连通图 （英語 えいご Connected graph ）是 これ 图论 中 ちゅう 最 さい 基本 きほん 概念 がいねん 之 の 一 いち 通 どおり 的 てき 概念 がいねん 在 ざい 一 いち 无向图 G 中 なか 若 わか 顶点
v
i
{\displaystyle v_{i}}
到 いた
v
j
{\displaystyle v_{j}}
有路 ありじ 径 みち 相 しょう
v
j
{\displaystyle v_{j}}
到 いた
v
i
{\displaystyle v_{i}}
一定 いってい 有路 ありじ 径 みち
v
i
{\displaystyle v_{i}}
和 わ
v
j
{\displaystyle v_{j}}
是 ぜ 的 てき G 是 これ 有向 ゆうこう 那 な 接 せっ
v
i
{\displaystyle v_{i}}
和 わ
v
j
{\displaystyle v_{j}}
的 まと 路 ろ 径 みち 中 ちゅう 所有 しょゆう 的 てき 同 どう 向 むこう 任意 にんい 都 と 是 ぜ 的 てき 那 な 被 ひ 称 しょう 作 さく 性 せい 是 ぜ 基本 きほん 性 せい 度 ど 是 ぜ 指 ゆび 分解 ぶんかい 成 なり 孤立 こりつ 的 てき 子 こ 所要 しょよう 的 てき 数 すう 的 てき 最小 さいしょう 度 ど 是 ぜ 刻 こく 画 が 的 てき
对一个图G = (V ,E )中 ちゅう 的 てき
x
{\displaystyle x}
和 わ
y
{\displaystyle y}
若 わか 存在 そんざい 交替 こうたい 的 てき 顶点 和 かず 序列 じょれつ
Γ がんま =
(
x
=
v
0
−
e
1
−
v
1
−
e
2
−
⋯
−
e
k
−
v
k
=
y
)
{\displaystyle \Gamma =(x=v_{0}-e_{1}-v_{1}-e_{2}-\cdots -e_{k}-v_{k}=y)}
在 ざい 有向 ゆうこう 要求 ようきゅう 有向 ゆうこう
v
i
−
v
i
+
1
{\displaystyle v_{i}-v_{i+1}}
属 ぞく E ），则两点 てん
x
{\displaystyle x}
和 わ
y
{\displaystyle y}
是 ぜ 的 てき
Γ がんま
{\displaystyle \Gamma }
是 ぜ 一 いち 条 じょう
x
{\displaystyle x}
到 いた
y
{\displaystyle y}
的 てき 路 ろ 径 みち
x
{\displaystyle x}
和 わ
y
{\displaystyle y}
分 ぶん 起点 きてん 和 わ 当 とう
x
=
y
{\displaystyle x=y}
Γ がんま
{\displaystyle \Gamma }
被 ひ 称 しょう 回路 かいろ 通路 つうろ
Γ がんま
{\displaystyle \Gamma }
中 なか 的 てき 不同 ふどう
Γ がんま
{\displaystyle \Gamma }
是 ぜ 一 いち 条 じょう 简单通路 つうろ ，否 いや 一 いち 条 じょう 复杂通路 つうろ 。如果图G 中 ちゅう 每 まい G 是 これ 连通图 。
一个有向图被称作弱 じゃく weakly connected )的 てき 将 しょう 所有 しょゆう 有向 ゆうこう 后 きさき 的 てき 的 てき 任意 にんい 一 いち 点 てん
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
或 ある 者 もの 存在 そんざい 一 いち 条 じょう
u
{\displaystyle u}
到 いた
v
{\displaystyle v}
的 てき 有向 ゆうこう 路 ろ 径 みち 或 ある 者 もの 存在 そんざい 一 いち 条 じょう
v
{\displaystyle v}
到 いた
u
{\displaystyle u}
的 てき 有向 ゆうこう 路 ろ 径 みち 单连通 どおり (unilaterally conncected )的 てき [ 1] 任意 にんい 一 いち 点 てん
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
同 どう 存在 そんざい 一 いち 条 じょう
u
{\displaystyle u}
到 いた
v
{\displaystyle v}
的 てき 有向 ゆうこう 路 ろ 径 みち 和 わ 一 いち 条 じょう
v
{\displaystyle v}
到 いた
u
{\displaystyle u}
的 てき 有向 ゆうこう 路 ろ 径 みち 强 つよ strongly connected )的 てき
无向图G 的 てき G 的 てき 一 いち 连通分量 ぶんりょう （或 ある 连通分 ぶん 支 ささえ ）。每 まい 有 ゆう 一 いち 通分 つうぶん 量 りょう 即 そく 自身 じしん 非 ひ 的 てき 多 た 通分 つうぶん 量 りょう
有向 ゆうこう 的 てき 强 つよ 分量 ぶんりょう 是 ぜ 大 だい 的 てき 强 きょう 子 こ 强 つよ 有 ゆう 即 そく 是 ぜ 自身 じしん 非 ひ 强 きょう 的 てき 有向 ゆうこう 多 た 分量 ぶんりょう
连通图
G
{\displaystyle G}
的 てき 割 わり 点 てん 是 ぜ 指 ゆび 在 ざい
G
{\displaystyle G}
了 りょう 点 てん 之 の 后 きさき 会 かい 不 ふ 点 てん 度 ど
κ かっぱ (
G
)
{\displaystyle \kappa (G)}
是 これ 割 わり 点 てん 集 しゅう 的 てき 最小 さいしょう
G
{\displaystyle G}
不 ふ 是 ぜ 完全 かんぜん
κ かっぱ (
G
)
=
k
{\displaystyle \kappa (G)=k}
G
{\displaystyle G}
是 これ
k
{\displaystyle k}
点 てん 的 てき 更 さら 地 ち 来 らい
G
{\displaystyle G}
不 ふ 否 ひ 完全 かんぜん 可 か 了 りょう
k
+
1
{\displaystyle k+1}
之 の 后 きさき 不 ふ 不能 ふのう 在 ざい
k
−
1
{\displaystyle k-1}
之 の 后 きさき 不 ふ
G
{\displaystyle G}
是 これ
k
{\displaystyle k}
点 てん 的 てき 特 とく
n
{\displaystyle n}
的 てき 完全 かんぜん
n
−
1
{\displaystyle n-1}
点 てん 的 てき
一 いち 点 てん
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
的 てき 割 わり 点 てん 是 ぜ 是 ぜ 指 ゆび 在 ざい
G
{\displaystyle G}
了 りょう 点 てん 之 の 后 きさき
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
会 かい 不 ふ 局部 きょくぶ 度 ど
κ かっぱ (
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa (u,v)}
是 これ
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
的 てき 最小 さいしょう 割 わり 点 てん 集 しゅう 的 てき 在 ざい 局部 きょくぶ 度 ど 是 ぜ 的 てき 是 ぜ
κ かっぱ (
u
,
v
)
=
κ かっぱ (
v
,
u
)
{\displaystyle \kappa (u,v)=\kappa (v,u)}
除 じょ 了 りょう 完全 かんぜん 外 がい
κ かっぱ (
G
)
{\displaystyle \kappa (G)}
所有 しょゆう 不 ふ 相 あい 点 てん
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
的 てき 局部 きょくぶ 度 ど 中 ちゅう 的 てき 最小 さいしょう
类似的 てき 概念 がいねん 可 か 来 き 定 てい 边连通 どおり 度 たび 。如果在 ざい
G
{\displaystyle G}
上 うえ 条 じょう 称 しょう 作 さく 桥 。更 さら 一般 いっぱん 地 ち 割 わり 是 ぜ 指 ゆび 在 ざい 在 ざい
G
{\displaystyle G}
了 りょう 后 きさき 会 かい 不 ふ 通 どおり 度 ど 在 ざい
λ らむだ (
G
)
{\displaystyle \lambda (G)}
是 ぜ 最小 さいしょう 的 てき 割 わり 的 てき 大小 だいしょう 局部 きょくぶ 通 どおり 度 たび
λ らむだ (
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda (u,v)}
是 これ
如果图
G
{\displaystyle G}
的 てき 通 どおり 度 ど 大 だい
k
{\displaystyle k}
被 ひ 称 しょう 作 さく
k
{\displaystyle k}
通 どおり 的 てき
在 ざい 一 いち 上 じょう 以下 いか 的 てき 不等式 ふとうしき 成立 せいりつ
κ かっぱ (
G
)
⩽
λ らむだ (
G
)
⩽
δ でるた (
G
)
{\displaystyle \kappa (G)\leqslant \lambda (G)\leqslant \delta (G)}
δ でるた (
G
)
{\displaystyle \delta (G)}
是 これ
G
{\displaystyle G}
的 てき 最小 さいしょう 度 ど [ 2]
G
{\displaystyle G}
的 まと 点 てん 度 ど 等 とう 最小 さいしょう 度 ど 称 しょう 作 さく 极大连通 的 てき 通 どおり 度 ど 等 とう 最小 さいしょう 度 ど 被 ひ 称 しょう 作 さく 极大边连通 どおり 的 てき [ 3]
如果图
G
{\displaystyle G}
上 うえ 每 まい
G
{\displaystyle G}
被 ひ 称 しょう 作 さく super-connected 或 ある 者 もの super-κ かっぱ 。如果
G
{\displaystyle G}
了 りょう 每 ごと 一 いち 那 な
G
{\displaystyle G}
被 ひ 称 しょう 作 さく hyper-connected 或 ある hyper-κ かっぱ 。 如果图上删除了 りょう 每 ごと
G
{\displaystyle G}
被 ひ 称 しょう 作 さく semi-hyper-connected 或 ある semi-hyper-κ かっぱ 。[ 4]
一 いち 点 てん 集 しゅう
X
{\displaystyle X}
被 ひ 称 しょう 作 さく 的 てき 任意 にんい 不 ふ 属 ぞく
X
{\displaystyle X}
的 てき
v
{\displaystyle v}
域 いき
N
(
u
)
{\displaystyle N(u)}
都 と 不 ふ 包含 ほうがん 在 ざい
X
{\displaystyle X}
中 なか
G
{\displaystyle G}
的 てき superconnectivity 可 か 表示 ひょうじ 成 なり
κ かっぱ (
G
)
=
{\displaystyle \kappa (G)=}
一 いち 割 わり edge-superconnectivity λ らむだ 可 か 地 ち 定 てい [ 5]
图论中 ちゅう 性 せい 最 さい 重要 じゅうよう 的 てき 定理 ていり 之 の 一 いち 门格尔定理 ていり ，它用顶点之 の 独立 どくりつ 路 ろ 径 みち 的 てき 刻 こく 画 が 了 りょう 和 わ 通 どおり 度 ど 令 れい
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
G
{\displaystyle G}
的 てき 一 いち 系列 けいれつ
u
{\displaystyle u}
和 わ
v
{\displaystyle v}
的 まと 路 ろ 径 みち 被 ひ 称 しょう 作 さく 点 てん 独立 どくりつ 的 てき 之 の 了 りょう
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
之 これ 外 がい 不 ふ 会 かい 有 ゆう 相 しょう 同 どう 的 てき 地 ち 被 ひ 称 しょう 作 さく 独立 どくりつ 的 てき 不 ふ 会 かい 有 ゆう 相 しょう 同 どう 的 てき
u
{\displaystyle u}
和 わ
u
{\displaystyle u}
点 てん 独立 どくりつ 的 てき 路 ろ 径 みち 的 てき 被 ひ
κ かっぱ ′
(
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa '(u,v)}
独立 どくりつ 的 てき 路 ろ 径 みち 的 てき 被 ひ
λ らむだ ′
(
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda '(u,v)}
定理 ていり 告 つげ 若 わか
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
不 ふ 相 あい 同 どう
λ らむだ ′
(
u
,
v
)
=
λ らむだ (
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda '(u,v)=\lambda (u,v)}
若 わか
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
不 ふ 相 あい 同 どう 相 しょう
κ かっぱ ′
(
u
,
v
)
=
κ かっぱ (
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa '(u,v)=\kappa (u,v)}
[ 6] [ 7] 事 こと 最大 さいだい 流 りゅう 最小 さいしょう 割 わり 定理 ていり 的 てき 特殊 とくしゅ 情 じょう
判断 はんだん 是 ぜ 否 ひ 可 か 搜索 そうさく 算法 さんぽう 迅速 じんそく 的 てき 解 かい 例 れい 广度优先算法 さんぽう 。更 さら 一般 いっぱん 地 ち 判断 はんだん 例 れい 使用 しよう 并查集 しゅう ，一个简单算法的伪代码可以写成：
从
G
{\displaystyle G}
的 てき 任意 にんい 一 いち 点 てん
使用 しよう 深度 しんど 或 ある 搜索 そうさく 所有 しょゆう 与 あずか 点 てん 的 てき 数 すう 搜索 そうさく 完成 かんせい 等 とう
G
{\displaystyle G}
的 てき
G
{\displaystyle G}
是 ぜ 的 てき 否 いや
G
{\displaystyle G}
不 ふ 根 ね 据 すえ 定理 ていり 在 ざい
G
{\displaystyle G}
上 うえ 任意 にんい 一 いち 点 てん
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
κ かっぱ (
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa (u,v)}
λ らむだ (
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda (u,v)}
可 か 大流 おおりゅう 最小 さいしょう 割算 わりざん 法 ほう 迅速 じんそく 的 てき 因 いん
G
{\displaystyle G}
的 てき 通 どおり 度 ど 和 わ 点 てん 度 ど 分 ぶん
κ かっぱ (
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa (u,v)}
λ らむだ (
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda (u,v)}
的 てき 最小 さいしょう 可 か 迅速 じんそく 地 ち
n
{\displaystyle n}
小 しょう 的 てき 不同 ふどう 的 てき 在 ざい On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 中 ちゅう 被 ひ 在 ざい A001187 中 なか 前 ぜん 是 ぜ
n
个数
2
1
3
4
4
38
5
728
6
26704
7
1866256
8
251548592
不 ふ 通 どおり 度 ど 和 わ 点 てん 度 ど 均 ひとし
0
{\displaystyle 0}
1-点 てん 等 とう 大 だい
2
{\displaystyle 2}
的 てき 性 せい
n
{\displaystyle n}
全 ぜん 通 どおり 度 ど 是 ぜ
n
−
1
{\displaystyle n-1}
的 てき
n
{\displaystyle n}
的 てき 通 どおり 度 ど 小 しょう
n
−
1
{\displaystyle n-1}
在 ざい 树 中 なか 任意 にんい 之 の 局部 きょくぶ 通 どおり 度 ど 都 みやこ 是 ただし
1
{\displaystyle 1}
连通性 せい 被 ひ 同 どう 保持 ほじ
如果
G
{\displaystyle G}
是 ぜ 的 てき 的 てき 线图
L
(
G
)
{\displaystyle L(G)}
的 てき
图
G
{\displaystyle G}
是 ぜ 通 どおり 的 てき 当 とう 当 とう 一 いち 向 むこう 强 きょう 的 てき
根 ね 据 すえ G. A. Dirac 的 てき
G
{\displaystyle G}
是 これ
k
{\displaystyle k}
点 てん 的 てき
k
⩾
2
{\displaystyle k\geqslant 2}
点 てん 的 てき 集合 しゅうごう 存在 そんざい [ 8] [ 9] 在 ざい
k
=
2
{\displaystyle k=2}
反 はん 亦 また 成立 せいりつ 一个无向图G = (V ,E )是 ぜ 的 てき 那 な 的 てき 数 すう 目 もく 大 だい 顶点 的 てき 数 すう 目 もく
|
E
|
≥
|
V
|
−
1
{\displaystyle |E|\geq |V|-1}
之 の 不 ふ 成立 せいりつ 如果G = (V ,E )是 ぜ 有向 ゆうこう 那 な 是 ぜ 强 きょう 必要 ひつよう 条件 じょうけん 是 ぜ 数 すう 目 め 大 だい 点 てん 的 てき 数 すう 目 もく
|
E
|
≥
|
V
|
{\displaystyle |E|\geq |V|}
之 の 不 ふ 成立 せいりつ 没 ぼつ 有 ゆう 回路 かいろ 的 てき 的 てき 当 とう 当 とう 树 ，即 そく 等 とう
|
E
|
=
|
V
|
−
1
{\displaystyle \displaystyle |E|=|V|-1}
^ Chapter 11: Digraphs: Principle of duality for digraphs: Definition (PDF) . [2020-10-04 ] . （原始 げんし 内容 ないよう 存 そん (PDF) 于2020-01-10）. ^ Diestel, R. Graph Theory, Electronic Edition : 12. 2005 [2020-10-04 ] . （原始 げんし 内容 ないよう 存 そん ^ Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay. Handbook of graph theory . CRC Press . 2004: 335 . ISBN 978-1-58488-090-5 ^ Liu, Qinghai; Zhang, Zhao. The existence and upper bound for two types of restricted connectivity . Discrete Applied Mathematics. 2010-03-01, 158 (5): 516–521. doi:10.1016/j.dam.2009.10.017 ^ Balbuena, Camino; Carmona, Angeles. On the connectivity and superconnectivity of bipartite digraphs and graphs. Ars Combinatorica. 2001-10-01, 61 : 3–22. ^ Gibbons, A. Algorithmic Graph Theory . Cambridge University Press . 1985. ^ Nagamochi, H.; Ibaraki, T. Algorithmic Aspects of Graph Connectivity. Cambridge University Press. 2008. ^ Dirac, Gabriel Andrew . In abstrakten Graphen vorhandene vollständige 4-Graphen und ihre Unterteilungen. Mathematische Nachrichten . 1960, 22 (1–2): 61–85. MR 0121311 doi:10.1002/mana.19600220107 ^ Flandrin, Evelyne; Li, Hao; Marczyk, Antoni; Woźniak, Mariusz. A generalization of Dirac's theorem on cycles through k k 307 (7–8): 878–884. MR 2297171 doi:10.1016/j.disc.2005.11.052
图 種類 しゅるい 結構 けっこう 属性 ぞくせい 二元 にげん 運算 うんざん 映 うつ 射 い 關係 かんけい
定理 ていり
