泊とまり肃叶定律ていりつ

让·泊はく肃叶

泊とまり肃叶定律ていりつ（英語えいご：Poiseuille's law）也稱為ため泊とまり谡叶方かた程ほど、帕醉定律ていりつ、哈根-泊とまり肃叶定律ていりつ（Hagen-Poiseuille's law）、哈根-帕醉方かた程ほど（Hagen-Poiseuille's equation），是ぜ描述流體りゅうたい流ながれ经细管かん（如血管けっかん和かず导尿管かん等とう）所產しょさん生せい的てき壓力あつりょく損失そんしつ，壓力あつりょく損失そんしつ和わ體積たいせき流りゅう率りつ、動どう黏度和わ管長かんちょう的てき乘じょう積せき成なり正せい比ひ，和わ管かん径みち的てき四よん次じ方かた成なり反比例はんぴれい。此定律ていりつ適用てきよう於不可ふか壓縮あっしゅく、不ふ具有ぐゆう加速度かそくど、層そう流りゅう穩定且長於管徑みち的てき牛うし頓ひたぶる流體りゅうたい。泊とまり肃叶定律ていりつ是ぜ让·泊はく肃叶于1838年ねん和わ戈ほこ特とく希まれ尔夫·哈根于1838和わ1839年ねん分ぶん别实验独立どくりつ发现的てき，並なみ于1840年ねん和わ1846年ねん发表。

泊とまり肃叶定律ていりつ的てき应用前提ぜんてい有ゆう七なな：

1. 假かり设液体えきたい是ぜ不可ふか压缩流體りゅうたい；
2. 假かり设液体えきたい是ぜ牛うし顿流体りゅうたい，即そく它的粘ねば滞とどこお系けい数すう不随ふずい流速りゅうそく而改变；
3. 假かり设液体えきたい的てき流りゅう动是层流，而不是ぜ湍流，即そく管かん的てき直径ちょっけい不能ふのう太ふと大だい。
4. Fully Develop，液體えきたい在ざい管かん內速度そくど場じょう為ため全ぜん展開てんかい
5. Steady state, 穩定流りゅう態たい
6. Circular pipe, 流體りゅうたい在ざい圓形えんけい管かん內流動りゅうどう
7. 忽ゆるがせ略りゃくEnd effect 終端しゅうたん效こう應おう

公式こうしき

標準ひょうじゅん流體りゅうたい力學りきがく的てき表示法ひょうじほう

以下いか是ぜ用よう標準ひょうじゅん流體りゅうたい力學りきがく表示法ひょうじほう下か的てき泊はく肃叶定律ていりつ：

$\Delta P={\frac {8\mu LQ}{\pi r^{4}}}$

或ある

$\Delta P={\frac {128\mu LQ}{\pi d^{4}}}$

其中

$\Delta P$是ぜ壓力あつりょく損失そんしつ

$L$是ぜ細管さいかん長ちょう度たび

$\mu$是これ黏度

$Q$是これ體積たいせき流りゅう率りつ

$r$是これ半徑はんけい

$d$是これ直徑ちょっけい

物理ぶつり表示法ひょうじほう

$\Phi ={\frac {dV}{dt}}=v\pi R^{2}={\frac {\pi R^{4}}{8\eta }}\left({\frac {-\Delta P}{\Delta x}}\right)={\frac {\pi R^{4}}{8\eta }}{\frac {|\Delta P|}{L}}$

其中的てき單位たんい如下，單位たんい則そく是ぜ以相容よう的てき單位たんい為ため主ぬし（例れい如國際こくさい單位たんい制せい）

$\Phi$是ぜ體積たいせき流りゅう率りつ（標準ひょうじゅん流體りゅうたい力學りきがく表示法ひょうじほう中ちゅう的てき$Q$）

$V(t)$是ぜ流りゅう過か的てき液體えきたい體積たいせき函數かんすう，參まいり數すう為ため時間じかん$t$

$v$是ぜ沿著細管さいかん的てき平均へいきん流體りゅうたい速度そくど

$x$是ぜ沿著流體りゅうたい流動りゅうどう方向ほうこう的てき距離きょり

$R$是ぜ細管さいかん的てき內半徑はんけい

$\Delta P$是ぜ細管さいかん兩端りょうたん的てき壓力あつりょく損失そんしつ

$\eta$是これ動どう黏度，SI制せい單位たんい為ためPa·s

$L$是ぜ細管さいかん的てき長ちょう度たび

此公式こうしき在ざい細管さいかん进口段だん的てき誤差ごさ較大。

此公式こうしき不ふ適用てきよう在ざい低てい黏度、短たん管かん、寬ひろし管かん或ある流體りゅうたい流速りゅうそく高だか的てき條件下じょうけんか。低てい黏度、高こう流速りゅうそく或ある寬ひろし管かん的てき條件じょうけん會かい產さん生せい紊流，導しるべ致該流體りゅうたい的てき壓力あつりょく差さ較此定律ていりつ所しょ預あずか測はか的てき值為大だい。因よし此需要用ようよう到いた像ぞう是ぜ达西-韦史巴ともえ赫方程ほど之これ類るい較複雜ふくざつ的てき模型もけい。若わか管かん子こ太ふとし短たん，泊はく肃叶定律ていりつ會計かいけい算出さんしゅつ不ふ實際じっさい的てき高だか體積たいせき流りゅう率りつ。此公式こうしき所しょ計けい算出さんしゅつ的てき流體りゅうたい流りゅう率りつ，被ひ限きり制せい在ざい較寬鬆す條件じょうけん的てき伯はく努つとむ利とぎ定律ていりつ結果けっか之の內：

$\Phi _{max}=\pi R^{2}{\sqrt {2\Delta P/\rho }}$

推導

管かん子中こなか的てき層そう流りゅう，其速度そくど分布ぶんぷ呈てい拋物線せん

泊とまり肃叶定律ていりつ可か以由纳维－斯托克かつ斯方程ほど推導而來，但ただし若わか已やめ知ち管かん子中こなか的てき層そう流りゅう，其速度そくど分布ぶんぷ呈てい拋物線せん：

$v=-{\frac {1}{4\eta }}{\frac {\Delta P}{\Delta x}}(R^{2}-r^{2})$

在ざい相あい同どう直徑ちょっけい處しょ的てき速度そくど也會相しょう同どう，因いん此將相しょう同どう直徑ちょっけい處しょ的てき流體りゅうたい視し為ため一いち薄うす層そう，流ながれ過か薄すすき層そう流體りゅうたい的てき體積たいせき流量りゅうりょう等とう於速度そくど乘じょう以薄層そう的てき截面積めんせき：

$\Phi (r)dr={\frac {1}{4\eta }}{\frac {|\Delta P|}{\Delta x}}(R^{2}-r^{2})2\pi rdr={\frac {\pi }{2\eta }}{\frac {|\Delta P|}{\Delta x}}(rR^{2}-r^{3})dr$

再さい將しょう上述じょうじゅつ的てき量りょう對たい半徑はんけいr積分せきぶん，即そく可か得え到いた總そう流量りゅうりょう。

$\Phi ={\frac {\pi }{2\eta }}{\frac {|\Delta P|}{\Delta x}}\int _{0}^{R}(rR^{2}-r^{3})\,dr={\frac {|\Delta P|\pi R^{4}}{8\eta \Delta x}}$

和かず达西-韦史巴ともえ赫方程ほど的てき關係かんけい

泊とまり肃叶定律ていりつ不ふ只ただ是ぜ有ゆう關せき壓力あつりょく損失そんしつ和わ流速りゅうそく的てき公式こうしき，也和管かん子中こなか的てき層そう流りゅう，其速度そくど分布ぶんぷ呈てい拋物線せん有ゆう關せき。不ふ過か只ただ要よう推定すいてい紊流下りゅうか的てき有效ゆうこう紊流黏度，也可以將上述じょうじゅつ壓力あつりょく損失そんしつ的てき公式こうしき延伸えんしん到いた紊流的てき情じょう形がた，即そく使つかい紊流速度そくど分布ぶんぷ已やめ不ふ呈てい拋物線せん也沒關係かんけい。在ざい層そう流りゅう和わ紊流的てき情じょう形がた下か，壓力あつりょく損失そんしつ都和つわ管かん壁かべ的てき應力おうりょく有ゆう關せき，由よし管かん壁かべ應力おうりょく可か以定義ていぎ所謂いわゆる的てき摩擦まさつ因數いんすう。在ざい水力すいりょく学がく的てき領域りょういき中ちゅう，管かん壁かべ應力おうりょく可か以用达西-韦史巴ともえ赫方程ほど求もとめ得え，其中摩擦まさつ因數いんすう表示ひょうじ為ため和わ雷かみなり諾だく數すう和かず其他物理ぶつり量的りょうてき函數かんすう。若わか在ざい層そう流りゅう的てき情じょう形がた下か：

$\Lambda ={64 \over {\it {\mathrm {Re} }}}\;,\quad \quad \mathrm {Re} ={2\rho vr \over \eta }\;,$

其中

$\Lambda$為ため摩擦まさつ因數いんすう

$Re$為ため雷かみなり諾だく數すう

$\rho$為ため流體りゅうたい密度みつど

$v$為平ためひら均ひとし流體りゅうたい速度そくど，在ざい層そう流りゅう的てき情じょう形がた下か會かい是ぜ最大さいだい流體りゅうたい速度そくど的てき一半いっぱん

上述じょうじゅつ式子しょくし用よう平均へいきん流體りゅうたい速度そくど來らい定義ていぎ雷かみなり諾だく數すう，因いん此其實用じつよう性せい提ひさげ高だか。因よし為ため在ざい紊流其最大さいだい流體りゅうたい速度そくど很難計算けいさん。此公式こうしき可か以近似きんじ达西摩擦まさつ因数いんすう。$\Lambda$是ぜ圓型えんけい管かん子こ下流かりゅう速そく很低的てき層そう流下りゅうか的てき摩擦まさつ因數いんすう。韦德曼（Wiedman）曾在1856年ねん獨立どくりつ的てき進行しんこう和わ此定律ていりつ型式けいしき稍やや微ほろ不同ふどう的てき定律ていりつ的てき推導，諾だく伊い曼和哈根巴ともえ赫（E. Hagenbach）也曾在ざい1858年ねん推導過か型式けいしき不完全ふかんぜん一いち様よう的てき定律ていりつ。哈根巴ともえ赫是第だい一個稱此定律為泊肃叶定律的人。

泊とまり肃叶定律ていりつ在ざい生理学せいりがく中なか的てき血液けつえき流りゅう变学和わ血液けつえき動力どうりょく学がく中ちゅう非常ひじょう的てき重要じゅうよう。

1891年ねん時じL. R. Wilberforce以哈根ね巴ともえ赫的研究けんきゅう為ため基礎きそ，將はた泊とまり肃叶定律ていりつ擴展到いた紊流的てき領域りょういき中ちゅう。

可か壓縮あっしゅく流體りゅうたい下か的てき泊はく肃叶定律ていりつ

若わか管かん中ちゅう的てき是ぜ可か壓縮あっしゅく流體りゅうたい，其體積たいせき流りゅう率りつ及線速度そくど會かい延のべ著ちょ管かん子こ變化へんか。流體りゅうたい一般會以出口處的壓力來表示，當とう流體りゅうたい壓縮あっしゅく或ある是ぜ膨脹ぼうちょう時じ，流體りゅうたい會かい作さく功こう，溫度おんど可能かのう上昇じょうしょう或ある是ぜ下降かこう，因いん此流體りゅうたい流りゅう率りつ和わ流體りゅうたい與あずか外界がいかい的てき熱ねつ交換こうかん有ゆう關せき。若わか是ぜ在ざい等温とうおん过程下した的てき理想りそう氣體きたい，也就是ぜ氣體きたい溫度おんど和わ外界がいかい平衡へいこう時じ，而且管かん子こ兩端りょうたん的てき壓力あつりょく差さ很小時じ，其出口こう處しょ的てき體積たいせき流りゅう率りつ可か以表示ひょうじ如下式しき：

$\Phi ={\frac {dV}{dt}}=v\pi R^{2}={\frac {\pi R^{4}\left(P_{i}-P_{o}\right)}{8\eta L}}\times {\frac {P_{i}+P_{o}}{2P_{o}}}={\frac {\pi R^{4}}{16\eta L}}\left({\frac {P_{i}^{2}-P_{o}^{2}}{P_{o}}}\right)$

其中

$P_{i}$為ため入口いりくち壓力あつりょく

$P_{o}$為ため出口でぐち壓力あつりょく

$L$為ため管長かんちょう

$\eta$為ため動どう黏度

$R$為ため半徑はんけい

$V$為ため出口でぐち處しょ的てき流體りゅうたい體積たいせき

$v$為ため出口でぐち處しょ的てき流體りゅうたい速度そくど

當とう流體りゅうたい的てき馬うま赫數小しょう於0.3時じ，可か以用上うえ式しき近似きんじ實際じっさい的てき體積たいせき流りゅう率りつ。

上うえ式しき可か以視為ため是ぜ增加ぞうか一いち修正しゅうせい係數けいすう${\frac {P_{i}+P_{o}}{2}}\times {\frac {1}{P_{o}}}$的てき泊はく肃叶定律ていりつ，修正しゅうせい係數けいすう是ぜ考慮こうりょ平均へいきん壓力あつりょく相對そうたい於出口こう壓力あつりょく的てき比例ひれい。

和かず電路でんろ的てき類比るいひ

電子でんし一開始也是當作一種流體來了解，水力すいりょく類比るいひ的てき概念がいねん在ざい了解りょうかい電子でんし電路でんろ上じょう仍十じゅう分有ぶんゆう用よう。這種類比るいひ方式ほうしき也用來らい研究けんきゅう流體りゅうたい機械きかい網もう路ろ的てき頻しき率りつ響ひびき應おう，其中流體りゅうたい機械きかい網もう路ろ會かい以液えき压回路ろ來らい表示ひょうじ。

泊とまり肃叶定律ていりつ對應たいおう電路でんろ中ちゅう的てき歐おう姆定律ていりつ（$V=IR$），其中壓力あつりょく差さ$\Delta P$對應たいおう電壓でんあつ$V$，而體積たいせき流りゅう率りつ$\Phi$對應たいおう電流でんりゅう，則のり以下いか的てき物理ぶつり量りょう對應たいおう電でん阻

$R={\frac {8\eta \Delta x}{\pi r^{4}}}.$

一個管子的有效阻力和半徑倒數的四次方成正比，因いん此管子こ的てき半はん俓減半はん會かい使つかい管かん子こ的てき阻力變へん為ため原ばら來らい的てき16倍ばい。

歐おう姆定律ていりつ和泊わどまり肃叶定律ていりつ都と是ぜ對たい於輸運現象げんしょう的てき描述。

相關そうかん條目じょうもく

• 达西定律ていりつ
• 脉搏
• 波なみ
• 液えき压回路ろ