偏差へんさ値ち

正規せいき分布ぶんぷにおける偏差へんさ値ちの分布ぶんぷ。T scoresが偏差へんさ値ちを示しめす。

偏差へんさ値ち（へんさち、英えい: T-score）とは、データの値ねを、平均へいきん50、標準ひょうじゅん偏差へんさ10のデータに変換へんかん（標準ひょうじゅん化か）した値ねである。個々ここのデータに対たいして平均へいきんからどれだけ離はなれているか感覚かんかく的てきに現あらわす方法ほうほうである。データの単位たんいを消けして一律いちりつの指標しひょうとして表あらわすことを目的もくてきとするので、結果けっか的てきに無む次元じげん数すうとなる。

計算けいさん方式ほうしきから、偏差へんさ値ち50のデータは平均へいきんである。偏差へんさ値ち50±5以内いないとは$\mu _{x}\pm 0.5\sigma$以内いないを意味いみするので、全体ぜんたいのうち平均へいきんに近ちかい68.26%分ぶんのデータに含ふくまれることを意味いみする。同様どうようにして右みぎの図ずのような分布ぶんぷに従したがうと考かんがえて、平均へいきんからの離はなれ具合ぐあいを求もとめる。

学力がくりょく試験しけん・テストに導入どうにゅうされている学力がくりょく偏差へんさ値ちは、受験じゅけん者しゃの得点とくてんが受験じゅけん者しゃ全体ぜんたいの中なかでどの程度ていど高たかい（低ひくい）位置いちを知しることができる指標しひょうである。一般いっぱん的てきなテストでは通常つうじょう、偏差へんさ値ちは25（下位かい0.62%）前後ぜんごから75（上位じょうい0.62%）の範囲はんいに収おさまることが多おおいとされる。しかし、極端きょくたんな分布ぶんぷでは、偏差へんさ値ちが100を超こえたりマイナスになることもありえる。

概要がいよう

偏差へんさ値ちとは、データを平均へいきん50、標準ひょうじゅん偏差へんさ（スケール）を10に標準ひょうじゅん化かしたときの値ねのことである。異ことなるデータでの偏差へんさ値ちの比較ひかくは、データが正規せいき分布ぶんぷに近ちかいことを前提ぜんていとしている。したがって、データが正規せいき分布ぶんぷに大おおきく従したがわない場合ばあいは、偏差へんさ値ちは必かならずしも適切てきせつな指標しひょうとはいえない(平均へいきんが最さい頻しき値ねであることが望のぞましい)。

正規せいき分布ぶんぷであるデータにおいて、平均へいきん50からの±10区間くかん（40～60）は全体ぜんたいの約やく68.3%、±20区間くかん（30～70）は約やく95.4%、±30区間くかん（20～80）は約やく99.73%、±40区間くかん（10～90）は約やく99.9937%、±50区間くかん（0～100）は約やく99.999953%である。

• 偏差へんさ値ち60以上いじょう（あるいは40以下いか）は、上位じょうい（下位かい）15.866%。
• 偏差へんさ値ち70以上いじょう（あるいは30以下いか）は、上位じょうい（下位かい）2.275%。
• 偏差へんさ値ち80以上いじょう（あるいは20以下いか）は、上位じょうい（下位かい）0.13499%。
• 偏差へんさ値ち90以上いじょう（あるいは10以下いか）は、上位じょうい（下位かい）0.00315%。
• 偏差へんさ値ち100以上いじょう（あるいは0以下いか）は、上位じょうい（下位かい）0.00002%。

例たとえば、全ぜん受験じゅけん者しゃ数すうが100万まん人にんの学力がくりょく試験しけんの場合ばあい、偏差へんさ値ち80以上いじょうの者ものは、ほぼ1350人にんとなる（日本にっぽんの実際じっさいの統計とうけいでは、10代における同おなじ年齢ねんれいの人口じんこうはおおよそ110〜120万まん人にん程度ていど。40代だいは180〜200万まん人にん程度ていど）。

偏差へんさ値ちは全すべての実数じっすうを取とりうるが、偏差へんさ値ちが±50区間くかん（0～100）を外はずれる割合わりあいは非常ひじょうに低ひくく、約やく0.000047%、つまり約やく200万まん分ぶんの1しかない。

偏差へんさ値ちによる優劣ゆうれつの判断はんだんは元もとの数字すうじの特性とくせいに依存いぞんする。学力がくりょくテストなど高たかい得点とくてんほど良よい場合ばあいは偏差へんさ値ちが高たかいほど良よいとされる。また、ゴルフのスコアのように低ひくい得点とくてんほど良よい場合ばあいは、偏差へんさ値ちも低ひくい方ほうが良よいとされる。射的しゃてきなど目標もくひょうにどれだけ近ちかいかとする場合ばあいは中心ちゅうしんである50が最もっとも良よいとされ、それから離はなれるほど悪わるい結果けっかとされる。

数式すうしきによる表記ひょうき

データの値ね x_i に対たいする偏差へんさ値ち T_i は次つぎの式しきで定義ていぎされる。

$T_{i}={\frac {10(x_{i}-\mu _{x})}{\sigma _{x}}}+50$

ここで、

${\begin{aligned}&\mu _{x}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}x_{i}\\&\sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu _{x})^{2}}}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}{\textstyle \sum \limits _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-{\mu _{x}}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

N：データの大おおきさ、x_i：データの各かく値ね、μみゅー_x：平均へいきん値ち、σしぐま_x：標準ひょうじゅん偏差へんさ

なお、分子ぶんし x_i − μみゅー_x は偏差へんさである。特とくに、値ね x_i が平均へいきん値ち μみゅー_x に等ひとしいときは、偏差へんさが 0 となり、偏差へんさ値ちは 50 となる。また、値ね x_i が全すべて等ひとしいときは、標準ひょうじゅん偏差へんさ σしぐま_x = 0 となり、偏差へんさ値ちがこの式しきでは定義ていぎできない。この場合ばあい、値ねの偏差へんさ値ちを全すべて 50 とする。

用例ようれい

元来がんらいの意味いみによる使用しよう例れい

• 学力がくりょく検査けんさの結果けっかを表あらわす学力がくりょく偏差へんさ値ちは、入学にゅうがく試験しけんの合格ごうかく率りつの判定はんていなどに広ひろく使つかわれている。
• 製造せいぞう業ぎょうの品質ひんしつ管理かんりの結果けっかとして偏差へんさ値ちが使つかわれる。この場合ばあいで仕様しように上限じょうげんおよび下限かげんがある場合ばあい50が最もっとも良よい状態じょうたいとされ、上限じょうげん下限かげんより数値すうちが離はなれているものはより不ふ良品りょうひんと判断はんだんされる。
• 知能ちのう検査けんさの結果けっかを表あらわす知能ちのう偏差へんさ値ちは、教育きょういくなどに役立やくだてるために、知能指数ちのうしすうなどとともに使つかわれている。

比喩ひゆ、例たとえ、俗語ぞくご、スラングによる使用しよう例れい

• 何なんらかの「格付かくづけ」として、比喩ひゆ的てきに「○○偏差へんさ値ち」という言葉ことばや概念がいねんが用もちいられることがある（恋愛れんあい偏差へんさ値ち、顔面がんめん偏差へんさ値ち、就職しゅうしょく偏差へんさ値ちなど）。

関連かんれん項目こうもく

• 統計とうけい学がく
• 平均へいきん値ち- 偏差へんさ値ち50
• 標準ひょうじゅん得点とくてん
• 標準ひょうじゅん偏差へんさ - 正規せいき分布ぶんぷ
• 学力がくりょく偏差へんさ値ち

外部がいぶリンク

• 偏差へんさ値ちについて考かんがえる
• Web偏差へんさ値ち計算けいさんツール
• 偏差へんさ値ちの算出さんしゅつ方法ほうほう｜スタディピア
• 偏差へんさ値ち一覧いちらんまとめ
• 『偏差へんさ値ち』 - コトバンク