区分くぶん行列ぎょうれつ

区分くぶん行列ぎょうれつ（くぶんぎょうれつ）もしくはブロック行列ぎょうれつ (block matrix) とは、いくつかの長方形ちょうほうけいのブロックに「区分くわけ」された行列ぎょうれつである。

区分くわけ

例たとえば、4つの行列ぎょうれつ

A={\begin{bmatrix}2&-1&5\\-1&4&1\\8&1&-2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}-3&6\\1&3\\4&1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-4&2&6\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}9&1\end{bmatrix}}

を並ならべてできる 4 × 5 行列ぎょうれつ

{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1&5&&-3&6\\-1&4&1&&1&3\\8&1&-2&&4&1\\&&&&&\\-4&2&6&&9&1\end{bmatrix}}

を、A, B, C, D をブロックとする区分くぶん行列ぎょうれつと呼よぶ。ブロックは小しょう行列ぎょうれつとも呼よばれる。行列ぎょうれつをブロックに分わけることを区分くわけという。

一般いっぱんの区分くわけでは、行くだりや列れつをそれぞれいくつに分割ぶんかつしてもよい。A_ij たちをブロックとする区分くぶん行列ぎょうれつ

{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}

が区分くわけの一般いっぱん的てきな形かたちである。ただし、同おなじ行ぎょうにあるブロックの行くだり数すうは等ひとしくなければならず、同おなじ列れつにあるブロックの列れつ数すうは等ひとしくなければならない。A_{i j} が m_i × n_j 行列ぎょうれつである場合ばあい、この形かたちの区分くわけを (m₁, …, m_q; n₁, …, n_r) 型がたと呼よぶ。

区分くぶん行列ぎょうれつの積せき

ふたつの区分くぶん行列ぎょうれつ

A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{q1}&B_{q2}&\cdots &B_{qr}\end{bmatrix}}

の区分くわけがそれぞれ (l₁, …, l_p; m₁, …, m_q) 型がた、(m₁, …, m_q; n₁, …, n_r) 型がたであるとき、その積せき AB の (l₁, …, l_p; n₁, …, n_r) 型がたの区分くわけ

AB={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1r}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{p1}&C_{p2}&\cdots &C_{pr}\end{bmatrix}}

の各かくブロックは

C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}

で与あたえられる。すなわち、区分くぶん行列ぎょうれつの積せきは（適切てきせつに区分くわけされていれば）各かくブロックをあたかも行列ぎょうれつの成分せいぶんのように見みなして計算けいさんできる。

対称たいしょう区分くわけ

正方まさかた行列ぎょうれつ P の区分くわけ

P={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\dots &A_{1r}\\A_{21}&A_{22}&\dots &A_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{r1}&A_{r2}&\dots &A_{rr}\end{bmatrix}}

において、主しゅ対角線たいかくせん上じょうのブロック A_{1 1}, A_{2 2}, … A_{r r} がすべて正方せいほう行列ぎょうれつであるとき、これを対称たいしょう区分くわけという。特とくに、主しゅ対角線たいかくせんより下したのブロックが全すべて零れい行列ぎょうれつである場合ばあい、その行列ぎょうれつ式しきについて