ハーン–バナッハの定理ていり

数学すうがくにおけるハーン–バナッハの定理ていり（ハーン–バナッハのていり、英えい: Hahn–Banach theorem）は、関数かんすう解析かいせき学がくの分野ぶんやにおける中心ちゅうしん的てきな道具どうぐで、ベクトル空間くうかんの部分ぶぶん空間くうかん上じょうで定義ていぎされる有界ゆうかい線形せんけい汎ひろし関数かんすうが全ぜん空間くうかんへ拡張かくちょうできることについて述のべたものである。これにより、どのようなノルム線形せんけい空間くうかんにおいても、その上うえで定義ていぎされる連続れんぞく線形せんけい汎ひろし関数かんすうが、双対そうつい空間くうかんの研究けんきゅうを「面白おもしろい」ものにするに「十分じゅうぶん」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理ていりの別べつ形態けいたいのものとして、ハーン–バナッハの分離ぶんり定理ていりあるいは分離ぶんり超ちょう平面へいめん定理ていりと呼よばれるものがあり、凸とつ幾何きか学がくの分野ぶんやで多おおく用もちいられている。

定理ていりの名前なまえの由来ゆらいは、1920年代ねんだい後半こうはんにそれぞれ独立どくりつにこの定理ていりを証明しょうめいしたハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理ていりの特別とくべつな場合ばあいについては、より早はやい段階だんかい（1912年ねん）でエードゥアルト・ヘリーによって証明しょうめいされており、またこの定理ていりが導出みちびきだされるようなある一般いっぱんの拡張かくちょう定理ていりが、1923年ねんにマルツェル・リースによって証明しょうめいされていた。

定式ていしき化か

定理ていりの最もっとも一般いっぱんな定式ていしき化かにおいては、いくつかの準備じゅんびが必要ひつようとされる。実数じっすう体からだ R 上うえのベクトル空間くうかん V に対たいし、関数かんすう ƒ : V → R が劣れつ線形せんけいであるとは、

任意にんいの $\gamma \in \mathbb {R} _{+}$ および x ∈ V に対たいして $f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)$  が成立せいりつする（正せい同どう次つぎ性せい）

任意にんいの x, y ∈ V に対たいして $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$  が成立せいりつする（劣れつ加法かほう性せい）

が成立せいりつすることを言いう。

V 上うえのすべての半はんノルム（特とくに、V 上うえのすべてのノルム）は劣れつ線形せんけいである。他たの劣れつ線形せんけい関数かんすう、特とくに凸とつ集合しゅうごうのミンコフスキー汎ひろし関数かんすうなども同様どうように有用ゆうようなものとなりうる。

ハーン-バナッハの定理ていりは次つぎのようなものである: $\scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R}$ が劣れつ線形せんけい関数かんすうで、φふぁい: U → R が線形せんけい部分ぶぶん空間くうかん U ⊆ V 上うえの線形せんけい汎ひろし関数かんすうであり、U 上うえでは φふぁい は $\scriptstyle {\mathcal {N}}$ によって支配しはいされるようなもの、すなわち

$\varphi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U$

が成立せいりつするようなものとする。このとき、φふぁい には全ぜん空間くうかん V へのある線形せんけい拡張かくちょう ψぷさい: V → R が存在そんざいする。すなわち、次つぎを満みたすような線形せんけい汎ひろし関数かんすう ψぷさい が存在そんざいする:

$\psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U$

および

$\psi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.$

(Rudin 1991, Th. 3.2)

ハーン–バナッハの定理ていりの別べつ形態けいたいは次つぎのようなものである: V を係数けいすう体たい K （実数じっすう R あるいは複素数ふくそすう C）上じょうのベクトル空間くうかんとし、$\scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R}$ を半はんノルムとし、φふぁい: U → K を V の K-線形せんけい部分ぶぶん空間くうかん U 上うえの K-線形せんけい汎ひろし関数かんすうとし、U 上うえではその絶対ぜったい値ちが $\scriptstyle {\mathcal {N}}$ によって支配しはいされるもの、すなわち

$|\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U$

が成立せいりつするものとする。このとき、φふぁい には全ぜん空間くうかん V への線形せんけい拡張かくちょう ψぷさい: V → K が存在そんざいする。すなわち、次つぎを満みたすような K-線形せんけい汎ひろし関数かんすう ψぷさい が存在そんざいする:

$\psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U$

および

$|\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.$

この定理ていりの複素数ふくそすうの場合ばあいにおいて C-線形せんけい性せいを仮定かていとして要求ようきゅうするということは、実数じっすうの場合ばあいでの仮定かていに、すべてのベクトル x ∈ U に対たいして、ベクトル i x も U に属ぞくし、φふぁい(i x) = i φふぁい(x) が成立せいりつするという仮定かていを加くわえて要求ようきゅうするということである。

一般いっぱんには、拡張かくちょう ψぷさい は φふぁい によって一意いちいに定さだまるものではなく、また、定理ていりの証明しょうめいを見みても ψぷさい を見みつける明示めいじ的てきな方法ほうほうは分わからない。無限むげん次元じげん空間くうかん V の場合ばあいには、選択せんたく公理こうりの一いち形態けいたいであるツォルンの補題ほだいが、証明しょうめいに必要ひつようとされる。

(Reed & Simon 1980)によれば、$\scriptstyle {\mathcal {N}}$ に対たいする劣れつ線形せんけい性せいの条件じょうけんは、条件じょうけん

${\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|\,{\mathcal {N}}(x)+|b|\,{\mathcal {N}}(y),\qquad x,y\in V,\quad |a|+|b|\leq 1$

に、少すこし弱よわめることが出来できる。この条件じょうけんは、ハーン–バナッハの定理ていりと凸とつ性せいの間あいだの深ふかい関係かんけいを明あきらかにするものである。

Mizarプロジェクトは、ハーン–バナッハの定理ていりの完全かんぜんな定式ていしき化かと自動じどう検証けんしょうされた証明しょうめいをHAHNBAN fileに有ゆうしている。

重要じゅうような帰結きけつ

この定理ていりにはいくつかの重要じゅうような帰結きけつが存在そんざいし、しばしばそれらも「ハーン–バナッハの定理ていり」と呼よばれることがある。

• V をノルム線型せんけい空間くうかん、U をその線形せんけい部分ぶぶん空間くうかん（必かならずしも閉ではない）とし、作用素さようそ φふぁい: U → K は連続れんぞくかつ線型せんけいであるとする。このとき、φふぁい には連続れんぞくかつ線型せんけいな拡張かくちょう ψぷさい: V → K が存在そんざいし、そのノルムは φふぁい と等ひとしいものとなる（線型せんけい写像しゃぞうのノルムについては「バナッハ空間くうかん」を参照さんしょうされたい）。これはすなわち、ノルム線型せんけい空間くうかんの圏けんにおいて、空間くうかん K は入射にゅうしゃ的てき対象たいしょうであることを意味いみする。
• V をノルム線型せんけい空間くうかん、U をその線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん（必かならずしも閉ではない）とし、z を、U の閉包へいほうに含ふくまれないような V の元もととする。このとき、すべての U の元もと x に対たいしては ψぷさい(x) = 0 であり、ψぷさい(z) = 1 および ǁψぷさいǁ = 1 ⁄ dist(z, U) を満みたすような連続れんぞく線型せんけい作用素さようそ ψぷさい: V → K が存在そんざいする。
• 特とくに、ノルム線型せんけい空間くうかん V の任意にんいの元もと z に対たいして、

ψぷさい(z) = ǁzǁ かつ ǁψぷさいǁ ≤ 1 を満みたすような連続れんぞく線型せんけい作用素さようそ ψぷさい: V → K が必かならず存在そんざいする。このことは、ノルム線型せんけい空間くうかん V からその二に重じゅう双対そうつい V ′′ への自然しぜんな単たん射いは等ひとし長ちょう写像しゃぞうであるということを意味いみする。

ハーン–バナッハの分離ぶんり定理ていり

ハーン–バナッハの定理ていりの別べつ形態けいたいのものとして、ハーン–バナッハの分離ぶんり定理ていりというものが知しられている 。この定理ていりは凸とつ幾何きか学がく、最適さいてき化か理論りろん、経済けいざい学がくの分野ぶんやで幅広はばひろく用もちいられている。

定理ていり.

V を、K (= ℝ または ℂ) に対たいする位相いそうベクトル空間くうかんとし、A および B を、V の空そらでない凸とつな部分ぶぶん集合しゅうごうとし、A ∩ B = ∅ とする。このとき、次つぎが成立せいりつする:

1. A が開ひらけならば、ある連続れんぞく線型せんけい作用素さようそ λらむだ: V → K および実数じっすう t ∈ R が存在そんざいして、Re λらむだ(a) < t ≤ Re λらむだ(b) がすべての a ∈ A, b ∈ B に対たいして成立せいりつする。
2. V が局所きょくしょ凸とつ、A がコンパクトで、B が閉ならば、ある連続れんぞく線型せんけい作用素さようそ λらむだ: V → K および実数じっすう s, t ∈ R が存在そんざいして、Re λらむだ(a) < t < s < Re λらむだ(b) がすべての a ∈ A, b ∈ B に対たいして成立せいりつする。

選択せんたく公理こうりとの関係かんけい

上述じょうじゅつのように、選択せんたく公理こうりからハーン–バナッハの定理ていりは従したがうが、その逆ぎゃくは真しんではない。このことを示しめす一ひとつの方法ほうほうとしては、選択せんたく公理こうりよりも真しんに弱よわいウルトラフィルターの補題ほだいからハーン・バナッハの定理ていりを証明しょうめいすることができるが、この場合ばあいその逆ぎゃくは成なりたないということに着目ちゃくもくすればよい。ハーン–バナッハの定理ていりは、実じつは、ウルトラフィルターの補題ほだいよりもさらに弱よわい仮定かていを用もちいて証明しょうめいすることも出来できる。 更さらに、ブラウンとシンプソンは、弱じゃくケーニヒの補題ほだいを公理こうりの一ひとつとする二に階かい算術さんじゅつの部分ぶぶん体系たいけいWKL₀ から可分かぶんなバナッハ空間くうかん上うえの有界ゆうかい線型せんけい汎ひろし関数かんすうに対たいするハーン-バナッハの定理ていりがしたがう、ということを証明しょうめいした。

C[a, b] の双対そうつい空間くうかん

ハーン–バナッハの定理ていりの帰結きけつとして、次つぎのようなものも存在そんざいする。

命題めいだい.

−∞ < a < b < ∞ のとき、F ∈ C[a, b]^∗ であるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、有界ゆうかい変動へんどう関数かんすう ρろー: [a, b] → R が存在そんざいして

$F(u)=\int _{a}^{b}u(x)\,d\rho (x)$

がすべての u ∈ C[a, b] に対たいして成立せいりつすることである。

さらに、ρろー の全ぜん変動へんどう V(ρろー) に対たいし、ǁFǁ = V(ρろー) が成立せいりつする。

関連かんれん項目こうもく

• リースの拡張かくちょう定理ていり
• 分離ぶんり超ちょう平面へいめん定理ていり

参考さんこう文献ぶんけん

• Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) pages 193–211.
• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5 
• Terence Tao, The Hahn–Banach theorem, Menger’s theorem, and Helly’s theorem
• Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis: main principles and their applications, Springer, 1995.