롤의 정리

Rolle's theorem
미분 가능한 함수에 대한 정리로 12세기 인도의 바스카라에 의해 처음 발견되었으며, 17세기 미셸 롤(Michael Rolle)에 의해 처음으로 증명되었다. 처음 증명한 수학자의 이름을 따 롤의 정리라고 부른다. 미분 가능한 함수에서 같은 함수 값을 가지는 두 점 $a$, $b$가 있을 때 구간 $\left(a,b\right)$에서 접선의 기울기(= 미분계수)가 $0$이 되는 점이 적어도 하나 있다는 내용을 담는다. 즉 더욱 엄밀하게 설명하면 다음과 같다.

이를 기하학적으로 보면 이렇다. 함수 $f\left(x\right)$가 닫힌구간 $\left[a,b\right]$에서 연속이고 열린구간$\left(a,b\right)$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f\left(x\right) \left(a\leq x\leq b \right)$에서 접선의 기울기가 $0$이 되는 점 $\left(c,f\left(c\right)\right)$가 적어도 1개 존재한다.

1. 함수 $f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$이 상수함수일 경우, 임의의 $x\in \left(a, b\right)$에 대해 $f'\left(x\right)=0$이다.
따라서 $f'\left(c\right)=0$을 만족하는 $c\in\left(a,b\right)$가 존재한다.

2. 함수 $f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb R$이 상수함수가 아닐 경우, $f\left(a\right)=f\left(b\right)\ne f\left(x\right)$인 $x\in \left(a, b\right)$가 존재한다.
그런데 $f$는 닫힌구간 $\left[a,b\right]$에서 연속이므로 최대·최소의 정리에 의해 이 구간내에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

롤의 정리를 일반화하면 평균값의 정리[2]로 나타낼 수 있다. 반대로 평균값의 정리에서 f(a) = f(b) 인 경우가 롤의 정리이다.

대학에서 미적분학을 배운다면 롤의 정리는 실근의 유일성(uniqueness)을 증명할 때 쓴다. [3] 간단히 과정을 서술하면 근의 개수를 판별할 함수를 f라 하자. 사잇값의 정리를 이용해 실근의 존재함을 보인 후 f의 실근이 a,b (단, a<b)라고 가정하자. 여기서 f는 [a, b]에서 연속이면서 (a, b)에서 미분가능한 함수여야 한다. 이 때, 롤의 정리에 의해 (a, b)에서 f'의 값이 0인 점이 존재해야 한다. 이때 구간 (a,b)에 속하는 c에 대해 f'(c)=0이 아님을 보이면 귀류법에 의해 f가 2개 이상의 실근을 가질 수 없음을 보일 수 있다.

롤의 정리를 이용하여 로피탈의 정리를 증명할 수 있다. 롤의 정리를 이용하지 않으면 난이도가 상승하므로, 기초 미적분학 수준에서는 롤의 정리를 보조정리로 사용하여 증명하게 된다.