傾向けいこう推定すいてい

傾向けいこう推定すいてい（けいこうすいてい、英えい: trend estimation）とは、ある過程かてい（プロセス）を測定そくていしたものを時どき系列けいれつとして扱あつかい、そのデータの傾向けいこうを推定すいていする統計とうけい的てき手法しゅほうである。完全かんぜんには解明かいめいされていない物理ぶつり的てき系けいに対たいしては、何なんらかのモデルを構築こうちくして測定そくてい結果けっかを説明せつめいしようと試こころみる。特とくに測定そくてい結果けっかが増加ぞうか傾向けいこうや減少げんしょう傾向けいこうにあるかを知しることでランダムな振ふる舞まいではないことを判断はんだんしようとする。例たとえば、ある地点ちてんでの毎日まいにちの気温きおんを測はかることで季き節ぶしによる変化へんかの傾向けいこうや長期ちょうき的てきな気象きしょう変化へんかの傾向けいこうを読よみ取とる。

特とくに、等質とうしつ性せいの問題もんだいは重要じゅうようである（その時とき系列けいれつは全ぜん測定そくてい区間くかんで等ひとしく信頼しんらいできるか？）。以下いかでは、単純たんじゅん化かのためそのような観点かんてんをあえて避さける。

傾向けいこうへの適合てきごう: 最小さいしょう二に乗法じょうほう[編集へんしゅう]

データ群ぐんが与あたえられ、そのデータから何なんらかのモデル（この場合ばあい、データに適合てきごうする関数かんすうを意味いみする）を構築こうちくしたい場合ばあい、選択せんたく可能かのうな関数かんすうは様々さまざまである。しかしそのデータについて何なんらかの事前じぜんの解釈かいしゃくが存在そんざいしない場合ばあい、最もっとも単純たんじゅんな直線ちょくせん的てき関数かんすうを適合てきごうさせるのが基本きほんである。

直線ちょくせんに適合てきごうさせると決きめた場合ばあいにも様々さまざまな手法しゅほうが存在そんざいする。しかし圧倒的あっとうてきに多おおく使つかわれるのは最小さいしょう二に乗法じょうほうである。データの地点ちてん $x_{i}$ とそのデータ値ち $y_{i}$ について $a$ と $b$ を選択せんたくすることで次つぎの式しきを最小さいしょう化かする。

\sum \{[(ax_{i}+b)-y_{i}]^{2}\}

解法かいほうについては最小さいしょう二に乗法じょうほうの項目こうもくを参照さんしょうされたし。

以下いかでは、最小さいしょう二に乗法じょうほうで求もとめた「傾向けいこう」について述のべる。問題もんだいは、その傾向けいこうの有意ゆうい性せいであり、「有意ゆうい」とはどういうことか、である。

無む作為さくいデータにおける傾向けいこう[編集へんしゅう]

実じつデータにおける傾向けいこうを考かんがえる前まえに、無作為むさくいデータにおける傾向けいこうを理解りかいする必要ひつようがある。

赤あかい部分ぶぶんは上位じょうい1%、青あおは5%、緑みどりは10% を示しめす。この場合ばあい本文ほんぶんで述のべられている95%の信頼しんらい度どのV値ちは 0.2 である。

無作為むさくいであることが分わかっているデータ列れつ（例たとえばサイコロを振ふった結果けっかやコンピュータが生成せいせいしたランダムな数列すうれつ）があるとき、その傾向けいこうを求もとめるとゼロ傾向けいこうとなることはほとんどない。しかし、その傾向けいこうが極きわめて小ちいさいことは予測よそくされる。ある決きまった程度ていどのノイズを含ふくむ決きまったサイズ（例たとえば100個こ）のデータ列れつがあり、それを多数たすう生成せいせいする（例たとえば10万まん組くみ）と、その10万まん組くみのデータ列れつから傾向けいこうを計算けいさんすることができ、傾向けいこうの分布ぶんぷがあることを経験けいけん的てきに知しることになる（右みぎ図ず参照さんしょう）。その分布ぶんぷは（完全かんぜんにランダムなら）ゼロを中心ちゅうしんとする正規せいき分布ぶんぷとなるだろう（中心ちゅうしん極限きょくげん定理ていり）。以上いじょうの手順てじゅんからある程度ていどの統計とうけい的てき確かくかさ $S$ を設定せっていすることができる（95%が典型てんけい的てきだが、より正確せいかくには99%、より大おおまかなら 90%）。そして、 $S$ % の傾向けいこうが含ふくまれる範囲はんいを指定していする傾向けいこう値ち $V$ を求もとめることができる。細こまかいことを言いえば、分布ぶんぷは正せいと負まけの両方りょうほうに広ひろがっており、両方りょうほうを対象たいしょうと考かんがえる場合ばあいもあるし、一方いっぽうだけを対象たいしょうと考かんがえる場合ばあいもある。

以上いじょうのように多数たすう回かいの試行しこうによって経験けいけん的てきに経験けいけんの分布ぶんぷを計算けいさんすることを示しめした。単純たんじゅんな場合ばあい（正規せいき分布ぶんぷの無作為むさくいなノイズ）、傾向けいこうの分布ぶんぷは正確せいかくに求もとめられる。

ここで、それまでのランダムデータ列れつとおおよそ同おなじ分散ぶんさん特性とくせいの新あらたなデータ列れつを考かんがえる。そのデータ列れつが実際じっさいに傾向けいこうを持もつかどうかは分わからないので、傾向けいこう $T$ を計算けいさんし、それが $V$ より小ちいさいと判明はんめいしたとする。そこで、確かくからしさ $S$ の範囲はんいでこのデータの傾向けいこうはランダムノイズと区別くべつできないと言いえる。

しかし、 $S$ を選えらんだとき、残のこりの $1-S$ の部分ぶぶんがある傾向けいこうを持もっていると（誤あやまって）宣言せんげんする可能かのう性せいがあることに注意ちゅういされたい。逆ぎゃくに本当ほんとうに傾向けいこうを持もつデータ列れつの残のこり部分ぶぶんは、傾向けいこうを持もたないと宣言せんげんされる可能かのう性せいがある。

傾向けいこう＋ノイズとしてのデータ[編集へんしゅう]

時どき系列けいれつデータを解析かいせきするため、データ列れつは傾向けいこう要素ようそとノイズ要素ようそから成なると仮定かていする。

x_{i}=at_{i}+b+e_{i}\,

$a$ と $b$ は（通常つうじょう、未知みちの）定数ていすうであり、 $e$ は無作為むさくいな誤差ごさである。 $e$ が何なんらかの特殊とくしゅな性質せいしつを持もつと判明はんめいするまでは、正規せいき分布ぶんぷであると仮定かていする。 $e$ が常つねに同おなじ分布ぶんぷであると仮定かていするのが最もっとも単純たんじゅんだが、そうでない場合ばあい（いくつかのデータの分散ぶんさんが非常ひじょうに大おおきいなど）、最小さいしょう二に乗法じょうほうにおいてそれらのデータの分散ぶんさんの逆ぎゃくで重おもみ付づけすることで考慮こうりょすることができる。

1つの時とき系列けいれつを分析ぶんせきするとき、傾向けいこう推定すいていによって $e$ の分散ぶんさんを推定すいていすることができる。つまり、傾向けいこう推定すいていで求もとめた $at+b$ に従したがって残ざん差さとして $e$ を取とり出だし、そこから分散ぶんさんを求もとめる。多おおくの場合ばあい、これが $e$ の分散ぶんさんを求もとめる唯一ゆいいつの方法ほうほうである。

特殊とくしゅな例れいとして気温きおんの時とき系列けいれつがある。気温きおんデータは時間じかんに対たいして均質きんしつでないことが分わかっている。一般いっぱんに気象きしょう観測かんそくデータは最近さいきんになるに従したがって増ふえており、従したがって気温きおんの推定すいていに関かかわる誤差ごさは時じと共ともに減少げんしょうしている。このため気象きしょうデータの傾向けいこう推定すいていを行おこなうにはこれを考慮こうりょする。

データ列れつのノイズが明あきらかになると、傾向けいこう $a$ が 0 とほとんど差異さいがないという帰き無む仮説かせつによって傾向けいこうを検定けんていすることができる。上述じょうじゅつの無む作為さくいデータ列れつの傾向けいこうの分散ぶんさんの話はなしから、無作為むさくいな（本来ほんらい傾向けいこうのない）データからも傾向けいこうが得えられることがあることが分わかる。もし計算けいさんされた傾向けいこう $a$ が $V$ より大おおきければ、その傾向けいこうは $S$ の水準すいじゅんにおいてゼロと有意ゆういな差さがあると言いえる。

ノイズの多おおい時とき系列けいれつ[編集へんしゅう]

ノイズの多おおい時とき系列けいれつから傾向けいこうを抽出ちゅうしゅつすることは難むずかしい。例たとえば、本来ほんらいの時とき系列けいれつが 0, 1, 2, 3 という値ねで、それとは独立どくりつした正規せいき分布ぶんぷノイズ $e$ の標準ひょうじゅん偏差へんさを $E$ とする。長ながさ50の時とき系列けいれつデータがあるとき、 $E=0.1$ なら傾向けいこうは明あきらかだろう。 $E=100$ では傾向けいこうはおそらく分わかるだろう。しかし、 $E=10000$ では傾向けいこうはノイズに埋うずもれてしまうだろう。

具体ぐたい例れいとして、IPCCが示しめした過去かこ140年間ねんかんの気温きおんの記録きろく[1]を見みてみよう。年間ねんかん気温きおんの分散ぶんさんは約やく 0.2°C で、傾向けいこうは約やく 0.6°C、95% 信頼しんらい度どは 0.2°C である（年間ねんかんの分散ぶんさんと同おなじ値ちとなっているのは偶然ぐうぜんである）。従したがってこの傾向けいこうは統計とうけい的てきに 0 とは有意ゆういな差さがある。もっとも、気温きおんの変動へんどうの具体ぐたい的てき原因げんいんはこのデータからは分わからない。