라플라스 변환
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라플라스 변환을 나타내는 기호는 이다. 라플라스 변환 대신 라그랑지언을 이 기호로 쓰기도 한다. 사실 변수를 굳이 s가 아니라 x,t 뭘 쓰든 상관 없다. 저 이상적분식은 최종적인 결과가 s에 관한 함수로 나온다.
적분 구간이 0에서 부터 시작하는 것과 음의 무한대에서 시작하는 것 두가지 버전이 있는데, 전자를 unilateral Laplace transform, one-sided Laplace transform이라 부르고 후자를 bilateral Laplace transform, two-sided Laplace transform 이라 부른다.
간단하게 설명하자면 미분방정식을 다른 '공간'으로 변환시켜 더 단순하게 만든 후, 이를 풀어내는 기법. 즉 A공간에서는 매우 풀기 어려운 식을 B공간에서는 단순한 사칙연산으로만 구할 수 있다. 즉 A->B로 식을 가져간 뒤 풀고 다시 내가 있는 A공간으로 오기 위해 B->A공간으로 가져오는데 이때 이용하는 통로를 라플라스 변환이라고 한다. 미분방정식의 eigenvalue(고유값)만 따서 계산하는 기법이라고 할 수 있다.[1]
선형 미분방정식에서는 가히 로피탈의 정리급 위력을 발휘하는 사기기술로, 어지간히 손대기도 힘든 2계 미분방정식[2]도 이 녀석을 동원하고 적당히 라플라스 역변환을 시켜주면 근을 구해낼 수 있다. 다만 역변환[3]은 따로 공식이 있긴 하지만 복소해석학을 배워야 해서 어렵기 때문에 대신 부분분수분해를 통해 함수를 간단히 만든 후 라플라스 변환 표를 보고 적당히 역변환을 추리하는 것이 일반적이다.[4] 또한 선형 편미분방정식도 경계가 반무한(semi-infinite) 또는 양쪽 다 무한(infinite)이라면 풀 수 있다.
원래 라플라스 변환은 자연계의 운동들, 예를 들면 포락선(envelope) 같은 감쇠 현상을 설명하기 위해 고안된 개념이다. 위 공식에서 복소수 라는 걸 생각해보자. 여기에서 과 는 실수이며 는 허수단위다. 는 상수 를 밑으로 한 지수인데, 지수 법칙을 이용해 이를 실수부와 허수부로 분리할 수 있다. 실수부는 감쇠를, 허수부는 오일러 공식에 의해 정현파(사인함수와 코사인함수) 형태로 표현된다. 이 둘을 곱하면 감쇄하는 진동운동이 표현된다.[5] 실수부 값에 따라 주어진 적분이 수렴하여 라플라스 변환이 존재할 수도 있고, 적분이 발산하여 라플라스 변환이 존재하지 않을 수도 있다. 이를 규정하는 기준을 수렴구간(ROC: Region Of Convergence)이라고 한다.
라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정을 개략적으로 설명하면
선형 미분방정식에서는 가히 로피탈의 정리급 위력을 발휘하는 사기기술로, 어지간히 손대기도 힘든 2계 미분방정식[2]도 이 녀석을 동원하고 적당히 라플라스 역변환을 시켜주면 근을 구해낼 수 있다. 다만 역변환[3]은 따로 공식이 있긴 하지만 복소해석학을 배워야 해서 어렵기 때문에 대신 부분분수분해를 통해 함수를 간단히 만든 후 라플라스 변환 표를 보고 적당히 역변환을 추리하는 것이 일반적이다.[4] 또한 선형 편미분방정식도 경계가 반무한(semi-infinite) 또는 양쪽 다 무한(infinite)이라면 풀 수 있다.
원래 라플라스 변환은 자연계의 운동들, 예를 들면 포락선(envelope) 같은 감쇠 현상을 설명하기 위해 고안된 개념이다. 위 공식에서 복소수 라는 걸 생각해보자. 여기에서 과 는 실수이며 는 허수단위다. 는 상수 를 밑으로 한 지수인데, 지수 법칙을 이용해 이를 실수부와 허수부로 분리할 수 있다. 실수부는 감쇠를, 허수부는 오일러 공식에 의해 정현파(사인함수와 코사인함수) 형태로 표현된다. 이 둘을 곱하면 감쇄하는 진동운동이 표현된다.[5] 실수부 값에 따라 주어진 적분이 수렴하여 라플라스 변환이 존재할 수도 있고, 적분이 발산하여 라플라스 변환이 존재하지 않을 수도 있다. 이를 규정하는 기준을 수렴구간(ROC: Region Of Convergence)이라고 한다.
라플라스 변환으로 미분방정식을 푸는 과정을 개략적으로 설명하면
- t-공간에서의 복잡한 미분방정식
- 1.의 방정식을 적절하게 라플라스 변환
- s-공간에서의 본래 식보다는 간단한[6] 대수방정식 혹은 미분방정식(1의 미분방정식보다는 간단하다.)
- 3.의 해를 다시 적절하게 라플라스 역변환
- t-공간에서의 미분방정식의 해
미분방정식은 계수(order)가 높아질수록 해를 구하는 것은 거의 불가능하기 때문에 라플라스 변환을 사용한다. 주어진 미분방정식(differential equation)을 곧바로 푸는 것이 아니라 먼저 라플라스 변환한 후 대수방정식(algebraic equation)의 해를 구하고 다시 역변환하는 것이다. 이 방법을 적용하면 '일정 주기를 갖고 반복되는 함수형'(sin, cos, sinh, cosh 등)의 해를 그저 유리식의 사칙연산 수준만으로 구할 수 있어서 신호 처리 등에 유용하다. 이 목적을 위하여 원래 함수-변환된 함수를 세트로 모아놓은 표가 있다. 이름하여 라플라스 변환 표. 표 안에 세트가 수십 개 정도 있다.
주로 공과대학에서 공업수학을 통해 처음 배우며, 이후 회로이론, 제어공학, 신호 및 시스템 등의 과목에서 활용한다. 수많은 미분방정식을 풀어낼 때 유용하게 쓰이기 때문에 전자공학과 기계공학 전공자라면 어느 정도는 반드시 알아둬야 할 변환법이다. 수학과의 경우 미분방정식이라는 과목에서 배우게 된다.
라플라스 변환의 이산 버전으로 Z-변환(Z-transform)이라는게 있는데, 이는 차분방정식(difference equation)을 대수방정식(algebraic equation)으로 바꿔준다. 대부분의 성질이 라플라스 변환과 유사하며, 주로 디지털 시스템을 다루는 데 사용된다.
주로 공과대학에서 공업수학을 통해 처음 배우며, 이후 회로이론, 제어공학, 신호 및 시스템 등의 과목에서 활용한다. 수많은 미분방정식을 풀어낼 때 유용하게 쓰이기 때문에 전자공학과 기계공학 전공자라면 어느 정도는 반드시 알아둬야 할 변환법이다. 수학과의 경우 미분방정식이라는 과목에서 배우게 된다.
라플라스 변환의 이산 버전으로 Z-변환(Z-transform)이라는게 있는데, 이는 차분방정식(difference equation)을 대수방정식(algebraic equation)으로 바꿔준다. 대부분의 성질이 라플라스 변환과 유사하며, 주로 디지털 시스템을 다루는 데 사용된다.
만약에 당신이 수학과라면 변환과 역변환의 과정을 직접 계산해서 보여야 할 일이 많을 것이다.[9] 이 문단에선 라플라스 변환 및 역변환에 관한 기술을 설명한다.
증명
이때 가 계산 가능하기 위해 이 선행되어야 하므로, 라는 원하는 결과를 얻게 된다. |
이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 수학적 귀납법을 이용하면 할 수 있다.
예시:
증명
이를 일반화한 식은 다음과 같다. 증명은 수학적 귀납법을 이용하면 할 수 있다.
아래와 같이 변형할 수도 있다.
예시:
예시:
증명
[1] 선형대수학에서의 선형 변환(linear transformation), 맵핑과 똑같다! 실제로 라플라스 변환을 공부할 때 라플라스 변환은 선형 연산(linear operation) 가능하다고 나올 것이다.[2] second order differential equation. [3] 푸리에-멜린 적분 변환이라고도 한다. [4] 실용적인 목적에도 이쪽이 더 낫다. 라플라스 역변환은 이론적인 토대를 제공할 뿐이지, 실제로 계산하기에는 애로사항이 많다.[5] 실수부를 으로 만들면 푸리에 변환이 되는데, 이는 감쇄하지 않는 진동운동을 의미한다.[6] 진짜로 간단해진다. 본래 식이 간단하면 라플라스 쓰지 말고 그냥 푸는 게 빠르다.[7] 라플라스 변환은 선형 연산자(linear operator)이다. 따라서 선형 연산이 성립하지 않는 비선형 미분방정식에 대해서는 적용할 수 없다.[8] 풀이가 존재하는 베르누이 미분방정식같은 경우[9] 수학과가 아니라면 이 모든 계산을 다 할 필요는 없다.[10] 단위 충격 함수라고도 한다.[11] 디랙 델타 함수의 부정적분. 헤비사이드 계단 함수라고도 한다.[12] 적분 구간이 0부터 무한대이기 때문에 이든 든 상관이 없다. 다른 말로 임의의 나 0이나 양수일때 이고 음수일때 다른 함수이어도 라플라스 변환은 같다는 뜻이다.[13] 일경우. 또한 극한값이 존재한다는 것도 따로 보여야 한다[14] 푸비니의 정리를 사용한다.[15] 적분 순서의 변경과 푸비니의 정리 사용
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