多た変数へんすう複素ふくそ関数かんすう

数学すうがくにおける多た変数へんすう複素ふくそ関数かんすう論ろん（たへんすうふくそかんすうろん、英えい: the theory of functions of several complex variables）とは、複素ふくそ多た変数へんすうの複素ふくそ数値すうち関数かんすう、すなわち、n 個この複素数ふくそすうの組くみ全体ぜんたいのなす数かずベクトル空間くうかん Cⁿ 上うえの複素ふくそ数値すうち関数かんすう

$f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$

を扱あつかう分野ぶんやである。複素ふくそ解析かいせき（これは n = 1 の場合ばあいに当あたる理論りろんではあるが、n > 1 の場合ばあいとは一線いっせんを画かくす性質せいしつを持もつ）と同様どうよう、任意にんいの単たんなる函数かんすうを扱あつかうものではなく、正則せいそく (holomorphic) あるいは複素ふくそ解析かいせき的てき (complex analytic) な関数かんすう、つまり局所きょくしょ的てきに変数へんすう z_i たちの冪べき級数きゅうすうで書かけるような関数かんすうを扱あつかう。そのような関数かんすうは結局けっきょくのところ、多項式たこうしき列れつの局所きょくしょ一様いちよう極限きょくげんとして得えられるような関数かんすうということもでき、n 次元じげんコーシー・リーマンの方程式ほうていしきの局所きょくしょ解かいと言いっても同おなじことであるということが分わかる。

歴史れきし的てき観点かんてん

上述じょうじゅつのような関数かんすうの多おおくの例れいは、19世紀せいきの数学すうがくにおいてよく研究けんきゅうされたものであった。例たとえばアーベル関数かんすうやテータ関数かんすうの他ほか、ある種しゅの超ちょう幾何級数きかきゅうすうがそのような例れいとして挙あげられる。またもちろん、ある複素ふくそ媒介ばいかい変数へんすうに依存いぞんする任意にんいの一変いっぺん数すう関数かんすうも、そのような例れいとなる。しかしそれらの特徴とくちょう的てきな現象げんしょうは捉とらえられていなかったため、長年ながねんの間あいだ、解析かいせき学がくにおいてその理論りろんの完成かんせいは十分じゅうぶんではなかった。ワイエルシュトラスの準備じゅんび定理ていりは現在げんざいでは可か換かわ環たまき論ろんに分類ぶんるいされるであろう。それは、リーマン面めんの理論りろんにおける分岐ぶんき点てんの一般いっぱん化かを扱あつかった局所きょくしょ的てきな描像である分岐ぶんきを正当せいとう化かしたものである。

1930年代ねんだいのフリードリヒ・ハルトークスと岡おか潔きよしの成果せいかにより、一般いっぱん理論りろんの構築こうちくがなされ始はじめた。その当時とうじの同どう分野ぶんやにおける他たの研究けんきゅう者しゃには、ハインリヒ・ベーンケ、ペーター・トゥレンおよびカール・シュタインがいる。ハルトークスは、n > 1 のとき任意にんいの解析かいせき的てき関数かんすう

$f:\mathbf {C} ^{n}\longrightarrow \mathbf {C}$

に対たいしてすべての孤立こりつ特異とくい点てんは除去じょきょ可能かのうであるなど、いくつかの基本きほん的てきな結果けっかを証明しょうめいした。ここで当然とうぜん、周回しゅうかい積分せきぶんと類似るいじの概念がいねんは扱あつかいが難むずかしくなる。n = 2 の場合ばあいだと、ある点てんの周まわりの積分せきぶんは、（実じつ4次元じげんで考かんがえるため）3次元じげん多様たよう体たい上うえで行おこなわなければならず、また2つの別々べつべつの複素ふくそ変数へんすうについての逐次ちくじ周回しゅうかい（線せん）積分せきぶんは2次元じげん曲面きょくめん上じょうの二に重じゅう積分せきぶんとして扱あつかわれる必要ひつようがある。このことは、留とめ数すう計算けいさんが非常ひじょうに異ことなる性質せいしつを持もつようになることを意味いみする。

1945年ねん以降いこう、アンリ・カルタンのフランスでのセミナーにおける重要じゅうような研究けんきゅうや、ハンス・グラウエルトおよびラインホルト・レンメルトのドイツでの重要じゅうような研究けんきゅうによって、理論りろんの描像は著いちじるしく変化へんかした。多おおくの問題もんだい、特とくに解析かいせき接続せつぞくについての問題もんだいが、明あきらかにされた。ここで一変いっぺん数すうの理論りろんとの主要しゅような違ちがいが明あきらかになる。すなわち、１変数へんすうの場合ばあいはC 内うちの任意にんいの開ひらき連結れんけつ集合しゅうごう D に対たいして、その境界きょうかいを超こえて解析かいせき接続せつぞくできない関数かんすうを見みつけることができるが、多た変数へんすうn > 1 の場合ばあいにはそのようなことはいえないのである。実際じっさい、そのような性質せいしつを持もつ領域りょういき D はあるていど特殊とくしゅなものになる（擬なずらえ凸とつ性せいと呼よばれる条件じょうけんをもつ）。最大限さいだいげん解析かいせき接続せつぞくされた関数かんすうの自然しぜんな定義ていぎ域いきは、シュタイン多様たよう体たいと呼よばれ、その性質せいしつは層そう係数けいすうコホモロジー群ぐんが消きえるというものである。実じつは、（特とくに）岡おかの仕事しごとを、理論りろんの定式ていしき化かにおいて層そうを首尾しゅび一貫いっかんして使用しようすることを導みちびいたよりはっきりした基本きほんへとすることが必要ひつようだったのだ。

さらに進すすんで、解析かいせき幾何きか（紛まぎらわしいが、これは解析かいせき函数かんすうの零れい点てんの幾何きかに関かんする名称めいしょうであり、初はつ中等ちゅうとう教育きょういくで習ならうような解析かいせき幾何きか学がくのことではない）や多た変数へんすうの保ほ型がた形式けいしき、偏へん微分びぶん方程式ほうていしきなどに応用おうようできる基本きほん的てきな理論りろんが構築こうちくされた。また複素ふくそ構造こうぞうの変形へんけい理論りろんや複素ふくそ多様たよう体たいは、小平こだいら邦彦くにひこやドナルド・スペンサーによって一般いっぱん的てきな形かたちで記述きじゅつされた。さらに、セールの高名こうみょうな論文ろんぶんGAGAにおいて、解析かいせき幾何きか (géometrie analytique) を代数だいすう幾何きか (géometrie algébrique) へと橋渡はしわたしす観点かんてんが突つき止とめられた。

カール・ジーゲルは、新あらたな多た変数へんすう複素ふくそ関数かんすう論ろんの対象たいしょうになる関数かんすうがほとんどない、すなわち、理論りろんにおける特殊とくしゅ関数かんすう的てきな側面そくめんは層そうに従属じゅうぞくするものであったことに、不平ふへいをもらしたことが知しられている。数かず論ろんに対たいする興味きょうみは、確たしかに、モジュラー形式けいしきの特定とくていの一般いっぱん化かにある。その古典こてん的てきな代表だいひょう例れいは、ヒルベルトモジュラー形式けいしきやジーゲルモジュラー形式けいしきである。今日きょうにおいてそれらは、代数だいすう群ぐんと関連付かんれんづけられている。（それぞれ GL(2) の総そう実じつ代数だいすう体たいのヴェイユ制限せいげんと、シンプレクティック群ぐんである。）それらは、保ほ型がた表現ひょうげんが解析かいせき関数かんすうから生しょうじうるものである。ある意味いみでこれはジーゲルとは矛盾むじゅんしない。現代げんだいの理論りろんはそれ自身じしんの異ことなる方向ほうこう性せいを持もつものである。

その後ごの発展はってんとして、超ちょう関数かんすう (hyperfunction) の理論りろんや楔くさびの刃はの定理ていりが挙あげられるが、それらはいずれも場ばの量子りょうし論ろんからいくらかの着想ちゃくそうを得えたものである。その他た、バナッハ環たまきの理論りろんなど、多た変数へんすう複素ふくそ関数かんすうを利用りようする分野ぶんやがいくつかある。

Cⁿ 空間くうかん

最もっとも簡単かんたんなシュタイン多様たよう体たいは、複素数ふくそすうの n-組くみからなる空間くうかん Cⁿ（複素ふくそ n-次元じげん数すう空間くうかん）である。これは複素数ふくそすう体からだ C 上うえの n-次元じげんベクトル空間くうかんとみることができて、つまりR 上うえの次元じげんが 2n である。したがって、集合しゅうごうおよび位相いそう空間くうかんとして、Cⁿ は R²ⁿ と等ひとしく、その位相いそう次元じげんは 2n である。

座標ざひょうに依よらない形かたちで述のべるならば、複素数ふくそすう体たい上じょうの任意にんいのベクトル空間くうかんは、その2倍ばいの次元じげんを持もつ実じつベクトル空間くうかんと考かんがえることができる。ここに複素ふくそ構造こうぞうは、虚数きょすう単位たんい i によるスカラー倍ばいを定義ていぎする線型せんけい作用素さようそ J（J² = −I をみたす）によって特定とくていされる。

そのような任意にんいの空間くうかんは、実じつ空間くうかんとして向むき付づけられている。ガウス平面へいめんをデカルト平面へいめんと見み做したとき、複素数ふくそすう w = u + iv を掛かけるという操作そうさは、実みのる行列ぎょうれつ

${\begin{pmatrix}u&&-v\\v&&u\end{pmatrix}}$

によって表現ひょうげんされる。これは 2次じ実正じっしょう方かた行列ぎょうれつで、行列ぎょうれつ式しきは

$u^{2}+v^{2}=|w|^{2}$

となる。同様どうように、任意にんいの有限ゆうげん次元じげん複素ふくそ線型せんけい作用素さようそを実行じっこう列れつとして表現ひょうげんすると（上述じょうじゅつの形かたちの 2×2 ブロックによって構成こうせいされ）、その行列ぎょうれつ式しきは対応たいおうする複素ふくそ行列ぎょうれつ式しきの絶対ぜったい値ちの自乗じじょうに等ひとしい。それは非負ひふの数かずであり、このことは複素ふくそ作用素さようそによって空間くうかんの（実みの）向むき付づけが逆ぎゃくになることはないことを意味いみする。同様どうようのことは Cⁿ から Cⁿ への正則せいそく関数かんすうのヤコビ行列ぎょうれつに対たいしても適用てきようされる。

正則せいそく関数かんすう

一変いっぺん数すう複素ふくそ関数かんすうの正則せいそく性せいの定義ていぎには、局所きょくしょ的てきに整せい級数きゅうすうで表あらわされることを条件じょうけんとして定義ていぎする方法ほうほう、コーシー・リーマン方程式ほうていしきを満みたすことを条件じょうけんとして定義ていぎする方法ほうほう、複素ふくそ的てきに微分びぶん可能かのうであることを条件じょうけんとして定義ていぎする方法ほうほうの3通とおりの方法ほうほうがあった。多た変数へんすうの場合ばあいにも複数ふくすうの定義ていぎの仕方しかたがある。

n を2以上いじょうの整数せいすうとし、f を Cⁿ の領域りょういき D 上うえ定義ていぎされた複素ふくそ数値すうち関数かんすうとする。f に対たいする以下いかの条件じょうけんは同値どうちであり、いずれか一ひとつ（したがって全すべて）を満みたすとき、f は D 上うえ正則せいそく（holomorphic）であるという。

• D の任意にんいの点てん z₀ に対たいし、この点てんの近傍きんぼうで収束しゅうそくするべき級数きゅうすうを用もちいて f は

$f(z)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}c_{\alpha }(z-z_{0})^{\alpha }$

と表あらわされる。ここで N₀ は0以上いじょうの整数せいすうのなす集合しゅうごう、(z − z₀)^{αあるふぁ} は多重たじゅう指数しすう記法きほうによる冪べきである。

• D の任意にんいの点てん z⁽⁰⁾ に対たいし、この点てんの近傍きんぼうで連続れんぞくな関数かんすう αあるふぁ₁, ..., αあるふぁ_n が存在そんざいしその近傍きんぼうで

$f(z)=f(z^{(0)})+\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}(z)(z_{j}-z_{j}^{(0)})$

が成なり立たつ。

• f は連続れんぞく的てき微分びぶん可能かのうな複素ふくそ数値すうち関数かんすうであり、各かく変数へんすうについてコーシー・リーマンの方程式ほうていしきを満みたす。

• f は連続れんぞくであり、さらに、D の各かく点てんで n 個この変数へんすうのうち任意にんいの n − 1 個この変数へんすうを固定こていし f を残のこりの1個いっこの変数へんすうの関数かんすうと見みたとき、この1変数へんすう複素ふくそ関数かんすうが正則せいそくである。後者こうしゃの条件じょうけんが満みたされるとき、f は各かく変数へんすうについて正則せいそくであるという。

• f は各かく変数へんすうについて正則せいそくである（上うえの条件じょうけんから連続れんぞくという条件じょうけんを外はずしている）。

最後さいごの条件じょうけんを除のぞく4条件じょうけんが同値どうちであることは、一変いっぺん数すう複素ふくそ関数かんすうの正則せいそく性せいの特徴とくちょうづけやベキ級数きゅうすうの項こう別べつ微分びぶん、コーシーの積分せきぶん公式こうしきを用もちいれば示しめすことができる。最後さいごの条件じょうけん、つまり変数へんすう別べつの正則せいそく性せいから連続れんぞく性せいが導みちびかれることはハルトークスの正則せいそく性せい定理ていりと呼よばれる著名ちょめいな結果けっかである。

古典こてん的てきには4番目ばんめの条件じょうけん、つまり連続れんぞく性せいと各かく変数へんすうについての正則せいそく性せいで多た変数へんすう複素ふくそ関数かんすうの正則せいそく性せいを定義ていぎしていた。

関連かんれん項目こうもく

• 連接れんせつ層そう
• 双そう正則せいそく写像しゃぞう
• 正則せいそく領域りょういき
• 複素ふくそ射影しゃえい空間くうかん

定理ていり

• カルタンの定理ていり
• ハルトークスの拡張かくちょう定理ていり
• ハルトークスの定理ていり

研究けんきゅう者しゃ

• 岡おか潔きよし
• 大沢おおさわ健夫たけお

関連かんれん分野ぶんや

• クザン問題もんだい
• 複素ふくそ幾何きか学がく
• 実じつ多た変数へんすう関数かんすう

参考さんこう文献ぶんけん

洋書ようしょ

• Behnke, H.; Thullen, P. (1934). Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen 
• Bochner, Salomon; Martin, W. T. (1948). Several Complex Variables 
• Hörmander, Lars (1973) [1966]. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (2 ed.). https://books.google.co.jp/books?id=MaM7AAAAQBAJ  and later editions
• Krantz, Steven G. (1992). Function Theory of Several Complex Variables 
• Scheidemann, Volker (2005). Introduction to complex analysis in several variables. Birkhäuser. ISBN 3-7643-7490-X 

和書わしょ

• 辻つじ 正次まさつぐ「多た複素ふくそ變數へんすう函數かんすう論ろん」『岩波いわなみ講座こうざ数学すうがく VIII』岩波書店いわなみしょてん、1935年ねん。NDLJP:1785277。 
• フランチェスコ・セヴェリ 著ちょ、弥永やなが 昌吉しょうきち 訳やく『多た変数へんすう解析かいせき函数かんすう論ろん講義こうぎ』岩波書店いわなみしょてん、1936年ねん。NDLJP:1237856。 
• 一松いちまつ 信しん『多た変数へんすう函数かんすう論ろん』共立きょうりつ出版しゅっぱん〈現代げんだい数学すうがく講座こうざ〉、1956年ねん。 
• 一松いちまつ 信しん『多た変数へんすう解析かいせき函数かんすう論ろん』培風館ばいふうかん、1960年ねん。NDLJP:2421964。 2016年ねんに復刻ふっこく出版しゅっぱん。
• 酒井さかい 栄一えいいち『多た変数へんすう関数かんすう論ろん』共立きょうりつ全書ぜんしょ、1966年ねん。NDLJP:1381566。 
• 梶原かじはら 壌二『複素ふくそ関数かんすう論ろん』森北もりきた出版しゅっぱん、1968年ねん。 2007年ねんにPOD化かして復刻ふっこく出版しゅっぱん。
• ラース・ヘルマンダー 著ちょ、笠原かさはら 乾いぬい吉きち 訳やく『多た変数へんすう複素ふくそ解析かいせき学がく入門にゅうもん』東京とうきょう図書としょ、1973年ねん。 
• 倉田くらた 令れい二に朗ろう「多た変数へんすう関数かんすう論ろんを学まなぶ」『数学すうがくセミナー』（1977年ねん7月がつ号ごう～1978年ねん5月がつ号ごう）。 2015年ねんに単行本たんこうぼん化か。
• 中野なかの 茂男しげお『多た変数へんすう函数かんすう論ろん ─微分びぶん幾何きか学がく的てきアプローチ─』朝倉書店あさくらしょてん、1981年ねん。 
• 樋口ひぐち 禎一ていいち ほか『多た変数へんすう複素ふくそ解析かいせき』培風館ばいふうかん、1984年ねん。 
• 西野にしの 利雄としお『多た変数へんすう函数かんすう論ろん』東京大学とうきょうだいがく出版しゅっぱん会かい、1996年ねん。 
• 大沢おおさわ 健夫たけお『多た変数へんすう複素ふくそ解析かいせき』岩波書店いわなみしょてん〈現代げんだい数学すうがくの展開てんかい〉、1998年ねん。 2008年ねんに単行本たんこうぼん化か。
• 山口やまぐち 博史ひろふみ『複素ふくそ関数かんすう』朝倉書店あさくらしょてん、2003年ねん。 2019年ねんに復刻ふっこく出版しゅっぱん。
• 安達あだち 謙三けんぞう『多た変数へんすう複素ふくそ関数かんすう論ろん』開成かいせい出版しゅっぱん、2003年ねん。 
• 若林わかばやし 功いさお『多た変数へんすう関数かんすう論ろん』共立きょうりつ出版しゅっぱん、2013年ねん。 
• 野口のぐち 潤じゅん次郎じろう『多た変数へんすう解析かいせき関数かんすう論ろん ─学部がくぶ生せいへおくる岡おかの連接れんせつ定理ていり─』朝倉書店あさくらしょてん、2013年ねん。 
• 大沢おおさわ 健夫たけお『多た変数へんすう関数かんすう論ろんの建設けんせつ』現代げんだい数学すうがく社しゃ、2014年ねん。 
• 倉田くらた令れい二に朗ろう『多た変数へんすう複素ふくそ関数かんすう論ろんを学まなぶ』高瀬たかせ正ただし仁じん 解説かいせつ、日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2015年ねん。 
• 安達あだち 謙三けんぞう『多た変数へんすう複素ふくそ解析かいせき入門にゅうもん』開成かいせい出版しゅっぱん、2016年ねん。 
• 大沢おおさわ 健夫たけお『多た変数へんすう複素ふくそ解析かいせき 増補ぞうほ版ばん』岩波書店いわなみしょてん、2018年ねん。 
• 野口のぐち 潤じゅん次郎じろう『多た変数へんすう解析かいせき関数かんすう論ろん (第だい2版はん) ─学部がくぶ生せいへおくる岡おかの連接れんせつ定理ていり─』朝倉書店あさくらしょてん、2019年ねん。 
• 安達あだち 謙三けんぞう『多た変数へんすう複素ふくそ関数かんすう論ろん序説じょせつ』開成かいせい出版しゅっぱん、2021年ねん。 
• 野口のぐち 潤じゅん次郎じろう『岡おか理論りろん新しん入門にゅうもん：多た変数へんすう関数かんすう論ろんの基礎きそ』培風館ばいふうかん、2021年ねん。 
• 相原あいはら義弘よしひろ、野口のぐち潤じゅん次郎じろう:「複素ふくそ解析かいせき － 一いち変数へんすう・多た変数へんすうの関数かんすう －」、裳も華はな房ぼう、ISBN 978-4-7853-1605-1、（2024年ねん3月がつ）