カリーのパラドックス

カリーのパラドックス（英えい: Curry's paradox）は、素朴そぼく集合しゅうごう論ろんや素朴そぼく論理ろんり学がくで見みられるパラドックスであり、自己じこ言及げんきゅう文ぶんといくつかの一見いっけん問題もんだいない論理ろんり的てき推論すいろん規則きそくから任意にんいの文ぶんが派生はせいされることを示しめす。名称めいしょうの由来ゆらいは論理ろんり学者がくしゃのハスケル・カリーから。

ドイツの数学すうがく者しゃマルティン・フーゴー・レープ（Martin Hugo Löb）の名なをとって レープのパラドックスとも呼よばれている。

自然しぜん言語げんごの場合ばあい

カリーのパラドックスの自然しぜん言語げんご版はんは次つぎのような文ぶんである。

この文ぶんが真しんなら、サンタクロースは実在じつざいする。

この文ぶんが真しんであると仮定かていする。すると、その内容ないようからサンタクロースが実在じつざいするということが結論けつろんとして得えられる。これは conditional derivation（条件じょうけん付つき演繹えんえき）と呼よばれる自然しぜん演繹えんえき技法ぎほうを使つかった推論すいろんである。

つまり、この文ぶんが真しんであるなら、サンタクロースは実在じつざいする — これはその文ぶんそのものと全まったく同おなじである。従したがってこの文ぶんは真しんであり、サンタクロースは実在じつざいしなければならない。

この文ぶん形がたを使つかえばどんな主張しゅちょうも「証明しょうめい」される。これがパラドックスである。

数理すうり論理ろんり学がくの場合ばあい

証明しょうめいしようとしている命題めいだいを Y とし、ここでは「サンタクロースは実在じつざいする」という命題めいだいを表あらわすとする。次つぎに X が真しんであれば Y が成なり立たつという文ぶんを X で表あらわす。数学すうがく的てきにはこれを X = (X → Y) と記しるし、X が自分じぶん自身じしんを使つかって定義ていぎされていることがわかる。証明しょうめいは以下いかのようになる。

1. X → X

恒つね真しん式しき

2. X → (X → Y)

X = X → Y であることから、1 の右辺うへんを置換ちかん

3. X → Y

2 に縮ちぢみ約やく規則きそくを適用てきよう

4. X

X = X → Y であることから 3 を置換ちかん

5. Y

4 と 3 にモーダスポネンスを適用てきよう

派生はせいとして、Y が Z∧¬Z のような矛盾むじゅんした形式けいしきの場合ばあいもある。この場合ばあい、X が X = (X → (Z∧¬Z)) となる。これに推論すいろん規則きそくを適用てきようしていくと最終さいしゅう的てきに X = ¬X となり、嘘うそつきのパラドックスと等価とうかである。

素朴そぼく集合しゅうごう論ろんの場合ばあい

数理すうり論理ろんり学的がくてきには自己じこ言及げんきゅう文ぶんを含ふくまなくとも、素朴そぼく集合しゅうごう論ろんでは次つぎの集合しゅうごう X から任意にんいの論理ろんり式しき Y を証明しょうめいできる。

$X\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left\{x|(x\in x)\to Y\right\}.$

証明しょうめいは以下いかの通とおり。

${\begin{matrix}{\mbox{1.}}&(X\in X)\iff ((X\in X)\to Y)&{\mbox{definition of X}}\\{\mbox{2.}}&(X\in X)\to ((X\in X)\to Y)&{\mbox{from 1}}\\{\mbox{3.}}&(X\in X)\to Y&{\mbox{from 2, contraction}}\\{\mbox{4.}}&((X\in X)\to Y)\to (X\in X)&{\mbox{from 1}}\\{\mbox{5.}}&X\in X&{\mbox{from 3 and 4, modus ponens}}\\{\mbox{6.}}&Y&{\mbox{from 3 and 5, modus ponens}}\end{matrix}}$

この場合ばあいも Y 自身じしんが矛盾むじゅんした論理ろんり式しきの派生はせい形式けいしきがある。その場合ばあいの X は $\left\{x|(x\in x)\to (Z\wedge \neg Z)\right\}$ となり、最終さいしゅう的てきに $\left\{x|(x\notin x)\right\}$ が得えられる。これは自分じぶん自身じしんを含ふくまない全ぜん集合しゅうごうの集合しゅうごうを表あらわしている。これはラッセルのパラドックスと等価とうかである。

議論ぎろん

カリーのパラドックスは以下いかのような条件じょうけんを満みたす任意にんいの言語げんごで表現ひょうげんできる。

1. 何なんらかの機構きこう（疑問符ぎもんふ、名詞めいし、あるいは「この文ぶん」などの表現ひょうげん）により、その文ぶん自身じしんに言及げんきゅうできるようになっている。
2. 真理しんり述語じゅつごを記述きじゅつできる。つまり、言語げんご名めいを "L" としたとき、"true-in-L" という意味いみの述語じゅつごを記述きじゅつできる。
3. 縮ちぢみ約やく規則きそくが認みとめられている。大おおまかに言いえば、適当てきとうな仮説かせつを必要ひつように応おうじて何なん度どでも適用てきようできることを意味いみする。
4. 同一どういつ性せいの規則きそく（A ならば A である）が認みとめられ、モーダスポネンス（「Aである」と「AならばBである」から「Bである」が得えられる）が認みとめられる。

これ以外いがいにも条件じょうけんの組合くみあわせは考かんがえられる。自然しぜん言語げんごはほとんど必かならずこれらの特徴とくちょうを備そなえている。一方いっぽう、数理すうり論理ろんり学がくは一般いっぱんに自己じこ言及げんきゅうを明確めいかくに支持しじしないが、ゲーデルの不完全性ふかんぜんせい定理ていりは自己じこ言及げんきゅうを行おこなう方法ほうほうが常つねに存在そんざいすることを示唆しさしている。真理しんり述語じゅつごも一般いっぱんに存在そんざいしないが、素朴そぼく集合しゅうごう論ろんでは無む制限せいげんの包含ほうがん関係かんけいが許ゆるされることから真理しんり述語じゅつごも出でてくる。縮ちぢみ約やく規則きそくは一般いっぱんに認みとめられているが、線形せんけい論理ろんりではこのパラドックスで必要ひつようとするような推論すいろんを許ゆるさない。

嘘うそつきのパラドックスやラッセルのパラドックスとは異ことなり、カリーのパラドックスは使つかわれている「否定ひてい」のモデルに依存いぞんしない。このため、矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりは嘘うそつきのパラドックスには耐たい性せいがあるが、カリーのパラドックスには弱よわい。

カリーのパラドックスの解法かいほうは、自明じめいでない解法かいほうであって難解なんかいで直観ちょっかん的てきでないため、議論ぎろんがある。このような文ぶんが許容きょようされるべきか否ひか、許容きょようされない場合ばあいどうやって消けし去さるのか、あるいは無意味むいみなのか、それとも真理しんりという概念がいねんそのものが間違まちがっているのか、論理ろんり学者がくしゃらは結論けつろんを出だすに至いたっていない。

外部がいぶリンク

• スタンフォード哲学てつがく百科ひゃっか事典じてん: "Curry's Paradox" -- by J. C. Beall.
• Grossman, Jason, University of Sydney History & Philosophy of Science: A Proof that Penguins Rule the Universe.