유수

최근 수정 시각: 2024-07-05 09:47:16

편집

현재 사용중인 아이피가 ACL그룹 IDC #96574에 있기 때문에 편집 권한이 부족합니다.
만료일 : 무기한
사유 : IDC (AS7524) ITEC Hankyu Hanshin Co.,Ltd.

닫기

토론 역사

분류

해석학(수학)

후한의 초대 황제였던 광무제 유수에 대한 내용은 광무제 문서

, 후한 말의 인물에 대한 내용은 유수(삼국지) 문서

, 조선시대의 관직에 대한 내용은 부(행정구역) 문서

의 유수 부분을

참고하십시오.

해석학·미적분학

Analysis · Calculus

[ 펼치기 · 접기 ]

실수와 복소수		실수(실직선 · 아르키메데스 성질) · 복소수(복소평면 · 극형식 · 편각) · 근방 · 유계 · 콤팩트성 · 완비성
함수		함수 · 조각적 정의 · 항등함수 · 역함수 · 멱함수 · 다변수함수(동차함수 · 음함수) · 다가 함수 · 함수의 그래프 · 좌표계 · 닮은꼴 함수 · 극값 · 볼록/오목 · 증감표
함수		초등함수(대수함수 · 초월함수 · 로그함수 · 지수함수 · 삼각함수) · 특수함수 · 범함수(변분법 · 오일러 방정식) · 병리적 함수
극한·연속		함수의 극한 · 수열의 극한 · 연속함수 · εいぷしろん-δでるた 논법 · 수렴(균등수렴) · 발산 · 부정형 · 점근선 · 무한대 · 무한소 · 특이점 · 0.999…=1
극한·연속		중간값 정리 · 최대·최소 정리 · 부동점 정리 · 스털링 근사 · 선형근사(어림)
수열·급수		수열 · 급수(멱급수 · 테일러 급수(일람) · 조화급수 · 그란디 급수(라마누잔합) · 망원급수(부분분수분해)) · 그물
		오일러 수열 · 베르누이 수열 · 월리스 곱
		단조 수렴 정리 · 슈톨츠-체사로 정리 · 축소구간정리 · 급수의 수렴 판정 · 리만 재배열 정리 · 바젤 문제 · 파울하버의 공식 · 오일러-매클로린 공식 · 콜라츠 추측^미해결
미분		미분 · 도함수(이계도함수 · 도함수 일람) · 곱미분 · 몫미분 · 연쇄 법칙 · 임계점(변곡점 · 안장점) · 매끄러움
		평균값 정리(롤의 정리) · 테일러 정리 · 역함수 정리 · 다르부 정리 · 로피탈 정리
		립시츠 규칙 · 뉴턴-랩슨 방법 · 유율법 · 경사하강법
적분		적분 · 정적분(예제) · 스틸체스 적분 · 부정적분(부정적분 일람) · 부분적분(LIATE 법칙 · 도표적분법 · 예제) · 치환적분 · 이상적분(코시 주요값)
		미적분의 기본정리 · 적분의 평균값 정리
		리시 방법 · 2학년의 꿈
다변수·벡터 미적분		편도함수 · 미분형식 · ∇ · 중적분(선적분 · 면적분 · 야코비안) ·야코비 공식
다변수·벡터 미적분		라그랑주 승수법 · 오일러 동차함수 정리 · 선적분의 기본정리 · 스토크스 정리(발산 정리 · 그린 정리)· 변분법
미분방정식		미분방정식(풀이) · 라플라스 변환
측도론		측도 · 가측함수 · 곱측도 · 르베그 적분 · 절대 연속 측도 · 라돈-니코딤 도함수
측도론		칸토어 집합 · 비탈리 집합
복소해석		코시-리만 방정식 · 로랑 급수 · 유수 · 해석적 연속 · 오일러 공식(오일러 등식 · 드 무아브르 공식) · 리우빌의 정리 · 바이어슈트라스 분해 정리 · 미타그레플레르 정리
함수해석	공간	위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 거리공간 · 프레셰 공간 · 노름공간 · 바나흐 공간 · 내적공간 · 힐베르트 공간 · L^p 공간
	작용소	수반 작용소 · 에르미트 작용소 · 정규 작용소 · 유니터리 작용소 · 컴팩트 작용소
	대수	C*-대수 · 폰 노이만 대수
	정리	한-바나흐 정리 · 스펙트럼 정리 · 베르 범주 정리
	이론	디랙 델타 함수(분포이론)
조화해석		푸리에 해석(푸리에 변환 · 아다마르 변환)
관련 분야		해석기하학 · 미분기하학 · 해석적 정수론(1의 거듭제곱근 · 가우스 정수 · 아이젠슈타인 정수 · 소수 정리 · 리만 가설^미해결) · 확률론(확률변수 · 중심극한정리) · 수치해석학 · 카오스 이론 · 분수계 미적분학 · 수리물리학(양-밀스 질량 간극 가설^미해결 · 나비에 스토크스 방정식의 해 존재 및 매끄러움^미해결) · 수리경제학^{(경제수학)} · 공업수학
기타		퍼지 논리

1. 개요2. 설명

2.1. 고립 특이점2.2. 무한대

3. 유수 정리

1. 개요[편집]

residue / 留とめ數かず

복소해석학에서 선적분을 했을 때 남는 부분이다.[1]

2. 설명[편집]

2.1. 고립 특이점[편집]

z=z_0

가 함수

w=f(z)

의 고립특이점이면

0 < |z-z_0| < R

인 모든

z

에 대하여 해석적이면 로랑의 정리에 의하여

\displaystyle \begin{aligned} f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n \end{aligned}

와 같이 나타낼 수 있고, 곡선

C

가

z_0

의 근방에 포함되면서 양의 방향으로 회전하는 단순닫힌곡선이면 계수

a_n

은

\displaystyle \begin{aligned} a_n = \frac1{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \,{\rm d}z \end{aligned}

이다.

특히

a_n

에서

n=-1

일 때 계수

\displaystyle \begin{aligned} b_1 = a_{-1} = \frac1{2\pi i} \int_C f(z) \,{\rm d}z \end{aligned}

를 고립특이점

z=z_0

에서

f(z)

의 유수라 하고 이것을

\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}} \,f(z)

와 같이 표시한다. 만약

z=z_0

가

f(z)

의 없앨 수 있는 특이점이면

\underset{z=z_0}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0

이다. 그런데

z_0

이 진성특이점이라면, 유수는 경우마다 각각 계산을 따로 해야 한다.

극점일 경우도 조금 계산이 귀찮아지는데, 먼저 해당 극점의 계수

m

을 알아내야 하며, 그 때는 복소해석학의 2.2.1번 문단의 내용대로 계산해야 한다.

2.2. 무한대[편집]

함수

f

가 어떤 양수

R_1

에 대하여

R_1 < |z| < \infty

의 영역의 모든 점에서 해석적이라고 하자. 그러면 이 함수

f(z)

는

z_0=\infty

에서 고립특이점을 갖는다고 정의한다.

그러면 어떤 양수

R_1

보다 큰

R_0

에 대하여,

C_0 = R_0 e^{-it}

라는 원점을 중심으로 한 반지름

R_0

의 시계방향 궤도. 즉 무한원점[2]에 대한 반시계방향의 궤도에 대하여[3], 유수의 정의에 따라 다음이 성립한다.

\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = \frac1{2\pi i} \oint_{C_0} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned}

단, 일반적으로 원점을 중심으로 하는 원의 궤도를 반시계방향을 양의 방향으로 잡는 관습에 따르려면,

C' = R_0 e^{it}

라는 방향만 반대인 궤도를 잡아서 다음과 같이 바꿀 수 있다.

\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned}

이 양수

R_1

은 그보다 큰 원을 그렸을 때 그 외부가 전부 해석적이므로 반대로 말하면 원의 내부에 해석적이지 않은 특이점이 전부 존재한다. 즉, 원 내부의 특이점을

z_k

라고 두면,

R_1 > \max{|z_k|}

가 된다.
따라서, 위의 식을 다시 말하면 다음과 같게 된다.

\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \\ &= -\sum_{k=1}^n \underset{z=z_n}{\operatorname{Res}} \,f(z) \end{aligned}

여기서

\displaystyle \sum_{k=1}^n \underset{z=z_n}{\operatorname{Res}} \,f(z)

는 해당 범위의

f

의 모든 특이점의 유수의 합이다.

여기까지의 결론에서 아래의 유수 정리 항목에 있는

\displaystyle \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) +\sum_{i=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0

이 유도된다.
또한, 이 식을 대수적으로 조금 만지작거리면 다음 식이 유도된다.

\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\underset{w=0}{\operatorname{Res}} \,\frac1{w^2} f \biggl( \frac1w \biggr) \end{aligned}

[유도과정 펼치기·접기]: $w=\dfrac1z$ 라는 새로운 매개변수를 두자.
먼저 ${\rm d}w$ 를 구하자. 위의 매개식을 변환하여 $z=\dfrac1w$ 로 바꾸고, 양변을 $w$ 에 대하여 미분하면, $\dfrac{{\rm d}z}{{\rm d}w} = -\dfrac1{w^2}$
따라서 ${\rm d}z = -\dfrac1{w^2} \,{\rm d}w$ 가 된다.
이제 여기서 구한 ${\rm d}w$ 를

$\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned}$

에 대입하자. 이때, 궤도 $C'$ 는 사상 $w=\dfrac1w$ 에 의해서 새로운 궤도 $\displaystyle \overline C := \frac1{R_0} e^{-it}$ 로 치환된다. 이 궤도는 자명하게 회전방향이 반대다.

$\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{C'} f(z) \,{\rm d}z \\ &= \frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}} f \biggl( \frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w \end{aligned}$

$\overline C$ 는 시계방향의 궤도이므로 다시 반시계방향의 궤도로 바꾸기 위해 $\overline C' := \dfrac1{R_0} e^{it}$ 로 치환하자. 적분궤도는 같지만 적분방향이 바뀌었으므로 부호는 $-$ 가 붙는다.

따라서

$\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = -\frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}'} f \biggl( \frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w \end{aligned}$

가 되고, 이를 유수의 일반적인 표기법으로 정리하면

$\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) &= -\frac1{2\pi i} \oint_{\overline{C}'} f \biggl( \frac1w \biggr) \frac1{w^2} \,{\rm d}w \\ &= -\underset{w=0}{\operatorname{Res}} \,\frac1{w^2} f \biggl( \frac1w \biggr) \end{aligned}$

가 된다.

3. 유수 정리[편집]

함수 $f(z)$ 가 단일 닫힌곡선 $C$ 의 내부에 있는 유한개의 고립특이점 $z_1, z_2, \cdots\!, z_n$ 을 제외하고 $C$ 의 내부와 위에서 해석적이라 하자. 그러면 $z_k$ (단, $k = 1, 2, \cdots\!, n$ )에서 유수가 $\underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z)$ 이면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \begin{aligned} \int_C f(z) \,{\rm d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) \end{aligned}$

증명

각 특이점

z_1, z_2, \cdots\!, z_n

을 중심으로 하고,

C

의 내부에 서로 겹치지 않는 원을 각각

C_1, C_2, \cdots\!, C_n

을 나타내고, 각 원의 방향을

C

와 같은 방향으로 하면 코시의 적분공식에 의하여

\displaystyle \begin{aligned} \int_C f(z) \,{\rm d}z = \int_{C_1} f(z) \,{\rm d}z +\int_{C_2} f(z) \,{\rm d}z +\cdots +\int_{C_n} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned}

이다.
여기서

z=z_k

(단,

k=1, 2, \cdots\!, n

)에 대한 유수의 정의를 적용하면

\displaystyle \begin{aligned} \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) = \frac1{2\pi i} \int_{C_k} f(z) \,{\rm d}z \end{aligned}

이므로 코시 적분공식에 의하여 구해진 식을 통하여 다음의 결과가 성립한다.

\displaystyle \begin{aligned} \int_C f(z) \,{\rm d}z = 2\pi i \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) \end{aligned}

무한대에서는

\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^n \underset{z=z_k}{\operatorname{Res}} \,f(z) + \underset{z=\infty}{\operatorname{Res}} \,f(z) = 0 \end{aligned}

으로 간략하게 표현할 수 있다.

[1] 쉽게 말하면 초등학교 3학년 수학에서 나눗셈을 하면 나오는 나머지와 비슷하다.[2] 절대값이

\infty

인 모든 점을 콤팩트화한 가상의 점.[3] 원점을 중심으로 하면 시계방향은 음의 방향으로 취급하지만, 내부를 회전방향의 좌측으로 두는 관습에 따르면 무한원점을 중심으로 하는 반지름

\infty

의 원의 내부로 만드는 양의 방향은 시계방향이 된다.

이 저작물은 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다. (단, 라이선스가 명시된 일부 문서 및 삽화 제외)
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.

나무위키는 백과사전이 아니며 검증되지 않았거나, 편향적이거나, 잘못된 서술이 있을 수 있습니다.
나무위키는 위키위키입니다. 여러분이 직접 문서를 고칠 수 있으며, 다른 사람의 의견을 원할 경우 직접 토론을 발제할 수 있습니다.