類るい氫原子げんし

似に氫原子げんし模型もけい（Hydrogen-like atom）是ぜ只ただ擁よう有ゆう一いち個こ電子でんし的てき原子げんし，與あずか氫原子げんし同どう為ため等とう電子でんし體たい，例れい如，He⁺, Li²⁺, Be³⁺與あずかB⁴⁺等ひとし等とう都と是ぜ類るい氫原子げんし，又また稱たたえ為ため「類るい氫離子こ」。類るい氫原子げんし只ただ含有がんゆう一いち個こ原子核げんしかく與あずか一いち個こ電子でんし，是これ個こ簡單かんたん的てき二に體たい系統けいとう，系統けいとう內的作用さよう力りょく只ただ跟二體之間的距離有關，是ぜ反はん平方へいほう連れん心力しんりょく。這反平方へいほう連れん心力しんりょく二體系統不需再加理想化，簡單かんたん化か。描述這系統けいとう的てき（非ひ相對そうたい論ろん性的せいてき）薛丁格かく方程式ほうていしき有ゆう解析かいせき解かい，也就是ぜ說せつ，解答かいとう能のう以有限げん數量すうりょう的てき常見つねみ函數かんすう來らい表ひょう達たち。滿足まんぞく這薛丁ちょう格かく方程式ほうていしき的てき波なみ函數かんすう可か以完全かんぜん地ち描述電子でんし的てき量子りょうし行為こうい。在ざい量子力學りょうしりきがく裏うら，類るい氫原子げんし問題もんだい是ぜ一いち個こ很簡單かんたん，很實用じつよう，而又有ゆう解析かいせき解かい的てき問題もんだい。所ところ推演出來でき的てき基本きほん物理ぶつり理論りろん，又また可か以用簡單かんたん的てき實驗じっけん來らい核かく對たい。所以ゆえん，類るい氫原子げんし問題もんだい是これ個こ很重要じゅうよう的てき問題もんだい。

稱しょう滿足まんぞく上述じょうじゅつ系統けいとう的てき薛丁格かく方程式ほうていしき的てき波なみ函數かんすう為ため單たん電子でんし波は函數かんすう，或ある類るい氫原子げんし波は函數かんすう。類るい氫原子げんし波は函數かんすう是ぜ單たん電子でんし角すみ動どう量りょう算さん符ふ $L$ 與あずか其 z-軸じく分量ぶんりょう算さん符ふ $L_{z}$ 的てき本ほん徵ちょう函數かんすう。由よし於能量りょう本ほん徵ちょう值 $E_{n}$ 跟量子りょうし數すう $l$ ，$m$ 無關むせき，而只跟主しゅ量子りょうし數すう $n$ 有ゆう關せき。所以ゆえん，類るい氫原子げんし波は函數かんすう可か以由主ぬし量子りょうし數すう $n$ 、角すみ量子りょうこ數すう $l$ 、磁量子りょうし數すう $m$ ，獨特どくとく地ち決定けってい。因よし為ため構造こうぞう原理げんり，還かえ必須ひっす加か上じょう自じ旋量子りょうし數すう $m_{s}=\pm 1/2$ 。對たい於多電子でんし原子げんし，這原理げんり限げん制せい了りょう電子でんし構型的てき四よん個こ量子りょうし數すう。對たい於類氫原子げんし，所有しょゆう簡併的てき軌域形成けいせい了りょう一いち個こ電子でんし層そう；每ごと一個電子層都有其獨特的主量子數 $n$ ．這主量子りょうし數すう決定けってい了りょう電子でんし層そう的てき能のう量りょう。主しゅ量子りょうし數すう也限制せい了りょう角すみ量子りょうこ數すう $l$ 、磁量子りょうし數すう $m$ 、自じ旋量子りょうし數すう $m_{s}$ 的てき值域。

除じょ了りょう氫原子げんし（電でん中性ちゅうせい）以外いがい，類るい氫原子はらこ都と是ぜ離はなれ子こ，都と帶たい有正ありまさ電荷でんか量りょう $e(Z-1)$ ；其中，$e$ 是これ單位たんい電荷でんか量りょう，$Z$ 是これ原子げんし序じょ數すう。離はなれ子こ像ぞうHe⁺、Li²⁺、Be³⁺、B⁴⁺、等ひとし等とう，都みやこ是ただし類るい氫原子げんし。

在ざい元素げんそ周期しゅうき表ひょう中なか，第だい IA 族ぞく的てき鹼金屬きんぞく元素げんそ，其原そのはら子こ的てき最さい外そと電子でんし層そう都と有ゆう一いち個こ電子でんし，而第二外層電子層的亞層，不ふ論ろん是ぜ s 亞あ層そう或ある p 亞あ層そう，凡是內中有ちゅうう電子でんし的てき亞あ層そう．都と已やめ被ひ填はま滿まん。例れい如，鈉元素げんそ有ゆう11個いっこ電子でんし。電子でんし排はい佈為ため $1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{1}$ 。最さい外層がいそう只ただ有ゆう一いち個こ電子でんし。第だい二に外層がいそう的てき $2s$ 與あずか $2p$ 亞あ層そう都と已やめ填はま滿まん。鉀元素げんそ有ゆう19個こ電子でんし。電子でんし排はい佈為 $1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^{6}4s^{1}$ 。第だい二に外層がいそう的てき $3s$ 與あずか $3p$ 亞あ層そう都と已やめ填はま滿まん。由よし於 $3p$ 亞あ層そう的てき軌域的てき能のう量りょう較高，最さい外層がいそう唯ただ一的一個電子的軌域是 $4s$ 。受到內層電子でんし的てき緊密きんみつ屏へい蔽，這最外層がいそう的てき電子でんし只ただ能のう感かん受到大約たいやく為ため一いち個こ質しつ子こ的てき存在そんざい。有效ゆうこう原子げんし序じょ數すう是ぜ 1 。所以ゆえん，這鹼金屬きんぞく的てき單たん電子でんし系統けいとう可か以視為ため一いち個こ類るい氫原子げんし系統けいとう。可か以用原子げんし序じょ數すう為ため 1 的てき類るい氫原子げんし波は函數かんすう，來らい近似きんじ地表ちひょう達たち這電子でんし的てき量子りょうし態たい。

因いん為ため電子でんし與あずか電子でんし之の間あいだ的てき庫くら侖相互そうご作用さよう，擁よう有ゆう多た個こ電子でんし的てき原子げんし或ある離はなれ子こ沒ぼつ有ゆう解析かいせき解かい，必須ひっす用よう數かず值法來らい做量子力學りょうしりきがく計算けいさん，才能さいのう求もとめ得とく近似きんじ的てき波なみ函數かんすう以及其它有ゆう關せき性質せいしつ。由よし於哈密頓ひたぶる量りょう的まと球だま對稱たいしょう性せい，一個原子的角動量 $L$ 守恆もりつね。許多きょた數すう值程序じょ，開始かいし於單電子でんし算さん符ふ $L^{2}$ 與あずか $L_{z}$ 的てき本ほん徵ちょう函數かんすう的てき乘じょう積せき。所ところ計算けいさん出來でき的てき波なみ函數かんすう的てき徑みち向こう部分ぶぶん 有ゆう時じ會かい是ぜ數すう值列表ひょう或ある斯萊特とく軌域 (Slater orbitals) 。應用おうよう角すみ動どう量りょう偶合方法ほうほう (angular momentum coupling) ，可か以設定せってい $L$ （或ある許もと也可以設定せってい $S$ ）的てき多た電子でんし本ほん徵ちょう函數かんすう。

薛丁格かく方程式ほうていしき解答かいとう

類るい氫原子げんし問題もんだい的てき薛丁格かく方程式ほうていしき為ため

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi$ ；

其中，$\hbar$ 是これ約やく化か普ふ朗ろう克かつ常數じょうすう，$\mu$ 是ぜ電子でんし與原よはら子こ核かく的てき約やく化か質量しつりょう，$\psi$ 是ぜ量子りょうし態たい的てき波なみ函數かんすう，$E$ 是能これよし量りょう，$V(r)$ 是これ庫くら侖位勢ぜい：

$V(r)=-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$ ；

其中，$\epsilon _{0}$ 是これ真ま空電くうでん容よう率りつ，$Z$ 是これ原子げんし序じょ，$e$ 是これ單位たんい電荷でんか量りょう，$r$ 是ぜ電子でんし離はなれ原子核げんしかく的てき距離きょり。

採用さいよう球だま坐すわ標しるべ $(r,\ \theta ,\ \phi )$，將はた拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯算子こ展開てんかい：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi -{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi =E\psi$ 。

猜想這薛丁ちょう格かく方程式ほうていしき的てき波なみ函數かんすう解かい $\psi (r,\ \theta ,\ \phi )$ 是ぜ徑みち向こう函數かんすう $R_{nl}(r)$ 與あずか球たま諧函數すう $Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$ 的てき乘じょう積せき：

$\psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\ \phi )$ 。

角すみ部分ぶぶん解答かいとう

參まいり數すう為ため天頂てんちょう角かく和わ方位ほうい角かく的てき球たま諧函數すう，滿足まんぞく角かく部分ぶぶん方程式ほうていしき

$-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )$ ；

其中，非負ひふ整數せいすう $l$ 是これ軌角動どう量りょう的てき角すみ量子りょうこ數すう。磁量子りょうし數すう $m$ （滿足まんぞく $-l\leq m\leq l$ ）是ぜ軌角動どう量りょう對たい於 z-軸じく的てき（量子りょうし化か的てき）投影とうえい。不同ふどう的てき $l$ 與あずか $m$ 給きゅう予よ不同ふどう的てき軌角動どう量りょう函數かんすう解答かいとう $Y_{lm}$ ：

$Y_{lm}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-|m|)! \over (l+|m|)!}}}\,P_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }$ ；

其中，$i$ 是これ虛數きょすう單位たんい，$P_{lm}(\cos {\theta })$ 是これ伴ばん隨ずい勒讓德とく多項式たこうしき，用よう方程式ほうていしき定義ていぎ為ため

$P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)\,$ ；

而 $P_{l}(x)$ 是これ $l$ 階かい勒讓德とく多項式たこうしき，可用かよう羅ら德いさお里さと格かく公式こうしき表示ひょうじ為ため

$P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}$ 。

徑みち向こう部分ぶぶん解答かいとう

徑みち向こう函數かんすう滿足まんぞく一個一維薛丁格方程式：

$\left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right]R_{nl}(r)=ER_{nl}(r)$ 。

方程式ほうていしき左邊さへん的てき第だい二に項こう可か以視為ため離はなれ心力しんりょく位い勢ぜい，其效應おう是ぜ將はた徑みち向こう距離きょり拉ひしげ遠とお一いち點てん。

除じょ了りょう量子りょうし數すう $\ell$ 與あずか $m$ 以外いがい，還かえ有ゆう一いち個こ主しゅ量子りょうし數すう $n$ 。為ため了りょう滿足まんぞく $R_{nl}(r)$ 的てき邊あたり界かい條件じょうけん，$n$ 必須ひっす是正ぜせい值整數すう，能のう量りょう也離散りさん為ため能のう級きゅう $E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}={\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}\ (eV)$ 。隨ずい著ちょ量子りょうし數すう的てき不同ふどう，函數かんすう $R_{nl}(r)$ 與あずか $Y_{lm}$ 都會とかい有ゆう對應たいおう的てき改變かいへん。按照慣例かんれい，規定きてい用よう波なみ函數かんすう的てき下か標しるべ符號ふごう來らい表示ひょうじ這些量子りょうし數すう。這樣，徑みち向こう函數かんすう可か以表達たち為ため

$R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)$ ；

其中，$a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}$ 。 $a_{\mu }$ 近似きんじ於波なみ耳みみ半徑はんけい $a_{0}$ 。假かり若わか，原子核げんしかく的てき質量しつりょう是ぜ無限むげん大だい的てき，則のり $a_{\mu }=a_{0}$ ，並なみ且，約やく化か質量しつりょう等とう於電子でんし的てき質量しつりょう，$\mu =m_{e}$ 。 $L_{n-l-1}^{2l+1}$ 是これ廣義こうぎ拉ひしげ格かく耳みみ多項式たこうしき，定義ていぎ為ため

$L_{i}^{j}(x)=(-1)^{j}\ {\frac {d^{j}}{dx^{j}}}L_{i+j}(x)$ ；

其中，$L_{i+j}(x)$ 是これ拉ひしげ格かく耳みみ多項式たこうしき，可用かよう羅ら德いさお里さと格かく公式こうしき表示ひょうじ為ため

$L_{i}(x)={\frac {e^{x}}{i!}}\ {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(x^{i}e^{-x})$ 。

為ため了りょう要よう結束けっそく廣義こうぎ拉ひしげ格かく耳みみ多項式たこうしき的てき遞迴關係かんけい，必須ひっす要求ようきゅう $l<n$ 。

知道ともみち徑みち向こう函數かんすう $R_{nl}(r)$ 與あずか球たま諧函數すう $Y_{lm}$ 的てき形式けいしき，可か以寫出で整せい個こ量子りょうし態たい的てき波なみ函數かんすう，也就是ぜ薛丁格かく方程式ほうていしき的てき整せい個こ解答かいとう：

$\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi )$ 。

量子りょうし數すう

量子りょうし數すう $n$ ，$l$ ，$m$ 都みやこ是ただし整數せいすう，容よう許もと下か述じゅつ值：

$n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots$ ，

$l=0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n-1$ ，

$m=-l,\ -l+1,\ \ldots ,\ 0,\ \ldots ,\ l-1,\ l$ 。

為ため什麼いんも $l<n$ ？為ため什麼いんも $-l\leq m\leq l$ ？若わか想そう進しん一步知道關於這些量子數的群理論，敬けい請參閱氫原子げんし量子力學りょうしりきがく。

角すみ動どう量りょう

每まい一個原子軌域都有特定的角動量向量 $\mathbf {L}$ 。它對應おう的てき算さん符ふ是ぜ一いち個こ向むこう量りょう算さん符ふ ${\hat {\mathbf {L} }}$ 。角すみ動どう量りょう算さん符ふ的てき平方へいほう ${\hat {L}}^{2}\equiv {\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}$ 的てき本ほん徵ちょう值是

${\hat {L}}^{2}Y_{lm}=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{lm}$ 。

角すみ動どう量りょう向むこう量りょう對たい於任意にんい方向ほうこう的てき投影とうえい是ぜ量子りょうし化か的てき。設定せってい此任意にんい方向ほうこう為ため z-軸じく的てき方向ほうこう，則のり量子りょうし化か公式こうしき為ため

${\hat {L}}_{z}Y_{lm}=\hbar mY_{lm}$ 。

因よし為ため $[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]=0$ ，${\hat {L}}^{2}$ 與あずか ${\hat {L}}_{z}$ 是これ對たい易えき的てき，$L^{2}$ 與あずか $L_{z}$ 彼此ひし是ぜ相あい容よう可か觀察かんさつ量りょう，這兩個りゃんこ算さん符ふ有ゆう共同きょうどう的てき本ほん徵ちょう態たい。根據こんきょ不ふ確定かくてい性せい原理げんり，以同時じ地ち測量そくりょう到いた $L^{2}$ 與あずか $L_{z}$ 的てき同樣どうよう的てき本ほん徵ちょう值。

由よし於 $[{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}$ ，${\hat {L}}_{x}$ 與あずか ${\hat {L}}_{y}$ 互相不ふ對たい易えき，$L_{x}$ 與あずか $L_{y}$ 彼此ひし是ぜ不ふ相あい容よう可か觀察かんさつ量りょう，這兩個りゃんこ算さん符ふ絕對ぜったい不ふ會かい有ゆう共同きょうどう的てき基底きてい量子りょうし態たい。一般いっぱん而言，${\hat {L}}_{x}$ 的てき本ほん徵ちょう態たい與あずか ${\hat {L}}_{y}$ 的てき本ほん徵ちょう態たい不同ふどう。

給きゅう予よ一いち個こ量子りょうし系統けいとう，量子りょうし態たい為ため $|\psi \rangle$ 。對たい於可觀察かんさつ量りょう算さん符ふ ${\hat {L}}_{x}$ ，所有しょゆう本ほん徵ちょう值為 $l_{xi}$ 的てき本ほん徵ちょう態たい $|f_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ ，形成けいせい了りょう一いち組くみ基底きてい量子りょうし態たい。量子りょうし態たい $|\psi \rangle$ 可か以表達たち為ため這基底そこ量子りょうし態たい的てき線せん性せい組合くみあい：$|\psi \rangle =\sum _{i}\ |f_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle$ 。對たい於可觀察かんさつ量りょう算さん符ふ ${\hat {L}}_{y}$ ，所有しょゆう本ほん徵ちょう值為 $l_{yi}$ 的てき本ほん徵ちょう態たい $|g_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ ，形成けいせい了りょう另外一いち組くみ基底きてい量子りょうし態たい。量子りょうし態たい $|\psi \rangle$ 可か以表達たち為ため這基底そこ量子りょうし態たい的てき線せん性せい組合くみあい：$|\psi \rangle =\sum _{i}\ |g_{i}\rangle \langle g_{i}|\psi \rangle$ 。

假かり若わか，測量そくりょう可か觀察かんさつ量りょう $L_{x}$ ，得え到いた的てき測量そくりょう值為其本徵ちょう值 $l_{xi}$ ，則のり量子りょうし態たい機き率りつ地ち塌縮為本ためもと徵ちょう態たい $|f_{i}\rangle$ 。假かり若わか，立たて刻こく再さい測量そくりょう可か觀察かんさつ量りょう $L_{x}$ ，得え到いた的てき答案とうあん必定ひつじょう是ぜ $l_{xi}$ ，在ざい很短的てき時間じかん內，量子りょうし態たい仍舊處しょ於 $|f_{i}\rangle$ 。可か是ぜ，假かり若わか改あらため為ため立りつ刻こく測量そくりょう可か觀察かんさつ量りょう $L_{y}$ ，則のり量子りょうし態たい不ふ會かい停留ていりゅう於本徵ちょう態たい $|f_{i}\rangle$ ，而會機き率りつ地ち塌縮為ため ${\hat {L}}_{y}$ 本ほん徵ちょう值是 $l_{yj}$ 的てき本ほん徵ちょう態たい $|g_{j}\rangle$ 。這是量子力學りょうしりきがく裏うら，關せき於測量的りょうてき一いち個こ很重要じゅうよう的てき特性とくせい。

根據こんきょ不ふ確定かくてい性せい原理げんり，

$\Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]\rangle }{2i}}\right|={\frac {\hbar |\langle {\hat {L}}_{z}\rangle |}{2}}$ 。

$L_{x}$ 的てき不ふ確定かくてい性せい與あずか $L_{y}$ 的てき不ふ確かく定性的ていせいてき乘じょう積せき $\Delta L_{x}\ \Delta L_{y}$ ，必定ひつじょう大だい於或等とう於 ${\frac {\hbar |\langle L_{z}\rangle |}{2}}$ 。

類似るいじ地ち，$L_{x}$ 與あずか $L_{z}$ 之これ間あいだ，$L_{y}$ 與あずか $L_{z}$ 之これ間あいだ，也有やゆう同樣どうよう的てき特性とくせい。

自じ旋-軌道きどう作用さよう

主しゅ条目じょうもく：自じ旋-軌道きどう作用さよう

電子でんし的てき總角あげまき動どう量りょう必須ひっす包括ほうかつ電子でんし的てき自じ旋。在ざい一いち個こ真實しんじつ的てき原子げんし裏うら，因いん為ため電子でんし環たまき繞にょう著ちょ原子核げんしかく移動いどう，會かい感かん受到磁場じば。電子でんし的てき自じ旋與あずか磁場じば產さん生せい作用さよう ，這現象げんしょう稱たたえ為ため自じ旋-軌道きどう作用さよう。當とう將しょう這現象げんしょう納入のうにゅう計算けいさん，自じ旋與角かく動どう量りょう不ふ再さい是ぜ保守ほしゅ的てき，可か以將此想像ぞう為ため電子でんし的てき進すすむ動どう。為ため了りょう維持いじ保守ほしゅ性せい，必須ひっす取と代だい量子りょうし數すう $l$ 、$m$ 與あずか自じ旋的投影とうえい $m_{s}$ ，而以量子りょうし數すう $j$，$m_{j}$ 來らい計算けいさん總角あげまき動どう量りょう。

精細せいさい結構けっこう

主しゅ条目じょうもく：精細せいさい結構けっこう

在ざい原子げんし物理ぶつり學がく裏うら，因いん為ため一いち階かい相對そうたい論ろん性せい效こう應おう，與あずか自じ旋-軌道きどう耦合，而產生せい的てき原子げんし譜ふ線せん分裂ぶんれつ，稱たたえ為ため精細せいさい結構けっこう。

非ひ相對そうたい論ろん性せい，無む自じ旋的てき電子でんし產さん生せい的てき譜ふ線せん稱たたえ為ため粗略そりゃく結構けっこう。類るい氫原子げんし的てき粗略そりゃく結構けっこう只ただ跟主量子りょうし數すう $n$ 有ゆう關せき。可か是ぜ，更さら精確せいかく的てき模型もけい，考慮こうりょ到いた相對そうたい論ろん效こう應おう與あずか自じ旋-軌道きどう效こう應おう，能のう夠分解能ぶんかいのう級きゅう的てき簡併，使つかい譜ふ線せん能のう更さら精細せいさい地ち分裂ぶんれつ。相對そうたい於粗略りゃく結構けっこう，精細せいさい結構けっこう是ぜ一いち個こ $(Z\alpha )^{2}$ 效こう應おう；其中，$Z$ 是これ原子げんし序じょ數すう，$\alpha$ 是これ精細せいさい結構けっこう常數じょうすう。

在ざい相對そうたい論ろん量子力學りょうしりきがく裏うら，狄拉克かつ方程式ほうていしき可か以用來らい計算けいさん電子でんし的てき波なみ函數かんすう。用よう這方法ほう，能のう階かい跟主量子りょうし數すう $n$ 、總そう量子りょうし數すう $j$ 有ゆう關せき，容よう許もと的てき能のう量りょう為ため

$E_{nj}=E_{n}\left[1+\left({\frac {Z\alpha }{n}}\right)^{2}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right]$ 。

穩定性せい

思考しこう類るい氫原子げんし穩定性せい問題もんだい，應用おうよう經典きょうてん電動でんどう力學りきがく來らい分析ぶんせき，則のり由よし於庫くら侖力作用さよう，束縛そくばく電子でんし會かい被ひ原子核げんしかく吸引きゅういん，呈てい螺にし線せん運動うんどう掉入原子核げんしかく，同時どうじ輻射ふくしゃ出で無窮むきゅう大能おおの量りょう，因いん此原子げんし不ふ具有ぐゆう穩定性せい。但ただし是ぜ，在ざい大自然だいしぜん裏うら這虛擬なずらえ現象げんしょう實際じっさい並なみ不ふ會かい發生はっせい。那な麼，為ため什麼いんも類るい氫原子げんし的てき束縛そくばく電子でんし不ふ會かい掉入原子核げんしかく裏うら？應用おうよう量子力學りょうしりきがく，可か以計算出さんしゅつ類るい氫原子げんし系統けいとう的てき基もと態たい能のう量りょう大だい於某有限ゆうげん值，稱しょう這結果けっか為ため滿足まんぞく「第だい一種いっしゅ穩定性せい條件じょうけん」，即そく類るい氫原子げんし的てき基もと態たい能のう量りょう $E_{0}$ 大だい於某有限ゆうげん值：

$E_{0}>-\infty$ 。

量子力學りょうしりきがく的てき海うみ森もり堡不確定かくてい性せい原理げんり $\Delta x\Delta p\geq \hbar /2$ 可か以用來らい啟發けいはつ性せい地ち說明せつめい這問題もんだい，電子でんし越えつ接近せっきん原子核げんしかく，電子でんし動どう能のう越えつ大だい。但ただし是ぜ海うみ森もり堡不確定かくてい性せい原理げんり不能ふのう嚴格げんかく給きゅう出で數學すうがく證明しょうめい，有ゆう些特別とくべつ案あん例れい不能ふのう滿足まんぞく第だい一種いっしゅ穩定性せい條件じょうけん，因よし為ため $\Delta x$ 量りょう度ど的てき是ぜ波は函數かんすう的てき半はん寬ひろし度ど，而不是ぜ波は函數かんすう集しゅう聚於原子核げんしかく附近ふきん的てき程度ていど，所以ゆえん波は函數かんすう可か以擁有ゆう一定的半寬度，並なみ且極度きょくど集しゅう聚於原子核げんしかく附近ふきん，造成ぞうせい庫こ侖勢能のう趨於 $-\infty$ ，同時どうじ維持いじ有限ゆうげん的てき動どう能のう。

更さら詳細しょうさい分析ぶんせき起おこり見み，只ただ考慮こうりょ類るい氫原子げんし系統けいとう，給きゅう定てい原子げんし的てき原子げんし序じょ $Z$ ，原子げんし的てき能のう量りょう $E$ 為ため

$E=T+V=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\mathrm {d} x\left({\frac {1}{2}}|\nabla \psi (x)|^{2}-Z{\frac {|\psi (x)|^{2}}{|x|}}\right)$ ；

其中，$T$ 為ため動どう能のう，$V$ 為ため勢ぜい能のう，$\psi (x)$ 為ため描述類るい氫原子げんし系統けいとう的てき波なみ函數かんすう，$x$ 為ため位置いち坐すわ標しるべ，$\mathbb {R} ^{3}$ 為ため積分せきぶん體積たいせき。

應用おうよう索さく博はく列れつ夫おっと不等式ふとうしき，經過けいか一番いちばん運算うんざん，可か以得到いた能のう量りょう最大さいだい下界げかい為ため。

$E_{0}=-4Z^{2}/3\ [Ry]$ ；

其中，$Ry$ 是能これよし量りょう單位たんい里さと德とく伯はく，大約たいやく為ため13.6eV。

總そう結ゆい，類るい氫原子げんし滿足まんぞく第だい一種穩定性條件這結果。

參まいり閱

• 氫原子げんし
• 芮得柏かしわ原子げんし
• 正子まさこ電子でんし偶
• 拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯-龍りゅう格かく-冷ひや次じ向むこう量りょう
• 精細せいさい結構けっこう

參考さんこう文獻ぶんけん

• Tipler, Paul & Ralph Llewellyn (2003). Modern Physics (4th ed.). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0
• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1995: 131-200. ISBN 0-13-111892-7.