方ほう根ね

  「开方」重定しげさだ向むかい至いたる此。关于古代こだい人物じんぶつ，请见「衛まもる開ひらけ方かた」。

在ざい数学すうがく中ちゅう，一いち數すう$b$為ため数かず$a$的てき$n$次つぎ方かた根ね，則のり$b^{n}=a$。在ざい提ひさげ及实数$a$的てき$n$次つぎ方かた根ね的てき时候，若わか指ゆび的てき是ぜ此数的てき主あるじ$n$次つぎ方かた根ね，則のり可か以用根号こんごう（${\sqrt {\color {white}t}}$）表示ひょうじ成なり${\sqrt[{n}]{a}}$。例れい如：1024的てき主ぬし10次じ方かた根ね为2，就可以记作さく${\sqrt[{10}]{1024}}=2$。當とう$n=2$時とき，則のり$n$可か以省略しょうりゃく。定てい义实数すう$a$的まと主ぬし$n$次つぎ方かた根ね为$a$的てき$n$次つぎ方かた根ね，且具有ぐゆう与あずか$a$相あい同どう的てき正せい负号的てき唯ただ一いち实数$b$。在ざい$n$是これ偶数ぐうすう時とき，负数没ぼつ有ゆう主ぬし$n$次つぎ方かた根ね。习惯上じょう，将はた2次じ方かた根ね叫さけべ做平方根へいほうこん，将はた3次じ方かた根ね叫さけべ做立方根りっぽうこん。

方ほう根ね也是幂的てき分数ぶんすう指数しすう，即そく數すう$b$為ため数かず$a$的てき${\frac {1}{n}}$次つぎ方かた：

$b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$

符号ふごう史し

主しゅ条目じょうもく：根号こんごう

最早もはや的てき根号こんごう“√”源げん于字母はは「r」的てき变形（出自しゅつじ拉ひしげ丁ひのと语latus的てき首くび字母じぼ，表示ひょうじ“边长”），没ぼつ有ゆう线括号ごう（即そく被ひ开方数すう上うえ的てき横よこ线），后きさき来らい数学すうがく家か笛ふえ卡尔给其加か上じょう线括号ごう，但ただし与あずか前面ぜんめん的てき方かた根ね符号ふごう是ぜ分ぶん开的，因いん此在复杂的てき式子しょくし显得很乱。直ちょく至いたり18世せい纪中叶かのう，数学すうがく家か卢贝将はた前面ぜんめん的てき方かた根ね符号ふごう与あずか线括号ごう一いち笔写成なり，并将根ね指数しすう写うつし在ざい根号こんごう的てき左上ひだりうえ角かく，以表示ひょうじ高次こうじ方かた根ね（当とう根ね指数しすう为2时，省略しょうりゃく不ふ写うつし。）。形成けいせい了りょう现在所しょ熟じゅく悉的开方运算符号ふごう${\sqrt {\color {white}x}}$。

考慮こうりょ在ざい计算机つくえ中なか的てき输入问题，有ゆう时也可か以使用しようsqrt(a,b)来らい表示ひょうじa的てきb次つぎ方かた根ね。

基本きほん运算

带有根号こんごう的てき运算可か由よし如下公式こうしき推導而得:

${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0$

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0$

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},$

这裡的てきa和わb是これ正数せいすう。

对于所有しょゆう的てき非ひ零れい复数$a$，有ゆう$n$个不同ふどう的てき复数$b$使つかい得とく$b^{n}=a$，所以ゆえん符号ふごう${\sqrt[{n}]{a}}$就會出現しゅつげん歧义（通常つうじょう這樣寫うつし是ぜ取と$n$個こ值當中ちゅう主しゅ幅はば角かく最小さいしょう的てき）。$n$次つぎ单位根ね是ぜ特とく别重要じゅうよう的てき。

当とう一个数从根号形式变换到幂形式けいしき，幂的规则仍适用よう（即そく使つかい对分数ぶんすう幂），也就是ぜ

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}$

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$

例れい如:

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}$

若わか要よう做加法かほう或ある减法，需考慮こうりょ下か列れつ的てき概念がいねん。

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}$

若わか已やめ可か以简化か根ね式しき表示ひょうじ式しき，则加法ほう和わ减法就只是ぜ群ぐん的てき“同どう类项”问题。

例れい如

${\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}$

$={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}$

$=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}$

$=({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}$

不尽ふじん根ね数すう

未み經けい化か簡的根ね數すう，一般いっぱん叫さけべ做“不尽ふじん根ね数すう”（surd），可か以处理り为更简单的てき形式けいしき。

如下恒等こうとう式しき是ぜ處理しょり不尽ふじん根ね数すう的てき基本きほん技巧ぎこう:

• ${\sqrt {a^{2}b}}=abs(a){\sqrt {b}}$

• ${\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}$

• ${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$

• $\left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}$

无穷级数

方ほう根ね可か以表示ひょうじ为无穷级数すう:

${\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}$

找到所有しょゆう的てき方かた根ね

任にん何なん数すう的てき所有しょゆう的てき根ね，实数或ある复数的てき，可か以通过简单的算法さんぽう找到。这个数すう应当首くび先さき被ひ写うつし为如下か形式けいしき$ae^{i\varphi }$(参まいり见欧おう拉ひしげ公式こうしき)。接着せっちゃく所有しょゆう的てきn次つぎ方かた根ね给出为:

$e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}$

对于$k=0,1,2,\ldots ,n-1$，这裡的てき${\sqrt[{n}]{a}}$表示ひょうじ$a$的まと主ぬし$n$次つぎ方かた根ね。

正せい实数

所有しょゆう$x^{n}=a$或ある$a$的てき$n$次つぎ方かた根ね，这裡的てき$a$是正ぜせい实数，的てき复数解かい由よし如下简单等式とうしき给出:

$e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}$

对于$k=0,1,2,\ldots ,n-1$，这裡的てき${\sqrt[{n}]{a}}$表示ひょうじ$a$的まと主ぬし$n$次つぎ方かた根ね。

解かい多た项式

曾经有數ゆうすう學がく猜想，認みとめ為ため多た项式的てき所有しょゆう根ね可か以用根号こんごう和わ四則しそく运算来らい表ひょう达；但ただし是これ阿おもね贝尔-鲁菲尼あま定理ていり断言だんげん了りょう这不是ぜ普遍ふへん为真的てき。例れい如，方ぽう程ほど

$\ x^{5}=x+1$

的てき解かい不能ふのう用よう根号こんごう表ひょう达。

要よう解任かいにん何なにn次つぎ方かた程ほど，参まいり见求根きゅうこん算法さんぽう。

算法さんぽう

對たい於正數すう$A$，可か以通過つうか以下いか算法さんぽう求もとめ得え${\sqrt[{n}]{A}}$的てき值：

1. 猜一いち個こ${\sqrt[{n}]{A}}$的てき近似きんじ值，將はた其作為さくい初はつ始はじめ值$x_{0}$
2. 設しつらえ $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$。記き誤差ごさ為ため$\Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]$，即そく$x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}$。
3. 重複じゅうふく步ふ驟2，直ちょく至いたり絕對ぜったい誤差ごさ足あし夠小，即そく：$|\Delta x_{k}|<\epsilon$。

從したがえ牛うし頓ひたぶる法ほう導出どうしゅつ

求もとむ${\sqrt[{n}]{A}}$之これ值，亦また即そく求もとめ方かた程ほど$x^{n}-A=0$的てき根ね。

設しつらえ$f(x)=x^{n}-A$，其導しるべ函數かんすう即そく$f'(x)=nx^{n-1}$。

以牛うし頓ひたぶる法ほう作さく迭代，便びん得とく

$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}$

$=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}$

$=x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}$

$={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$

從したがえ牛うし頓ひたぶる二に項こう式しき定理ていり導出どうしゅつ

設しつらえ$x_{k}$為ため迭代值，$y$為ため誤差ごさ值。

令れい$A=(x_{k}-y)^{n}$（*），作さく牛うし頓ひたぶる二に項こう式しき展開てんかい，取と首くび兩りょう項こう：$A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y$

調しらべ項こう得とく$y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)$

將はた以上いじょう結果けっか代だい回かい（*），得とく遞歸公式こうしき$x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$

参まいり见

• 增ぞう乘じょう开平方法ほうほう
• 幂
• 无理数すう
• 分母ぶんぼ有理ゆうり化か
• 双そう重根しこね号ごう
• 2的てき12次じ方かた根ね

外部がいぶ链接

• 高階たかしな根號こんごう求もとめ解かい （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）。此法亦また可か求もとめ任意にんい正せい實數じっすう指數しすう值
• 立方根りっぽうこん與あずか高次こうじ方かた根ね
• 指數しすう-高中たかなか數學すうがく教案きょうあん
• 法ほう国こく心算しんさん天才てんさい70.2秒びょう算出さんしゅつ200位い数すう13次じ方かた根ね(图) （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）