그란디 급수

Grandi's series · Grandi 級きゅう數かず

1과 −1을 번갈아서 더하는 급수

을 뜻한다. 무한급수는 부분합의 극한으로 정의되는데, 그란디 급수의 경우, 부분합이

이므로, 그란디 급수는 발산한다.

1703년에 이 급수에 대해 논의했던 이탈리아인 수학자 겸 성직자인 기도 그란디의 이름을 따왔다.

를 앞에서부터 차례대로 두 항씩 묶으면

가 되고 괄호 안을 계산하여 주면 $0+0+0+\cdots$이므로 이 방법의 경우 결과값은 0이다.

를 가장 앞에 위치한 항인 1을 제외하고 두 항씩 묶어나가면

가 되고, 괄호 안을 계산하여 주면 $1+0+0+0+\cdots$이 되어 결과값은 1이된다.

에서 1을 제외한 나머지 항으로 부터 공통인수 $x$를 가져오면

이다. 괄호안의 식은 기존의 $f(x)$이므로 $f(x)=1+xf(x)$이다.

$xf(x)$를 좌변으로 이항하면 $(1-x)f(x)=1$이고 $x$가 1이 아니라면 양변을 $1-x$로 나눠도 무방하므로 $x$가 1이 아니면 $f(x)=(1-x)^{-1}$이다. 이때, $x=-1$을 대입하면

이 되어 결과값은 $1/2$이다.

로 두면,

이므로 $S=1-S$이므로 $S$는 아래와 같다.

결론적으로, $1-1+1-1+\cdots$라는 수열의 합은 어떤 방법을 사용하냐에 따라 여러 개의 값이 나온다. 또한 위에서 설명한 방법 외에 첫 번째와 두 번째 결과가 나타날 확률은 각각 $1/2$이므로 이 수열의 합은 $1/2$라는 주장도 존재한다. 이는 무한합을 유한합처럼 생각하면 오류가 난다는 것을 단적으로 보여주는 예들이라 볼 수 있다.

이 값에 대한 논쟁이 라이프니츠, 오일러 등등 17~18세기의 저명한 수학자들이 모두 한 번씩 참여한 논쟁이기 때문이다. 맨 먼저 이 문제를 제시한 그란디는 1.1과 1.2의 관점을 동시에 제시하면서 모순된다는 점을 지적하였지만, 여기서 그쳐서 답이 없다는 결론을 내는 대신에 1.3의 무한등비급수를 이용한 관점을 이용해 답은 $1/2$라고 주장하였다. 많은 수학자들이 이 $1/2$ 논리에 여러 가지로 살을 붙였는데, 라이프니츠는 함수의 연속성에 기대어서 위의

에서 $x \rightarrow -1$의 극한을 정당화할 수 있다고 했고, 1.5에 얘기한 확률 주장을 제시하기도 하였다. 물론 야코프 베르누이처럼 역설이라고 한 수학자들도 많았다. 오일러도 양쪽 관점을 다 다루었지만 상당히 $1/2$ 쪽으로 기운 결론을 내렸다.

이미 무한급수의 값은 부분합의 수렴값으로 교통정리가 끝난 현대의 관점에서 보면 코시의 엡실론-델타 이전의 무한급수에 대한 인식이 얼마나 얼척없었는지를 보여주는 한 예로 볼 수 있지만, 이러한 논쟁 때문에 비로소 무한급수 개념을 현대처럼 착오 없이 정립할 필요가 생긴 것이다. 수학사적 관점에서 보면 저 그란디 급수를 생각했던 관점에서 무한급수와 멱급수에 대한 인식이 어떻게 발전했는지를 엿볼 수 있고, 한편으로는 상기한 방식들 중 일부가 무한급수를 다른 방식으로 생각하는 체사로 합(Cesaro sum) 등등의 새로운 관점으로 이어지기도 했다. 이 체사로 합으로도 정의할수 없는 급수를 처리하기 위한 방법 중 하나가 라마누잔합이며, 라이프니츠의 방법도 현대엔 복소해석학을 통해 어느정도 정당화가 가능하다. 복소미분 가능한 함수의 연속성을 이용하면 수렴하지 않는 무한급수에 유일한 값을 지정해 줄 수 있기 때문. 특히 양자장론과 같은 현대물리학에서 '부분합의 수렴값' 정의는 발산하는 값이 너무 자주 튀어나오기 때문에 재규격화라는 과정이 필요한데 이 때 라마누잔합과 같은 정의는 유용하게 쓸 수 있다.