期き望もち值

在ざい概がい率りつ论和わ统计学がく中ちゅう，一いち个离散性せい随ずい机つくえ变量的てき期き望もち值（或ある数学すうがく期き望もち，亦また简称期き望もち，物理ぶつり学がく中称ちゅうしょう为期待きたい值）是ぜ试验中ちゅう每次まいじ可能かのう的てき结果乘じょう以其结果概がい率りつ的てき总和。换句话说，期き望もち值像是ぜ随ずい机つくえ试验在ざい同どう样的机つくえ会かい下重しもしげ复多次じ，所有しょゆう那な些可能かのう狀態じょうたい平均へいきん的てき结果，便びん基本きほん上等じょうとう同どう“期き望もち值”所期しょき望もち的てき數すう。期き望もち值可能かのう与あずか每まい一个结果都不相等。换句话说，期き望もち值是该变量りょう输出值的加か权平均へいきん。期き望もち值并不ふ一定包含于其分布值域，也并不ふ一定等于值域平均值。

例れい如，掷一いち枚まい公平こうへい的てき六ろく面めん骰子さいころ，其每次じ「點數てんすう」的てき期き望もち值是3.5，计算如下：

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]&={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5\end{aligned}}$

不ふ過か如上じょじょう所しょ說明せつめい的てき，3.5雖是「點數てんすう」的てき期き望もち值，但ただし卻不属ぞく于可能かのう结果中ちゅう的てき任にん一いち个，沒ぼつ有ゆう可能かのう擲出此點數すう。

数学すうがく定てい义

如果$X$是ぜ在ざい概がい率りつ空そら间$(\Omega ,F,P)$中なか的てき随ずい机つくえ变量，那な么它的てき期き望もち值$\operatorname {E} (X)$的てき定てい义是：

$\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P$

并不是ぜ每ごと一个随机变量都有期望值的，因いん为有的てき时候上述じょうじゅつ积分不ふ存在そんざい。

如果两个随ずい机つくえ变量的てき分布ぶんぷ相しょう同どう，则它们的期き望もち值也相しょう同どう。

如果$X$是これ离散的てき随ずい机つくえ变量，输出值为$x_{1},x_{2},\ldots$，和かず输出值相应的概がい率りつ为$p_{1},p_{2},\ldots$（概がい率りつ和わ为1）。

若わか级数$\sum _{i}p_{i}x_{i}$绝对收おさむ敛，那な么期望もち值$\operatorname {E} (X)$是ぜ一个无限数列的和。

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i}p_{i}x_{i}$

如果$X$是これ连续的てき随ずい机つくえ变量，存在そんざい一いち个相应的概がい率りつ密度みつど函数かんすう$f(x)$，若わか积分$\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$绝对收おさむ敛，那な么$X$的まと期き望もち值可以计算さん为：

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x$。

是ぜ针对于连续的随ずい机つくえ变量的てき，与あずか离散随ずい机つくえ变量的てき期き望もち值的算法さんぽう同どう出で一いち辙，由ゆかり于输出で值是连续的てき，所以ゆえん把わ求もとめ和わ改あらため成なり了りょう积分。

性せい质

• 期き望もち值$E$是これ线性函数かんすう。

  $\operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)$

  $X$和わ$Y$为在同どう一概率空间的两个随机变量（可か以独立どくりつ或ある者もの非ひ独立どくりつ），$a$和わ$b$为任意にんい实数。

• 一般いっぱん的てき说，一いち个随机つくえ变量的てき函数かんすう的てき期き望もち值并不等ふとう于这个随机つくえ变量的てき期き望もち值的函数かんすう。

  $\operatorname {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(x)f(x)\,\mathrm {d} x\neq g(\operatorname {E} (X))$

• 在ざい一般いっぱん情じょう况下，两个随ずい机つくえ变量的てき积的期き望もち值不等とう于这两个随ずい机つくえ变量的てき期き望もち值的积。

  当とう$\operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)$成立せいりつ时，随ずい机つくえ变量$X$和わ$Y$的てき协方差さ为0，又また称たたえ它们不ふ相關そうかん。特とく别的，当とう两个随ずい机つくえ变量独立どくりつ时，它们协方差さ（若わか存在そんざい）为0。

期き望もち值的运用

在ざい统计学がく中なか，估算变量的てき期き望もち值时，经常用じょうよう到いた的てき方法ほうほう是重これしげ复测量りょう此变量的りょうてき值，再さい用よう所得しょとく数すう据すえ的てき平均へいきん值来估计此变量的りょうてき期き望もち值。

在ざい概がい率りつ分布ぶんぷ中ちゅう，期き望もち值和方かた差さ或ある标准差さ是ぜ一种分布的重要特征。

在ざい古典こてん力学りきがく中なか，物体ぶったい重心じゅうしん的てき算法さんぽう与あずか期き望もち值的算法さんぽう十じゅう分ふん近似きんじ。

在ざい賭博とばく中ちゅう，期き望もち值又稱しょう預あずか期き值、長期ちょうき效果こうか值、合理ごうり價か值、期待きたい值，都と能のう完全かんぜん貼は和わ，而其計算けいさん的てき方式ほうしき為ため：

$\mathrm {EV}$（期き望もち值）$=$勝かち的てき概がい率りつ$\times$獲え勝かち的てき籌碼$-$輸的概がい率りつ$\times$輸掉的てき籌碼

期き望もち值也可か以通过方差さ计算公式こうしき来き计算方かた差さ：

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}$

（平方へいほう的てき期き望もち值減期き望もち值的平方へいほう）

其他写うつし法ほう

在ざい机つくえ器き学がく习领域いき的てき文章ぶんしょう中ちゅう，常常つねづね在ざい期き望もち算さん子こ的てき下か标中指定してい$x$服ふく从的分布ぶんぷ。例れい如：随ずい机つくえ变量$x$的てき函数かんすう$g(x)$的まと期き望もち常常つねづね写うつし成なり这样：

$\mathbb {E} _{x\sim p(x)}[g(x)]=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)g(x)\,\mathrm {d} x$

$p(x)$是これ$x$的てき概がい率りつ密度みつど函数かんすう。