连通图 (英語 えいご :Connected graph )是 これ 图论 中 ちゅう 最 さい 基本 きほん 概念 がいねん 之 の 一 いち ,其定义基于连通 どおり 的 てき 概念 がいねん 。在 ざい 一 いち 个无向图 G 中 なか ,若 わか 从顶点
v
i
{\displaystyle v_{i}}
到 いた 顶点
v
j
{\displaystyle v_{j}}
有路 ありじ 径 みち 相 しょう 连(从
v
j
{\displaystyle v_{j}}
到 いた
v
i
{\displaystyle v_{i}}
也一定 いってい 有路 ありじ 径 みち ),则称
v
i
{\displaystyle v_{i}}
和 わ
v
j
{\displaystyle v_{j}}
是 ぜ 连通的 てき 。如果G 是 これ 有向 ゆうこう 图 ,那 な 么连接 せっ
v
i
{\displaystyle v_{i}}
和 わ
v
j
{\displaystyle v_{j}}
的 まと 路 ろ 径 みち 中 ちゅう 所有 しょゆう 的 てき 边都必须同 どう 向 むこう 。如果图中任意 にんい 两点都 と 是 ぜ 连通的 てき ,那 な 么图被 ひ 称 しょう 作 さく 连通图。图的连通性 せい 是 ぜ 图的基本 きほん 性 せい 质。连通度 ど 是 ぜ 指 ゆび 为了让图分解 ぶんかい 成 なり 孤立 こりつ 的 てき 子 こ 图所要 しょよう 删除的 てき 顶点数 すう 的 てき 最小 さいしょう 值。连通度 ど 是 ぜ 刻 こく 画 が 网络的 てき 一个重要指标。
对一个图G = (V ,E )中 ちゅう 的 てき 两点
x
{\displaystyle x}
和 わ
y
{\displaystyle y}
,若 わか 存在 そんざい 交替 こうたい 的 てき 顶点 和 かず 边的序列 じょれつ
Γ がんま
=
(
x
=
v
0
−
e
1
−
v
1
−
e
2
−
⋯
−
e
k
−
v
k
=
y
)
{\displaystyle \Gamma =(x=v_{0}-e_{1}-v_{1}-e_{2}-\cdots -e_{k}-v_{k}=y)}
(在 ざい 有向 ゆうこう 图中要求 ようきゅう 有向 ゆうこう 边
v
i
−
v
i
+
1
{\displaystyle v_{i}-v_{i+1}}
属 ぞく 于E ),则两点 てん
x
{\displaystyle x}
和 わ
y
{\displaystyle y}
是 ぜ 连通的 てき 。
Γ がんま
{\displaystyle \Gamma }
是 ぜ 一 いち 条 じょう
x
{\displaystyle x}
到 いた
y
{\displaystyle y}
的 てき 连通路 ろ 径 みち ,
x
{\displaystyle x}
和 わ
y
{\displaystyle y}
分 ぶん 别是起点 きてん 和 わ 终点。当 とう
x
=
y
{\displaystyle x=y}
时,
Γ がんま
{\displaystyle \Gamma }
被 ひ 称 しょう 为回路 かいろ 。如果通路 つうろ
Γ がんま
{\displaystyle \Gamma }
中 なか 的 てき 边两两不同 ふどう ,则
Γ がんま
{\displaystyle \Gamma }
是 ぜ 一 いち 条 じょう 简单通路 つうろ ,否 いや 则为一 いち 条 じょう 复杂通路 つうろ 。如果图G 中 ちゅう 每 まい 两点间皆连通,则G 是 これ 连通图 。
一个有向图被称作弱 じゃく 连通 (weakly connected )的 てき ,如果将 しょう 所有 しょゆう 有向 ゆうこう 边替换为无向边之后 きさき 的 てき 无向图是连通的 てき ,如果对于任意 にんい 一 いち 对顶点 てん
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
,或 ある 者 もの 存在 そんざい 一 いち 条 じょう 从
u
{\displaystyle u}
到 いた
v
{\displaystyle v}
的 てき 有向 ゆうこう 路 ろ 径 みち ,或 ある 者 もの 存在 そんざい 一 いち 条 じょう 从
v
{\displaystyle v}
到 いた
u
{\displaystyle u}
的 てき 有向 ゆうこう 路 ろ 径 みち ,则该图是单连通 どおり (unilaterally conncected )的 てき [ 1] ,如果对于如果对于任意 にんい 一 いち 对顶点 てん
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
,同 どう 时存在 そんざい 一 いち 条 じょう 从
u
{\displaystyle u}
到 いた
v
{\displaystyle v}
的 てき 有向 ゆうこう 路 ろ 径 みち 和 わ 一 いち 条 じょう 从
v
{\displaystyle v}
到 いた
u
{\displaystyle u}
的 てき 有向 ゆうこう 路 ろ 径 みち ,则该图是强 つよ 连通 (strongly connected )的 てき 。
无向图G 的 てき 一个极大连通子图称为G 的 てき 一 いち 个连通分量 ぶんりょう (或 ある 连通分 ぶん 支 ささえ )。每 まい 一个顶点和每一条边都属于唯一的一个连通分量,连通图只有 ゆう 一 いち 个连通分 つうぶん 量 りょう ,即 そく 其自身 じしん ;非 ひ 连通的 てき 无向图有多 た 个连通分 つうぶん 量 りょう 。
有向 ゆうこう 图中的 てき 强 つよ 连通分量 ぶんりょう 是 ぜ 其极大 だい 的 てき 强 きょう 连通子 こ 图。强 つよ 连通图只有 ゆう 一个强连通分量,即 そく 是 ぜ 其自身 じしん ;非 ひ 强 きょう 连通的 てき 有向 ゆうこう 图有多 た 个强连通分量 ぶんりょう 。
连通图
G
{\displaystyle G}
的 てき 割 わり 点 てん 是 ぜ 指 ゆび 一个由顶点组成的集合,在 ざい
G
{\displaystyle G}
删除了 りょう 这些点 てん 之 の 后 きさき ,会 かい 变得不 ふ 连通。点 てん 连通度 ど
κ かっぱ
(
G
)
{\displaystyle \kappa (G)}
是 これ 割 わり 点 てん 集 しゅう 阶数的 てき 最小 さいしょう 值。如果图
G
{\displaystyle G}
不 ふ 是 ぜ 完全 かんぜん 图,且
κ かっぱ
(
G
)
=
k
{\displaystyle \kappa (G)=k}
,则图
G
{\displaystyle G}
是 これ
k
{\displaystyle k}
-点 てん 连通的 てき 。更 さら 确切地 ち 来 らい 说,如果图
G
{\displaystyle G}
(不 ふ 论是否 ひ 完全 かんぜん )可 か 以在删除了 りょう
k
+
1
{\displaystyle k+1}
个点之 の 后 きさき 变得不 ふ 连通,却不能 ふのう 在 ざい 删除
k
−
1
{\displaystyle k-1}
个点之 の 后 きさき 变得不 ふ 连通,则图
G
{\displaystyle G}
是 これ
k
{\displaystyle k}
-点 てん 连通的 てき ,特 とく 别地,阶数为
n
{\displaystyle n}
的 てき 完全 かんぜん 图是
n
−
1
{\displaystyle n-1}
-点 てん 连通的 てき 。
一 いち 对端点 てん
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
的 てき 割 わり 点 てん 是 ぜ 是 ぜ 指 ゆび 一个由顶点组成的集合,在 ざい
G
{\displaystyle G}
删除了 りょう 这些点 てん 之 の 后 きさき ,
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
会 かい 变得不 ふ 连通。局部 きょくぶ 连通度 ど
κ かっぱ
(
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa (u,v)}
是 これ
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
的 てき 最小 さいしょう 割 わり 点 てん 集 しゅう 的 てき 阶数。在 ざい 无向图上,局部 きょくぶ 连通度 ど 是 ぜ 对称的 てき ,也就是 ぜ 说,
κ かっぱ
(
u
,
v
)
=
κ かっぱ
(
v
,
u
)
{\displaystyle \kappa (u,v)=\kappa (v,u)}
,另外,除 じょ 了 りょう 完全 かんぜん 图之外 がい ,
κ かっぱ
(
G
)
{\displaystyle \kappa (G)}
为所有 しょゆう 不 ふ 相 あい 邻的点 てん 对
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
的 てき 局部 きょくぶ 联通度 ど 中 ちゅう 的 てき 最小 さいしょう 值。
类似的 てき 概念 がいねん 可 か 以用来 き 定 てい 义边连通 どおり 度 たび 。如果在 ざい
G
{\displaystyle G}
上 うえ 删除一条边可以导致不连通性,则这条 じょう 边被称 しょう 作 さく 桥 。更 さら 一般 いっぱん 地 ち ,割 わり 边是 ぜ 指 ゆび 一个由边组成的集合,在 ざい
在 ざい
G
{\displaystyle G}
删除了 りょう 这些边之后 きさき ,会 かい 变得不 ふ 连通。边连通 どおり 度 ど 在 ざい
λ らむだ
(
G
)
{\displaystyle \lambda (G)}
是 ぜ 最小 さいしょう 的 てき 割 わり 边集的 てき 大小 だいしょう ,局部 きょくぶ 边连通 どおり 度 たび
λ らむだ
(
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda (u,v)}
是 これ
如果图
G
{\displaystyle G}
的 てき 边连通 どおり 度 ど 大 だい 于等于
k
{\displaystyle k}
,则它被 ひ 称 しょう 作 さく
k
{\displaystyle k}
-边连通 どおり 的 てき 。
在 ざい 一 いち 个图上 じょう ,以下 いか 的 てき 不等式 ふとうしき 成立 せいりつ :
κ かっぱ
(
G
)
⩽
λ らむだ
(
G
)
⩽
δ でるた
(
G
)
{\displaystyle \kappa (G)\leqslant \lambda (G)\leqslant \delta (G)}
,其中
δ でるた
(
G
)
{\displaystyle \delta (G)}
是 これ
G
{\displaystyle G}
的 てき 最小 さいしょう 度 ど (minimum degree)[ 2] 。
如果图
G
{\displaystyle G}
的 まと 点 てん 连通度 ど 等 とう 于其最小 さいしょう 度 ど ,则被称 しょう 作 さく 极大连通 的 てき ,如果它的边连通 どおり 度 ど 等 とう 于其最小 さいしょう 度 ど ,则它被 ひ 称 しょう 作 さく 极大边连通 どおり 的 てき [ 3] 。
如果图
G
{\displaystyle G}
上 うえ ,每 まい 一个最小的割点集都能孤立一个顶点,则图
G
{\displaystyle G}
被 ひ 称 しょう 作 さく super-connected 或 ある 者 もの super-κ かっぱ 。如果
G
{\displaystyle G}
删除了 りょう 每 ごと 一个最小的割点集之后图都会分成两个连通分量,并且其中一 いち 个是单点,那 な 么图
G
{\displaystyle G}
被 ひ 称 しょう 作 さく hyper-connected 或 ある hyper-κ かっぱ 。 如果图上删除了 りょう 每 ごと 一个最小的割点集之后都分成了两个连通分量,则图
G
{\displaystyle G}
被 ひ 称 しょう 作 さく semi-hyper-connected 或 ある semi-hyper-κ かっぱ 。[ 4]
一 いち 个割点 てん 集 しゅう
X
{\displaystyle X}
被 ひ 称 しょう 作 さく non-trivial的 てき ,如果对于任意 にんい 不 ふ 属 ぞく 于
X
{\displaystyle X}
的 てき 顶点
v
{\displaystyle v}
,其邻域 いき
N
(
u
)
{\displaystyle N(u)}
都 と 不 ふ 包含 ほうがん 在 ざい
X
{\displaystyle X}
中 なか 。
G
{\displaystyle G}
的 てき superconnectivity 可 か 以被表示 ひょうじ 成 なり :
κ かっぱ
(
G
)
=
{\displaystyle \kappa (G)=}
= min{|X| : X is a non-trivial cutset}.
一 いち 个non-trivial 割 わり 边和edge-superconnectivity λ らむだ 1(G)可 か 以被类似地 ち 定 てい 义。[ 5]
图论中 ちゅう 关于连通性 せい 最 さい 重要 じゅうよう 的 てき 定理 ていり 之 の 一 いち 门格尔定理 ていり ,它用顶点之 の 间独立 どくりつ 路 ろ 径 みち 的 てき 个数刻 こく 画 が 了 りょう 图点连通和 わ 边连通 どおり 度 ど 。令 れい
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
为图
G
{\displaystyle G}
的 てき 两个顶点,一 いち 系列 けいれつ 连接
u
{\displaystyle u}
和 わ
v
{\displaystyle v}
的 まと 路 ろ 径 みち 被 ひ 称 しょう 作 さく 点 てん 独立 どくりつ 的 てき ,如果它们之 の 间除了 りょう
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
之 これ 外 がい ,不 ふ 会 かい 有 ゆう 相 しょう 同 どう 的 てき 顶点。类似地 ち ,它们被 ひ 称 しょう 作 さく 边独立 どくりつ 的 てき ,如果它们不 ふ 会 かい 有 ゆう 相 しょう 同 どう 的 てき 边。
u
{\displaystyle u}
和 わ
u
{\displaystyle u}
点 てん 独立 どくりつ 的 てき 路 ろ 径 みち 的 てき 个数被 ひ 记作
κ かっぱ
′
(
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa '(u,v)}
,边独立 どくりつ 的 てき 路 ろ 径 みち 的 てき 个数被 ひ 记作
λ らむだ
′
(
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda '(u,v)}
。
门格尔定理 ていり 告 つげ 诉我们,若 わか
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
不 ふ 相 あい 同 どう ,则
λ らむだ
′
(
u
,
v
)
=
λ らむだ
(
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda '(u,v)=\lambda (u,v)}
,若 わか
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
不 ふ 相 あい 同 どう 且不相 しょう 邻,则
κ かっぱ
′
(
u
,
v
)
=
κ かっぱ
(
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa '(u,v)=\kappa (u,v)}
[ 6] [ 7] 。
事 こと 实上,这其实是最大 さいだい 流 りゅう 最小 さいしょう 割 わり 定理 ていり 的 てき 特殊 とくしゅ 情 じょう 况。
判断 はんだん 两个顶点是 ぜ 否 ひ 连通这一问题可 か 以被搜索 そうさく 算法 さんぽう 迅速 じんそく 的 てき 解 かい 决,例 れい 如广度优先算法 さんぽう 。更 さら 一般 いっぱん 地 ち ,判断 はんだん 一个图是否连通,以及一个图连通分量的计数问题可以被较快地解决(例 れい 如使用 しよう 并查集 しゅう ,一个简单算法的伪代码可以写成:
从
G
{\displaystyle G}
的 てき 任意 にんい 一 いち 个顶点 てん 开始
使用 しよう 深度 しんど 优先或 ある 广度优先搜索 そうさく 所有 しょゆう 与 あずか 该顶点 てん 连通的 てき 顶点,并计数 すう
搜索 そうさく 完成 かんせい ,如果计数等 とう 于
G
{\displaystyle G}
的 てき 阶数,则
G
{\displaystyle G}
是 ぜ 连通的 てき ,否 いや 则
G
{\displaystyle G}
不 ふ 连通。
根 ね 据 すえ 门格尔定理 ていり ,在 ざい 连通图
G
{\displaystyle G}
上 うえ ,对于任意 にんい 一 いち 对顶点 てん
u
{\displaystyle u}
,
v
{\displaystyle v}
,
κ かっぱ
(
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa (u,v)}
,
λ らむだ
(
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda (u,v)}
可 か 以通过最大流 おおりゅう 最小 さいしょう 割算 わりざん 法 ほう 迅速 じんそく 的 てき 计算,因 いん 此,
G
{\displaystyle G}
的 てき 边连通 どおり 度 ど 和 わ 点 てん 联通度 ど 分 ぶん 别作为
κ かっぱ
(
u
,
v
)
{\displaystyle \kappa (u,v)}
,
λ らむだ
(
u
,
v
)
{\displaystyle \lambda (u,v)}
的 てき 最小 さいしょう 值,可 か 以被迅速 じんそく 地 ち 计算。
n
{\displaystyle n}
阶(小 しょう 于等于16)的 てき 不同 ふどう 的 てき 连通图的个数在 ざい On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 中 ちゅう 被 ひ 记录在 ざい A001187 中 なか ,前 ぜん 几个份量是 ぜ
n
个数
2
1
3
4
4
38
5
728
6
26704
7
1866256
8
251548592
不 ふ 连通图的边连通 どおり 度 ど 和 わ 点 てん 连通度 ど 均 ひとし 为
0
{\displaystyle 0}
1-点 てん 连通等 とう 价于阶数大 だい 于等于
2
{\displaystyle 2}
的 てき 图的连通性 せい 。
n
{\displaystyle n}
阶完全 ぜん 图的边连通 どおり 度 ど 是 ぜ
n
−
1
{\displaystyle n-1}
,其他类型的 てき
n
{\displaystyle n}
阶图的 てき 边连通 どおり 度 ど 严格小 しょう 于
n
−
1
{\displaystyle n-1}
在 ざい 树 中 なか ,任意 にんい 两个顶点之 の 间的局部 きょくぶ 边连通 どおり 度 ど 都 みやこ 是 ただし
1
{\displaystyle 1}
连通性 せい 被 ひ 图同 どう 态保持 ほじ
如果
G
{\displaystyle G}
是 ぜ 连通的 てき ,则它的 てき 线图
L
(
G
)
{\displaystyle L(G)}
也是连通的 てき
图
G
{\displaystyle G}
是 ぜ 2-边连通 どおり 的 てき ,当 とう 且仅当 とう 它有一 いち 个定向 むこう ,且是强 きょう 连通的 てき 。
根 ね 据 すえ G. A. Dirac 的 てき 结论,如果图
G
{\displaystyle G}
是 これ
k
{\displaystyle k}
-点 てん 连通的 てき ,且
k
⩾
2
{\displaystyle k\geqslant 2}
,则对于每k个顶点 てん 组成的 てき 集合 しゅうごう ,存在 そんざい 一个环经过这个集合上所有的顶点。[ 8] [ 9] 在 ざい
k
=
2
{\displaystyle k=2}
时,反 はん 过来亦 また 成立 せいりつ 。
一个无向图G = (V ,E )是 ぜ 连通的 てき ,那 な 么边的 てき 数 すう 目 もく 大 だい 于等于顶点 的 てき 数 すう 目 もく 减一:
|
E
|
≥
|
V
|
−
1
{\displaystyle |E|\geq |V|-1}
,而反之 の 不 ふ 成立 せいりつ 。
如果G = (V ,E )是 ぜ 有向 ゆうこう 图,那 な 么它是 ぜ 强 きょう 连通图的必要 ひつよう 条件 じょうけん 是 ぜ 边的数 すう 目 め 大 だい 于等于顶点 てん 的 てき 数 すう 目 もく :
|
E
|
≥
|
V
|
{\displaystyle |E|\geq |V|}
,而反之 の 不 ふ 成立 せいりつ 。
没 ぼつ 有 ゆう 回路 かいろ 的 てき 无向图是连通的 てき 当 とう 且仅当 とう 它是树 ,即 そく 等 とう 价于:
|
E
|
=
|
V
|
−
1
{\displaystyle \displaystyle |E|=|V|-1}
。
^ Chapter 11: Digraphs: Principle of duality for digraphs: Definition (PDF) . [2020-10-04 ] . (原始 げんし 内容 ないよう 存 そん 档 (PDF) 于2020-01-10).
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图 種類 しゅるい 結構 けっこう 属性 ぞくせい 二元 にげん 運算 うんざん 映 うつ 射 い 、關係 かんけい
定理 ていり