次数じすう付つき環たまき

数学すうがく、特とくに抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくにおいて、次数じすう付つき環たまき（じすうつきかん、英えい: graded ring; 次数じすう付つけられた環たまき）あるいは次数じすう環たまきとは $R_{i}R_{j}\subset R_{i+j}$ を満みたすアーベル群ぐん $R_{i}$ の直和なおかずとして表あらわすことのできる環たまきのことである。多項式たこうしき環たまきの斉ひとし次じ多項式たこうしきへの分解ぶんかいを一般いっぱん化かした概念がいねんである。添そえ字じ集合しゅうごうは通常つうじょう非負ひふの整数せいすうの集合しゅうごうか整数せいすうの集合しゅうごうであるが、任意にんいのモノイドあるいは群ぐんでもよい。直和なおかず分解ぶんかいは通常つうじょう次数じすう化か（gradation）あるいは次数じすう付づけ（grading）と呼よばれる。

次数じすう（付つき）加か群ぐん（graded module）は同様どうように定義ていぎされる（正確せいかくな定義ていぎは下したを見みよ）。これは次数じすう付つきベクトル空間くうかんの一般いっぱん化かである。次数じすう付つき環たまきでもあるような次数じすう付つき加か群ぐんは次数じすう付つき代数だいすう（graded algebra）と呼よばれる。次数じすう付つき環たまきは次数じすう付つき Z-代数だいすうと見みなすこともできる。

結合けつごう性せいは次数じすう付つき環たまきの定義ていぎにおいて重要じゅうようでない（実じつは全まったく使つかわれない）。したがってこの概念がいねんは非ひ結合けつごう的てき多元たげん環たまきに対たいしても適用てきようできる。例たとえば、次数じすう付つきリー環たまきを考かんがえることができる。

基本きほん的てきな性質せいしつ

$A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots$ を次数じすう付つき環たまきとする。

• $A_{0}$ は A の部分ぶぶん環たまきである（とくに、加法かほうの単位たんい元もと 0 と乗法じょうほうの単位たんい元もと 1 は次数じすう 0 の斉ひとし次元じげんである）。
• $A_{+}=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{+}}A_{i}=A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots$ は$A$のイデアルとなる（これは自然しぜんな全ぜん準じゅん同型どうけい $f:A\rightarrow A_{0}$の核かくであるため、 $A_{0}\cong A/A_{+}$ となる）。
• 各かく $A_{i}$ は $A_{0}$-加か群ぐんである。
• 可か換かわ $\mathbb {N} _{0}$-次数じすう付つき環たまき $A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}$ がネーター環たまきであるのは、$A_{0}$ がネーター的てきかつ A が $A_{0}$ 上うえの多元たげん環たまきとして有限ゆうげん生成せいせいであるとき、かつそのときに限かぎる。そのような環たまきに対たいして、生成せいせい元もとを斉ひとし次つぎにとることができる。

分解ぶんかいの任意にんいの因子いんし $A_{i}$ の元もとは次数じすう i の斉ひとし次元じげん（homogeneous elements）と呼よばれる。 イデアルや他たの部分ぶぶん集合しゅうごう ${\mathfrak {a}}$ ⊂ A が斉ひとし次つぎ（せいじ、homogeneous）であるとは次つぎを満みたすことである。任意にんいの元もと a ∈ ${\mathfrak {a}}$ に対たいして、すべての a_i を斉ひとし次元じげんとして a=a₁+a₂+...+a_n であるときに、すべての a_i が ${\mathfrak {a}}$ の元もとである。与あたえられた a に対たいし、これらの斉ひとし次元じげんは一意的いちいてきに定義ていぎされ、a の斉ひとし次じ部分ぶぶん（homogeneous parts）と呼よばれる。 I が A の斉ひとし次じイデアルであれば、$A/I$ も次数じすう付つき環たまきであり、次つぎの分解ぶんかいをもつ。

$A/I=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}(A_{i}+I)/I$

任意にんいの（次数じすう付つきでない）環たまき A は A₀ = A および i > 0 に対たいして A_i = 0 とすることによって次数じすう付つきにできる。これは A の自明じめいな次数じすう化か（trivial gradation）と呼よばれる。

次数じすう付つき加か群ぐん

加か群ぐん論ろんにおいて対応たいおうする概念がいねんは次数じすう付つき加か群ぐん (graded module) である。すなわち次数じすう付つき環たまき A 上うえの左ひだり加か群ぐん M であって

$M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}M_{i},$

であり

$A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}$

でもあるようなものである。

次数じすう付つき加か群ぐんの間あいだの準じゅん同型どうけい $f:N\to M$ は、次数じすう付つき準じゅん同型どうけい（graded morphism）と呼よばれるが、加か群ぐんの準じゅん同型どうけいであって、次数じすう付づけを反映はんえいしたもの、すなわち、$f(N_{i})\subseteq M_{i}$ が成なり立たつようなものである。次数じすう付つき部分ぶぶん加か群ぐん（graded submodule）は、それ自身じしん次数じすう付つき加か群ぐんであって集合しゅうごう論ろん的てき包含ほうがんが次数じすう付つき加か群ぐんの射しゃであるような部分ぶぶん加か群ぐんである。明示めいじ的てきに書かくと、次数じすう付つき加か群ぐん N が M の次数じすう付つき部分ぶぶん加か群ぐんであることと、M の部分ぶぶん加か群ぐんで $N_{i}=N\cap M_{i}$ を満みたすことは同値どうちである。次数じすう付つき加か群ぐんの射いの核かくと像ぞうは次数じすう付つき部分ぶぶん加か群ぐんである。

例れい：次数じすう付つき環たまきはそれ自身じしんの上うえの次数じすう付つき加か群ぐんである。次数じすう付つき環たまきのイデアルが斉ひとし次つぎであることと次数じすう付つき部分ぶぶん加か群ぐんであることは同値どうちである。定義ていぎによって部分ぶぶん環たまきが次数じすう付つき部分ぶぶん環たまきであることと次数じすう付つき部分ぶぶん加か群ぐんであることは同値どうちである。次数じすう付つき加か群ぐんの零れい化かイデアルは斉ひとし次じイデアルである。

例れい：次数じすう付つき環たまきから次数じすう付つき環たまきへの像ぞうが中心ちゅうしんに含ふくまれるような次数じすう付つき射しゃを与あたえることは、後者こうしゃの環たまきに次数じすう付つき代数だいすうの構造こうぞうを与あたえることと同おなじである。

次数じすう付つき加か群ぐん M が与あたえられたとき、the l-twist of $M(l)$ は $M(l)_{n}=M_{n+l}$ によって定義ていぎされる次数じすう付つき加か群ぐんである。（cf. 代数だいすう幾いく何なんのセールのねじり層そう）

M と N を次数じすう付つき加か群ぐんとする。$f:M\to N$ が加か群ぐんの射しゃであれば、$f(M_{n})\subset N_{n+d}$ のときに f の次数じすうは d であるという。微分びぶん幾何きか学がくにおける微分びぶん形式けいしきの外そと微分びぶんは負まけの次数じすうをもつそのような射いの例れいである。

次数じすう付つき加か群ぐんの不ふ変量へんりょう

次数じすう付つき可か換かわ環たまき A 上うえの次数じすう付つき加か群ぐん M が与あたえられたとき、形式けいしき的てきベキ級数きゅうすう $P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]$ を関連付かんれんづけることができる：

$P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}$

（$\ell (M_{n})$ は有限ゆうげんであると仮定かていしている。）これは M のヒルベルト–ポアンカレ級数きゅうすうと呼よばれる。

次数じすう付つき加か群ぐんは加か群ぐんとして有限ゆうげん生成せいせいなときに有限ゆうげん生成せいせいという。生成せいせい元もとは（斉ひとし次じ部分ぶぶんにおきかえることで）斉ひとし次つぎにとることができる。

k を体からだ、A を多項式たこうしき環たまき $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$、M を A 上うえ有限ゆうげん生成せいせいな次数じすう付つき加か群ぐんとする。このとき関数かんすう $n\mapsto \dim _{k}M_{n}$ は M のヒルベルト関数かんすうと呼よばれる。この関数かんすうは十分じゅうぶん大おおきい n に対たいして M のヒルベルト多項式たこうしきと呼よばれる整数せいすう値ち多項式たこうしきと一致いっちする。

次数じすう付つき多元たげん環たまき

環たまき R 上うえの代数だいすう A は環たまきとして次数じすう付つきのときに次数じすう付つき多元たげん環たまき（次数じすう付つき代数だいすう、graded algebra）である。

R が次数じすう付つきでないような一般いっぱんの場合ばあいには（特とくに R が体からだであるとき）、自明じめいな次数じすう付づけが与あたえられている（R のすべての元もとは次数じすう 0 である）と考かんがえる。したがって R ⊆ A₀ であり各かく A_i は R 加か群ぐんである。

環たまき R が次数じすう付つき環たまきでもあるような場合ばあいには、次つぎのことを要求ようきゅうする。

$A_{i}R_{j}\subseteq A_{i+j}$

および

$R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}$.

い換いかえると、A が R 上うえ左ひだりかつ右みぎ次数じすう付つき加か群ぐんであることを要求ようきゅうする。

次数じすう付つき多元たげん環たまきの例れいは数学すうがくにおいてよく現あらわれる。

• 多項式たこうしき環たまき。次数じすう n の斉ひとし次元じげんはちょうど次数じすう n の斉ひとし次つぎ多項式たこうしきである。
• ベクトル空間くうかん V のテンソル代数だいすう T^•V。次数じすう n の斉ひとし次元じげんはランク n のテンソル TⁿV である。
• 外積がいせき代数だいすう Λらむだ^•V および対称たいしょう代数だいすう S^•V もまた次数じすう付つき代数だいすうである。
• 任意にんいのコホモロジー論ろんにおけるコホモロジー環たまき H ^• もまた次数じすう付つきであり、Hⁿ たちの直和なおかずである。

次数じすう付つき代数だいすうは可か換かわ環たまき論ろんと代数だいすう幾何きか学がく、ホモロジー代数だいすう、そして代数だいすうトポロジーにおいてしばしば使つかわれる。1つの例れいは斉ひとし次つぎ多項式たこうしきと射影しゃえい多様たよう体たいの緊密きんみつな関係かんけいである。（cf. 斉ひとし次じ座標ざひょう環たまき。）

G-次数じすう環たまきと多元たげん環たまき

上記じょうきの定義ていぎは添そえ字じ集合しゅうごうとして任意にんいのモノイド G を使つかった次数じすう付つき環たまきに一般いっぱん化かできる。G-次数じすう環たまき（G-graded ring）A は直和なおかず分解ぶんかい

$A=\bigoplus _{i\in G}A_{i}$

をもった環たまきであって

$A_{i}A_{j}\subseteq A_{i\cdot j}$

が成なり立たつようなものである。

今いまや"次数じすう環たまき"の概念がいねんは N-次数じすう環たまきと同おなじものである。ただし N は非負ひふ整数せいすうが加法かほうについてなすモノイドである。次数じすう加か群ぐんや代数だいすうについての定義ていぎもまた添そえ字じ集合しゅうごう N を任意にんいのモノイド G にとりかえることによって拡張かくちょうできる。

注意ちゅうい：

• 環たまきが単位たんい元もとをもつことを要求ようきゅうしない場合ばあい、モノイドのかわりに半はん群ぐんでもよい。

例れい：

• 群ぐんは自然しぜんに対応たいおうする群ぐん環たまきを次数じすう付つける。同様どうように、モノイド環たまきは対応たいおうするモノイドによって次数じすう付づけされる。
• 超ちょう代数だいすう は Z₂-次数じすう代数だいすうの別名べつめいである。クリフォード代数だいすうはその例れいである。ここで斉ひとし次元じげんは次数じすう 0（偶数ぐうすう）かまたは 1（奇数きすう）である。

反はん可か換かわ性せい

いくつかの次数じすう付つき環たまき（または多元たげん環たまき）は反はん交換こうかん構造こうぞうをもつ。この概念がいねんは、次数じすう化かのモノイドの、2元げんからなる体からだ Z/2Z の加法かほう的てきモノイドへの準じゅん同型どうけいを要求ようきゅうする。具体ぐたい的てきには、signed monoid は対たい (Γがんま, εいぷしろん) からなる。ただし Γがんま はモノイドであり εいぷしろん : Γがんま → Z/2Z は加法かほう的てきモノイドの準じゅん同型どうけいである。反はん交換こうかん Γがんま-次数じすう環たまき（anticommutative Γがんま-graded ring）は Γがんま によって次数じすう付づけされた環たまき A であって次つぎを満みたす。

すべての斉ひとし次元じげん x と y に対たいして、$xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\,\varepsilon (\deg y)}yx$

例れい

• 外積がいせき代数だいすうは反はん可か換かわ代数だいすうの例れいである。構造こうぞう (Z_{≥ 0}, εいぷしろん)、ただし εいぷしろん: Z → Z/2Z は商しょう写像しゃぞう、によって次数じすう付づけされている。

• 超ちょう可か換かわ代数だいすう（歪いびつ可か換かわ結合けつごう環たまき（skew-commutative associative ring）と呼よばれることもある）は、反はん可か換かわ (Z/2Z, εいぷしろん) -次数じすう代数だいすうと同おなじものである。ただし εいぷしろん は Z/2Z の加法かほう的てき構造こうぞうの恒等こうとう自己じこ準じゅん同型どうけいである。

例れい

• 多項式たこうしき環たまき $A=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$ は（多項式たこうしきの）次数じすうによって次数じすう付つきである。これは次数じすう i の斉ひとし次じ多項式たこうしきからなる $A_{i}$ の直和なおかずである。

• S を次数じすう付つき整せい域いき R のすべての0でない斉ひとし次元じげんからなる集合しゅうごうとする。このとき R の S による局所きょくしょ化かは Z-次数じすう付つけられた環たまきである。

参考さんこう文献ぶんけん

• Bourbaki, N. (1974). Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556, https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC 
• Matsumura, H. (1986), Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8.
• Năstăsescu, C.; van Oystaeyen, F. (2004). Methods of graded rings. Lecture Notes in Mathematics. 1836. Springer-Verlag. ISBN 3-540-20746-5. MR2046303. https://books.google.com/books?id=ydtyCw1QJyMC 

関連かんれん項目こうもく

• 付随ふずいする次数じすう環たまき: 必かならずしも次数じすう付つけられていない環たまきとその真しんのイデアル（の冪べきからなるフィルター）から得えられる次数じすう環たまき
• 次数じすう付つき微分びぶん環たまき
• フィルター付つき代数だいすう、一般いっぱん化かしたもの
• 次数じすう付つき
• 次数じすう付つき圏けん
• 次数じすう付つきリー環たまき
• 次数じすう付つきベクトル空間くうかん