멱함수

冪べき函はこ數かず / power function

$m\in\R$ 일때 $f(x)=x^m$인 함수를 말한다.

$m$의 값과 상관없이 $m$의 값이 커질수록 $y$축과 가까워지고, 항상 $(1,1)$을 지난다. 모든 함수가 $|x|>1$일 때 값의 변화가 더 많이 일어난다. 몇 가지 경우를 보자면

• $m\in\mathbb Q$ ($m$이 유리수인 경우)
  $m$의 값에 상관없이 항상 공역이 생기지 않는다. 즉, 정의역과 치역은 모든 실수이다.
  • $m\in\Z$ ($m$이 정수인 경우)
    • $m\in\N$ ($m$이 자연수인 경우)
      $m$의 값이 더 커질수록 $|x|<1$일땐 변화가 더 적어지고 $|x|>1$일 땐 변화가 더 커진다.
      • $m\in2\Z$ ($m$이 짝수인 경우)
        항상 $x$의 절댓값이 커질수록 값도 커진다. 즉, $(-\infty,0]$에서는 값이 감소하고 $[0,\infty)$에서는 값이 증가한다.
      • $m\notin2\Z$ ($m$이 홀수인 경우)
        $m$이 짝수일 때와 다르게 $x$의 값이 증가할수록 값도 커진다.
    • $m=0$
      $x$축과 평행한 직선이 된다.
    • $m\in\Z^-$($m$이 음의 정수인 경우)
      $m$이 음수일 땐 아예 분수함수가 된다. 그래서 $x=0$일 땐 정의되지 않는 등 분수함수의 성질을 띈다.
      • $m\in2\Z$ ($m$이 짝수인 경우)
        $|x|$가 커질수록 값은 작아진다. 즉, $(-\infty,0]$에서는 값이 증가하고 $[0,\infty)$에서는 값이 감소한다.
      • $m\notin2\Z$ ($m$이 홀수인 경우)
        $m$이 짝수일 때와 다르게 $x$의 값이 증가할수록 값도 작아진다. 구체적으로는 $(-\infty,0]$에서는 값이 감소했다가 $x>0$일 땐 값이 굉장히 커졌다가 다시 $[0,\infty)$에서는 값이 감소한다.
  • $f(x)=\dfrac am$ ($m$이 정수가 아닌 유리수인 경우)
    이럴 땐 무리함수가 되므로 무리함수의 성질을 띈다.
    • $m\in2\Z$ ($m$이 짝수인 경우)
      $x<0$일 땐 정의되지 않는다. 그렇기에 치역 또한 $[0,\infty)$이다.
    • $m\notin2\Z$ ($m$이 홀수인 경우)
      $m$이 짝수일 때와 다르게 정의역과 치역은 모든 유리수이다.
• $m\in\mathbb I$ ($m$이 무리수인 경우)
  $m$이 정수일 때와 비슷하나, 공역이 다음과 같은 차이가 생긴다.
  • $x\ge0$일 경우는 실함수이고, $x<0$일 경우는 복소함수이다. 즉, 평면좌표에서 치역은 $[0,\infty)$이다.
  • $m<0$일 경우, $\operatorname{Re}(f(x))$($x$의 실수부)와 $\operatorname{Im}(f(x))$($x$의 허수부)는 $x$축에 대칭이다.

$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^n=nx^{n-1}$ ($n\in\mathbb Z$)

$\displaystyle \int x^n\,{\rm d}x=\dfrac{1-{\bold 1}_{\{-1\}}(n)}{{\bold 1}_{\{-1\}}(n)+n+1}x^{n+1}+{\bold 1}_{\{-1\}}(n)\ln |x|+C$ ($n\in\mathbb Z$)