欧おう姆定律ていりつ

歐おう姆定律ていりつ的てき參まいり數すう是ぜ$V$、$I$、$R$。

在ざい電路でんろ學がく裡うら，欧おう姆定律ていりつ（英語えいご：Ohm's law）表明ひょうめい：电导体たい两端的てき电壓 $V$与あずか通どおり过电导体的てき电流 $I$ 成なり正せい比ひ。数学すうがく表ひょう达式为：

$V\propto I$

因いん此，對たい於任意にんい电导体たい（電路でんろ、電路でんろ元もと件けん、甚至電でん阻器），電でん阻 $R$ 可か定義ていぎ為ため此正せい比ひ关系的てき比例ひれい常数じょうすう：

$R\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {V}{I}}$

且可得え到いた下しも列れつ方程式ほうていしき：

$V=IR$

不ふ論ろん電流でんりゅう、電壓でんあつ為ため何なに，電でん阻定義ていぎ均ひとし為ため電壓でんあつ除じょ以電流りゅう。此外，任にん何なん电导体からだ都と有ゆう电阻，即そく使つかい超ちょう导体在ざい一般温度下也具有微小的电阻。

然しか而並不ふ是ぜ每ごと一種元件都遵守歐姆定律，此定律ていりつ是ぜ經過けいか多た次つぎ實驗じっけん而推斷すいだん的てき法則ほうそく，只ただ有ゆう在ざい理想りそう狀況じょうきょう下か，才さい會かい成立せいりつ。凡是遵守じゅんしゅ歐おう姆定律ていりつ的てき元もと件けん或ある電路でんろ都と稱しょう為ため「歐おう姆元件けん」或ある「歐おう姆電路ろ」或ある「歐おう姆式導體どうたい」，其電でん阻與あずか電流でんりゅう、電壓でんあつ的てき變動へんどう無關むせき；不ふ遵守じゅんしゅ歐おう姆定律ていりつ的てき元もと件けん或ある電路でんろ稱しょう為ため「非ひ歐おう姆元件けん」或ある「非ひ歐おう姆電路ろ」或ある「非ひ歐おう姆式導體どうたい」，其電阻可能會のうかい與あずか電流でんりゅう、電壓でんあつ的てき變動へんどう有ゆう關せき。

歐おう姆定律ていりつ是ぜ因いん德とく國こく物理ぶつり學がく家か格かく奧おく爾なんじ格かく·歐おう姆命名めいめい。於1827年ねん，在ざい他た發表はっぴょう的てき一本いっぽん通どおり論ろん《直流ちょくりゅう電路でんろ的てき數學すうがく研究けんきゅう》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏うら，他た詳細しょうさい的てき論述ろんじゅつ簡單かんたん電路でんろ兩端りょうたん的てき電壓でんあつ與あずか流動りゅうどう於電路ろ的てき電流でんりゅう之の間あいだ的てき關係かんけい。他所よそ論述ろんじゅつ的てき關係かんけい比較ひかく複雜ふくざつ，稍やや後會こうかい有ゆう更さら詳細しょうさい說明せつめい。上述じょうじゅつ方程式ほうていしき乃是歐おう姆定律ていりつ的てき現代げんだい版本はんぽん。

對たい於電阻物質ぶっしつ或ある導しるべ電でん物質ぶっしつ，歐おう姆定律ていりつ可か以推廣こう為ため：

$\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}$

$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}$

其中，$\mathbf {E}$是これ電場でんじょう，$\mathbf {J}$是ぜ物質ぶっしつ的てき電流でんりゅう密度みつど，$\rho$是ぜ物質ぶっしつ的てき電でん阻率，$\sigma =1/\rho$是ぜ物質ぶっしつ的てき電導でんどう率りつ。

遵守じゅんしゅ歐おう姆定律ていりつ的てき物質ぶっしつ，稱しょう為ため「歐おう姆物質ぶっしつ」，其電阻率$\rho$和かず電導でんどう率りつ$\sigma$與あずか電流でんりゅう密度みつど、電場でんじょう無關むせき。

歷史れきし

格かく奧おく爾なんじ格かく·歐おう姆。

早さ於1753年ねん，意い大利おおとし物理ぶつり學がく家か喬たかし凡尼·貝かい卡立亞あ就在研究けんきゅう物質ぶっしつ的てき導電性どうでんせい質しつ。他た在ざい電路でんろ裏うら加か裝そう了りょう盛もり滿了まんりょう水すい的てき玻璃はり管かん。當とう開ひらけ啟けい電路でんろ後ご，發現はつげん玻璃はり管かん的てき截面面積めんせき越えつ大だい，電流でんりゅう的てき放電ほうでん強度きょうど越えつ大だい。

英國えいこく物理ぶつり學がく家か亨とおる利り·卡文迪すすむ什也曾做過很多實驗じっけん，研究けんきゅう電動でんどう勢ぜい、電流でんりゅう、電でん阻之間あいだ的てき關係かんけい。他た使用しよう萊頓瓶びん為ため電流でんりゅう源げん，將はた電流でんりゅう通過つうか在ざい各種かくしゅ尺寸しゃくすん的てき玻璃はり試ためし管かん裏うら盛裝せいそう的てき鹽しお溶液ようえき，靠もたれ著ちょ調整ちょうせい鹽しお溶液ようえき的てき高度こうど，他た可か以控制せい放電ほうでん強度きょうど。卡文迪すすむ什把自己じこ身體しんたい當とう作さく一いち台だい生理せいり檢けん流りゅう計けい，從したがえ親身しんみ體驗たいけん被ひ電擊でんげき後ご的てき感覺かんかく，來らい估計電流でんりゅう的てき放電ほうでん強度きょうど。他た又また選擇せんたく出で一個裝滿鹽溶液的玻璃試管為標準，然しか後こう比較ひかく標準ひょうじゅん放電ほうでん與あずか試ためし樣さま放電ほうでん，按照放電ほうでん強度きょうど的てき大小だいしょう來らい估計它們的てき電でん阻。這樣，他た可か以定量りょう地ち描述每ごと一いち種しゅ試ためし樣さま。於1781年ねん1月がつ，他た記錄きろく在ざい筆記ひっき裏うら，電流でんりゅう與あずか電動でんどう勢ぜい成なり正せい比ひ。但ただし是ぜ，他た並なみ沒ぼつ有ゆう將はた這些珍めずらし貴とうと的てき實驗じっけん結果けっか告訴こくそ任にん何なん科學かがく家か。一直到馬克士威於1879年ねん替かえ他た編輯へんしゅう注釋ちゅうしゃく為ため著作ちょさく《卡文迪すすむ什的電でん學がく研究けんきゅう》（The electrical researches of the Honourable Henry Cavendish）後ご，才見さいみ諸しょ世よ面めん。注意ちゅうい到いた卡文迪すすむ什使用しよう的てき儀ぎ器き相當そうとう原始げんし粗そ陋，靠もたれ身體しんたい感覺かんかく很難做出精しゅっせい準じゅん的てき測量そくりょう，萊頓瓶びん並なみ不ふ是ぜ穩定電流でんりゅう源げん。所以ゆえん，學術がくじゅつ界かい認みとめ為ため這耽擱了近きん百年的實驗結果並不足以證實歐姆定律。

從したがえ1825年ねん到いた1826年ねん之の間あいだ，歐おう姆做了りょう很多關せき於電阻的實驗じっけん。於1827年ねん，他た將しょう得え到いた的てき結果けっか一同いちどう發表はっぴょう在ざい著作ちょさく《直流ちょくりゅう電路でんろ的てき數學すうがく研究けんきゅう》（The galvanic Circuit investigated mathematically）裏うら。他た從したがえ傅でん立葉たてば對たい於熱傳導でんどう的てき研究けんきゅう得え到いた了りょう相當そうとう多おお的てき靈感れいかん，借用しゃくよう了りょう很多傅でん立葉たてば的てき點てん子來こらい論述ろんじゅつ自己じこ的てき結果けっか。

歐おう姆是一いち位い優秀ゆうしゅう的てき實驗じっけん者しゃ，很會設計せっけい與あずか製造せいぞう實驗じっけん設備せつび，又また具有ぐゆう精せい湛たたえ的てき數學すうがく修養しゅうよう與あずか嚴いむ謹的敬けい業ぎょう態度たいど。剛つよし開始かいし，他た使用しよう伏ふく打電だでん堆うずたか為ため電源でんげん，用安ようあん裝そう於扭秤（torsion balance）的てき磁針じしん來らい測量そくりょう電流でんりゅう的てき磁場じば力りょく。載の流りゅう導線どうせん的てき電流でんりゅう所產しょさん生せい的てき磁場じば與あずか電流でんりゅう成なり正せい比ひ，只ただ要よう測量そくりょう在ざい載の流りゅう導線どうせん附近ふきん的てき磁針じしん所感しょかん受到的てき磁場じば力りょく，就可以知道どう電流でんりゅう。他た將しょう電流でんりゅう通過つうか不同ふどう長ちょう度ど的てき檢けん驗けん電線でんせん；由よし於長度ど不同ふどう，電でん阻也不同ふどう。歐おう姆仔細しさい分析ぶんせき實驗じっけん結果けっか，得とく到いた經驗けいけん方程式ほうていしき

$\Delta I=m\ln \left(1+{\frac {x}{a}}\right)$

其中，$\Delta I$是ぜ檢けん驗けん電線でんせん造成ぞうせい的てき電流でんりゅう差さ值，$m$是ぜ跟實驗じっけん參さん數すう有ゆう關せき的てき係數けいすう，$x$是ぜ檢けん驗けん電線でんせん的てき長ちょう度ど，$a$是ぜ跟固定こてい長ちょう度ど的てき載の流りゅう導線どうせん有ゆう關せき的てき常數じょうすう。

歐おう姆的實驗じっけん設備せつび。由よし於溫差さ，熱ねつ電でん偶會產さん生せい電動でんどう勢ぜい，促成そくせい電流でんりゅう流動りゅうどう於電阻電路ろ。這電流りゅう又また會かい產さん生せい磁場じば，使つかい得とく固定こてい於扭秤ばかり的てき磁針じしん偏へん轉てん。從したがえ讀取よみと磁針じしん偏へん轉てん的てき角度かくど，就可以知道どう電流でんりゅう。

歐おう姆很快かい地ち就覺得とく這方程式ほうていしき不ふ太ふとし對たい勁。大約たいやく三さん年ねん前まえ，湯ゆ瑪斯·澤さわ貝かい克かつ發明はつめい使用しよう熱ねつ電でん偶為ため電源でんげん。這種電源でんげん比ひ伏ふく打電だでん源げん穩定。採納さいのう《物理ぶつり與あずか化學かがく年鑑ねんかん》的てき總そう編輯へんしゅう約やく翰·波根はね多た夫おっと（Johann poggendorff）的てき建議けんぎ，歐おう姆改用よう熱ねつ電でん偶為電源でんげん，將はた實驗じっけん重じゅう做一いち遍へん，得とく到いた經驗けいけん方程式ほうていしき：

$X={\frac {a}{b+x}}$

其中，$X$是ぜ扭秤讀值，$a$是ぜ跟電動でんどう勢ぜい有ゆう關せき的てき常數じょうすう，$b$是ぜ跟內部ぶ電でん阻有關せき的てき常數じょうすう，$x$是ぜ檢けん驗けん電線でんせん的てき長ちょう度ど。

仔細しさい詮かい釋しゃく這些變量へんりょう，將はた$X$、$a$、$b$、$x$分別ふんべつ詮かい釋しゃく為ため電流でんりゅう$I$、電壓でんあつ$V$、內部電でん阻$r$、檢けん驗けん電でん阻$R_{x}$，那な麼，假定かてい總そう電でん阻$R$為ため$r+R_{x}$則のり經驗けいけん方程式ほうていしき變へん為ため歐おう姆定律ていりつ的てき現代げんだい方程式ほうていしき版本はんぽん：

$I={\frac {V}{R}}$

歐おう姆定律ていりつ可能かのう是ぜ早期そうき電でん學がく史し最さい重要じゅうよう的てき定量ていりょう理論りろん。但ただし是ぜ，當とう歐おう姆最初はつ發表はっぴょう他た的てき結果けっか時じ，很多學術がくじゅつ界かい同どう仁じん都と激烈げきれつ地ち批評ひひょう反對はんたい他た的てき理論りろん。德とく國こく教育きょういく部長ぶちょう指ゆび責せめ：「鼓吹こすい這種異端いたん邪說じゃせつ的てき教授きょうじゅ不ふ配はい教導きょうどう科學かがく。」物理ぶつり教授きょうじゅ格かく奧おく爾なんじ格かく·魄たま爾なんじ（Georg Pohl）這樣批評ひひょう歐おう姆的著作ちょさく：「以崇高だか眼光がんこう仰おおせ看み這世界かい的てき人士じんし，必須ひっす遠とお離はなれ這本無む可か救すくい藥やく、妄生穿鑿せんさく的てき謬書，其唯一目的乃是徹底詆毀大自然的尊嚴。」。那な時候じこう，德とく國正くにまさ盛行せいこう的てき黑くろ格かく爾しか哲學てつがく認みとめ為ため，因いん為ため大だい自然しぜん井井せいせい有ゆう序じょ，而且只ただ要よう經過けいか合理ごうり推論すいろん就可獲得かくとく科學かがく真理しんり，所以ゆえん，並なみ不ふ需要じゅよう靠もたれ做實驗じっけん來らい了解りょうかい大だい自然しぜん。歐おう姆的實驗じっけん方法ほうほう可能かのう引起了りょう黑くろ格かく爾しか門徒もんと的てき強烈きょうれつ反感はんかん。

1839年ねん，法ほう國こく物理ぶつり學がく家か，克かつ勞ろう德とく·普ふ雷かみなり特とく（Claude Pouillet）確定かくてい歐おう姆的實驗じっけん結果けっか。同時どうじ，歐おう姆成為ため柏かしわ林りん科學かがく院いん的まと院いん士し。在ざい英國えいこく，查爾斯·惠めぐみ斯通又また重じゅう新しん核かく對たい了りょう歐おう姆的實驗じっけん結果けっか。1841年ねん，歐おう姆被選せん為ため皇すめらぎ家か學會がっかい的まと外がい籍せき會員かいいん。1852年ねん，歐おう姆榮膺為慕尼黑くろ大學だいがく的てき物理ぶつり學がく系けい主任しゅにん。

於1920年ねん，物理ぶつり學がく家か發現はつげん，通過つうか理想りそう電でん阻器的てき電流でんりゅう會かい出現しゅつげん統計とうけい漲みなぎ落，雖然當とう電壓でんあつ和わ電でん阻為常數じょうすう時じ，統計とうけい漲みなぎ落會跟溫度おんど有ゆう關せき。這種漲みなぎ落稱為ため詹森-奈奎斯特噪音（Johnson–Nyquist noise），是ぜ因いん為ため電荷でんか的てき離散りさん秉性而產生せい的てき現像げんぞう。這熱效こう應おう意味いみ著ちょ，假かり若わか取と樣よう的てき時間じかん間隔かんかく足あし夠短暫，電流でんりゅう或ある電壓でんあつ的てき測はか值，其比例ひれい跟時間あいだ平均へいきん比例ひれい或ある系けい綜平均へいきん（ensemble average）比例ひれい相しょう比較ひかく，會かい出現しゅつげん漲みなぎ落；也就是ぜ說せつ，每まい一いち個こ電でん阻$R$的てき取と樣よう值，跟$R$的てき時間じかん平均へいきん或ある系けい綜平均へいきん相しょう比較ひかく，會かい出現しゅつげん漲みなぎ落。對たい於普通電つうでん阻物質ぶっしつ案あん例れい，經過けいか平均へいきん程ほど序じょ後ご，歐おう姆定律ていりつ仍舊正確せいかく無な誤あやま。

歐おう姆對於電阻的研究けんきゅう在ざい馬うま克かつ士し威い方かた程ほど組ぐみ出現しゅつげん之の前ぜん很久，那な時じ科學かがく家か對たい於交流こうりゅう電路でんろ的てき頻しき率りつ相關そうかん效こう應おう也不了解りょうかい。但ただし是ぜ，在ざい適當てきとう範圍はんい內，現代げんだい電磁でんじ理論りろん與あずか現代げんだい電路でんろ理論りろん並なみ沒ぼつ有ゆう發はつ現任げんにん何なに與あずか歐おう姆定律ていりつ相しょう悖もと之これ處しょ。

水力すいりょく學がく類比るいひ

歐おう姆定律ていりつ可か以用水力すいりょく學がく類比るいひ（hydraulic analogy）來らい描述。測量そくりょう單位たんい為ため帕斯卡的てき水壓すいあつ，可か以類比ひ為ため電壓でんあつ。在ざい一いち根ね水すい管かん裏うら，由ゆかり於任意にんい兩りょう點てん之の間あいだ的てき水壓すいあつ差さ會かい造成ぞうせい水流すいりゅう，水みず的てき流速りゅうそく（單位たんい是ぜ公おおやけ升ます每秒まいびょう），可か以類比ひ為ため電流でんりゅう（單位たんい是ぜ庫くら侖每秒まいびょう）。「流量りゅうりょう限げん制せい器き」是安こりゃす裝そう於水管かん與あずか水みず管かん之の間あいだ控ひかえ制せい流量りゅうりょう的てき閥ばつ門もん，可か以類比ひ為ため電でん阻器。通過つうか流量りゅうりょう限げん制せい器き的てき水流すいりゅう流量りゅうりょう，跟流量りょう限げん制せい器き兩端りょうたん的てき水壓すいあつ成なり正せい比ひ，類似るいじ地ち，通過つうか電でん阻器的てき電荷でんか流量りゅうりょう（電流でんりゅう），跟電阻器兩端りょうたん的てき電壓でんあつ成なり正せい比ひ。這正是ぜ歐おう姆定律ていりつ的てき論述ろんじゅつ。

流體りゅうたい流動りゅうどう網もう路ろ的てき流量りゅうりょう和わ流りゅう壓あつ可か以用水力すいりょく學がく類比るいひ方法ほうほう來らい計算けいさん。這方法ほうほう可か以應用おうよう於穩定流りゅう和わ暫態流りゅう（transient flow）。對たい於線性せい層そう流りゅう，泊とまり肅葉定律ていりつ（Poiseuille's law）描述水すい管かん的てき水みず阻，但ただし是ぜ對たい於湍流，流りゅう壓あつ-流量りゅうりょう關係かんけい變へん為ため非ひ線せん性せい。

熱ねつ力學りきがく類比るいひ

参まいり见：熱ねつ傳導でんどう

設定せってい電でん導體どうたい的てき電導でんどう率りつ與あずか兩りょう端はし的てき電壓でんあつ，歐おう姆定律ていりつ可か以預測はか出で通過つうか這電導體どうたい的てき電流でんりゅう密度みつど。類似るいじ地ち，設定せってい熱ねつ導體どうたい的てき熱ねつ導しるべ率りつ與あずか兩りょう端はし的てき溫ゆたか差さ，約やく瑟夫·傅でん立葉たてば的てき熱ねつ傳導でんどう定律ていりつ可か以預測はか通過つうか這熱導體どうたい的てき熱ねつ流りゅう。同樣どうよう的てき方程式ほうていしき形式けいしき可か以描述じゅつ這兩種しゅ現象げんしょう。對たい於每一いち種しゅ案あん例れい，方程式ほうていしき的てき變量へんりょう有ゆう不同ふどう的てき意義いぎ。具體ぐたい而言，歐おう姆定律ていりつ的てき方程式ほうていしき為ため：

$\mathbf {J} =-\sigma \nabla V$

而熱傳導でんどう定律ていりつ的てき方程式ほうていしき為ため：

${\boldsymbol {\Gamma }}=-k\nabla T$

其中，${\boldsymbol {\Gamma }}$是これ熱ねつ通どおり量りょう（heat flux），$k$是ぜ導しるべ熱ねつ體からだ的てき熱ねつ導しるべ率りつ，$T$是ぜ溫度おんど。

思考しこう參さん數すう為ため溫度おんど、熱ねつ導しるべ率りつ與あずか熱ねつ通どおり量的りょうてき熱ねつ傳導でんどう問とい體たい，和わ參さん數すう為ため電壓でんあつ、電導でんどう率りつ與あずか電流でんりゅう密度みつど的てき電でん傳導でんどう問とい體たい。這兩個りゃんこ問題もんだい相互そうご等價とうか。假かり若わか能のう夠解析かいせき一いち個こ熱ねつ傳導でんどう問とい體たい，則のり也能夠解析かいせき電でん傳導でんどう問題もんだい；反はん之の亦また然しか。

電路でんろ分析ぶんせき

在ざい電路でんろ學がく裏うら，電でん阻器（歐おう姆電阻器）是ぜ一いち種しゅ電路でんろ元もと件けん，其電阻與電壓でんあつ、電流でんりゅう無關むせき。電でん阻器可か以按照あきら歐おう姆定律ていりつ阻抗電荷でんか的てき通過つうか。每まい一個電阻器都有其設計製成的電阻$R$。更さら嚴格げんかく地ち說せつ，電でん阻器是ぜ在ざい某ぼう操作そうさ域いき內遵守じゅんしゅ歐おう姆定律ていりつ的てき電路でんろ元もと件けん；歐おう姆定律ていりつ和わ唯ただ一電阻值足夠描述這元件在相關操作域的行為。

串くし聯れん電でん阻電路ろ

$n$個こ電でん阻器串くし聯れん形成けいせい的てき電路でんろ。

串くし联电阻的てき总电阻等於各個かっこ电阻之の和わ，以方程式ほうていしき表示ひょうじ，

$R_{\mathrm {total} }=R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}$

其中，$R_{n}$是ぜ第だい$n$個こ電でん阻，$R_{\mathrm {total} }$是ぜ總そう電でん阻。

假設かせつ在ざい電路でんろ兩端りょうたん的てき電壓でんあつ為ため$V$，則のり通過つうか的てき电流為ため$I={V}/{R_{total}}$。假設かせつ每ごと一個電阻器都遵守歐姆定律，則のり這電路ろ是ぜ電でん阻為$R_{\mathrm {total} }$的まと歐おう姆電路ろ。

並なみ聯れん電でん阻電路ろ

$n$個こ電でん阻器並なみ聯れん形成けいせい的てき電路でんろ。

相互そうご并联的てき电阻，其总电阻的てき倒たおせ数すう等とう於其每ごと个电阻的倒たおせ数すう和かず，以方程式ほうていしき表示ひょうじ：

${1 \over R_{\mathrm {total} }}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}+\cdots +{1 \over R_{n}}$

假設かせつ在ざい電路でんろ兩端りょうたん的てき電壓でんあつ為ため$V$，則のり通過つうか的てき电流為ため$I={V}/{R_{total}}$。假設かせつ每ごと一個電阻器都遵守歐姆定律，則のり這電路ろ是ぜ電でん阻為$R_{\mathrm {total} }$的まと歐おう姆電路ろ。

週しゅう期き性せい激發げきはつ

電でん容器ようき、電でん感かん器き、傳つて輸線等ひとし等ひとし，都みやこ是ただし電路でんろ的てき電でん抗こう元もと件けん。假設かせつ施ほどこせ加か週しゅう期き性せい電壓でんあつ或ある週しゅう期き性せい電流でんりゅう於含有がんゆう電でん抗こう元もと件けん的てき電路でんろ，則のり電壓でんあつ與あずか電流でんりゅう之の間あいだ的てき關係かんけい式しき變成へんせい微分びぶん方程式ほうていしき。因よし為ため歐おう姆定律ていりつ的てき方程式ほうていしき只ただ涉わたる及實值的電でん阻，不ふ涉わたる及可能かのう含有がんゆう電でん容よう或ある電でん感かん的てき複ふく值阻抗，所以ゆえん，前面ぜんめん闡述的てき歐おう姆定律ていりつ不能ふのう直接ちょくせつ應用おうよう於這狀況じょうきょう。

最さい基本きほん的てき週しゅう期き性せい激發げきはつ，像ぞう正弦せいげん激發げきはつ或ある餘弦よげん激發げきはつ，都と可か以用指數しすう函數かんすう來らい表ひょう達たち：

$\sin {\omega t}={\frac {1}{2j}}(e^{j\omega t}-e^{-j\omega t})$

$\cos {\omega t}={\frac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})$

其中，$j$是これ虛數きょすう單位たんい，$\omega$是ぜ實じつ值角かく頻しき率りつ，$t$是これ時間じかん。

假設かせつ週しゅう期き性せい激發げきはつ為ため單たん頻しき率りつ正弦せいげん激發げきはつ，其角きかく頻しき率りつ為ため$\omega$。電でん阻為$R$的まと電でん阻器，其阻抗${Z}$為ため：

${Z}=R$

電でん感かん為ため$L$的まと電でん感かん器き，其阻抗こう為ため：

${Z}=j\omega L$

電でん容よう為ため$C$的まと電でん容器ようき，其阻抗こう為ため：

${Z}=1/j\omega C$

電壓でんあつ${V}$與あずか電流でんりゅう${I}$的てき關係かんけい式しき為ため：

${V}={I}{Z}$

注意ちゅうい到いた將はた阻抗${Z}$替がえ代だい電でん阻$R$，就可以得到いた這歐姆定律ていりつ方程式ほうていしき的てき推廣。只ただ有ゆう${Z}$的てき實じつ值部分會ぶんかい造成ぞうせい熱ねつ能のう的てき耗散。

對たい於這系統けいとう，電流でんりゅう和わ電壓でんあつ的てき複ふく值波形式けいしき分別ふんべつ為ため：

${I}={I}_{0}e^{j\omega t}$

${V}={V}_{0}e^{j\omega t}$

電流でんりゅう和わ電壓でんあつ的てき實じつ值部分ぶぶん$real({I})$、$real({V})$分別ふんべつ描述這電路ろ的てき真實しんじつ正弦せいげん電流でんりゅう和わ正弦せいげん電壓でんあつ。由よし於${I}_{0}$、${V}_{0}$都みやこ是ただし不同ふどう的てき複ふく值純量りょう，電流でんりゅう和わ電壓でんあつ的てき相そう位い可能かのう會かい不ふ一いち樣よう。

週しゅう期き性せい激發げきはつ可か以傅でん立葉たてば分解ぶんかい為ため不同ふどう角かく頻しき率りつ的てき正弦せいげん函數かんすう激發げきはつ。對たい於每一個角頻率的正弦函數激發，可か以使用しよう上述じょうじゅつ方法ほうほう來らい計算けいさん響ひびき應おう。然しか後ご，將はた所有しょゆう響ひびき應おう總和そうわ起おこり來らい，就可以得到いた解答かいとう。

線せん性せい近似きんじ

電流でんりゅう對たい電壓でんあつ線せん圖ず。理想りそう電でん阻器和わPN接せっ面めん二に極きょく體たい的てきV-I線分せんぶん別べつ以紅色しょく和わ黑色こくしょく顯示けんじ。

歐おう姆定律ていりつ是ぜ電路でんろ分析ぶんせき（circuit analysis）使用しよう的てき幾いく個こ基本きほん方程式ほうていしき之の一いち。它可以應用おうよう於金屬きんぞく導しるべ電でん體たい或ある特別とくべつ為ため這行為所しどころ製せい備的電でん阻器。在ざい電機でんき工程こうてい學がく裏うら，這些東西とうざい無む所しょ不在ふざい。遵守じゅんしゅ歐おう姆定律ていりつ的てき物質ぶっしつ或ある元もと件けん稱しょう為ため「歐おう姆物質ぶっしつ」或ある「歐おう姆元件けん」。理論りろん上じょう，不ふ論ろん施ほどこせ加か的てき電壓でんあつ或ある電流でんりゅう、不ふ論ろん是ぜ直流ちょくりゅう或ある交流こうりゅう、不ふ論ろん是正ぜせい極ごく或ある負ふ極きょく，它們的てき電でん阻都不變ふへん。

但ただし是ぜ，有ゆう些電路ろ元もと件けん不ふ遵守じゅんしゅ歐おう姆定律ていりつ，它們的てき電壓でんあつ與あずか電流でんりゅう之の間あいだ的てき關係かんけい（V-I線せん）乃非線せん性せい關係かんけい。PN接せっ面めん二に極きょく體たい是ぜ一個顯明範例。如右圖ず所しょ示しめせ，隨ずい著ちょ二に極きょく體たい兩端りょうたん電壓でんあつ的てき遞增ていぞう，電流でんりゅう並なみ沒ぼつ有線ゆうせん性せい遞增ていぞう。給きゅう定てい外電がいでん壓あつ，可か以用V-I線せん來らい估計電流でんりゅう，而不能ふのう用よう歐おう姆定律ていりつ來らい計算けいさん電流でんりゅう，因いん為ため電でん阻會因いん為ため電壓でんあつ的てき不同ふどう而改變かいへん。另外，只ただ有ゆう當とう外電がいでん壓あつ為ため正せい值時，電流でんりゅう才ざい會かい顯著けんちょ地ち遞增ていぞう；當とう施ほどこせ加か的てき電壓でんあつ為ため負ふ值時，電流でんりゅう等とう於零。對たい於這類るい元もと件けん，V-I線せん的てき斜はす率りつ${\mathfrak {r}}$，稱しょう為ため「小しょう信號しんごう電でん阻」（small-signal resistance）、「增量ぞうりょう電でん阻」（incremental resistance）或ある「動態どうたい電でん阻」（dynamic resistance），定義ていぎ為ため

${\mathfrak {r}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} I}}$

單位たんい也是歐おう姆，是ぜ很重要じゅうよう的てき電でん阻量，適用てきよう於計算けいさん非ひ歐おう姆元件けん的てき電でん性せい。

溫度おんど效こう應おう

詹姆斯·馬うま克かつ士し威たけし詮かい釋しゃく歐おう姆定律ていりつ為ため，處しょ於某狀態じょうたい的てき導しるべ電でん體たい，其電動でんどう勢ぜい與あずか產さん生せい的てき電流でんりゅう成なり正せい比ひ。因よし此，電動でんどう勢いきおい與あずか電流でんりゅう的てき比例ひれい，即そく電でん阻，不ふ會かい隨ずい著ちょ電流でんりゅう而改變かいへん。在ざい這裡，電動でんどう勢ぜい就是導しるべ電でん體からだ兩端りょうたん的てき電壓でんあつ。參考さんこう這句引述的てき上下じょうげ文ぶん，修飾しゅうしょく語ご「處しょ於某狀態じょうたい」，詮かい釋しゃく為ため處しょ於常溫じょうおん狀態じょうたい，這是因いん為ため物質ぶっしつ的てき電でん阻率通常つうじょう跟溫度おんど有ゆう關せき。根據こんきょ焦こげ耳みみ定律ていりつ，導しるべ電でん體からだ的てき焦こげ耳みみ加熱かねつ（Joule heating）與あずか電流でんりゅう有ゆう關せき，當とう傳導でんどう電流でんりゅう於導電でん體たい時じ，導しるべ電でん體からだ的てき溫度おんど會かい改變かいへん。電でん阻對於溫度おんど的てき相關そうかん性せい，使つかい得とく在ざい典型てんけい實驗じっけん裏うら，電でん阻跟電流でんりゅう有ゆう關せき，從したがえ而很不ふ容易ようい直接ちょくせつ核かく對たい這形式しき的てき歐おう姆定律ていりつ。於1876年ねん，馬うま克かつ士し威い與あずか同どう事こと，共同きょうどう設計せっけい出で幾いく種しゅ測はか試ためし歐おう姆定律ていりつ的てき實驗じっけん方法ほうほう，能のう夠特別べつ凸とつ顯あらわ出で導しるべ電でん體からだ對たい於加熱ねつ效こう應おう的てき響ひびき應おう。

其它版本はんぽん的てき歐おう姆定律ていりつ

在ざい電機でんき工程こうてい學がく和わ電子でんし工程こうてい學がく裏うら，歐おう姆定律ていりつ妙みょう用よう無窮むきゅう，因いん為ため它能夠在宏ひろし觀かん層そう次じ表ひょう達たち電壓でんあつ與あずか電流でんりゅう之の間あいだ的てき關係かんけい，即そく電路でんろ元もと件けん兩端りょうたん的てき電壓でんあつ與あずか通過つうか的てき電流でんりゅう之の間あいだ的てき關係かんけい。在ざい物理ぶつり學がく裏うら，對たい於物質ぶっしつ的てき微ほろ觀かん層そう次じ電でん性質せいしつ研究けんきゅう，會かい使用しよう到いた的てき歐おう姆定律ていりつ，以向量りょう方程式ほうていしき表ひょう達たち為ため：

$\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}$

$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}$

處しょ於均勻外電場でんじょう的てき均ひとし勻截面めん導しるべ電でん體たい（例れい如，電線でんせん）。

在ざい導體どうたい內任意にんい兩りょう點てんg、h，定義ていぎ電壓でんあつ為ため將はた單位たんい電荷でんか從したがえ點てんg移動いどう到いた點てんh，電場でんじょう力りょく所ところ需做的てき機械きかい功こう：

$V_{gh}{\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} q}}=\int _{g}^{h}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }=\rho \int _{g}^{h}{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$

其中，$V_{gh}$是ぜ電壓でんあつ，$w$是ぜ機械きかい功こう，$q$是ぜ電荷でんか量りょう，$\mathrm {d} \mathbf {l}$是ぜ微小びしょう線せん元素げんそ。

假設かせつ，沿著積分せきぶん路ろ徑みち，電流でんりゅう密度みつど$\mathbf {J} =J{\hat {\mathbf {l} }}$為ため均ひとし勻電流りゅう密度みつど，並なみ且平行へいこう於微小びしょう線せん元素げんそ：

$\mathrm {d} \mathbf {l} =\mathrm {d} l{\hat {\mathbf {l} }}$

其中，${\hat {\mathbf {l} }}$是ぜ積分せきぶん路ろ徑みち的てき單位たんい向むこう量りょう。

那な麼，可か以得到いた電壓でんあつ：

$V_{gh}=J\rho l$

其中，$l$是ぜ積分せきぶん路ろ徑みち的てき徑みち長ちょう。

假設かせつ導體どうたい具有ぐゆう均ひとし勻的電でん阻率，則のり通過つうか導體どうたい的てき電流でんりゅう密度みつど也是均ひとし勻的：

$J=I/a$

其中，$a$是ぜ導體どうたい的てき截面面積めんせき。

電壓でんあつ$V_{gh}$簡寫為ため$V$。電壓でんあつ與あずか電流でんりゅう成なり正せい比ひ：

$V=V_{gh}=I\rho l/a$

總そう結ゆい，電でん阻與電でん阻率的てき關係かんけい為ため：

$R=\rho l/a$

假設かせつ$J>0$，則のり$V>0$；將はた單位たんい電荷でんか從したがえ點てんg移動いどう到いた點てんh，電場でんじょう力りょく需要じゅよう作さく的てき機械きかい功こう$w>0$。所以ゆえん，點てんg的てき電でん勢ぜい比ひ點てんh的てき電でん勢ぜい高だか，從したがえ點てんg到いた點てんh的てき電でん勢ぜい差さ為ため$-V$。從したがえ點てんg到いた點てんh，電壓でんあつ降くだ是これ$V$；從したがえ點てんh到いた點てんg，電壓でんあつ升ます是ぜ$V$。

給きゅう予よ一いち個こ具有ぐゆう完かん美び晶あきら格かく的てき晶あきら體からだ，移動いどう於這晶あきら體からだ的てき電子でんし，其運動うんどう等價とうか於移動いどう於自由じゆう空間くうかん的てき具有ぐゆう有效ゆうこう質量しつりょう（effective mass）的てき電子でんし的てき運動うんどう。所以ゆえん，假設かせつ熱ねつ運動うんどう足あし夠微小びしょう，週しゅう期き性せい結構けっこう沒ぼつ有ゆう偏差へんさ，則のり這晶體たい的てき電でん阻等於零。但ただし是ぜ，真實しんじつ晶あきら體からだ並なみ不ふ完かん美び，時じ常會じょうかい出現しゅつげん晶あきら體からだ缺陷けっかん（crystallographic defect），有ゆう些晶格かく點てん的てき原子げんし可能かのう不ふ存在そんざい，可能かのう會かい被ひ雜ざつ質しつ侵おかせ佔。這樣，晶あきら格かく的てき週しゅう期き性せい會かい被ひ擾動，因いん而電子でんし會かい發生はっせい散ち射い。另外，假設かせつ溫度おんど大だい於絕對溫度ぜったいおんど，則のり處しょ於晶格かく點てん的てき原子げんし會かい發生はっせい熱ねつ震動しんどう，會かい有ゆう熱ねつ震動しんどう的てき粒子りゅうし，即そく聲こえ子こ，移動いどう於晶體たい。溫度おんど越高こしたか，聲こえ子こ越えつ多た。聲こえ子こ會かい與あずか電子でんし發生はっせい碰撞，這過程ほど稱たたえ為ため晶あきら格かく散ち射い（lattice scattering）。主要しゅよう由よし於上述じょうじゅつ兩りょう種たね散ち射い，自由じゆう電子でんし的てき流動りゅうどう會かい被ひ阻礙，晶あきら體からだ因いん此具有ぐゆう有限ゆうげん電でん阻。

凝聚ぎょうしゅう態たい物理ぶつり學がく研究けんきゅう物質ぶっしつ的てき性質せいしつ，特別とくべつ是ぜ其電子こ結構けっこう。在ざい凝聚ぎょうしゅう態たい物理ぶつり學がく裏うら，歐おう姆定律ていりつ更さら複雜ふくざつ、更さら廣義こうぎ的てき方程式ほうていしき非常ひじょう重要じゅうよう，屬ぞく於本ほん構方程式ほうていしき（constitutive equation）與あずか運輸うんゆ係數けいすう理論りろん（theory of transport coefficients）的てき範圍はんい。

經典きょうてん微ほろ觀かん表ひょう述じゅつ

在ざい德とく鲁德模型もけい裏うら，電子でんし（以藍色しょく表示ひょうじ）不ふ停とま地ち在ざい固定こてい不動ふどう的てき導しるべ電でん體たい離はなれ子こ（以紅色しょく表示ひょうじ）之の間あいだ移動いどう與あずか碰撞。假かり若わか施ほどこせ加か電場でんじょう於導電でん體たい，則のり電子でんし的てき平均へいきん移動いどう速度そくど（稱たたえ為ため漂移速度そくど）不等ふとう於零。電子でんし的てき漂移速度そくど方向ほうこう與あずか電場でんじょう方向ほうこう相反あいはん。

主しゅ条目じょうもく：德とく鲁德模型もけい

當とう施ほどこせ加か外がい電場でんじょう於導電でん體たい時じ，電流でんりゅう密度みつど的てき響ひびき應おう，基本きほん上じょう是ぜ屬ぞく於量子力學りょうしりきがく性質せいしつ。詳しょう盡つき細ぼそ節ふし，請參閱經典きょうてん與あずか量子りょうし電導でんどう率りつ（classical and quantum conductivity）。保ほ羅ら·德とく鲁德於1900年ねん研究けんきゅう出で的てき德とく鲁德模型もけい，可か以用經典きょうてん物理ぶつり解釋かいしゃく歐おう姆定律ていりつ，描述自由じゆう電子でんし移動いどう於金屬きんぞく導しるべ電でん體からだ的てき物理ぶつり行為こうい 。

在ざい德とく鲁德模型もけい裏うら，自由じゆう電子でんし會かい不ふ停とま地ち移動いどう碰撞於固定こてい不動ふどう、組成そせい整せい個こ金屬きんぞく導しるべ電でん體からだ晶あきら格かく的てき正價せいか離はなれ子こ之これ間あいだ。金屬きんぞく裏うら的てき每ごと一いち個こ自由じゆう電子でんし，感受かんじゅ到いた電場でんじょう力りょく的てき作用さよう，會かい呈てい加速かそく運動うんどう。但ただし是ぜ每ごと當とう自由じゆう電子でんし與あずか晶あきら格かく發生はっせい碰撞，其動能會のうかい遭受損失そんしつ，以熱能のう的てき形式けいしき將はた能のう量りょう釋放しゃくほう給きゅう離はなれ子こ，所以ゆえん，電子でんし的てき平均へいきん移動いどう速度そくど是ぜ漂移速度そくど，其漂移うつり速度そくど的てき方向ほうこう與あずか電場でんじょう方向ほうこう相反あいはん。

電子でんし感かん受到的てき平均へいきん電場でんじょう力りょく$\mathbf {F} _{ave}$為ため：

$\mathbf {F} _{ave}=-e\mathbf {E} _{ave}$

其中，$\mathbf {E} _{ave}$是ぜ平均へいきん電場でんじょう，$e$是ぜ單位たんい電荷でんか量りょう。

德とく鲁德計けい算出さんしゅつ漂移速度そくど$\mathbf {v} _{d}$為ため：

$\mathbf {v} _{d}=-e\mathbf {E} _{ave}\tau /m$

其中，$\tau$是これ平均へいきん自由じゆう時間じかん（mean free time），是ぜ碰撞之の間あいだ的てき平均へいきん時間じかん間隔かんかく，$m$是ぜ電子でんし的てき質量しつりょう。

在ざい金屬きんぞく裏うら，電荷でんか載の子こ為ため電子でんし，所以ゆえん電流でんりゅう密度みつど與あずか漂移速度そくど的てき關係かんけい為ため：

$\mathbf {J} =-ne\mathbf {v} _{d}=ne^{2}\tau \mathbf {E} _{ave}/m$

其中，$n$是ぜ電子でんし密度みつど。

假設かせつ電場でんじょう是ぜ均ひとし勻電場じょう，$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{ave}$，設定せってい電でん阻率為ため：

$\rho ={\frac {m}{ne^{2}\tau }}$

則のり電場でんじょう與あずか電流でんりゅう密度みつど的てき關係かんけい為ため：

$\mathbf {E} =\rho \mathbf {J}$

注意ちゅうい到いた漂移速そく率りつ$v_{d}$超ちょう小しょう於熱速そく率りつ$v_{t}$，

${\frac {1}{2}}mv_{t}^{2}={\frac {3}{2}}k_{B}T$

其中，$k_{B}$是これ波なみ茲曼常數じょうすう，$T$是これ溫度おんど。

因いん此，平均へいきん自由じゆう時間じかん與あずか熱ねつ速そく率りつ有ゆう關せき，與あずか漂移速そく率りつ無關むせき，所以ゆえん平均へいきん自由じゆう時間じかん也與電流でんりゅう密度みつど、電場でんじょう無關むせき。質量しつりょう、電子でんし密度みつど、單位たんい電荷でんか，都と與あずか電流でんりゅう密度みつど、電場でんじょう無關むせき。總そう結ゆい，電でん阻率與あずか電流でんりゅう密度みつど、電場でんじょう無關むせき。

磁效應おう

前面ぜんめん得え到いた的てき答案とうあん只ただ成立せいりつ於導電でん體からだ的てき參考さんこう系けい。在ざい經典きょうてん電磁でんじ學がく裏うら，假設かせつ處しょ於磁場じば$\mathbf {B}$的てき導しるべ電でん體たい，以相對たい速度そくど$\mathbf {v} _{0}$移動いどう於磁場じょう的てき參考さんこう系けい${\mathcal {S}}$，則のり電子でんし感かん受到的てき平均へいきん勞ろう侖茲力りょく$\mathbf {F} _{ave}$為ため：

$\mathbf {F} _{ave}=-e(\mathbf {E} _{ave}+\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{ave})$

漂移速度そくど$\mathbf {v} _{d}$為ため：

$\mathbf {v} _{d}=-e(\mathbf {E} _{ave}+\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{ave})\tau /m$

電場でんじょう與あずか電流でんりゅう密度みつど的てき關係かんけい為ため：

$\mathbf {J} =-ne\mathbf {v} _{d}=ne^{2}\tau (\mathbf {E} _{ave}+\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{ave})/m$

所以ゆえん，歐おう姆定律ていりつ的てき形式けいしき推廣為ため：

$\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\rho \mathbf {J}$

常見つねみ錯誤さくご

不ふ少しょう人ひと會かい認みとめ為ため歐おう姆定律ていりつ是ぜ在ざい說明せつめい

$V=iR$

實際じっさい上じょう，上うえ式しき只ただ是ぜ電でん阻的定義ていぎ，而歐姆定律ていりつ所しょ主張しゅちょう的てき是ぜ任にん何なん物件ぶっけん都會とかい滿足まんぞく

$V\propto i$

是ぜ一いち個こ錯誤さくご的てき主張しゅちょう。（僅對部分ぶぶん歐おう姆式導體どうたい正確せいかく）

參まいり閱

• 薄膜うすまく電でん阻
• 菲克擴散かくさん定律ていりつ
• 霍普金森かなもり定律ていりつ（Hopkinson's law，靜せい磁學的てき歐おう姆定律ていりつ）