数学 すうがく 、特 とく に抽象 ちゅうしょう 代 だい 数学 すうがく において、次数 じすう 付 つ き環 たまき (じすうつきかん、英 えい : graded ring ; 次数 じすう 付 つ けられた環 たまき )あるいは次数 じすう 環 たまき とは
R
i
R
j
⊂
R
i
+
j
{\displaystyle R_{i}R_{j}\subset R_{i+j}}
を満 み たすアーベル群 ぐん
R
i
{\displaystyle R_{i}}
の直和 なおかず として表 あらわ すことのできる環 たまき のことである[1] 。多項式 たこうしき 環 たまき の斉 ひとし 次 じ 多項式 たこうしき への分解 ぶんかい を一般 いっぱん 化 か した概念 がいねん である。添 そ え字 じ 集合 しゅうごう は通常 つうじょう 非負 ひふ の整数 せいすう の集合 しゅうごう か整数 せいすう の集合 しゅうごう であるが、任意 にんい のモノイド あるいは群 ぐん でもよい。直和 なおかず 分解 ぶんかい は通常 つうじょう 次数 じすう 化 か (gradation)あるいは次数 じすう 付 づ け (grading)と呼 よ ばれる。
次数 じすう (付 つ き)加 か 群 ぐん (graded module)は同様 どうよう に定義 ていぎ される(正確 せいかく な定義 ていぎ は下 した を見 み よ)。これは次数 じすう 付 つ きベクトル空間 くうかん の一般 いっぱん 化 か である。次数 じすう 付 つ き環 たまき でもあるような次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん は次数 じすう 付 つ き代数 だいすう (graded algebra)と呼 よ ばれる。次数 じすう 付 つ き環 たまき は次数 じすう 付 つ き Z -代数 だいすう と見 み なすこともできる。
結合 けつごう 性 せい は次数 じすう 付 つ き環 たまき の定義 ていぎ において重要 じゅうよう でない(実 じつ は全 まった く使 つか われない)。したがってこの概念 がいねん は非 ひ 結合 けつごう 的 てき 多元 たげん 環 たまき に対 たい しても適用 てきよう できる。例 たと えば、次数 じすう 付 つ きリー環 たまき (英語 えいご 版 ばん ) を考 かんが えることができる。
基本 きほん 的 てき な性質 せいしつ [ 編集 へんしゅう ]
A
=
⨁
i
∈
N
0
A
i
=
A
0
⊕
A
1
⊕
A
2
⊕
⋯
{\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }
を次数 じすう 付 つ き環 たまき とする。
A
0
{\displaystyle A_{0}}
は A の部分 ぶぶん 環 たまき である[1] (とくに、加法 かほう の単位 たんい 元 もと 0 と乗法 じょうほう の単位 たんい 元 もと 1 は次数 じすう 0 の斉 ひとし 次元 じげん である)。
A
+
=
⨁
i
∈
N
+
A
i
=
A
1
⊕
A
2
⊕
⋯
{\displaystyle A_{+}=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{+}}A_{i}=A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }
は
A
{\displaystyle A}
のイデアルとなる(これは自然 しぜん な全 ぜん 準 じゅん 同型 どうけい
f
:
A
→
A
0
{\displaystyle f:A\rightarrow A_{0}}
の核 かく であるため、
A
0
≅
A
/
A
+
{\displaystyle A_{0}\cong A/A_{+}}
となる)。
各 かく
A
i
{\displaystyle A_{i}}
は
A
0
{\displaystyle A_{0}}
-加 か 群 ぐん である[1] 。
可 か 換 かわ
N
0
{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}
-次数 じすう 付 つ き環 たまき
A
=
⨁
i
∈
N
0
A
i
{\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}}
がネーター環 たまき であるのは、
A
0
{\displaystyle A_{0}}
がネーター的 てき かつ A が
A
0
{\displaystyle A_{0}}
上 うえ の多元 たげん 環 たまき として有限 ゆうげん 生成 せいせい であるとき、かつそのときに限 かぎ る[2] 。そのような環 たまき に対 たい して、生成 せいせい 元 もと を斉 ひとし 次 つぎ にとることができる。
分解 ぶんかい の任意 にんい の因子 いんし
A
i
{\displaystyle A_{i}}
の元 もと は次数 じすう i の斉 ひとし 次元 じげん (homogeneous elements)と呼 よ ばれる。 イデアル や他 た の部分 ぶぶん 集合 しゅうごう
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
⊂ A が斉 ひとし 次 つぎ (せいじ、homogeneous)であるとは次 つぎ を満 み たすことである。任意 にんい の元 もと a ∈
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
に対 たい して、すべての ai を斉 ひとし 次元 じげん として a=a1 +a2 +...+an であるときに、すべての ai が
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
の元 もと である。与 あた えられた a に対 たい し、これらの斉 ひとし 次元 じげん は一意的 いちいてき に定義 ていぎ され、a の斉 ひとし 次 じ 部分 ぶぶん (homogeneous parts)と呼 よ ばれる。
I が A の斉 ひとし 次 じ イデアルであれば、
A
/
I
{\displaystyle A/I}
も次数 じすう 付 つ き環 たまき であり、次 つぎ の分解 ぶんかい をもつ。
A
/
I
=
⨁
i
∈
N
0
(
A
i
+
I
)
/
I
{\displaystyle A/I=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}(A_{i}+I)/I}
任意 にんい の(次数 じすう 付 つ きでない)環 たまき A は A 0 = A および i > 0 に対 たい して A i = 0 とすることによって次数 じすう 付 つ きにできる。これは A の自明 じめい な次数 じすう 化 か (trivial gradation)と呼 よ ばれる。
次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん [ 編集 へんしゅう ]
加 か 群 ぐん 論 ろん において対応 たいおう する概念 がいねん は次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん (graded module) である。すなわち次数 じすう 付 つ き環 たまき A 上 うえ の左 ひだり 加 か 群 ぐん M であって
M
=
⨁
i
∈
N
0
M
i
,
{\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}M_{i},}
であり
A
i
M
j
⊆
M
i
+
j
{\displaystyle A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}
でもあるようなものである。
次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん の間 あいだ の準 じゅん 同型 どうけい
f
:
N
→
M
{\displaystyle f:N\to M}
は、次数 じすう 付 つ き準 じゅん 同型 どうけい (graded morphism)と呼 よ ばれるが、加 か 群 ぐん の準 じゅん 同型 どうけい であって、次数 じすう 付 づ けを反映 はんえい したもの、すなわち、
f
(
N
i
)
⊆
M
i
{\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}
が成 な り立 た つようなものである。次数 じすう 付 つ き部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん (graded submodule)は、それ自身 じしん 次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん であって集合 しゅうごう 論 ろん 的 てき 包含 ほうがん が次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん の射 しゃ であるような部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん である。明示 めいじ 的 てき に書 か くと、次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん N が M の次数 じすう 付 つ き部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん であることと、M の部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん で
N
i
=
N
∩
M
i
{\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}
を満 み たすことは同値 どうち である。次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん の射 い の核 かく と像 ぞう は次数 じすう 付 つ き部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん である。
例 れい :次数 じすう 付 つ き環 たまき はそれ自身 じしん の上 うえ の次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん である。次数 じすう 付 つ き環 たまき のイデアルが斉 ひとし 次 つぎ であることと次数 じすう 付 つ き部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん であることは同値 どうち である。定義 ていぎ によって部分 ぶぶん 環 たまき が次数 じすう 付 つ き部分 ぶぶん 環 たまき であることと次数 じすう 付 つ き部分 ぶぶん 加 か 群 ぐん であることは同値 どうち である。次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん の零 れい 化 か イデアル は斉 ひとし 次 じ イデアルである。
例 れい :次数 じすう 付 つ き環 たまき から次数 じすう 付 つ き環 たまき への像 ぞう が中心 ちゅうしん に含 ふく まれるような次数 じすう 付 つ き射 しゃ を与 あた えることは、後者 こうしゃ の環 たまき に次数 じすう 付 つ き代数 だいすう の構造 こうぞう を与 あた えることと同 おな じである。
次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん M が与 あた えられたとき、the l -twist of
M
(
l
)
{\displaystyle M(l)}
は
M
(
l
)
n
=
M
n
+
l
{\displaystyle M(l)_{n}=M_{n+l}}
によって定義 ていぎ される次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん である。(cf. 代数 だいすう 幾 いく 何 なん のセールのねじり層 そう (英語 えいご 版 ばん ) )
M と N を次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん とする。
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\to N}
が加 か 群 ぐん の射 しゃ であれば、
f
(
M
n
)
⊂
N
n
+
d
{\displaystyle f(M_{n})\subset N_{n+d}}
のときに f の次数 じすう は d であるという。微分 びぶん 幾何 きか 学 がく における微分 びぶん 形式 けいしき の外 そと 微分 びぶん は負 まけ の次数 じすう をもつそのような射 い の例 れい である。
次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん の不 ふ 変量 へんりょう [ 編集 へんしゅう ]
次数 じすう 付 つ き可 か 換 かわ 環 たまき A 上 うえ の次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん M が与 あた えられたとき、形式 けいしき 的 てき ベキ級数 きゅうすう
P
(
M
,
t
)
∈
Z
[
[
t
]
]
{\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}
を関連付 かんれんづ けることができる:
P
(
M
,
t
)
=
∑
ℓ
(
M
n
)
t
n
{\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}
(
ℓ
(
M
n
)
{\displaystyle \ell (M_{n})}
は有限 ゆうげん であると仮定 かてい している。)これは M のヒルベルト–ポアンカレ級数 きゅうすう と呼 よ ばれる。
次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん は加 か 群 ぐん として有限 ゆうげん 生成 せいせい なときに有限 ゆうげん 生成 せいせい という。生成 せいせい 元 もと は(斉 ひとし 次 じ 部分 ぶぶん におきかえることで)斉 ひとし 次 つぎ にとることができる。
k を体 からだ 、A を多項式 たこうしき 環 たまき
k
[
x
0
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}
、M を A 上 うえ 有限 ゆうげん 生成 せいせい な次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん とする。このとき関数 かんすう
n
↦
dim
k
M
n
{\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}
は M のヒルベルト関数 かんすう と呼 よ ばれる。この関数 かんすう は十分 じゅうぶん 大 おお きい n に対 たい して M のヒルベルト多項式 たこうしき と呼 よ ばれる整数 せいすう 値 ち 多項式 たこうしき (英語 えいご 版 ばん ) と一致 いっち する。
次数 じすう 付 つ き多元 たげん 環 たまき [ 編集 へんしゅう ]
環 たまき R 上 うえ の代数 だいすう A は環 たまき として次数 じすう 付 つ きのときに次数 じすう 付 つ き多元 たげん 環 たまき (次数 じすう 付 つ き代数 だいすう 、graded algebra)である。
R が次数 じすう 付 つ きでないような一般 いっぱん の場合 ばあい には(特 とく に R が体 からだ であるとき)、自明 じめい な次数 じすう 付 づ けが与 あた えられている(R のすべての元 もと は次数 じすう 0 である)と考 かんが える。したがって R ⊆ A 0 であり各 かく A i は R 加 か 群 ぐん である。
環 たまき R が次数 じすう 付 つ き環 たまき でもあるような場合 ばあい には、次 つぎ のことを要求 ようきゅう する。
A
i
R
j
⊆
A
i
+
j
{\displaystyle A_{i}R_{j}\subseteq A_{i+j}}
および
R
i
A
j
⊆
A
i
+
j
{\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}
.
い換 いか えると、A が R 上 うえ 左 ひだり かつ右 みぎ 次数 じすう 付 つ き加 か 群 ぐん であることを要求 ようきゅう する。
次数 じすう 付 つ き多元 たげん 環 たまき の例 れい は数学 すうがく においてよく現 あらわ れる。
次数 じすう 付 つ き代数 だいすう は可 か 換 かわ 環 たまき 論 ろん と代数 だいすう 幾何 きか 学 がく 、ホモロジー代数 だいすう 、そして代数 だいすう トポロジー においてしばしば使 つか われる。1つの例 れい は斉 ひとし 次 つぎ 多項式 たこうしき と射影 しゃえい 多様 たよう 体 たい の緊密 きんみつ な関係 かんけい である。(cf. 斉 ひとし 次 じ 座標 ざひょう 環 たまき 。)
G-次数 じすう 環 たまき と多元 たげん 環 たまき [ 編集 へんしゅう ]
上記 じょうき の定義 ていぎ は添 そ え字 じ 集合 しゅうごう として任意 にんい のモノイド G を使 つか った次数 じすう 付 つ き環 たまき に一般 いっぱん 化 か できる。G -次数 じすう 環 たまき (G -graded ring)A は直和 なおかず 分解 ぶんかい
A
=
⨁
i
∈
G
A
i
{\displaystyle A=\bigoplus _{i\in G}A_{i}}
をもった環 たまき であって
A
i
A
j
⊆
A
i
⋅
j
{\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i\cdot j}}
が成 な り立 た つようなものである。
今 いま や"次数 じすう 環 たまき "の概念 がいねん は N -次数 じすう 環 たまき と同 おな じものである。ただし N は非負 ひふ 整数 せいすう が加法 かほう についてなすモノイドである。次数 じすう 加 か 群 ぐん や代数 だいすう についての定義 ていぎ もまた添 そ え字 じ 集合 しゅうごう N を任意 にんい のモノイド G にとりかえることによって拡張 かくちょう できる。
注意 ちゅうい :
環 たまき が単位 たんい 元 もと をもつことを要求 ようきゅう しない場合 ばあい 、モノイド のかわりに半 はん 群 ぐん でもよい。
例 れい :
いくつかの次数 じすう 付 つ き環 たまき (または多元 たげん 環 たまき )は反 はん 交換 こうかん (英語 えいご 版 ばん ) 構造 こうぞう をもつ。この概念 がいねん は、次数 じすう 化 か のモノイド の、2元 げん からなる体 からだ Z /2Z の加法 かほう 的 てき モノイドへの準 じゅん 同型 どうけい を要求 ようきゅう する。具体 ぐたい 的 てき には、signed monoid は対 たい (Γ がんま , ε いぷしろん ) からなる。ただし Γ がんま はモノイドであり ε いぷしろん : Γ がんま → Z /2Z は加法 かほう 的 てき モノイドの準 じゅん 同型 どうけい である。反 はん 交換 こうかん Γ がんま -次数 じすう 環 たまき (anticommutative Γ がんま -graded ring)は Γ がんま によって次数 じすう 付 づ けされた環 たまき A であって次 つぎ を満 み たす。
すべての斉 ひとし 次元 じげん x と y に対 たい して、
x
y
=
(
−
1
)
ε いぷしろん
(
deg
x
)
ε いぷしろん
(
deg
y
)
y
x
{\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\,\varepsilon (\deg y)}yx}
外積 がいせき 代数 だいすう は反 はん 可 か 換 かわ 代数 だいすう の例 れい である。構造 こうぞう (Z ≥ 0 , ε いぷしろん )、ただし ε いぷしろん : Z → Z /2Z は商 しょう 写像 しゃぞう 、によって次数 じすう 付 づ けされている。
超 ちょう 可 か 換 かわ 代数 だいすう (英語 えいご 版 ばん ) (歪 いびつ 可 か 換 かわ 結合 けつごう 環 たまき (skew-commutative associative ring)と呼 よ ばれることもある)は、反 はん 可 か 換 かわ (Z /2Z , ε いぷしろん ) -次数 じすう 代数 だいすう と同 おな じものである。ただし ε いぷしろん は Z /2Z の加法 かほう 的 てき 構造 こうぞう の恒等 こうとう 自己 じこ 準 じゅん 同型 どうけい である。
多項式 たこうしき 環 たまき
A
=
k
[
t
1
,
…
,
t
n
]
{\displaystyle A=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}
は(多項式 たこうしき の)次数 じすう によって次数 じすう 付 つ きである。これは次数 じすう i の斉 ひとし 次 じ 多項式 たこうしき からなる
A
i
{\displaystyle A_{i}}
の直和 なおかず である。
S を次数 じすう 付 つ き整 せい 域 いき R のすべての0でない斉 ひとし 次元 じげん からなる集合 しゅうごう とする。このとき R の S による局所 きょくしょ 化 か は Z -次数 じすう 付 つ けられた環 たまき である。
Bourbaki, N. (1974). Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5 , Chapter 3, Section 3.
Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 , https://books.google.co.jp/books?id=Fge-BwqhqIYC
Matsumura, H. (1986), Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
Năstăsescu, C.; van Oystaeyen, F. (2004). Methods of graded rings . Lecture Notes in Mathematics. 1836 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-20746-5 . MR 2046303 . https://books.google.co.jp/books?id=ydtyCw1QJyMC