅう密度みつどを j として

$I={\boldsymbol {j}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta S$

と表あらわされる。一方いっぽう、この微小びしょうな断面だんめんを貫つらぬく微小びしょうな法線ほうせんを考かんがえ、その長ながさを ΔでるたL とすると、この法線ほうせんに沿そった電位差でんいさ V は、この点てんでの電場でんじょうを E として

$V={\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta L$

と表あらわされる。この電流でんりゅうと電位差でんいさにオームの法則ほうそくを適用てきようすれば

${\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {n}}={\frac {R\Delta S}{\Delta L}}\,{\boldsymbol {j}}\cdot {\boldsymbol {n}}$

となる。導体どうたいが一様いちようで等ひとし方かたな材質ざいしつであると考かんがえれば、電場でんじょう E と電流でんりゅう密度みつど j は平行へいこうであると考かんがえられ

${\boldsymbol {E}}=\rho {\boldsymbol {j}}$

と表あらわされる。比例ひれい係数けいすう ρろー = R ΔでるたS/ΔでるたL は導体どうたいの材質ざいしつと温度おんどによって定さだまり、電気でんき抵抗ていこう率りつ (resistivity)あるいは固有こゆう抵抗ていこう (specific resistance)と呼よばれる。 さらにその逆ぎゃく関数かんすう

${\boldsymbol {j}}=\sigma {\boldsymbol {E}}$

と表あらわしたときの比例ひれい係数けいすう σしぐま = 1/ρろー は電気でんき伝導でんどう率りつ (conductivity)と呼よばれる。

この表現ひょうげんは導体どうたい内ないの微小びしょう領域りょういきにおけるオームの法則ほうそくを示しめしており、微分びぶん型がた表現ひょうげんといわれる。この微分びぶん型がた表現ひょうげんを実際じっさいの導体どうたいの形状けいじょう寸法すんぽうに合あわせて積分せきぶんすることによりその導体どうたいの電気でんき抵抗ていこうが定さだまる。

磁気じき流体りゅうたい力学りきがくでの一般いっぱん化かされたオームの法則ほうそく

地球ちきゅう電磁気でんじき学がく、宇宙うちゅう空間くうかん物理ぶつり学がくなどで使つかわれる磁気じき流体りゅうたい力学りきがく（MHD）はオームの法則ほうそくを1次元じげんの導体どうたいから3次元じげんの連続れんぞく体たい、特とくに流体りゅうたいに拡張かくちょうして用もちいる。この時ときのオームの法則ほうそくは磁場じばの影響えいきょうも含ふくむようになり、「一般いっぱん化かされたオームの法則ほうそく」と呼よばれる。

液体えきたい金属きんぞくにおける導出どうしゅつ

磁場じばが存在そんざいし、かつ導しるべ電でん体たいが動うごく場合ばあい、磁場じばの影響えいきょうによるローレンツ力つとむが無視むしできなくなる。ローレンツ変換へんかんを使つかうと、電場でんじょうは $${\begin{aligned}{\boldsymbol {E}}_{\parallel }'&={\boldsymbol {E}}_{\parallel }\\{\boldsymbol {E}}_{\bot }'&=\gamma \left({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {\beta }}\times {\boldsymbol {B}}\right)_{\bot }\end{aligned}}$$ と変換へんかんされる。ただし$\parallel$は導しるべ電でん体たいの移動いどう方向ほうこうと並行へいこうな成分せいぶん、$\bot$は垂直すいちょくな成分せいぶん、$\gamma$はローレンツ因子いんし、$\beta$は光速こうそくに対たいする相対そうたい的てきな速度そくど。

速度そくどが光速こうそくより十分じゅうぶんに遅おそく、かつ磁場じばが十分じゅうぶん強つよいと仮定かていする。この時とき、オームの法則ほうそくは

${\boldsymbol {j}}=\sigma \left({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}\right)$

と修正しゅうせいされる。

プラズマにおける導出どうしゅつ

完全かんぜんに電離でんりした水素すいそ原子げんしのプラズマを考かんがえる。つまり流体りゅうたいを構成こうせいする粒子りゅうしは陽子ようしと電子でんしの2成分せいぶんのみとする。陽子ようしと電子でんしそれぞれの流体りゅうたいに対たいし、速度そくどを${\boldsymbol {u}}_{p},{\boldsymbol {u}}_{e}$、数かず密度みつどを$n_{p},n_{e}$、粒子りゅうしの質量しつりょうを$m_{p},m_{e}$、分ぶん圧あつを$P_{p},P_{e}$とする。また電気でんき素もと量りょうを$e$、陽子ようしと電子でんしの二に体たい衝突しょうとつの頻度ひんどを$\nu$とする。ローレンツ力つとむと衝突しょうとつの影響えいきょうを含ふくめた運動うんどう方程式ほうていしき（オイラー方程式ほうていしき）は $${\begin{aligned}m_{p}n_{p}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}_{p}\cdot \nabla )\right){\boldsymbol {u}}_{p}&=-\nabla P_{p}+en_{p}({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}_{p}\times {\boldsymbol {B}})-{\boldsymbol {R}}\\m_{e}n_{e}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+({\boldsymbol {u}}_{e}\cdot \nabla )\right){\boldsymbol {u}}_{e}&=-\nabla P_{e}-en_{e}({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}_{e}\times {\boldsymbol {B}})+{\boldsymbol {R}}\\{\boldsymbol {R}}&=en_{e}m_{e}\nu ({\boldsymbol {u}}_{p}-{\boldsymbol {u}}_{e})\end{aligned}}$$ となる。ただし${\boldsymbol {R}}$は衝突しょうとつ項こう。

ミクロな空間くうかんにおいて定常ていじょう状態じょうたいを考かんがえると、運動うんどう方程式ほうていしきの左辺さへんと分ぶん圧あつの勾配こうばいを0と近似きんじできる。 $${\begin{aligned}en_{p}({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}_{p}\times {\boldsymbol {B}})-{\boldsymbol {R}}&=0\\-en_{e}({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}_{e}\times {\boldsymbol {B}})+{\boldsymbol {R}}&=0\end{aligned}}$$ 中性ちゅうせい流体りゅうたいを考かんがえると$n\simeq n_{p}\simeq n_{e}$とできる。陽子ようしの質量しつりょうが電子でんしの質量しつりょうより非常ひじょうに大おおきいこと$m_{p}\gg m_{e}$と合あわせると、重心じゅうしんの速度そくどは $${\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}&={\frac {n_{p}m_{p}{\boldsymbol {u}}_{p}+n_{e}m_{e}{\boldsymbol {u}}_{e}}{n_{p}m_{p}+n_{e}m_{e}}}\\&\simeq {\frac {m_{p}{\boldsymbol {u}}_{p}+m_{e}{\boldsymbol {u}}_{e}}{m_{p}+m_{e}}}\\&\simeq {\boldsymbol {u}}_{p}\end{aligned}}$$ と近似きんじできる。

電流でんりゅうは

${\boldsymbol {j}}=e(n_{p}{\boldsymbol {u}}_{p}-n_{e}{\boldsymbol {u}}_{e})$

と表あらわされるので、運動うんどう方程式ほうていしきの衝突しょうとつ項こうを代入だいにゅうすると、

${\boldsymbol {j}}={\frac {\boldsymbol {R}}{m_{e}\nu }}$

以上いじょうより一般いっぱん化かされたオームの法則ほうそく $${\begin{aligned}{\boldsymbol {j}}&=\sigma ({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {B}})\end{aligned}}$$ が導みちびける。ただし$\sigma =en/(m_{e}\nu )$とした。

参考さんこう文献ぶんけん

• 大野木おおのき哲也てつや・高橋たかはし義朗よしろう『電磁気でんじき学がくI』益えき川がわ敏英としひで監修かんしゅう、植松うえまつ恒夫つねお・青山あおやま秀明ひであき編へん、東京とうきょう図書としょ〈基幹きかん講座こうざ 物理ぶつり学がく〉、2015年ねん、53-54頁ぺーじ。ISBN 978-4489022234
• 柴田しばた一成いっせい・横山よこやま央ひさし明あきら・工藤くどう 哲あきら洋よう『宇宙うちゅう電磁でんじ流体りゅうたい力学りきがくの基礎きそ』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ〈宇宙うちゅう物理ぶつり学がくの基礎きそ〉、2023年ねん。ISBN 978-4535603417

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