거리함수

distance function · 距離はなれ函はこ數かず , 또는 metric(메트릭)[가]

집합 $X$의 거리 함수(metric)란 다음의 세 성질을 만족하는 함수 $d:X \times X\to \mathbb{R}$이다.

두 점이 얼마나 멀리 떨어져 있는가를 뜻하는 측도인 '거리'를 일반화한 것이다. 이때 직선거리(straight-line distance, Euclidean distance)는 두 점을 연결하는 선분의 길이이며 두 점 사이의 최단거리임을 보일 수 있다. 한편 이동거리(distance traveled)는 경로의 길이로 그리고 노름(norm)은 크기의 일반화로 다루어진다.

메트릭(metric) 또는 거리 함수(distance function)는 자연스러운 집합의 요소 사이의 거리를 정의하는 함수 d(x,y)로 나타낼수있다. 예를 들어 두 점사이의 거리가 0이면 두 요소는 해당 특정 메트릭에서 동일할것이다. 따라서 거리 함수는 두 요소가 얼마나 가까운지를 측정하는 방향으로 계량화 과정을 제공할수있다. 여기서 요소는 추상적일수있으며 또는 숫자일 필요는 없지만 벡터, 행렬 또는 임의의 개체일 수도 있다. 거리 함수는 종종 최적화 문제에서 최소화를 위해 오류 또는 비용 함수로 사용될수있다.[가]

점G와 점B의 두 점 사이의 거리$\overline{GB} (l)$는 $\text{점}B(x_1,y_1)$ 와 $\text{점}G(x_2,y_2)$의 2차원의 평면 좌표계(coordinate system)에서 피타고라스의 정리에 따라
$\overline{GB}^2 = \overline{GI}^2 + \overline{IB}^2$
$l^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$이다.
이러한 맥락(context)에서 $\text{선분}GI (l) = (x_1 - x_2)$로 나타낼수 있고 따라서 1차원의 거리함수
$l^2 = (x_1 - x_2)^2$로 나타낼수 있다.
이처럼 거리(l,length) 제곱에서 n차원의 거리함수(metric)를 1부터 4까지 차원을 나열해보면
$l^2 = (x_1 - x_2)^2$
$l^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$
$l^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2$
$l^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2 + (I_1 - I_2)^2$
를 조사할수있다.
이어서 $\Delta x \textrm{ 증분을 } x_1, \Delta y\textrm{증분을 } x_2, \Delta z\textrm{증분을 } x_3,\Delta I\textrm{증분을 } x_4$로 나타내보면
따라서 거리함수
$l^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2$
를 얻을 수 있다.

  자세한 내용은 다항함수/공식/길이 문서 참고하십시오.

$\mathbb C$ 위의 벡터 공간에서는 정의가 아래처럼 바뀐다.

$\bold x$는 상술한 $x_i$를 성분으로 하는 벡터, $\ast$는 수반 연산자이다.

헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)의 민코프스키 시공간(Minkowski spacetime)은 사람이 인지하는 현실세계인 3차원 공간에 1차원 시간을 4번째 차원으로 더해서 이루어진 공간이다. 시공간이기는 한데 다른 3차원의 성분들이 거리함수인지라 시간(t)에 속도(c, 광속)를 주어서 시간을 거리함수처럼 다룬다. 또한 민코프스키 시공간은 복소수체계인 허수 $i$를 도입한 $x_4 = ict$를 가정함으로써 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론 및 특수 상대성 이론을 비교적 잘 기술할수 있는 공간으로 설정하고 사용할수 있다.[4] 이러한 민코프스키 시공간의 허수$i$는 드무아브르 정리에서처럼 극좌표계상에서 회전성을 보여주는 복소수체계로 잘 알려져있다.

일반적인 거리함수 $l^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2$ 로 부터 n=4일때
$l^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + (x_4)^2$
민코프스키 시공간의 거리함수중 시간함수 성분을 $x_4 = ict$로 이해해보면
$l^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + (ict)^2$
$l^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 - (ct)^2$
이제 괄호를 생략하고 미분을 주요하게 드러내 표현해보면
$dl^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2dt^2$
$dl^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(dx_i)^2$
민코프스키 시공간으로 일반적인 거리함수를 확대해볼수 있다.

거리함수(metric)로부터
$dl^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(dx_i)^2$를 n=4에서 간단히 표현해보면
$l^2 = (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + (x_4)^2$
그리고 이어서 $x_i$에 따른 계수 함수 $f_i$를 제공해보면
$l^2 = f_1(x_1)^2 + f_2(x_2)^2 + f_3(x_3)^2 + f_4(x_4)^2$
이것을 또다시 $x_i$$x_i$로 확대하고 계수함수를 넘버링(numbering)해보면
$l^2 = f_{11}x_1x_1 + f_{12}x_1x_2 + f_{13}x_1x_3 + f_{14}x_1x_4$
$+ f_{21}x_2x_1 + f_{22}x_2x_2 + f_{23}x_2x_3 + f_{24}x_2x_4$
$+ f_{31}x_3x_1 + f_{32}x_3x_2 + f_{33}x_3x_3 + f_{34}x_3x_4$
$+ f_{41}x_4x_1 + f_{42}x_4x_2 + f_{43}x_4x_3 + f_{44}x_4x_4$
텐서 함수로 나타내보면
$dl^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}f_{ii}{dx_i dx_i}$
아인슈타인 표기법으로 고치면
$dl^2 = g_{ii}{dx^i dx^i}$
거리함수 텐서(metric tensor)
$g_{ii}(x^{ii})$
를 얻을수있다.