交叉 こうさ 數 すう 不等式 ふとうしき 是 ぜ 數學 すうがく 的 てき 圖 ず 論 ろん 分 ぶん 支 ささえ 中 ちゅう 的 てき 一 いち 条 じょう 不等式 ふとうしき 給 きゅう 出 で 了 りょう 一 いち 幅 ぶく 图 画 が 在 ざい 平面 へいめん 上 じょう 交叉 こうさ 數 すう 的 てき 下界 げかい 又 また 名 な 交叉 こうさ 数 すう 給 きゅう 定 じょう 一 いち 幅 ぶく 圖 ず 界 かい 可 か 由 よし 邊 あたり 數 かず 和 わ 頂點 ちょうてん 數 すう 計 けい 算出 さんしゅつ 不等式 ふとうしき 斷言 だんげん 若 わか 邊 あたり 數 すう
e
{\displaystyle e}
与 あずか 頂點 ちょうてん 數 すう
n
{\displaystyle n}
的 まと 比 ひ 数 すう 則 のり 交叉 こうさ 數 すう 不 ふ 小 しょう
e
3
/
n
2
{\displaystyle e^{3}/n^{2}}
乘 の 一 いち 固定 こてい 的 てき 常数 じょうすう
交叉 こうさ 數 すう 不等式 ふとうしき 在 ざい 超 ちょう 大 だい 集成 しゅうせい 設計 せっけい 與 あずか 組合 くみあい 幾何 きか 方面 ほうめん 有 ゆう 應用 おうよう 奧 おく 伊 い 陶 とう 伊 い 米 まい 克 かつ 洛 らく 瓦 かわら 茨 いばら 拉 ひしげ 夫 おっと 塔 とう 爾 なんじ 蒙 こうむ 提 ひさげ 紐 ひも 邦 くに 塞 ふさが 迪 すすむ 安德 あんとく 烈 れつ 四 よん 人 にん [ 1] 湯 ゆ 雷 かみなり 頓 とみ [ 2] 分別 ふんべつ 獨立 どくりつ 發現 はつげん
交叉 こうさ 數 すう 不等式 ふとうしき 說明 せつめい 若 わか 無 む 向 むかい 簡單 かんたん 圖 ず
G
{\displaystyle G}
n
{\displaystyle n}
個 こ 頂點 ちょうてん 和 わ
e
{\displaystyle e}
條 じょう 邊 あたり
e
>
7
n
{\displaystyle e>7n}
則 のり 交叉 こうさ 數 すう
cr
(
G
)
{\displaystyle {\text{cr}}(G)}
即 そく 將 はた
G
{\displaystyle G}
畫 が 在 ざい 平面 へいめん 上 じょう 時 じ 邊 あたり 的 てき 交點 こうてん 數 すう 的 てき 最小 さいしょう 可能 かのう 滿足 まんぞく 不等式 ふとうしき
cr
(
G
)
≥
e
3
29
n
2
.
{\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{29n^{2}}}.}
式 しき 中 ちゅう 的 てき 常數 じょうすう
29
{\displaystyle 29}
為 ため 年 ねん 所 しょ 知 ち 最 さい 優 ゆう 伊 い 爾 なんじ 艾 あい 克 かつ 的 てき 結果 けっか [ 3] 先 さき 前 ぜん 常數 じょうすう 的 てき 結果 けっか 可 か 見 み Pach & Tóth (1997 )和 わ Pach 等 とう 人 じん )。[ 4] [ 5] 条件 じょうけん 中 ちゅう 的 てき 常數 じょうすう
7
{\displaystyle 7}
少 しょう 至 いたり 更 さら 佳 よ 的 てき
4
{\displaystyle 4}
但 ただし 代價 だいか 是 ぜ
29
{\displaystyle 29}
要 よう 換 かわ 成 なる 較差 かくさ 的 てき
64
{\displaystyle 64}
版本 はんぽん 的 てき 證明 しょうめい 見 み 後 ご 文 ぶん
注意 ちゅうい 式 しき 中 ちゅう 交叉 こうさ 數 すう
cr
(
G
)
{\displaystyle {\text{cr}}(G)}
與 あずか 兩兩 りょうりょう 交叉 こうさ 數 すう
pair-cr
(
G
)
{\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)}
不同 ふどう Pach & Tóth (2000 )指出 さしで 兩兩 りょうりょう 交叉 こうさ 數 すう
pair-cr
(
G
)
{\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)}
係 かかり 指 ゆび 相 しょう 對 たい 的 てき 最小 さいしょう 可能 かのう 數 すう 交叉 こうさ 數 すう
cr
(
G
)
{\displaystyle {\text{cr}}(G)}
係 かかり 指 ゆび 由 よし 任意 にんい 兩邊 りょうへん 所 しょ 成 なり 交叉 こうさ 點 てん 的 てき 最小 さいしょう 可能 かのう 數 すう 從 したがえ
pair-cr
(
G
)
≤
cr
(
G
)
{\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)\leq {\text{cr}}(G)}
因 いん 要 よう 作出 さくしゅつ 區分 くぶん [ 6]
雷 かみなり 頓 ひたぶる 研究 けんきゅう 交叉 こうさ 數 すう 是 ぜ 為 ため 了 りょう 理論 りろん 計算 けいさん 機 き 科學 かがく 中 ちゅう 超 ちょう 大型 おおがた 積 せき 體 たい 電路 でんろ 設計 せっけい 方面 ほうめん 的 てき 應用 おうよう [ 2]
此後，Székely (1997 )發現 はつげん 等式 とうしき 在 ざい 關聯 かんれん 幾何 きか 方面 ほうめん 有 ゆう 應用 おうよう 能 のう 簡短 かんたん 地 ち 證明 しょうめい 一 いち 要 よう 定理 ていり 例 れい 塞 ふさが 迪 すすむ 特 とく 羅 ら 特定 とくてい 理 り 已 やめ 知 ち 平面 へいめん 上 じょう 的 てき 點數 てんすう 和 わ 直線 ちょくせん 數 すう 時 じ 給 きゅう 出 で 關聯 かんれん 數 すう 即 そく 點線 てんせん 對 たい
(
p
,
ℓ
)
{\displaystyle (p,\ell )}
的 てき 數 すう 目 もく
p
∈
ℓ
{\displaystyle p\in \ell }
的 てき 上 うえ 界 かい 證明 しょうめい 方法 ほうほう 是 ぜ 先 さき 構造 こうぞう 一 いち 幅 ぶく 圖 ず 點 てん 即 そく 為平 ためひら 面 めん 上 じょう 的 てき 點 てん 則 そく 為 ため 同 どう 關聯 かんれん 數 すう 大 だい 迪 すすむ 特 とく 羅 ら 特 とく 的 てき 上 うえ 界 かい 則 のり 利用 りよう 交叉 こうさ 數 すう 不等式 ふとうしき 可 か 證 しょう 的 てき 交叉 こうさ 數 すう 線 せん 的 てき 二 に 元 げん 組 ぐみ 數 すう 但 ただし 不可能 ふかのう 因 いん 為 ため 兩 りょう 條 じょう 直線 ちょくせん 只 ただ 能 のう 獨 どく 一 いち 點 てん 等式 とうしき 同樣 どうよう 適用 てきよう 證明 しょうめい 貝 かい 克 かつ 定理 ていり 即 そく 若 わか 平面 へいめん 上 じょう
n
{\displaystyle n}
個 こ 點 てん 中 ちゅう 不 ふ 存在 そんざい 線 せん 性 せい 多 た 即 そく
n
/
C
{\displaystyle n/C}
個 こ 點 てん 共 ども 線 せん 則 のり 兩 りょう 連 れん 線 せん 產 さん 生平 おいだいら 方 かた 多 た 即 そく
n
2
/
K
{\displaystyle n^{2}/K}
條 じょう 不 ふ 重合 じゅうごう 的 てき 直線 ちょくせん
C
{\displaystyle C}
和 わ
K
{\displaystyle K}
為 ため 正常 せいじょう 數 すう [ 7] 塔 とう 馬 ば 爾 しか 類似 るいじ 地 ち 證明 しょうめい 了 りょう 幾何 きか k -集 しゅう 數 すう 的 てき 上 うえ 界 かい [ 8]
先 さき 利用 りよう 歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき 證明 しょうめい 以下 いか 初步 しょほ 若 わか 圖 ず G n 個 こ 頂點 ちょうてん 和 わ e 條 じょう 邊 あたり 則 のり
cr
(
G
)
≥
e
−
3
n
.
{\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq e-3n.}
考慮 こうりょ
G
{\displaystyle G}
的 てき 一 いち 個 こ
cr
(
G
)
{\displaystyle {\text{cr}}(G)}
個 こ 交叉 こうさ 的 てき 畫 が 法 ほう 可 か 每 ごと 個 こ 交叉 こうさ 一 いち 條 じょう 邊 あたり 從 したがえ 除 じょ 所有 しょゆう 交叉 こうさ 剩 あま 下 した 的 てき 邊 あたり 組成 そせい 一 いち 幅 ぶく 平面 へいめん 圖 ず 因 いん 為 ため 不 ふ 再 さい 有 ゆう 交叉 こうさ 數 すう 至 いたり 少 すくな 為 ため
e
−
cr
(
G
)
{\displaystyle e-{\text{cr}}(G)}
頂點 ちょうてん 數 すう 則 のり 為 ため
n
{\displaystyle n}
根據 こんきょ 平面 へいめん 圖 ず 的 てき 歐 おう 拉 ひしげ 公式 こうしき
e
−
cr
(
G
)
≤
3
n
{\displaystyle e-{\text{cr}}(G)\leq 3n}
所以 ゆえん 上述 じょうじゅつ 成立 せいりつ 更 さら 準 じゅん 確 かく 來 らい 說 せつ 對 たい
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
有 ゆう
e
−
cr
(
G
)
≤
3
n
−
6
{\displaystyle e-{\text{cr}}(G)\leq 3n-6}
有 ゆう 了 りょう 上述 じょうじゅつ 利用 りよう 概 がい 率 りつ 方法 ほうほう 證明 しょうめい 原 ばら 來 らい 的 てき 交叉 こうさ 數 すう 不等式 ふとうしき 設 しつらえ
p
(
0
<
p
<
1
)
{\displaystyle p\ (0<p<1)}
為 ため 待 まち 定 じょう 的 てき 概 がい 率 りつ 參 さん 數 すう 依 よ 步 ふ 構造 こうぞう
G
{\displaystyle G}
的 てき 隨 ずい 機 き 子 こ
H
{\displaystyle H}
率 りつ
p
{\displaystyle p}
独立 どくりつ 随 ずい 机 つくえ
G
{\displaystyle G}
的 てき 各 かく 点 てん 若 わか
G
{\displaystyle G}
中 ちゅう 子 こ 点 てん 的 てき 分別 ふんべつ
e
H
{\displaystyle e_{H}}
n
H
{\displaystyle n_{H}}
和 わ
cr
H
{\displaystyle {\text{cr}}_{H}}
表示 ひょうじ
H
{\displaystyle H}
的 てき 邊 あたり 數 すう 頂點 ちょうてん 數 すう 和 わ 交叉 こうさ 數 すう 由 よし
H
{\displaystyle H}
是 これ
G
{\displaystyle G}
的 てき 子 こ 圖 ず
G
{\displaystyle G}
的 まと 畫 が 法 ほう 已 やめ 含有 がんゆう
H
{\displaystyle H}
的 まと 畫 が 法 ほう 由 よし 得 とく
cr
H
≥
e
H
−
3
n
H
.
{\displaystyle \operatorname {cr} _{H}\geq e_{H}-3n_{H}.}
取 と 期 き 望 もち 可知 かち
E
[
cr
H
]
≥
E
[
e
H
]
−
3
E
[
n
H
]
.
{\displaystyle \mathbb {E} [\operatorname {cr} _{H}]\geq \mathbb {E} [e_{H}]-3\mathbb {E} [n_{H}].}
由 よし
G
{\displaystyle G}
中 ちゅう 每 まい 個 こ 頂點 ちょうてん
H
{\displaystyle H}
中 なか 的 てき 概 がい 率 りつ 為 ため
p
{\displaystyle p}
有 ゆう
E
[
n
H
]
=
p
n
{\displaystyle \mathbb {E} [n_{H}]=pn}
類似 るいじ 知 ち
G
{\displaystyle G}
中 ちゅう 每 ごと 條 じょう 邊 あたり 入 にゅう
H
{\displaystyle H}
的 てき 概 がい 率 りつ 為 ため
p
2
{\displaystyle p^{2}}
因 いん 為 ため 端 はし 皆 みな 要 よう 入 いれ
H
{\displaystyle H}
所以 ゆえん
E
[
e
H
]
=
p
2
e
{\displaystyle \mathbb {E} [e_{H}]=p^{2}e}
最後 さいご 在 ざい
G
{\displaystyle G}
的 まと 畫 が 法 ほう 中 ちゅう 每 まい 個 こ 交叉 こうさ 有 ゆう
p
4
{\displaystyle p^{4}}
的 てき 概 がい 率 りつ
H
{\displaystyle H}
因 いん 為 ため 每 ごと 個 こ 交叉 こうさ 四 よん 個 こ 頂點 ちょうてん 若 わか 從 したがえ 同 どう 則 のり 不 ふ 妨 さまたげ 將 はた 兩 りょう 條 じょう 邊 べ 第 だい 從 したがえ 交叉 こうさ 的 てき 數 すう 目 もく 變 へん 少 すくな 由 よし 考慮 こうりょ 的 てき 畫 が 法 ほう
cr
(
G
)
{\displaystyle {\text{cr}}(G)}
個 こ 交叉 こうさ 無法 むほう 再 さい 減少 げんしょう 交叉 こうさ 所以 ゆえん 每 ごと 個 こ 交叉 こうさ 兩 りょう 條 じょう 無 む 公共 こうきょう 端點 たんてん 的 てき 邊 あたり 組成 そせい 因 いん
E
[
c
r
H
]
=
p
4
cr
(
G
)
{\displaystyle \mathbb {E} [cr_{H}]=p^{4}{\text{cr}}(G)}
上 うえ 式 しき 可 か 寫 うつし 成 なり
p
4
cr
(
G
)
≥
p
2
e
−
3
p
n
.
{\displaystyle p^{4}\operatorname {cr} (G)\geq p^{2}e-3pn.}
現在 げんざい 取 と
p
=
4
n
/
e
<
1
{\displaystyle p=4n/e<1}
已 やめ 設 しつらえ
e
>
4
n
{\displaystyle e>4n}
移項 いこう 化 か 不等式 ふとうしき
cr
(
G
)
≥
e
3
64
n
2
.
{\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{64n^{2}}}.}
以上 いじょう 論證 ろんしょう 對 たい
e
>
7.5
n
{\displaystyle e>7.5n}
的 てき 情況 じょうきょう 可 か 常數 じょうすう 由 ゆかり
64
{\displaystyle 64}
改 あらため 進 しん 到 いた
33.75
{\displaystyle 33.75}
[ 3]
若 わか 圖 ず 的 てき 圍 かこえ 長 ちょう 大 だい
2
r
{\displaystyle 2r}
e
≥
4
n
{\displaystyle e\geq 4n}
Pach，Spencer & Tóth (2000 )將 はた 不等式 ふとうしき 改 あらため 進 しん 成 なり [ 9]
cr
(
G
)
≥
c
r
e
r
+
2
n
r
+
1
.
{\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq c_{r}{\frac {e^{r+2}}{n^{r+1}}}.}
卡里姆·阿 おもね 迪 すすむ 普 ひろし 拉 ひしげ 西 にし 托 たく 將 はた 不等式 ふとうしき 到 いた 高 こう 況 きょう [ 10] 若 わか
Δ でるた
{\displaystyle \Delta }
為 ため 單體 たんたい 複 ふく 形 がた
d
{\displaystyle d}
數 すう 為 ため
f
d
(
Δ でるた )
{\displaystyle f_{d}(\Delta )}
(
d
−
1
)
{\displaystyle (d-1)}
數 すう 為 ため
f
d
−
1
(
Δ でるた )
{\displaystyle f_{d-1}(\Delta )}
滿足 まんぞく
f
d
(
Δ でるた )
>
(
d
+
3
)
f
d
−
1
(
Δ でるた )
{\displaystyle f_{d}(\Delta )>(d+3)f_{d-1}(\Delta )}
則 のり 當 とう
Δ でるた
{\displaystyle \Delta }
映 うつ 射 い 到 いた
R
2
d
{\displaystyle \mathbf {R} ^{2d}}
將 はた 圖畫 ずが 在 ざい 平面 へいめん 上 じょう 的 てき 高 だか 比 ひ 時 じ 相 あい
d
{\displaystyle d}
對 たい 的 てき 數 すう 目 もく 至 いたり 少 すくな 為 ため
f
d
d
+
2
(
Δ でるた )
(
d
+
3
)
d
+
2
f
d
−
1
d
+
1
(
Δ でるた )
.
{\displaystyle {\frac {f_{d}^{d+2}(\Delta )}{(d+3)^{d+2}f_{d-1}^{d+1}(\Delta )}}.}
^ Ajtai, M.; Chvátal, V.; Newborn, M. M.; Szemerédi, E. , Crossing-free subgraphs, Theory and practice of combinatorics, North-Holland Mathematics Studies 60 , North-Holland, Amsterdam: 9–12, 1982, MR 0806962 （英 えい ^ 2.0 2.1 Leighton, T., Complexity Issues in VLSI, Foundations of Computing Series, Cambridge, MA: MIT Press, 1983 （英 えい ^ 3.0 3.1 Ackerman, Eyal, On topological graphs with at most four crossings per edge, Computational Geometry, 2019, 85 : 101574, 31, MR 4010251 arXiv:1509.01932 doi:10.1016/j.comgeo.2019.101574 （英 えい ^ Pach, János; Tóth, Géza, Graphs drawn with few crossings per edge, Combinatorica, 1997, 17 (3): 427–439, MR 1606052 doi:10.1007/BF01215922 （英 えい ^ Pach, János; Radoičić, Radoš; Tardos, Gábor; Tóth, Géza, Improving the crossing lemma by finding more crossings in sparse graphs, Discrete and Computational Geometry, 2006, 36 (4): 527–552, MR 2267545 doi:10.1007/s00454-006-1264-9 （英 えい ^ Pach, János; Tóth, Géza, Which crossing number is it anyway?, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 2000, 80 (2): 225–246, doi:10.1006/jctb.2000.1978 （英 えい ^ Székely, L. A., Crossing numbers and hard Erdős problems in discrete geometry, Combinatorics, Probability and Computing, 1997, 6 (3): 353–358, MR 1464571 doi:10.1017/S0963548397002976 （英 えい ^ Dey, T. K. , Improved bounds for planar k 19 (3): 373–382, MR 1608878 doi:10.1007/PL00009354 （英 えい ^ Pach, J.; Spencer, J.; Tóth, G., New bounds on crossing numbers, Discrete and Computational Geometry, 2000, 24 (4): 623–644, MR 1799605 doi:10.1145/304893.304943 （英 えい ^ Adiprasito, Karim. Combinatorial Lefschetz theorems beyond positivity. 2018-12-26. arXiv:1812.10454v3 math.CO ] （英 えい .
图 種類 しゅるい
結構 けっこう
属性 ぞくせい
二元 にげん 運算 うんざん
映 うつ 射 い 關係 かんけい
定理 ていり
![{\displaystyle \mathbb {E} [\operatorname {cr} _{H}]\geq \mathbb {E} [e_{H}]-3\mathbb {E} [n_{H}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24cc18a45c2b3c227351a9f9bad36ca2d70dbc2)
![{\displaystyle \mathbb {E} [n_{H}]=pn}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adce4290bdd2f6793c8d484806f15a933161e854)
![{\displaystyle \mathbb {E} [e_{H}]=p^{2}e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3e531433bd202a6ba113436ac3932f045df395)
![{\displaystyle \mathbb {E} [cr_{H}]=p^{4}{\text{cr}}(G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c932d12180ac11b1a70cf0c9bd3d5569f8cd77c0)
, doi:10.1016/j.comgeo.2019.101574 （