自明じめい性せい (数学すうがく)

数学すうがくにおいて、形容詞けいようし自明じめいな (trivial) は対象たいしょう（例たとえば群ぐんや位相いそう空間くうかん）であって非常ひじょうに単純たんじゅんな構造こうぞうを持もつものに対たいして頻繁ひんぱんに使つかわれる。名詞めいし自明じめい性せい (triviality) は通常つうじょう証明しょうめいや定義ていぎの単純たんじゅんな技術ぎじゅつ的てき面めんを言いう。数学すうがくの言葉ことばの用語ようごの起源きげんは中世ちゅうせいの trivium curriculum から来きている。対義語たいぎご非ひ自明じめいな (nontrivial) は明あきらかではないまたは証明しょうめいするのが易やさしくないステートメントや定理ていりを指さし示しめすためにエンジニアや数学すうがく者しゃによってよく使つかわれる。

自明じめいな解かいと非ひ自明じめいな解かい

数学すうがくにおいて、用語ようご:「自明じめいな」は対象たいしょう（例たとえば群ぐんや位相いそう空間くうかん）であって非常ひじょうに単純たんじゅんな構造こうぞうを持もつものに対たいして頻繁ひんぱんに使つかわれる。非ひ数学すうがく者しゃにとって、それらは他たのより複雑ふくざつな対象たいしょうよりも視覚しかく化かしたり理解りかいしたりするのが難むずかしいことがある。

次つぎのような例れいがある：

• 空そら集合しゅうごう： 元もとを全まったく持もたない集合しゅうごう
• 自明じめい群ぐん： 単位たんい元もとしか持もたない数学すうがくの群ぐん
• 自明じめい環たまき： シングルトン上うえ定義ていぎされた環たまき。

自明じめいなは非常ひじょうに単純たんじゅんな構造こうぞうを持もつ方程式ほうていしきの解かいを記述きじゅつするためにも使つかうことができるが、完全かんぜんなものにするために省はぶくことはできない。これらの解かいは自明じめいな解かい (trivial solution) と呼よばれる。例たとえば、微分びぶん方程式ほうていしき

$y'=y$

を考かんがえよう。ここで y = f(x) は関数かんすうであってその導しるべ関数かんすうは y′ である。自明じめいな解かいは

y = 0、零れい関数かんすう

であり、一方いっぽう非ひ自明じめいな (nontrivial) 解かい（の 1 つ）は

y (x) = e^x、指数しすう関数かんすう

である。

境界きょうかい条件じょうけん $f(0)=f(L)=0$ をつけた微分びぶん方程式ほうていしき $f''(x)=-\lambda f(x)$ は数学すうがくと物理ぶつりにおいて重要じゅうようである。例たとえば量子力学りょうしりきがくにおいて箱はこの中なかの粒子りゅうしを記述きじゅつしたり、弦つる上じょうの定常波ていじょうはを記述きじゅつしたりするときに現あらわれる。それはいつも解かい $f(x)=0$ を持もつ。この解かいは明あきらかと考かんがえ"自明じめいな"解かいと呼よぶ。ある場合ばあいには、他たの解かい（正弦せいげん波は）があり、"非ひ自明じめいな"解かいと呼よばれる。

同様どうように、数学すうがく者しゃはフェルマーの最終さいしゅう定理ていりを次つぎのように主張しゅちょうするものとしてしばしば記述きじゅつする。n が 2 よりも大おおきいとき、方程式ほうていしき $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ には非ひ自明じめいな整数せいすう解かいが存在そんざいしない。明あきらかに、方程式ほうていしきの解かいは存在そんざいする。例たとえば、$a=b=c=0$ は任意にんいの n に対たいして解かいであるが、そのような解かいはすべて明あきらかであり興味きょうみがなく、したがって「自明じめい」である。

数学すうがく的てきな理由りゆうにおける自明じめい性せい

自明じめいなはまた証明しょうめいの任意にんいの容易よういな場合ばあいのことも言いうだろう。これは完全かんぜん性せいのために無視むしできない。例たとえば、数学すうがく的てき帰納きのう法ほうによる証明しょうめいは2つのパートからなる。n = 0 あるいは n = 1 のような特定とくていの最初さいしょの値ねに対たいして定理ていりが正ただしいことを示しめす "base case" と、それから n のある値ねに対たいして定理ていりが正ただしいならば値ね n + 1 に対たいしてもまた正ただしいことを証明しょうめいする inductive step である。base case が難むずかしいが inductive step が自明じめいな場合ばあいもあるが、base case はしばしば自明じめいでありそのようなものとして確認かくにんされる。同様どうように、ある性質せいしつがある集合しゅうごうのすべての元もとによって持もたれていると証明しょうめいしたいかもしれない。証明しょうめいの主要しゅような部分ぶぶんは空そらでない集合しゅうごうの場合ばあいを考かんがえ、元もとを詳細しょうさいに検査けんさするであろう。集合しゅうごうが空そらの場合ばあいには、性質せいしつは自明じめいにすべての元もとによって持もたれている、なぜならば元もとがないからである。（空虚くうきょな真しんも参照さんしょう。）

数学すうがくコミュニティにおけるよくあるジョークは、「自明じめいな」(trivial) は「証明しょうめいされた」 (proved) と同義どうぎであると言いうことである — つまり、任意にんいの定理ていりは一度いちど正ただしいとわかれば「自明じめいである」と考かんがえることができる。別べつのジョークは定理ていりについて議論ぎろんしている 2 人にんの数学すうがく者しゃに関係かんけいする。最初さいしょの数学すうがく者しゃは定理ていりが「自明じめいである」と言いう。もう1人ひとりの説明せつめいの要求ようきゅうに返事へんじとして彼かれは20分間ふんかん解説かいせつを続つづける。説明せつめいの終おわりに、二に番目ばんめの数学すうがく者しゃは定理ていりは自明じめいであることに賛同さんどうする。これらのジョークは自明じめい性せいの判断はんだんの主観性しゅかんせいを指摘してきする。ジョークはまた最初さいしょの数学すうがく者しゃが定理ていりは自明じめいだと言いうが彼かれ自身じしんはそれを証明しょうめいできないときにも適用てきようする。しばしば、ジョークとして、定理ていりはこのとき「直感ちょっかん的てきに明あきらか」(intuitively obvious) と呼よばれる。微分びぶん積分せきぶん学がくの経験けいけんを積つんだ人ひとは例たとえば

$\int _{0}^{1}x^{2}\,dx={\frac {1}{3}}$

という主張しゅちょうを自明じめいと考かんがえるだろう。だが微分びぶん積分せきぶん学がくの初はつ学者がくしゃにとってこれは全まったく明あきらかではないだろう。

自明じめい性せいは文脈ぶんみゃくにも依存いぞんする。関数かんすう解析かいせきにおける証明しょうめいはおそらく、ある数かずが与あたえられると、より大おおきい数かずの存在そんざいを自明じめいに仮定かていするだろう。だが初等しょとう整数せいすう論ろんにおいて自然しぜん数すうについての基本きほん的てきな結果けっかを証明しょうめいするとき、証明しょうめいは任意にんいの自然しぜん数すうは次つぎの数かずを持もつというリマーク（そしてこれはそれ自身じしんにおいて証明しょうめいされるあるいは公理こうりとして取とられるべきである、ペアノの公理こうり参照さんしょう）にかなり依よるだろう。

自明じめいな証明しょうめい

いくつかのテキストでは、自明じめいな証明しょうめいは P→Q において後件こうけんすなわち Q がつねに真しんであるような material implication を含ふくむステートメントを言いう。ここで、証明しょうめいは単純たんじゅんに Q がつねに真しんであることに注意ちゅういすることから従したがう、なぜならば implication はこのとき前件ぜんけん P の真理しんり値ちに関かかわらず真しんであるからである。

関連かんれんした概念がいねんは空虚くうきょな真しんである。これは前件ぜんけん P が P→Q においてつねに偽にせである場合ばあいである。ここで、implication は後件こうけん Q の真理しんり値ちに関かかわらず常つねに真しんである。

例れい

• 数学すうがくにおいて、整数せいすう N の約数やくすうを見みつけることはしばしば重要じゅうようである。任意にんいの数かず N は 4 つの明あきらかな約数やくすう ±1 と ±N をもつ。これらは「自明じめいな約数やくすう」と呼よばれる。任意にんいの他ほかの約数やくすうは、存在そんざいすれば、「非ひ自明じめい」と呼よばれる。

• 行列ぎょうれつ方程式ほうていしき AX=0、ただし A は固定こていされた行列ぎょうれつで、X は未知みちのベクトルで、0 はゼロベクトルである、は明あきらかな解かい X=0 をもつ。これは「自明じめいな解かい」と呼よばれる。それが他たの解かい X≠0 を持もてば、「非ひ自明じめい」と呼よばれる。

• 群論ぐんろんの数学すうがくにおいて、ただ 1 つの元もとだけをもつ非常ひじょうに単純たんじゅんな群ぐんが存在そんざいする。これはしばしば「自明じめいな群ぐん」と呼よばれる。すべての他ほかの群ぐんは、より複雑ふくざつであり、「非ひ自明じめい」と呼よばれる。

• グラフ理論りろんにおいて自明じめいなグラフはたった 1 つの頂点ちょうてんを持もち辺あたりを全まったく持もたないグラフである。

• データベース理論りろんは $X\to Y$ と書かかれる関数かんすう従属じゅうぞく性せいと呼よばれる概念がいねんを持もつ。Y が X の部分ぶぶん集合しゅうごうであれば従属じゅうぞく $X\to Y$ が正ただしいことは明あきらかなので、従属じゅうぞくのこのタイプは「自明じめい」と呼よばれる。すべての他ほかの従属じゅうぞくは、より自明じめいでなく、「非ひ自明じめい」と呼よばれる。

関連かんれん項目こうもく

• 退化たいか (Degeneracy)
• 始はじめ対象たいしょうと終おわり対象たいしょう
• 病的びょうてきな (Pathological)
• Trivialism

外部がいぶリンク

• Trivial entry at MathWorld